2007年考研数学一真题及解析
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2007年考研数学一真题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（1） 当0x时，与x等价的无穷小量是 ( )
A. 1xe B.1ln1xx C. 11x D.1cosx
(2) 曲线y= 1ln(1xex), 渐近线的条数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xftdt .则下列结论正确的是 ( )
A. F(3)=3(2)4F B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F D. F(3)= 5(2)4F
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )
A. 若0()limxfxx存在，则f（0）=0 B. 若0()()limxfxfxx 存在，则f（0）=0
C. 若0()limxfxx 存在，则'(0)f=0 D. 若0()()limxfxfxx 存在，则'(0)f=0
(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且"()fxo, 令nu=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )
A.若12uu，则{nu}必收敛 B. 若12uu，则{nu}必发散
C. 若12uu，则{nu}必收敛 D. 若12uu，则{nu}必发散
(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( )
A. (,)rxydx B. (,)rfxydy C. (,)rfxyds D. '(,)'(,)xyrfxydxfxydy
（7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A） ,,122331 （B） ,,122331
（C） 1223312,2,2 （D）1223312,2,2
（8）设矩阵A=211121112，B=100010000，则A于B ( )
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p01p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( )
（A）23(1)pp (B)26(1)pp
(C) 223(1)pp (D) 226(1)pp
(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，()Xfx，()Yfy分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度|(|)XYfxy为 ( )
（A）()Xfx (B) ()Yfy
(C) ()Xfx()Yfy (D)()()XYfxfy
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11） 31211xedxx＝_______.
（12）设(,)fuv为二元可微函数，(,)yxzfxy，则zx＝______.
(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32xyyye的通解为y＝____________.
(14)设曲面：||||||1xyz，则(||)xyds＝_____________.
(15)设矩阵A＝0100001000010000，则3A的秩为________.
（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.
三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
222222(,)2{(,)4,0}fxyxyxyDxyxyy(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。 22(18)(10)23,1(01)4Ixzdydzxydzdxxydxdyyzxz本题满分分计算曲面积分其中为曲面的上侧.
''''(19)()(),()[,](,)()(),()()(,)()().fxgxababfagafbgbabfg本题是11分设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得
0''''2(20)(10)(,)()240,(0)0,(0)12(1),1,2,;1(2)()nnnnnaxyxyxyyyyaannyx本题满分分设幂级数在内收敛，其和函数满足证明求的表达式.
1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)xxxxxaxxxaxxxxaa本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.
(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2,1(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量,记534BAAE其中E为3阶单位矩阵
()I验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量；
()II求矩阵B.
(23)设二维变量(,)xy的概率密度为
2(,)0xyfxy 01,01xy其他
()I求{2}PXY；
()II求zXY的概率密度. (24)设总体X的概率密度为
1021(,)12(1)0xfxx其他
1X,2X,…nX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值
()I求参数的矩估计量；
()II判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由. 2007年考研数学一真题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（2） 当0x时，与x等价的无穷小量是 (B)
A. 1xe B.1ln1xx C. 11x D.1cosx
(2) 曲线y= 1ln(1xex), 渐近线的条数为 (D)
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xftdt .则下列结论正确的是 (C)
A. F(3)=3(2)4F B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F D. F(3)= 5(2)4F
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若0()limxfxx存在，则f（0）=0 B. 若0()()limxfxfxx 存在，则f（0）=0
C. 若0()limxfxx 存在，则'(0)f=0 D. 若0()()limxfxfxx 存在，则'(0)f=0
(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且"()fxo, 令nu=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)
A.若12uu，则{nu}必收敛 B. 若12uu，则{nu}必发散
C. 若12uu，则{nu}必收敛 D. 若12uu，则{nu}必发散
(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B)
A. (,)rxydx B. (,)rfxydy C. (,)rfxyds D. '(,)'(,)xyrfxydxfxydy
（7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A） ,,122331 （B） ,,122331
（C） 1223312,2,2 （D）1223312,2,2
（8）设矩阵A=211121112，B=100010000,则A于B， (B)
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p01p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C)
（A）23(1)pp (B)26(1)pp
(C) 223(1)pp (D) 226(1)pp
(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，()Xfx，()Yfy分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度|(|)XYfxy为 (A)
（A）()Xfx (B) ()Yfy
(C) ()Xfx()Yfy (D)()()XYfxfy
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（11） 31211xedxx＝1212e.
（12）设(,)fuv为二元可微函数，(,)yxzfxy，则zx＝'1'12(,)ln(,)yxyxyxfxyyxyyfxy.
(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32xyyye的通解为y＝32122xxxCeCee.
(14)设曲面：||||||1xyz，则(||)xyds＝433.
(15)设矩阵A＝0100001000010000，则3A的秩为１.
（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34.
三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
222222(,)2{(,)4,0}fxyxyxyDxyxyy(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
