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S .. . ..学生实验报告（经管类专业用）一、实验目的及要求：1、目的利用ＥＶＩＥＷＳ实验软件，使学生在实验过程中全面了解和熟悉计量经济学的基本概念，熟悉一元线性回归模型估计的基本程序和基本方法。
2、内容及要求(１)．熟悉ＥＶＩＥＷＳ实验软件的基本操作程序和方法；(2)、掌握一元线性回归模型基本概念，了解其估计和检验原理(3)、提交实验报告二、仪器用具：三、实验结果与数据处理：1 经研究发现，家庭书刊消费受家庭收入几户主受教育年数的影响，表中为对某地区部分. . . 资料. .8家庭抽样调查得到样本数据：(1) 建立家庭书刊消费的计量经济模型； （2）利用样本数据估计模型的参数；（3）检验户主受教育年数对家庭书刊消费是否有显著影响； （4）分析所估计模型的经济意义和作用 答：（1）建立家庭书刊消费的计量经济模型： i i i i u T X Y +++=321βββ其中：Y 为家庭书刊年消费支出、X 为家庭月平均收入、T 为户主受教育年数 （2即 ii i T X Y 3703.5208645.00162.50ˆ++-= （49.46026）（0.02936） （5.20217）t= (-1.) (2.) (10.06702)R 2=0. 944732.02=R F=146.2974(3) 检验户主受教育年数对家庭书刊消费是否有显著影响:由估计检验结果, 户主受教育年数参数对应的t 统计量为10.06702, 明显大于t 的临界值131.2)318(025.0=-t ，同时户主受教育年数参数所对应的P 值为0.0000，明显小于05.0=α，均可判断户主受教育年数对家庭书刊消费支出确实有显著影响。
（4）本模型说明家庭月平均收入和户主受教育年数对家庭书刊消费支出有显著影响，家庭月平均收入增加1元，家庭书刊年消费支出将增加0.086元，户主受教育年数增加1年，家庭书刊年消费支出将增加52.37元。
实验二一元线性回归模型2.1 实验目的掌握一元线性回归模型的基本理论，一元线性回归模型的建立、估计、检验及预测的方法，以及相应的EViews软件操作方法。
2.2 实验内容建立中国消费函数模型。
以表2.1中国的收入与消费的总量数据为基础，建立中国消费函数的一元线性回归模型。
表2.1数据来源：2004年中国统计年鉴，中国统计出版社2.3 实验步骤2.3.1 散点相关图分析将表1.1的GDP设为变量X，总消费设为Y，建立变量X和Y的相关图，如图2.1所示。
可以看X和Y之间呈现良好的线性关系。
可以建立一元线性回归模型。
2.3.2 估计线性回归模型在数组窗口中点击Proc\Make Equation ，如果不需要重新确定方程中的变量或调整样本区间，可以直接点击OK 进行估计。
也可以在EViews 主窗口中点击Quick\Estimate Equation ，在弹出的方程设定框（见图2.2）内输入模型：Y C X 或 Y = C (1) + C (2) * X图2.2图2.3还可以通过在EViews 命令窗口中键入LS 命令来估计模型，其命令格式为：LS 被解释变量 C 解释变量系统将弹出一个窗口来显示有关估计结果（如图2.3 所示）。
因此，我国消费函数的估计式为：ˆY2329.4010.547*X =+St 1191.923 0.014899t 1.95 36.71R 2=0.99 s.e.=2091s.e .是回归函数的标准误差，即σˆ=)216(ˆ2-∑t u。
R 2是可决系数。
R 2 = 0.99,说明上式的拟合情况好，y t 变差的99%由变量x t 解释。
因为t = 36.71> t 0.05 (15) = 2.13，所以检验结果是拒绝原假设β1 = 0，即总消费和GDP 之间存在线性回归关系。
上述模型的经济解释是，GDP 每增长1 亿元，我国消费将总额将增加0.547亿元。
图2.42.3.3 残差图在估计方程的窗口选择View\ Actual, Fitted,Residual\Actual, Fitted,Residual Table，得到相应的残差图2.4。
第二章一元线性回归模型计量经济学在对经济现象建立经济计量模型时，大量地运用了回归分析这一统计技术，本章和下一章将通过一元线性回归模型、多元线性回归模型来介绍回归分析的基本思想。
第一节回归分析的几个基本问题回归分析是经济计量学的主要工具，下面我们将要讨论这一工具的性质。
一、回归分析的性质（一）回归释义回归一词最先由F •加尔顿（Francis Galt on ）提出。
加尔顿发现，虽然有一个趋势，父母高，儿女也高：父母矮，儿女也矮，但给定父母的身高，儿女辈的平均身高却趋向于或者“回归” 到全体人口的平均身高。
或者说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而儿女的身高则有走向人口总体平均身高的趋势（普遍回归规律）。
加尔顿的这一结论被他的朋友K •皮尔逊（Karl pearson）证实。
皮尔逊收集了一些家庭出身1000多名成员的身高记录，发现对于一个父亲高的群体，儿辈的平均身高低于他们父辈的身高，而对于一个父亲矮的群体，儿辈的平均身高则高于其父辈的身高。
这样就把高的和矮的儿辈一同“回归”到所有男子的平均身高，用加尔顿的话说，这是“回归到中等” 。
回归分析是用来研究一个变量（被解释变量Explained variable或因变量Dependent variable 与另一个或多个变量（解释变量Explanatory variable或自变量Independent variable之间的关系。
其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值去估计或预测前者的（总体）均值。
下面通过几个简单的例子，介绍一下回归的基本概念。
例子1.加尔顿的普遍回归规律。
加尔顿的兴趣在于发现为什么人口的身高分布有一种稳定性,我们关心的是，在给定父辈身高的条件下找出儿辈平均身高的变化。
也就是一旦知道了父辈的身高，怎样预测儿辈的平均身高。
为了弄清楚这一点，用图 1.1 表示如下图 1.1 对应于给定父亲身高的儿子身高的假想分布图 1.1 展示了对应于设定的父亲身高, 儿子在一个假想人口总体中的身高分布, 我们不难发现,对应于任一给定的父亲身高, 相对应都有着儿子身高的一个分布范围，同时随着父亲身高的增加，儿子的平均身高也增加，为了清楚起见，在1.1散点图中勾画了一条通过这些散点的直线，以表明儿子的平均身高是怎样随着父亲的身高增加而增加的。
计量经济学第二章一元线性回归模型第二章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其古典假定第二节参数估计第三节最小二乘估计量的统计特性第四节统计显著性检验第五节预测与控制第一节回归模型的一般描述（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关系。
其一般表现形式为：一、回归模型的一般形式变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：（2.1)（2）统计关系或相关关系：变量之间为非确定性依赖关系。
其一般表现形式为：(2.2)例如：函数关系：圆面积S =统计依赖关系/统计相关关系：若x和y之间确有因果关系，则称(2.2)为总体回归模型，x(一个或几个）为自变量（或解释变量或外生变量），y为因变量（或被解释变量或内生变量），u为随机项，是没有包含在模型中的自变量和其他一些随机因素对y的总影响。
一般说来，随机项来自以下几个方面：1、变量的省略。
由于人们认识的局限不能穷尽所有的影响因素或由于受时间、费用、数据质量等制约而没有引入模型之中的对被解释变量有一定影响的自变量。
2、统计误差。
数据搜集中由于计量、计算、记录等导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生的代表性误差。
3、模型的设定误差。
如在模型构造时，非线性关系用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此非线性关系用彼非线性模型描述了等等。
4、随机误差。
被解释变量还受一些不可控制的众多的、细小的偶然因素的影响。
若相互依赖的变量间没有因果关系，则称其有相关关系。
对变量间统计关系的分析主要是通过相关分析、方差分析或回归分析(regression analysis)来完成的。
他们各有特点、职责和分析范围。
相关分析和方差分析本身虽然可以独立的进行某些方面的数量分析，但在大多数情况下，则是和回归分析结合在一起，进行综合分析，作为回归分析方法的补充。
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
第二章简单线性回归模型2.1（1）①首先分析人均寿命与人均GDP的数量关系，用Eviews分析：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 12/27/14 Time: 21:00Sample: 1 22Included observations: 22Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 56.64794 1. 28.88992 0.0000X1 0. 0. 4. 0.0001R-squared 0. Mean dependent var 62.50000 Adjusted R-squared 0. S.D. dependent var 10.08889 S.E. of regression 7. Akaike info criterion 6. Sum squared resid 1013.000 Schwarz criterion 6. Log likelihood -73.34257 Hannan-Quinn criter. 6. F-statistic 22.20138 Durbin-Watson stat 0. Prob(F-statistic) 0.有上可知，关系式为y=56.64794+0.x1②关于人均寿命与成人识字率的关系，用Eviews分析如下：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 11/26/14 Time: 21:10Sample: 1 22Included observations: 22Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 38.79424 3. 10.98340 0.0000X2 0. 0. 7. 0.0000R-squared 0. Mean dependent var 62.50000 Adjusted R-squared 0. S.D. dependent var 10.08889 S.E. of regression 5. Akaike info criterion 6. Sum squared resid 605.2873 Schwarz criterion 6. Log likelihood -67.67792 Hannan-Quinn criter. 6. F-statistic 50.62761 Durbin-Watson stat 1. Prob(F-statistic) 0.由上可知，关系式为y=38.79424+0.x2③关于人均寿命与一岁儿童疫苗接种率的关系，用Eviews分析如下：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 11/26/14 Time: 21:14Sample: 1 22Included observations: 22Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 31.79956 6. 4. 0.0001X3 0. 0. 4. 0.0001R-squared 0. Mean dependent var 62.50000Adjusted R-squared 0. S.D. dependent var 10.08889S.E. of regression 7. Akaike info criterion 6.Sum squared resid 987.6770 Schwarz criterion 6.Log likelihood -73.06409 Hannan-Quinn criter. 6.F-statistic 23.28338 Durbin-Watson stat 0.Prob(F-statistic) 0.由上可知，关系式为y=31.79956+0.x3（2）①关于人均寿命与人均GDP模型，由上可知，可决系数为0.，说明所建模型整体上对样本数据拟合较好。
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。
首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。
总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。
同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。
统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。
其一，若干基本假设。
样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。
Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
2013－2014第1学期计量经济学实验报告实验（一）：一元线性回归模型实验学号姓名：专业：国际经济与贸易选课班级：实验日期：2013年12月2日实验地点：K306实验名称：一元线性回归模型实验【教学目标】《计量经济学》是实践性很强的学科，各种模型的估计通过借助计算机能很方便地实现，上机实习操作是《计量经济学》教学过程重要环节。
目的是使学生们能够很好地将书本中的理论应用到实践中，提高学生动手能力，掌握专业计量经济学软件EViews的基本操作与应用。
利用Eviews做一元线性回归模型参数的OLS估计、统计检验、点预测和区间预测。
【实验目的】使学生掌握1.Eviews基本操作：（1）数据的输入、编辑与序列生成；（2）散点图分析与描述统计分析；（3）数据文件的存贮、调用与转换。
2. 利用Eviews做一元线性回归模型参数的OLS估计、统计检验、点预测和区间预测【实验内容】1.Eviews基本操作：（1）数据的输入、编辑与序列生成；（2）散点图分析与描述统计分析；（3）数据文件的存贮、调用与转换；2. 利用Eviews做一元线性回归模型参数的OLS估计、统计检验、点预测和区间预测。
实验内容以下面1、2题为例进行操作。
1、为了研究深圳地方预算中财政收入与国内生产总值关系，运用以下数据：(1)建立深圳的预算内财政收入对GDP的回归；(2)估计模型的参数，解释斜率系数的意义；(3)对回归结果进行检验；(4)若2002年的国内生产总值为3600亿元，试确定2002年财政收入的预测值和预α=)。
测区间(0.052、在《华尔街日报1999年年鉴》（The Wall Street Journal Almanac 1999）上，公布有美国各航空公司业绩的统计数据。
航班正点准时到达的正点率和此公司每10万名乘客中投诉1(1)做出上表数据的散点图(2)依据散点图，说明二变量之间存在什么关系？(3)描述投诉率是如何根据航班正点率变化，并求回归方程。
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定2.1.1一元线性回归模型有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即1tty x β∂=∂220tt y x β∂=∂另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略， （2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t 做出如下假定。
1、零均值：随机误差项的的期望为零E(u t ) = 0，y t = β0 + β1 x t + u t 的期望值E(y t ) = β0 + β1 x t 正是由E(u t ) = 0推出的 2、同方差：随机误差项的方差与t 无差。
D(u t ) = E[u t - E(u t ) ]2 = E(u t )2 = σ 2不难推出：[][]()22220101()(()()()t t t t t t t D y E y E y E x u x E u ββββσ=-=++-+==3、无自相关：即不同的误差项相互独立。
Cov(u i , u j ) = E[(u i - E(u i ) ) ( u j - E(u j ) )] = E(u i , u j ) = 0, (i ≠ j )。
含义是不同观测值所对应的随机项相互独立。
称为u i 的非自相关性。
不难推出：[][]cov(,)()()()0t s t t s s t s y y E y E y y E y E u u =--== 4、解释变量与随机误差项不相关Cov(u i , x i ) = E[(u i - E(u i ) ) (x i - E(x i ) )] = E[u i (x i - E(x i ) ] = E[u i x i - u i E(x i ) ] = E(u i x i ) = 0。
u i 与x i 相互独立。
否则，分不清是谁对y t 的贡献。
5、正态假定。
即误差项服从均值为零，方差为σ 2的正态分布。
ut~ N (0,σ2)不难推出，y t~ N (β0 + β1 x t,σ2)。
以上这些对随机误差项的假设是德国数学家高斯最早提出的，也称高斯假设或古典假设。
满足以上古典假设的线性回归模型，也称古典线性回归模型。
回归模型存在两个特点。
（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。
（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。
2.2一元线性回归模型的参数估计2.2.1最小二乘估计（OLS）对于所研究的经济问题，通常真实的回归直线是观测不到的。
收集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。
怎样估计这条直线呢？显然综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。
怎样用数学语言描述“处于样本数据的中心位置”？设估计的直线用tyˆ=0ˆβ+1ˆβx t表示。
其中tyˆ称y t的拟合值（fitted value），0ˆβ和1ˆβ分别是β0 和β1的估计量。
观测值到这条直线的纵向距离用tuˆ表示，称为残差。
y t =tyˆ+t uˆ=0ˆβ+1ˆβx t +t uˆ称为估计的模型。
假定样本容量为T。
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。
但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。
但绝对值的计算比较麻烦。
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。
用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。
（这种方法对异常值非常敏感）设残差平方和用Q表示，Q =∑=Ti tu12ˆ=∑=-Ti t t yy 12)ˆ(=∑=--Ti t t x y 1210)ˆˆ(ββ，则通过Q 最小确定这条直线，即确定0ˆβ和1ˆβ的估计值。
以0ˆβ和1ˆβ为变量，把Q 看作是0ˆβ和1ˆβ的函数，这是一个求极值的问题。
求Q 对0ˆβ和1ˆβ的偏导数并令其为零，得正规方程，ˆβ∂∂Q = 2∑=--Ti t t x y 110)ˆˆ(ββ(-1) = 0 (1) 1ˆβ∂∂Q = 2∑=--T i t t x y 110)ˆˆ(ββ(- x t ) = 0 (2) 解这个方程组得：0ˆβ= x y 1ˆβ-、1ˆβ=∑∑---2)())((x x y y x x tt t下面用代数和矩阵两种形式推导计算结果。
首先用代数形式推导。
由（1）、（2）式得，∑=--Ti t t x y 110)ˆˆ(ββ= 0 (3)∑=--Ti t t x y 110)ˆˆ(ββx t = 0 (4)（3）式两侧用T 除，并整理得，0ˆβ= x y 1ˆβ- (5) 把上式代入（4）式并整理，得，])(ˆ)[(11∑=---Ti ttx x y yβx t = 0 (6) ∑∑==---Ti t tTi t tx x xx y y111)(ˆ)(β= 0 (7)1ˆβ= ∑∑--ttt txx x y y x )()( (8)因为∑=-Ti t y y x 1)(= 0，∑=-T i t x x x 1)(= 0，分别在（8）式的分子和分母上减∑=-Ti t y y x 1)(和∑=-Ti t x x x 1)(得，1ˆβ= ∑∑∑∑------)()()()(x xx x x x y yx y y x ttttt t(9)=∑∑---2)())((x x y y x x tt t(10) 下面用矩阵形式推导0ˆβT +1ˆβ (∑=Ti t x 1) = ∑=Ti t y 1ˆβ∑=Ti t x 1+1ˆβ(∑=Ti t x 12) = ∑=Ti t t y x 1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑∑2t tt x x x T⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10ˆˆββ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑t t t y x y ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10ˆˆββ=12-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑∑t t t x x x T ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑t t t y x y =22)(1∑∑-t t x x T ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--∑∑∑T x x x t t t 2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑t t t y x y这种形式在单位根检验的理论分析中非常有用。
例2.1（P35）略2.2.2最小二乘估计量0ˆβ和1ˆβ的特性 (1) 线性特性这里指0ˆβ和1ˆβ分别是y t 的线性函数。
1ˆβ= ∑∑---2)())((x x y y x x ttt=∑∑∑----2)()()(x x x xy y x x tttt=∑∑--2)()(x x y x x ttt令 k t =∑--2)()(x xx x tt ，代入上式得 1ˆβ= ∑ k t y t 容易证明：0t k =∑; 1t t k x =∑;221()t tk x x =-∑∑ 22()0()()ttt ttx x x nxk x x x x --===--∑∑∑∑∑2222()()()()()1()()()t t t t t t t t t t t x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x -+---==-+==---∑∑∑∑∑∑∑∑2222222()1()()()t tt t tt x x x x k x x x x x x ⎡⎤--===⎢⎥--⎢⎥⎡⎤-⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 可见1ˆβ是y t 的线性函数，是β1的线性估计量。
同理β0也具有线性特性：01ˆ()t t xk y n β=-∑ (2) 无偏性 利用上式E(1ˆβ) = E(∑ k t y t ) = E[ ∑ k t (β0 + β1 x t + u t ) ] = E ( β0 ∑ k t + β1 ∑ k t x t + ∑ k t u t ) = β1 + E(∑ k t u t ) = β1+∑ k t E u t = β1 (3) 有效性β0, β1的OLS 估计量的方差比其他估计量的方差小。
为了说明最小方差性，先导出0ˆβ和1ˆβ的方差公式。
[][]()22220101var()()()()t t t t t y E y E y E E ββμββμσ=-=++-+==,且与y 相互独立。
222212var()var()var()()t t t t tt k y k y kx x σβσ====-∑∑∑∑同样，我们可以推出：2202var()()t t x n x x σβ=-∑∑假设*1t t c y β=∑是β1的另一个线性无偏估计值，c t ≠k t ， *11()E ββ=*101011()()()t t t t t t t E c E y c x c c x ββββββ==+=+=∑∑∑∑ 比较两边可得：0t c =∑、1t t c x =∑ 而且有：222()1()()()t t t t t t t t t t x x k c k k c k c x x x x --=-=---∑∑∑∑∑∑ =2211(1)(101)0()()t t t t tc x x c x x x x --=--=--∑∑∑∑*222212222222221var()var()()()2()()var t t t t t t t t t t t t t t t t c y c k c k k c k k c k k c k k βσσσσσσβ===+-⎡⎤=+---⎣⎦=+-≥=∑∑∑∑∑∑∑同理可证：*00var()var ββ≥Gauss-Markov 定理：若u t 满足E(u t ) = 0，D(u t ) = σ 2，那么用OLS 法得到的估计量就具有最佳线性无偏性。
