中值定理及其应用课件

即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x 0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式

魏尔斯特拉斯逼近定理
魏尔斯特拉斯逼近定理是中值定理中的一种，它指出任何连续函数都可以中值定理是中值定理中的一种，它描述了函数在一个区间内存在某个点，该点处的瞬时变化率等于该区间 平均变化率的值。
柯西中值定理
柯西中值定理是中值定理中的一种，它更具有一般性，适用于实数区间和复 数区间上的函数。它指出了当两个函数经过某个点处函数值相等时，这两个 函数在某个点处的导数也相等。
《中值定理》PPT课件
欢迎来到本次关于《中值定理》的PPT课件。在这个课件中，我们将深入探讨 中值定理的定义、数学表述、证明以及应用，并比较三种不同中值定理之间 的异同。接下来，让我们开始吧！
什么是中值定理
中值定理是微积分中的重要定理之一，它研究函数在一个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。它包括三 种不同的定理，分别是魏尔斯特拉斯逼近定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
总结
通过比较三种不同中值定理的异同，我们能更好地了解它们在解决不同问题 时的特点和适用范围。中值定理在微积分、数学物理以及其他领域都有广泛 的应用。继续深入学习中值定理，将为你的数学知识打下坚实的基础。

那么在(a,b)内至少有一点 使等式
f (b) f (a) f ' ( ) 成立 F (b) F (a) F ' ( )
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
[
6
,
5
6
]的正确性
解：y ln sin x在[ , 5 ]上连续
66
y ln sin x在( , 5 )上可导
66
lim 2 cos3x 3 1 x0 3 cos2x 2
例6：求
lim
x
xn ex
(n 0, 0)
解：lim xn lim n xn1 lim n (n 1) xn2
e e x x x
x x
2 ex
lim n! 0
x n ex
例7：求 lim x sin x
且f ( ) ln 1 f (5 )
6
2
6
又
y'
c os x
ctgx
令
0
x
(
, 5 )sin x源自2 662罗尔定理正确
例2：证明arctgx arcctgx
2
证 : (arctgx arcctgx)' 1 1 0 1 x2 1 x2
arctgx arcctgx c
取x 1 c c
若f (x)是一般的函数，且它存在直到n 1 阶的导数，那么
n
f (x)
f (k) (a) (xa)k ?
k 0 k!
泰勒（Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个

积分中值定理在实数理论中有重要应用， 如证明实数的连续性、稠密性等性质。
在其他数学领域的应用实例
复变函数
积分中值定理在复变函数中有广泛的应用， 如在解决柯西积分公式、留数定理等问题时 起到关键作用。
概率论与数理统计
积分中值定理在概率论与数理统计中有重要 应用，如在计算期望、方差等统计量时起到 关键作用。
03
综上所述，积分中值定理是一个具有 重要性和意义的数学定理。在未来的 研究中，我们需要进一步深入探索其 应用范围和条件，并尝试将其应用于 更广泛的领域，以推动数学和其他学 科的发展。
THANKS
感谢观看
利用微积分基本定理证明积分中值定理
总结词
通过利用微积分基本定理和函数的单调性，证明积分中值定理。
详细描述
首先，我们选取一个连续函数$f(x)$，并设其在区间$[a, b]$上非负且不恒为零。然后 ，我们证明函数$F(x) = int_{a}^{x}f(t)dt$在$[a, b]$上单调增加。由于$F(x)$单调增加 ，存在一个点$c in (a, b)$使得$frac{F(b) - F(a)}{b - a} = f(c)$。最后，我们得出结论
对积分中值定理未来的研究方向和展望
01
积分中值定理的研究已经取得了丰硕 的成果，但仍有许多值得探索的问题 。例如，对于更一般的函数空间和更 复杂的积分问题，如何应用积分中值 定理进行有效的处理？这需要我们进 一步深入研究积分中值定理的适用范 围和条件。
02
随着数学和其他学科的不断发展，积 分中值定理的应用领域也在不断扩大 。未来，我们可以尝试将积分中值定 理应用于更广泛的领域，如金融、经 济、生物等，以解决实际问题。同时 ，我们也可以探索积分中值定理与其 他数学理论的交叉应用，以推动数学 的发展。

x x0 x x0
(2) f , g在( x0 , x0 )可导 , 且g( x) 0,
f ( x ) ( 3) lim a , ( a 为 有 限 实 数 或 无 穷 大 ) x x0 g( x )
0 ( ) 0
f ( x ) f ( x) lim a . 则 ： lim x x x x0 g ( x ) 0 g( x )
在[0, x0 ]上连续, 在(0, x0 )上可导, 且
F (0) F ( x0 ) 0, 则根据 Rolle 定理
(0, x0 ), 使
n n1 F ( ) (a0 x a1 x an1 x )
[na0 x
n1
a1 (n 1) x
f (a ) k f (a ) f (b) f (b) k G (a ) G (b) a b ab
8
因此 (a, b), 使
f ( x) k G( ) 0 x x f ( ) ( f ( ) k ) 即 0 2
16
证 由条件(1)， 若f ( x)在x0点不连续 , 只要
补充定义 : f ( x0 ) g( x0 ) 0, 则 f , g 均在
又 g( x ) 0, 因而 f , g满足Cauchy中值定理
且在( x0 , x0 )内可导， [ x0 , x0 ]上连续，
即有
洛
1 x (k ) 1 (k 3,4,, n) ak (e ) 归纳地可得： k! k! x 0
24
于是所求的 n 次多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x 1 2 1 n 1 x x x 2! n! 1 2 1 n n x 1 x x x o ( x ) 而 f ( x) e 2! n! f (0) 2 f ( n ) ( 0) n n f ( 0) f ( 0) x x x o( x ) 2! n!

物理学
在物理学中，中值定理被用于解释和预测流体动力学、 电磁学等领域的现象，为物理学家提供了重要的工具。
中值定理的未来研究方向
深化理解
未来研究中，需要进一步深化对中值定理的理解，探索其在数学和其他领域中的更多应用。
交叉学科应用
鼓励跨学科的研究，将中值定理与其他数学分支或其他领域的知识相结合，开拓新的应用领域。
拉格朗日中值定理
如果一个函数在闭区间上连续，开区 间上可导，则存在至少一个点，使得 在该点的导数等于函数在该区间内平 均变化率的乘积。
在微分学中的应用
泰勒中值定理
任何在闭区间上连续的函数都可以用多项式 函数来近似，多项式的阶数取决于所要求的 精度。
柯西中值定理
如果两个函数在闭区间上连续，开区间上可 导，且在区间两端取值相等，则至少存在一 个点，使得两个函数在该点的导数之比等于 它们在该区间内平均变化率的比值。
中值定理应用
目录
CONTENTS
• 中值定理简介 • 中值定理的应用场景 • 中值定理在数学分析中的应用 • 中值定理在其他领域的应用 • 中值定理的最新研究进展
01 中值定理简介
中值定理的定义
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连 续，在开区间(a,b)上可导，且 $f(a)=f(b)$，那么在开区间(a,b)内至 少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。
中值定理在数学研究中的新进展
新的证明方法
近年来，数学家们不断探索中值定理的新证明方法， 使得定理的证明更加简洁明了，有助于加深对中值定 理的理解。
扩展到高维空间
随着数学的发展，中值定理的应用范围逐渐扩展到高 维空间，为解决高维数学问题提供了新的思路和方法 。

a. 证明f(x)在区间[a,b]上连续 b. 证明f(x)在(a,b)内可导 c. 利用极限的定义证明柯西定理
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解

b a , a b.
注 例3中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当
0 a b 和 a b 0时, 显然不为零, 严格不等
式成立.
罗尔定理与拉格朗日定理
当 a 0 b 时，
存在 1 (0, b), 2 (a , 0), 使得
arctan b arctan a arctan b arctan 0 arctan 0 arctan a
x x0
x x0
罗尔定理与拉格朗日定理
证 分别按左右极限来证明.
(1) 任取 x U ( x0 ), f ( x ) 在 [ x0 , x] 上满足拉格朗日
定理条件， 则存在 ( x0 , x ), 使得
f ( x ) f ( x0 ) f ( ). x x0
多项式, 所以 p( x )在[x1 , x2 ]上满足罗尔定理的条件，
从而存在 (a, b), 使得 p( ) 0, 这与条件矛盾. 又若 p( x ) 有一个 k 次重根 x0 , 则
p( x ) ( x x0 )k p1 ( x ), k 2.
( x ), 因为 p( x ) k ( x x0 )k 1 p1 ( x ) ( x x0 )k p1
3.若 f (x) 在(a, b) 上可微, [a, b] 上连续, 则对于任意
x (a , b], 存在 (a , x ), 使
f ( x ) f (a ) f ( )( x a ),
当 x a 时, 必有 a . 从等式
由于x0 x , 因此当x x0 时，随之有 x0 ,
对上式两边求极限，便得
f ( x ) f ( x0 ) lim lim f ( ) f ( x0 0). x x0 x x0 x x0

拉格朗日中值定理的应用
思考1:
假设F ( x)定义在a, 上,具有n阶导数,满足
1 F (a) F (a) F n1 (a) 0; 2 x a, , F n ( x) 0. 证明:x a, , F ( x) 0.
思考2:
设f x为非常值非线性函数，在
[a, b]上可导，则 (a, b),使得 f ( ) f (b) f (a)
h
注 以 3为例,中值 h是关于h的函数为隐函数.
6
拉格朗日中值定理的应用
应用例题1 证明不等式：x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
分析: x ln(1 x) x 1 ln(1 x) ln1 1.
1 x
1 x
x
证明: 考虑函数f (t ) ln(t), f (t )在[1,1 x]上连续,
A
N
f (a) f (b).
直线AB的方程：
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
f
x
f
(a
)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a)
F(x)
F ( x)在a, b两端点的函数值相等.
B
D
2 b x
3
拉格朗日中值定理
f
x
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
则对x
R,
1 x2
f
( x)
1 1 x2
1 x2
1 1 x2
1 x2 x2
1 x2 1 x2
0.
由拉格朗日定理的推论知f ( x) C .又f (0) 0,故等式成立.

及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
即
2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
y
f
(t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
例4. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设 F (x) x2, 则 f (x), F(x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使