下载文档原格式
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
微分中值定理及其应用我们已经学习了导函数的定义以及一些基本性质，就导数的定义来看，导数是一个新的函数的极限，从而它反映的是函数的局部性质，在这一讲中，我们将学习利用导数来建立一些函数的整体性质。
所用的工具就是所谓的中值定理。
罗尔中值定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数在区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；3. ，那么，在开区间内必是（至少）存在一点，使罗尔定理的几何意义因为，所以是水平线，用中学学过的推平行线的几何方法，可以直观地看出曲线上至少有一点的切线也应该是平行的。
条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少任何一个条件，命题都不能成立。
i) 函数在区间满足条件2和条件3，该函数在上的导数恒为1。
ii)函数满足条件1和条件3，但是条件2却遭到破还（在不可导），结论也不成立。
iii)函数满足条件1和条件2,但条件3不满足，该函数在的的导数恒为1。
vi)函数在闭区间上，三个条件是充分条件，但不是必要条件。
定理的证明因为在上连续，所以由连续函数的最大最小值定理，在上取到最大值和最小值，下面分两种情况讨论：1. ，这就是说恒为常数，此时该函数的导数恒等于零。
可以在上随意取一点，当然有。
2. ，既然最大最小值不等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取到。
不妨设最大值不在端点取到。
得到：存在，使得。
因为区间内部取到的最值一定是极值，所以由费马定理，。
范例例1：设是一个多项式，且方程没有实零点，则方程至多有一个重数为1的实根。
证：设有两个实根，可以验证：在上满足罗尔定理的条件，从而存在，使得。
这与条件矛盾。
设有一个重根，则。
因为，则，矛盾。
拉格朗日定理及其应用定理6.2 设函数区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；那么在开区间内（至少）存在一点，使得拉格朗日定理的几何意义拉格朗日定理是罗尔定理的一个推广，推广所以它们的几何意义几乎是一致的。
（如果）这里，。
中值定理使用条件
（原创版）
目录
1.中值定理的概念
2.中值定理的使用条件
3.中值定理的应用举例
正文
【1.中值定理的概念】
中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要用于证明函数在某一
区间内的平均变化率等于该函数在该区间内某一点（即中间值）的瞬时变
化率，即导数。
该定理在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有着
广泛的应用。
【2.中值定理的使用条件】
中值定理的使用条件主要有以下几点：
（1）函数的连续性：中值定理要求函数在其定义域内连续，这是使
用中值定理的最基本条件。
（2）函数的导数存在：即函数在某一区间内可导，这是使用中值定
理的核心条件。
（3）拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可导，在开
区间 (a,b) 内存在连续函数 F(x)，且 F"(c)=0，则存在ξ∈(a,b)，使
得 f(b)-f(a)=f"(ξ)F(b)-f"(ξ)F(a)。
（4）罗尔定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得 f"(ξ)=0。
【3.中值定理的应用举例】
（1）证明函数的单调性：通过中值定理，可以判断函数在某一区间内的单调性，从而对函数的性质有更深入的理解。
（2）求函数的极值：利用中值定理，可以求出函数在某一区间内的极值，为函数的优化问题提供理论依据。
（3）证明不等式：中值定理也可以用于证明一些不等式，如拉格朗日中值定理可以用于证明柯西不等式。
中值定理在高考中的应用
中值定理在高考数学中有着广泛的应用，特别是在处理一些证明题时。
以下是一些具体的例子：
1. 利用罗尔定理证明函数在某点的导数为零。
例如，如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，那么至少存在一点$c \in (a, b)$，使得$f'(c)=0$。
2. 利用拉格朗日中值定理证明等式或不等式。
例如，如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么至少存在一点$c \in (a, b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
3. 利用柯西中值定理证明函数的单调性。
例如，如果函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，且$g'(x) \neq 0$，那么存在一点$c \in (a, b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。
以上只是中值定理在高考数学中的一些应用，实际上，中值定理的应用非常广泛，掌握好中值定理的原理和方法可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
略谈积分中值定理及其应用白永丽 张建中 (平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。
本文就其在解题中的应用进行讨论。
一、积分中值定理的内容：定理1（积分第一中值定理） 若)x (f 在]b ,a [上连续，则在]b ,a [上至少存在一点ξ使得 b a ),a b ()(f dx )x (f ba ≤ξ≤-ξ=⎰ （1）定理2（推广的积分第一中值定理） 若)x (g ),x (f 在闭区间]b ,a [上连续，且)x (g 在]b ,a [上不变号，则在]b ,a [至少存在一点ξ，使得b a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f ba ba ≤ξ≤ξ=⎰⎰ （2） 证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在]b ,a [上0)x (g ≥则在]b ,a [有其中m,M 分别为)x (f 在]b ,a [上的最小值与最大值，则有：若⎰=b a 0dx )x (g ，则由上式知⎰=ba 0dx )x (g )x (f ，从而对]b ,a [上任何一点ξ，定理都成立。
若⎰≠ba 0dx )x (g 则由上式得： 则在]b ,a [上至少有一点ξ，使得即：.b x a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f ba b a ≤≤ξ=⎰⎰ 显然，当1)x (g ≡时，（2）式即为（1）式二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间]b ,a [上连续这一条件，否则，结论不一定成立。
例如：,4x 0,x cos 0x 4,x cos )x (f ⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤<≤π--=显然)x (f 在0x =处间断。
中值定理应用题中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决一些与函数的变化率和平均速度有关的问题。
在实际生活中，中值定理也有着广泛的应用，例如在交通规划、经济学和物理学等领域都可以看到中值定理的身影。
本文将通过几个具体的应用题目，来展示中值定理在解决实际问题中的作用。
1. 题目：一辆汽车沿直线道路行驶，已知其速度随时间的变化率为$v(t)=3t^2-6t+2$（单位：m/s），求车辆在第2秒时的平均速度。
解答：根据中值定理，我们知道在$t$时刻的平均速度等于$v(t_0)$到$v(t_1)$之间的某个时刻$t_0 < t < t_1$时刻的瞬时速度。
因此，我们需要首先求出第2秒时刻汽车的瞬时速度，即$v(2)$：$v(2) = 3 \times 2^2 - 6 \times 2 + 2 = 6 m/s$那么根据中值定理，第2秒时刻汽车的平均速度等于$v(2)$，即车辆在第2秒时的平均速度为6m/s。
2. 题目：某种化学反应的速率随时间的变化率为$r(t)=0.5t^2-3t+4$（单位：mol/L/min），求在第5分钟时刻的平均速率。
解答：类似地，我们首先求出第5分钟时刻的瞬时速率，即$r(5)$：$r(5) = 0.5 \times 5^2 - 3 \times 5 + 4 = 6.5 mol/L/min$根据中值定理，第5分钟时刻的平均速率等于$r(5)$，所以该化学反应在第5分钟时刻的平均速率为6.5mol/L/min。
通过以上两个应用题目的解答，我们可以看到中值定理在求解平均速度或速率的问题中起到了至关重要的作用。
在实际应用中，我们可以利用中值定理来简化问题，找到瞬时速度或速率，从而更好地理解事物的变化规律。
希望通过这篇文章，读者对中值定理的应用有了更深入的了解。
专题五 关于中值定理的应用中值定理的形式很多，其应用也很广泛。
众所周知，积分中值定理和微分中值定理是研究函数性质的重要工具。
这里就中值定理在积分和微分两方面的应用进行答疑，并将其加以推广，意在扩大中值定理的应用范围，增强其实际应用价值。
使中值定理发挥更大作用。
问题1：中值定理都包括哪些内容？它们的关系如何？答：中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理及泰勒中值定理等。
以拉格朗日中值定理（也称微分学中值定理）为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广。
下面分别介绍： 介值定理：设函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，且A a F =)(，B b F =)(，B ≠A ，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()C F =ξ()b a <<ξ.罗尔定理：如果函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，在区间()b a ,内可导，且)()(b F a F =，那么至少有一点ξ()b a <<ξ，使得0)(='ξF .拉格朗日中值定理：如果函数)(x F 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，那么至少有一点ξ()b a <<ξ，使))(()()(a b F a F b F -'=-ξ成立.柯西中值定理：如果函数)(x F 及)(x G 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且0)(≠x G 。
那么至少有一点ξ()b a <<ξ使等式()()()()a G b G a F b F --=()()ξξG F ''成立. 问题2：积分中值定理都包括哪些内容？ 答：积分中值定理主要包括：1、（积分第一中值定理）：若函数()x f 与()x g 在区间[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则在[]b a ,上至少存在一点ξ，使()()()()bbaafx g x d x f g x d x ξ=⎰⎰.注: 该定理中()g x 在[],a b 是可积,且不变号,结论仍成立2、（积分第二中值定理）：若函数()f x 在区间[],a b 非负单调递增,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈，()()()()ba afx g x d xfa g x d x ξ=⎰⎰3、（定理3）: 若在[],a b 上()0f x ≥且单调递增,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈使得()()()()b bafx g x d x f b g x d x ξ=⎰⎰.4、（定理4）:若在[],a b 上()f x 为单调函数,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈使得()()()()()()b baafx g x d xfa g x d x fb g x d x ξξ=+⎰⎰⎰.问题3：积分中值定理的应用主要在哪些方面？ 答：积分中值定理的应用主要体现在下面五个方面，即：一、 解决具有某些性质的点的存在问题；二、与极限有关的问题；三、证明积分不等式； 四、解决与收敛有关的问题；五、用于估计定积分的值。
问题4：能举例说明积分中值定理在“解决具有某些性质的点的存在问题”方面的应用吗？答：在积分知识的学习过程中,有关定积分具有某些性质点的存在性的论证是学习的一个难点.一般,我们应仔细观察被积函数所具有的性质,注意利用微分中值定理和积分中值定理等途径.从而达到有关问题的证明。
例1.设函数()f x 在[]0,π上连续,且()00fx d xπ=⎰,()0co s 0fx xd x π=⎰，试证: 在()0,π内至少存在两个不同的点1ξ，2ξ使()()120f f ξξ==。
证明：若()0f x ≡，[]0,x π∈结论显然成立； 假使()0f x ≠，由积分中值定理，存在()10,ξπ∈，使()()()1000fx d x f πξπ=-=⎰，即()10f ξ=，若在()0,π内()0f x =只有一个实根1ξ， 由()00fx d xπ=⎰可知，()fx 在()10,ξ与()1,ξπ内异号，不防设在()10,ξ内()0f x >，在()1,ξπ内()0f x <，而c o s x 在()0,π为单调下降，故()()()()110co s co s co s co s fx xd x f x d xfx x d x πππξξ-=-⎰⎰⎰()()()()11110co s co s co s co s 0fx x d x fx x d xξπξξξ=-+->⎰⎰与()()0co s 0,0fx xd x fx d xππ==⎰⎰矛盾。
于是除1ξ外，在()0,π内()0f x =至少还有一个实根2ξ，故至少存在两个相异的实根()12,0,ξξπ∈，使()()120f f ξξ==例2 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内二阶可导，且()()()1b b aaf a f b fx d x -==⎰试证：存在一点(),a b ξ∈ 使()0f ξ''=证明：若在[],a b 上()0f x ≡，则结论显然成立。
假设[],a b 上()0f x ≠，由积分第一中值定理，在[],a b 上至少存在一点C ，（实际上在开区间(),a b 内一定存在这样的C ）使得()()()baf x dx f c b a =-⎰，所以()()()()1b b a afx d xfa fb fc -===⎰。
又因()f x 在[],a c ，[],c b 上连续，在(),a c ，(),c b 内可导，由罗尔定理：存在()()12,,,a c c b ξξ∈∈使()()120f f ξξ''==，再对()f x '在[]12,ξξ上 ，使用罗尔中值定理，存在()()12,,a b ξξξ∈⊂ 使()0f x ''=。
问题5：能举例说明积分中值定理在“与极限有关的问题”方面的应用吗？ 答：无论是数列问题，还是函数极限的计算中，若含有定积分式，首先用定积分的相关知识，即积分中值定理等，把积分式简化，然后运用解决极限问题的各种方法，以达到解决问题的目的。
例3. 设函数()x ψ为有界周期函数，周期为T ，且()10T Tx d x C ψ=⎰，试证： ()2lim ttnn n d t C +∞ψ→+∞=⎰证明：任意固定0n >，因为()21d ttnn d t +∞=⎰，所以2C tnC n d t +∞=⎰，因此只须证()2lim 0t Ctnn n d t +∞ψ-→+∞=⎰即可。
由()1T T x d x C ψ=⎰，有()()100TTx C d x ψ-=⎰，且()x Cψ-仍为有界的周期函，故()(),A nA n t C d t ∀>ψ-⎰是有界的，从而存在0M >，使()()A nt C d tM ψ-≤⎰，而21t在[],n A 非负单调下降，由积分第二中值定理有 ()()()221A t CM ntnnnn d t n t C d tξψ-=⋅ψ-≤⎰⎰，[],n A ξ∈，令A →+∞，有()2t CM ntnn d t +∞ψ-≤⎰再令n →+∞有()2lim 0,t Ctnn d t +∞ψ-=⎰故()2lim ttnn d t C +∞ψ=⎰。
例4. 设()21,10,1x x fx x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，试计算： ()()0sin lim0b x fx d x b xλλ→+∞>⎰。
解：取{}*m in ,1b b = 则()f x 在*0,b ⎡⎤⎣⎦上递减， 由积分第二中值定理，有 ()()()*sin sin 0b bx x fx d x ffx d x xxλλ=⎰⎰ ()()*sin 00x f d x bxξλξ=<<⎰0sin t d t tλξ=⎰因此，()sin sin limlim2b xt fx d t d t xtλξλλλπ→∞→∞==⎰⎰。
问题6：能举例说明积分中值定理在“证明积分不等式”方面的应用吗？ 答：积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式，当积分区间相同时，先合并同一积分区间上的不同积分，根据被积函数所满足的条件，灵活运用积分中值定理，以达到证明不等式成立的目的。
例5. 设()f x 在[],a b 上连续且单调增加。
证明：()()2bb a aa b xf x d x fx d x +≥⎰⎰。
证明：由积分中值定理有()()()()()()22222a b a b bba b a b a baax f x d xx f x d x x f x d x +++++-=-+-⎰⎰⎰()()()()221222a b a b ba b a b af x d x f x d xξξ++++=-+-⎰⎰()()()()()22120b a f f f x ξξ-=-≥⎡⎤⎣⎦的单调性其中 122a b a b ξξ+≤≤≤≤故()()2b b a b aaxfx d xfx d x +≥⎰⎰。
例6. 设导函数()f x '在[],a b 连续，试证： ()()()1m ax b b b aaaa x bf x fx d x f x d x -≤≤'≤+⎰⎰。
证明：()f x 在[],a b 连续，∴存在[]0,x a b ∈ 使()()0m ax f x f x = ，a x b ≤≤。
又由积分中值定理知，存在[],a b ξ∈，使()()1bb aaf fx d x ξ-=⎰， ∴()()()()00m ax x fx f x f x d t f ξξ'==+⎰()()x f x d t f ξξ'≤+⎰()()1b b b aaafx d xf x d x -'≤+⎰⎰，a x b ≤≤。
∴()()()1m ax b b b aaaa x bf x fx d xf x d x -≤≤'≤+⎰⎰。
问题7：能举例说明积分中值定理在“解决与收敛有关的问题”方面的应用吗？ 答：例7. 设函数()f x 在()0,+∞单调下降且非负，1a >，证明：()1k f k ∞=∑与1()k kk a f a ∞=∑有相同的敛散性。
证明：由积分中值定理有()()1k kk k faaξ∞+==-∑()()01kk k afa ξ∞==-∑ ，1,,k 0,1,k k ka aξ+⎡⎤∈=⎣⎦。
