2015-2016学年广州市海珠区高二数学第二学期期末考试模拟试题

2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、选择题:本大题共10小题，每小题5分.1。

已知集合M =-1,0,1{}，{}xxx N ==2|,则M ÇN =（）A.1{} B 。

0,1{} C 。

-1,0{} D 。

-1,0,1{}2.已知等比数列a n{}的公比为2，则a 4a 2值为（）A. 14B 。

12C 。

2 D.43。

直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直,则l 的方程是()A.2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0 C 。

3x -2y -7=0 D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是(）A.-1,0() B 。

0,1() C.1,2() D 。

2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是(）BD6.要完成下列两项调查：(1）某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是(）A 。

（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法C 。

(1)用分层抽样法,（2）用简单随机抽样法 D.(1）(2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（)A. 3 B 。

1 C 。

1- D 。

5- 8。

某几何体的三视图及其尺寸图,则该几何体的体积为（）A. 6 B 。

9 C 。

12 D. 18 9。

函数f x ()=12-cos2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A 。

2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC.k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D.k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（)A 。

2015-2016学年广东实验中学等高二（下）期末考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2{|3280}B x x x =+-≤，则A B = （ ） A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 【答案】D【解析】试题分析：由于42,3B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故[]2,6A B ⋃=-．【考点】1．集合交集、并集和补集；2．一元二次不等式．【易错点晴】确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系． 2．若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 【答案】B【解析】试题分析：22125z z ⋅=+=，故451ii =-． 【考点】复数运算．3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：依题意正态分布均值2μ=，故24,3c c c +-==． 【考点】正态分布．4．已知实数,x y 满足1x ya a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y >++B ．22ln(1)ln(1)x y +>+ C ．sin sin x y > D ．22x y > 【答案】A【解析】试题分析：由于1x y a a <<且01a <<，所以222222110,,11,11x y x y x y x y >><+<+>++． 【考点】不等式．5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ）A ．24B ．96C ．144D ．210 【答案】B【解析】试题分析：如果1,2连，方法数有4424A =中，同理其它连的方法也有24种，故中的方法数有24496⋅=种． 【考点】排列组合．6．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A．3-．3+【答案】C【解析】试题分析：因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q=+，2210q q --=，1q =，故()278291078783a a qa a q a a a a ++===+++【考点】等差、等比数列的基本概念．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图分析可知，程序框图的作用是计算()333332log 2log 2log log 22n n --+=<+，即21,1428n n <>+，即15n =．由于程序运行时先1n n =+再进行循环的判断，故取16n =． 【考点】算法与程序框图．8．已知函数()sin()f x x ϕ=-且2πϕ<，又230()0,f x d x π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【答案】A【解析】试题分析：由于()2300f x dx π=⎰，即()f x 图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()sin 0,33f x ππϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()sin()3f x x π=-，代入选项验证可知A 正确．【考点】1．定积分；2．三角函数图象与性质．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m ），则该四棱锥的体积为（ ）m 3A ．4B ．73C ．3D ．2 【答案】D【解析】试题分析：底面积为212⋅=，高为3，故体积为12323⋅⋅=． 【考点】三视图．10．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．3 C ．94 D ．53【答案】D【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，前两项平方相减得224949mn b a ab =-=，两边除以2a 得249940,3b b b a a a ⎛⎫-⋅-== ⎪⎝⎭，故53e ==．【考点】双曲线离心率．【思路点晴】求解圆锥曲线的离心率问题，主要考虑方程的思想、圆锥曲线的定义，如椭圆的定义是点到两个定点的距离之和等于常数，并且常数大于两个定点的距离．双曲线是点到两个定点的距离之差的绝对值为常数．本题依题意 有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，由此解方程组求得43b a =，进而求出离心率．有的题目还需要结合222a bc =+，或者222c a b =+来求解．11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ，且((0)0)S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A 选项正确． 【考点】函数图象与性质．12．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)2,0(C ．),0(+∞D ．),1(+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln .11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭11x >，【考点】1．分段函数；2．函数导数与不等式．【思路点晴】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 的坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，把面积用1x 表示后，可得面积的取值范围．本题的求解是根据题意按部就班一步一步解得结论，这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-= ；则_____b = ．【答案】【解析】试题分析：2222244410a b a a b b b -=-⋅+=-+= ，解得b =【考点】向量运算．14．72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)． 【答案】0【解析】试题分析：系数为061524272727742350C C C C C C -⋅+⋅=-+=．【考点】二项式定理．15．记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：画出可行域和直线图象如下图所示，注意到直线过定点()1,0-．由图象可知，斜率的取值范围在,AB AC k k 之间，1,42AB AC k k ==，所以取值范围是1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点】线性规划．【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理．线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．16．在平面内，定点A 、B 、C 、D 满足：==，2-=⋅=⋅=⋅，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则BM的最大值是 ． 【答案】72【解析】试题分析：依题意可知，,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，且AOB AOC BOC ∠=∠=∠ 23π=，故222cos 2,4,23R R R π=-==．由题意可知，P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，各点的坐标分别为()2,0A，(1,B -，(C -，依题意P 在圆()2221x y -+=上，设其坐标为()2cos ,sin P θθ+，故1c 3s i n()2M θ+，3cos sin ,22BM θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2223cos sin 22BM θθ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3712sin 49644πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≤，BM 最大值为72．【考点】向量运算．【思路点晴】本题美妙的考查了向量的几何意义、向量的数量积，数形结合的思想、圆的参数方程，中点坐标公式，两点间的距离公式，三角函数求最值．题目的突破口在于三个向量模相等，并且两两的数量积相等，由此可知,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，由此计算出圆的半径．根据1PA =，实际上P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．先设出P 点的参数方程，然后一步一步求出BM的表达式最终求得其最大值．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知c o s (c 3s i n )c o sC A A B +=． （1）求角B 的大小； （2）若1b c ==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=；（2【解析】试题分析：（1）利用sin sin()C A B =+，化简题目给定的已知条件，得到tan B =3B π=；（2）用余弦定理求出2a =，再利用三角形面积公式求得面积． 试题解析：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B =⇒=因为0B π<< 所以3B π=（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a =所以11sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【考点】解三角形．18．正项数列{}n a 的前项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明:对于任意的*n N ∈，都有564n T <． 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）对222(1)()0n n S n n S n n -+--+=因式分解得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，20,n n S S n n >=+，再根据公式11,1,1n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩求得2n a n =；（2）将2n a n =代入得222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦，利用裂项求和法求得()()221111511646412n T n n ⎡⎤=+--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦． 试题解析：（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦．由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+． 当1n =时，112a S ==当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=． 综上可知，数列{}n a 的通项公式2n a n =． （2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+． 所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦． 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦． 【考点】1．数列求通项；2．裂项求和法．19．为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望．附:2K ＝2()n ad bc - 【答案】（1）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，2．【解析】试题分析：（1）利用公式计算得22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，故有99%把握；（2）X 的可能取值为0,1,2,3，且X 满足二项分布2~(3,)3X B ，由此求得分布列和期望． 试题解析：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． （2）X 的可能取值为0，1，2，3 271)31()0(3===X P ，92)31)(32()1(213===C X P94)32)(31()2(223===C X P278)32()3(3===X P所以的分布列为：因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= 【考点】1．独立性检验；2．二项分布．20．已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，12EF DE BD ==，2BD BC CD =====，DE BC ⊥．A BCDEF（1）求证：DE ABCD ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）第一问利用面面垂直的性质定理来证明，连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD = AC BD ∴⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BD EF ，DE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥，又D E B C ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面A B C D ；（2）以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面AEF 与平面CEF 的法向量来求二面角的余弦值． 试题解析：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEFDE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面ABCD （2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形 //,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A - 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(1,0,1)m = 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =， 由00n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,n =所以cos ,m n m n m n⋅<>==即平面AEF 与平面CEF【考点】空间向量法求面面角的余弦值．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =且其中一个焦点与抛物线214y x=的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）存在一个定点()1,0T 满足条件． 【解析】试题分析：（1）注意到焦点在y 轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，依题意2c a =，焦点为()0,1，求得椭圆方程为2212y x +=；（2）若直线l 与x 轴重合则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，这两个圆都过()1,0T ．当直线l 不垂直于x轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线的方程和椭圆的方程，计算得0TA TB ⋅= ，故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率2c e a ==，又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ∴椭圆C 的方程是2212y x +=． （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0． 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=．设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=TA TB ∴⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T ．故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】第一问中，题目给了两个条件，一个是离心率为2c e a ==，另一个条件是过抛物线的焦点．通过分析可以知道，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以椭圆的交点也在在y 轴的正半轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>．在求圆锥曲线方程的时候，要特别注意题目中隐藏的焦点所在位置的条件． 22．已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB 平行，求证：2213x x x +<． 【答案】（1）当0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；（2）e a 2≤；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）先求得定义域0x >，然后求导xa x x x a x f +-=-=2'22)(，对a 分成两类来讨论()f x 的单调区间；（2）当1x >时，2()ln 0f x a x x =-≤等价于2ln x a x ≤，令()2ln x h x x=，利用到处求得()2h x e ≥，故2a e ≤；（3）先求得直线AB的斜率332AB ak x x =-，∵x x a x f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证2ln 11121212>-+x x x x x x ，令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立，最后通过构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t t F 来证明．试题解析：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xax x x a x f +-=-=2'22)(；当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数；当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a 上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数； 综上所得， 0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a ； （2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞， ∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意；当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意； ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ， 即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； 综上所得，a 的取值范围是e a 2≤；（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>， 即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x 令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立 令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立， 即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证． 【考点】1．函数导数与单调区间；2．函数导数与不等式．【方法点晴】本题第一问考查分类讨论函数的单调性，导数为xax x x a x f +-=-=2'22)(，我们观察它的分子，分子是一个二次函数，且开口向下，那么单调区间只要分成两类就可以解决．分类讨论的问题，关键在于如何得到完整的分类标准．二次函数的分类标准主要在于二次项系数、对称轴、两个根的大小关系．制定分类标准要做到不重不漏．。

广东省广州市执信中学2021 -2021学年高二数学下学期期末考试试题 文〔含解析〕一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.〕 1.设集合{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，那么A B =〔 〕A ．{0,1,2,3}B ．{0,3}C ．{}3,2,1D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，得{}3,2,1=⋂B A ，应选C. 考点：交集运算.2.i 是虚数单位，那么(2)(3)i i ++=〔 〕A ．55i -B ．55i +C ．75i -D ．75i + 【答案】B 【解析】试题分析：()()i i i 5532+=++,应选B. 考点：复数运算.3.先后抛掷质地均匀硬币三次，那么至少一次正面朝上概率是〔 〕A ．18 B ．38C ．58D ．78【答案】D考点：互斥事件与对立事件.0:1p x ∃>，使得20210x x -+-≥，那么p ⌝为〔 〕 A ．1x ∀>，使得2210x x -+-≤ B ．01x ∃>，使得200210x x -+-< C ．1x ∀>，使得2210x x -+-< D ．1x ∀≤，使得2210x x -+-< 【答案】C 【解析】试题分析：由特称命题否认是全称命题可得：命题0:1p x ∃>，使得200210x x -+-≥否认为1x ∀>，使得2210x x -+-<，应选项为C.考点：全称命题与特称命题否认.5.如下图，一个空间几何体正视图与侧视图都是边长为1正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体外表积是〔 〕A ．πB ．32πC ．2πD ．52π【答案】B 【解析】考点：由三视图求面积、体积.n S 为等比数列{}n a 前n 项与，2580a a +=，那么52S S =〔 〕 A ．11 B ．5 C ．-8 D ．-11 【答案】D试题分析：设公比为q ，由2580a a +=，得08322=⋅+q a a ，解得2-=q ，所以．应选D ．考点：等比数列前n 项与.sin ()y x x R =∈图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点横坐标伸长到原来2倍〔纵坐标不变〕，得到图象函数表达式为〔 〕 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】8.函数图象大致为〔 〕 【答案】A 【解析】试题分析：令，∵()()()x f xx x f xx x x -=-=--=---226cos 226cos ，∴函数为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除C ，D ；又当+→0x ，+∞→y ，故可排除B ；应选A ．考点：〔1〕余弦函数图象；〔2〕奇偶函数图象对称性.111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 中心，那么AD与平面11BB C C 所成角大小是〔 〕A ．030B ．045C ．060D ．090 【答案】C 【解析】考点：空间中直线与平面之间位置关系.,a b ，定义a b ⊗算法原理如程序框图所示，设a 为函数223()y x x x R =-+∈ 最小值，b 为抛物线28y x =焦点到准线距离，那么计算机执行该运算后输出结果是〔 〕A ．23B ．32C ．72D ．12【答案】B 【解析】【思路点晴】此题主要考察了选择构造，根据流程图分析出计算类型是解题关键，属于根底题．分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是计算并输出分段函数函数值，由可求函数223()y x x x R =-+∈最小值2=a ，抛物线28y x =焦点到准线距离4=b ，即可得解．12,e e 对任意实数λ都有，那么向量12,e e 夹角为〔 〕A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C 【解析】试题分析：设单位向量12,e e 夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即θλθ2cos 41222212221e e e e -+≤++，即θλλθcos 21cos 4112-+≤++，即0cos 41cos 22≥⎪⎭⎫⎝⎛+--θθλλ恒成立，∴0cos 414cos 42≤⎪⎭⎫⎝⎛++=∆θθ，整理可得，再由可得，∵[]πθ,0∈，∴应选：C.考点：数量积表示两个向量夹角.R 函数()f x 对任意x 都有(2)(2)f x f x +=-，且其导函数'()f x 满足，那么当24a <<，有〔 〕A ．2(2)(log )(2)a f f a f <<B ．2(log )(2)(2)a f a f f <<C ．2(2)(2)(log )a f f f a <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f << 【答案】A 【解析】【方法点晴】此题主要考察了导数运算，以及奇偶函数图象对称性与比拟大小，同时考察了数形结合思想，该题有一定思维量，属于根底题之列．先根据条件求出函数对称轴为2=x ，根据x -2符号，再求出函数单调区间，然后判定2、a 2log 、a 2大小关系，根据单调性结合图象比拟()2f 、()a f 2log 、()a f 2大小即可．第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13.双曲线渐近线方程为____________. 【答案】x y 3±= 【解析】试题分析：令方程右边为0，得，即x y 3±=，故答案为x y 3±=. 考点：双曲线性质.ax y e =在点(0,1)处切线与直线310x y ++=垂直，那么a =___________.【答案】3 【解析】()f x 在某点()00,y x 处切线步骤：①对()f x 求导；②求()0x f '值；③利用点斜式得到切线方程()()000x x x f y y -'=-，结合与直线310x y ++=垂直，利用斜率之积为1-，得结果.15.假设变量,x y 满足约束条件，且2z x y =+最小值为6-，那么k =____________.【答案】2- 【解析】试题分析：作出不等式对应平面区域，〔阴影局部〕由y x z +=2，得z x y +-=2，平移直线z x y +-=2，由图象可知当直线z x y +-=2经过点A时，直线z x y +-=2截距最小，此时z 最小．目标函数为62-=+y x ，由，解得，即()2,2--A ，∵点A 也在直线k y =上，∴2-=k ， 故答案为：2-． 考点：简单线性规划.16.对大于或等于2自然数3次方可以做如下分解：33235,37911=+=++，3413151719=+++，根据上述规律，310分解式中，最大数是____________. 【答案】109 【解析】【方法点晴】归纳推理一般步骤是：〔1〕通过观察个别情况发现某些一样性质；〔2〕从一样性质中推出一个明确表达一般性命题〔猜测〕．注意观察各个数分解时特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续奇数之与；当底数是3时，可以分解成三个连续奇数之与．那么当底数是4时，可分解成4个连续奇数之与，进而求出32到310分解式用奇数个数，进而求出答案．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. 〔1〕求数列{}n a 通项公式； 〔2〕设，求12310b b b b ++++值.【答案】〔1〕2+=n a n ；〔2〕3910. 【解析】〔2〕∵2n a n =+，∴11111(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-++++ 考点：〔1〕等差数列通项公式；〔2〕数列求与. 18.〔本小题总分值12分〕空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够浓护问题.当空气污染指数〔单位：3/g m μ〕为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：〔1〕根据所给统计表与频率分布直方图中信息求出,x y 值，并完成频率分布直方图；〔2〕在空气污染指数分别为50~100与150~200监测点中，用分层抽样方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A “两个都为良〞发生概率是多少？ 【答案】〔1〕100x =，35y =；〔2〕53. 【解析】频率分布直方图如下图：19.〔本小题总分值12分〕如图，直角三角形ABC 中，060A =，沿斜边AC 上高BD ，将ABD ∆折起到PBD ∆位置，点E 在 线段CD 上.〔1〕求证：PE BD ⊥；〔2〕过点D 作DM BC ⊥交BC 于点M ，点N 为PB 中点，假设//PE 平面DMN ，求DEDC值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕31. 【解析】【方法点晴】此题考察了空间中平行与垂直关系应用问题，也考察了空间想象能力与逻辑推理能力应用问题，是综合性题目．在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直，然后得到线线垂直，线线垂直与线面垂直之间互化是在证明垂直过程中常用手段；在第二问中首先根据线面平行性质定理，得到//PE NF ，根据长度与角关系得到DEF ∆是等边三角形，可得解. 20.〔本小题总分值12分〕如图，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点〔点M 在点N 下方〕，且 〔1〕求圆C 方程；〔2〕过点M 任作一条直线与椭圆相交于两点,A B ，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠=∠.【答案】〔1〕22525(2)()24x y -+-=；〔2〕证明见解析.【解析】考点：直线与圆方程应用.【方法点晴】此题考察了圆方程求法及圆锥曲线与直线交点问题，化简比拟复杂，通过根与系数关系简化运算，要细心，属于中档题．第一问中利用常见弦长一半，圆半径以及圆心到弦距离构成直角三角形，从而求得圆方程；第二问中把角相等转化为两直线斜率之与为0,通过联立直线方程与椭圆方程，根据维达定理，利用整体代换得到结果. 21.〔本小题总分值12分〕 函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. 〔1〕求函数()f x 极值；〔2〕假设对于任意[1,2]a ∈，假设函数23'()[2()]2x g x x m f x =+-在区间(,3)a 上有最值，求实数m 取值范围.【答案】〔1〕当0a <时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极大值，无极小值；〔2〕. 【解析】∴()f x 在(0,)+∞单调增，()f x 无极值； 当0a >时， 由得：，那么得：，∴()f x 在上单调递增，在上单调递减. ∴()f x 极大值，无极小值. 综上：当0a <时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，无极小值.〔2〕23'32()[2()]()22x m g x x m f x x a x x =+-=++-， 考点：〔1〕利用导数研究函数单调性；〔2〕导数在最大值、最小值问题中应用.【方法点晴】此题是个中档题．考察利用导数研究函数单调性与最值问题，表达了对分类讨论与化归转化数学思想考察，特别是问题〔2〕设置很好考察学生对题意理解与转化，创造性分析问题、解决问题能力与计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++•-=+-<恒成立，利用别离参数得解.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.解答时请写清题号.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 直径，AC 是弦，BAC ∠平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F .〔1〕求证：DE 是圆O 切线；〔2〕假设060CAB ∠=，圆O 半径为2，1EC =，求DE 值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕DE =【解析】考点：与圆有关比例线段.23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l参数方程为〔t为参数〕，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆=.C极坐标方程为ρθ〔1〕写出圆C直角坐标方程；〔2〕P为直线l上一动点，当P到圆心C距离最小时，求P直角坐标.【答案】〔1〕22+-=；〔2〕(3,0).(3x y【解析】〔2〕设，又C，那么PC==故当0t=时，PC取得最小值，此时P点坐标为(3,0)考点：〔1〕点极坐标与直角坐标互化；〔2〕直线与圆位置关系.。

2015-2016学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则=（）A． B．C．3﹣i D．3+i2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．演绎推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．以上均不对3．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段 B．直线 C．圆D．射线4．阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．123 B．38 C．11 D．35．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，）A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关6．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数7．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．28．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．09．已知点M的极坐标是（2，），则点M的直角坐标是（）A．（1，﹣）B．（﹣1，）C．（，﹣1）D．（﹣，1）10．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．12．已知f（x）=x2，g（x）=﹣m，若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将正确答案填在答题卡上．13．若f（x）=x2+bx（x∈R）为偶函数，则b= ．14．已知复数z1=1+2i，z2=2+i，则|z2﹣z1|= ．15．函数f（x）=x3﹣3x2+4在x= 处取得极小值．16．在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．17．已知函数若f（x）=2，则x= ．18．已知圆A：x2+y2=1在伸缩变换的作用下变成曲线C，则曲线C的方程为．19．如图程序框图中，输出的A的值是．20．如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到255个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为．三、解答题：本大题共5小题，每小题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上．（Ⅱ）试预测广告费用支出为10个百万元时，销售额有多大？22．，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．23．首届亚洲通航展于2015年10月28日在珠海盛大开幕，航展吸引了十多万名专业游客，三十多万大众游客，航展餐饮中心为了了解游客的饮食习惯，在参与航展的游客中进行抽样调查，调查结果如表所示（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“广东游客和非广东游客在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的广东游客中有5人是珠海游客，其中2人喜欢甜品，现在从这5名珠海24．已知直线l的参数方程是，圆C的极坐标方程为ρ=8cosθ．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．25．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R，x＞0）（1）若函数f（x）与x轴相切，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．2015-2016学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则=（）A． B．C．3﹣i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】分子分母同乘分母的共轭复数1﹣i即可求解．【解答】解：．故选A．2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．演绎推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．以上均不对【考点】类比推理．【分析】本题考查的是归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，从金、银、铜、铁等都是金属，归纳出一切金属的一个属性：导电，此推理方法是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理．故选B．3．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段 B．直线 C．圆D．射线【考点】参数方程化成普通方程．【分析】将t2=y+1，代入x=3t2+2，即可求得x=3y+5（x≥2），即可判断曲线的类型．【解答】解：消去参数t，得x=3y+5（x≥2），故是一条射线，故选：D．4．阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．123 B．38 C．11 D．3【考点】程序框图．【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序．【解答】解：根据程序框图，模拟程序的运行，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11，故选：C．5．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，）A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关【考点】独立性检验．【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P（k≈9.643＞7.879）=0.005，可得结论．【解答】解：∵k≈9.643＞7.879，P（k≈9.643＞7.879）=0.005∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．故选：D．6．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数【考点】反证法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，故选C．7．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）等于（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2【考点】函数的值；导数的运算．【分析】先求出导函数，令导函数中x=1求出f′（1），将f′（1）代入导函数，令导函数中的x=0求出f′（0）．【解答】解：∵f（x）=x2+2x•f'（1），∴f′（x）=2x+2f′（1）∴f′（1）=2+2f′（1）解得f′（1）=﹣2∴f′（x）=2x﹣4∴f′（0）=﹣4故选B8．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，【考点】回归分析．【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．【解答】解：∵点在回归直线上，计算得，∴回归方程过点（2，4.5）代入得4.5=0.95×2+a∴a=2.6；故选B．9．已知点M的极坐标是（2，），则点M的直角坐标是（）A．（1，﹣）B．（﹣1，）C．（，﹣1）D．（﹣，1）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由点M的极坐标是（2，）得出ρ=2，θ=，根据x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ，求出点M的直角坐标．【解答】解：∵点M的极坐标是（2，），∴ρ=2，θ=∴x=ρ•cos θ=2=1，y==﹣∴点M 的直角坐标是（1，﹣）．故选：A ．10．函数 f （x ）=（x 2﹣2x ）e x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f （x ）=0，解得x 2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f （x ）有两个零点，∴A ，C 不正确．∴f'（x ）=（x 2﹣2）e x ，由f'（x ）=（x 2﹣2）e x ＞0，解得x ＞或x ＜﹣．由f'（x ）=（x 2﹣2）e x ＜0，解得，﹣＜x ＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D 不成立，排除D ．故选：B11．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则R=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C ．12．已知f（x）=x2，g（x）=﹣m，若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g （x2），则m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据题意，问题转化为s∈[﹣1，3]，t∈[0，2]时，f（s）min≥g（t）min；求出对应的最小值，再解不等式即可．【解答】解：∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），等价于s∈[﹣1，3]，t∈[0，2]，f（s）min≥g（t）min；当s∈[﹣1，3]时，f（s）min=f（0）=0；当t∈[0，2]时，，所以，解得，所以m的取值范围是[，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将正确答案填在答题卡上．13．若f（x）=x2+bx（x∈R）为偶函数，则b= 0 ．【考点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质．【分析】由条件可得f（﹣x）=f（x），由此求得b的值．【解答】解：∵函数为偶函数，∴满足f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）2+b（﹣x）=x2+bx，∴b=0．故答案为：0．14．已知复数z1=1+2i，z2=2+i，则|z2﹣z1|= ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的减法法则进行运算，结合复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=2+i，∴z2﹣z1=2+i﹣（1+2i）=1﹣i，则．故答案为：15．函数f（x）=x3﹣3x2+4在x= 2 处取得极小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导数，求出单调区间，由极小值的定义，即可得到．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x2+4的导数f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故x=2处的导数左负右正，则x=2为极小值点．故答案为：216．在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于 1 ．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为：1．17．已知函数若f（x）=2，则x= log32 ．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．【解答】解：由⇒x=log32，无解，故答案：log32．18．已知圆A：x2+y2=1在伸缩变换的作用下变成曲线C，则曲线C的方程为．【考点】伸缩变换．【分析】本题直接利用伸缩变换，得到坐标的变化关系，再通过代入法求出所得曲线的方程．【解答】解：在圆A：x2+y2=1上任取一点P（x，y），在伸缩变换作用后，得到曲线C上对应的点坐标为P′（x′，y′）．∵伸缩变换，∴，∵x2+y2=1，∴．即所得曲线的方程为：．故答案为：．19．如图程序框图中，输出的A的值是．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟运行直到不满足条件为止，从而得解．【解答】解：根据题意有，在运行的过程中，A=1，i=1第1次执行循环体，A=，i=2，满足条件i≤20，第2次执行循环体，，满足条件i≤20，第3次执行循环体，，i=4，满足条件i≤20，第4次执行循环体，，满足条件i≤20，…以此类推，就可以得出输出的A的通项公式是A n=，输出的是第21项，所以输出的结果为．故答案为：．20．如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到255个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为．【考点】等比数列的通项公式．【分析】推导出正方形个数{a n}是以首项为1，公比为2的等比数列，从而得到正方形个数为8，再推导出第一个正方形的边长{b n}是以为首项，公比为的等比数列，由此能求出最小的正方形的边长．【解答】解：设初始正方形个数为a1=1，依次得到a2=2，a3=4，每一个正方形都可以得到2个正方形，∴满足，是以首项为1，公比为2的等比数列，∴正方形个数的和为，解得n=8，第一个正方形的边长设为，然后满足，∴数列{b n}是以为首项，公比为的等比数列，∴，∴最小的正方形的边长为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，每小题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上．（Ⅱ）试预测广告费用支出为10个百万元时，销售额有多大？【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（Ⅱ）把所给的预测广告费用支出为10个百万元，代入线性回归方程，可得对应的销售额．【解答】解：（Ⅰ）∵，．…y i所以．…（式子，结果3分）．…因此，所求回归直线方程为．…（Ⅱ）由（1）可知当x=10百万元时，（百万元）．…即当广告费用支出为10百万元时，销售额为82.5百万元．…22．，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由f（x）计算各和式，得出结论然后归纳猜想，再证明一般性结论．【解答】解：∵，∴f（0）+f（1）=+==，同理可得：f（﹣1）+f（2）=，f（﹣2）+f（3）=．．证明：设x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=+==．23．首届亚洲通航展于2015年10月28日在珠海盛大开幕，航展吸引了十多万名专业游客，三十多万大众游客，航展餐饮中心为了了解游客的饮食习惯，在参与航展的游客中进行抽样调查，调查结果如表所示（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“广东游客和非广东游客在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的广东游客中有5人是珠海游客，其中2人喜欢甜品，现在从这5名珠海【分析】（1）提出假设H0：广东游客和非广东游客在选用甜品的饮食习惯方面无差异，在H0下，求出K2=4.761＞3.874，从而有95%的把握认为广东游客和非广东游客在选用甜品的饮食习惯方面有差异．（2）不妨记5名珠海游客为A、B、C、D、E，其中A、B喜欢甜品，则从5名游客中随机抽取3人，利用列举法能求出至多有1人喜欢甜品的概率．【解答】解：（1）提出假设H0：广东游客和非广东游客在选用甜品的饮食习惯方面无差异，在H0下，P（K2≥3.874）=0.05，而K2==4.761＞3.874，∴有95%的把握认为广东游客和非广东游客在选用甜品的饮食习惯方面有差异．（2）不妨记5名珠海游客为A、B、C、D、E，其中A、B喜欢甜品，则从5名游客中随机抽取3人，基本事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，至多有1人喜欢甜品的基本事件为ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共7种情况，故至多有1人喜欢甜品的概率．24．已知直线l的参数方程是，圆C的极坐标方程为ρ=8cosθ．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）将圆C的极坐标方程转化成普通方程，进而转化成圆的标准方程，即可求得圆心C的直角坐标；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理t1+t2=﹣（4+2）＜0，t1•t2=4＞0，根据直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）∵ρ=8cosθ，∴ρ2=8ρcosθ圆C的直角坐标方程为x2+y2=8x，∴（x﹣4）2+y2=16，圆心C为（4，0）┅┅┅┅4分（2）将直线l的参数方程直线l的参数方程是，代入x2+y2﹣8x=0，得（﹣t）2+（2+t）2﹣8（﹣t）=0，即t2+（4+2）t+4=0，┅┅┅┅8分令A，B对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣（4+2）＜0，t1•t2=4＞0，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4+2┅┅┅┅10分．25．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R，x＞0）（1）若函数f（x）与x轴相切，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（x0）=0，f′（x0）=0，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，通过讨论求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax，（a∈R，x＞0）∴f′（x）=﹣a，设切点为（x0，0），则，故，解得．┅┅4分（2），∵x＞0，a＞0，；，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a．②当≥2，即时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a．┅┅7分③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]是减函数．又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，┅┅9分∴当＜a＜ln2时，最小值是f（1）=﹣a；当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a．综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=﹣a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2﹣2a．。

2015-2016学年度第二学期期末测试高二数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合A ＝{x ｜－2＜x ＜1}，B ＝{x ｜0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{x ｜－1＜x ＜1} B ．{x ｜－2＜x ＜1} C ．{x ｜－2＜x ＜2} D ．{x ｜0＜x ＜1} 2．设复数z 满足（1－i ）z ＝2i ，则z ＝（ ）A ．－1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．1－i 3．已知命题:p x ∃∈R ，223x x ++=0，则p ⌝是（ ） A ．2,230x R x x ∀∈++≠ B ．2,230x R x x ∀∈++= C ．2,230x R x x ∃∈++≠ D ．2,230x R x x ∃∈++=4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知cos α＝－45，且α∈（2π，π），则tan （4π－α）＝ A ．－17 B ．－7 C ．17D ．7 6．若双曲线22213y x a －＝（a ＞0）的离心率为2，则a 等于（ ）A ．2B ．C ．32D ．1 7.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc ，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1CD ．2 8．下面框图表示的程序所输出的结果是（ ）A ．1320B ．132C ．11880D ．121 9．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何 体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π10．已知平面向量a ，b ，满足a ＝（1）,｜b ｜＝3，a ⊥（a －2b ），则｜a －b ｜＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．611．若圆C ：22x y ＋＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．612．各项不为零的等差数列{n a }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{n b }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线f（x）＝3x－x＋3在点P（1，3）处的切线方程是_________．14．已知{na}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝_________．15．已知定义在R上的偶函数()f x在[0,)+∞单调递增，且(1)0f=，则不等式(2)0f x-≥的解集是 .16.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD-，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC中，b＝2，cosC＝34，△ABC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin2A值．18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?参考数据：19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ； （Ⅱ）已知点P 在线段EF 上，EPPF＝2．求三棱锥E －APD 的体积．20．（本小题满分12分）已知曲线C 的方程是221mx ny ＋＝（m ＞0，n ＞0），且曲线C 过A （4，2），B3）两点，O 为坐标原点． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是曲线C 上两点，向量p ＝11），q x 2y 2），且p ·q ＝0，若直线MN 过（0，2），求直线MN 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝xe x m－．（Ⅰ）讨论函数y ＝f （x ）在x ∈（m ，＋∞）上的单调性； （Ⅱ）若m ∈（0，12]，则当x ∈[m ，m ＋1]时，函数y ＝f （x ）的图象是否总在函数g （x ）＝2x ＋x 图象上方?请写出判断过程．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交 CD 于点E ．（Ⅰ）求证：E 为CD 的中点； （Ⅱ）求EF ·FB 的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为6．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，求实数m 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x ＋6｜－｜m －x ｜（m ∈R ）． （Ⅰ）当m ＝3时，求不等式f （x ）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．2015-2016学年度第二学期期末测试 高二数学参考答案（文科）一、选择题1-5 DBABD; 6-10 DCAAB; 11-12 CD 二、填空题13.210x y -+=; 14.1-; 15 (,1][3,)-∞+∞；16 3. 17.解：（Ⅰ）因为3cos 4C =，且0C <<π，所以sin C =．因为1sin 2S a b C =⋅⋅， 得1a =． …………………6分（Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅所以c =由正弦定理，sin sin c aC A=，得sin A =所以cos 8A =．所以sin 22sin cos A A A =⋅=． …………………12分 18．解：(Ⅰ)2乘2列联表……………………………2分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635………………4分所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.………………5分(Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为M, ………………6分则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）,（a,d ）, （a, M ）, （b,c ）, （b,d ）,（b, M ）, （c, d ）, （c, M ）,（d, M ）.…………8分设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ，………………9分则事件A 所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （b,c ）, （b,d ）, （c, d ）,∴()63.105P A ==………………11分 所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35.………………12分19．解：(1)在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，1,AD DC CB ===120,o BCD ∠=∴ 2.AB = ∴2222cos60 3.o BD AB AD AB AD =+-⋅⋅=…………………2分 ∴222,AB AD BD =+∴.AD BD ⊥ ∵平面BFED ⊥平面,ABCD 平面BFED ⋂平面,ABCD BD =DE ⊂平面BEFD ，,DE DB ⊥ ∴,DE ABCD ⊥平面 …………………4分∴,DE AD ⊥又,DE BD D ⋂= ∴.AD BFED ⊥平面 …………………6分 （2）由（1）知BD ⊥平面,ADE …………………8分∵BD //EF , ∴,PE ADE ⊥平面且PE =…………………10分∴111||33239E APD P ADE ADE V V S PE --∆===⨯⨯=…………………12分20.解：（1）由题可得：1118211163m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4, 1.m n ==所以曲线C 方程为22y 4x 1.+= ........4分（2）设直线MN 的方程为23+=kx y ，代入椭圆方程为1422=+x y 得：221(4)0.4++-=k x ∴441,43221221+-=+-=+k x x k k x x ， …………6分 ∴p q ⋅=u r r1122(2,)(2,)x y x y ⋅=042121=+y y x x …………8分 ∴0434)3(23441412222=++-⋅++-++-k k k k k k …………10分 即2,022±==-k k ................12分21.（本小题满分12分）解：（1）'22()(1)(),()()----==--x x x e x m e e x m f x x m x m '(,1)()0x m m f x ∈+<当时，，'(1,)()0x m f x ∈++∞>当时，，所以()∞f x m m m 在(,+1)上单调递减，在（+1,+）上单调递增..…………4分 （2）由（1）知()f x m m 在(,+1)上单调递减，所以其最小值为1(1)m f m e ++=.因为1(0,]2m ∈，()g x 在[,1]x m m ∈+最大值为2(1) 1.+++m m …………6分所以下面判断(1)f m +与2(1)1m m +++的大小，即判断x e 与x x )1(+的大小，其中311,.2⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦x m 令x x e x m x )1()(+-=，12)('--=x e x m x ，令'()()h x m x =，则'()2,=-x h x e'()20x x e =->，)('x m 单调递增；…………8分所以03)1('<-=e m ，04)23(23'>-=e m 使得012)(00'0=--=x e x m x所以)(x m 在()0,1x 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0x 单调递增 …………10分 所以112)()(020020002000++-=--+=--=≥x x x x x x x e x m x m x01)(0200>++-=x x x 即x x e x )1(+>也即2(1)(1)1f m m m +>+++所以函数()y f x =的图象总在函数2()g x x x =+图象上方．……………..12分22．解：（Ⅰ）由题可知»BD 是以为A 圆心，DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴ED 为圆A 的切线.依据切割线定理得2ED EF EB =⋅. ………………………………2分∵圆O 以BC 为直径，∴EC 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EC EF EB =⋅.……………………………4分故EC ED =.∴E 为CD 的中点. ……………………………5分（Ⅱ）连结CF ，∵BC 为圆O 的直径，∴CF BF ⊥ ………………………………6分 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆21211122BCES BC CE BE CF ∆=⨯=⨯得5CF ==…………………………8分 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得24.5EF FB CF ⋅==……………………10分 23．解：(1)C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即22cos ρρθ=,:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为. …………2分2().12x m t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 …………5分 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入222,x y x +=中2220,t t m m ++-=得2122t t m m =-所以, …………8分2|2|1,1,11m m m -==+由题意得得 …………10分24．解：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤； ③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >.…………………………………4分故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥.…………………………………5分 （Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，…………8分 解得131m -≤≤,故m 的取值范围是[13,1]-.……………………………………………10分。

2021 -2021学年广东省广州市执信中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1} 2．复数〔1+i〕z=2﹣3i〔i为虚数单位〕，那么z在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a16值是〔〕A．22 B．16 C．15 D．184．角θ顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，那么cos2θ﹣sin2θ等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．5．如下图，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径半圆弧上随机取一点B，那么△AOB面积小于概率为〔〕A．B．C．D．6．某几何体三视图如下图，那么此几何体体积是〔〕A．πB．6πC．πD．π7．函数y=2x﹣x2图象大致是〔〕A．B．C．D．8．执行程序框〔如图〕，如果输入N=10．那么输出s=〔〕A． B．C．D．9．设0＜b＜a＜1，c＞1，那么〔〕A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角余弦值为〔〕A． B．C．D．11．如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕焦点F直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线方程为〔〕A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x12．我们把形如y=〔a＞0，b＞0〕函数称为“莫言函数〞，其图象与y轴交点关于原点对称点称为“莫言点〞，以“莫言点〞为圆心且与“莫言函数〞图象有公共点圆称为“莫言圆〞，当a=b=1时，“莫言圆〞面积最小值是〔〕A．2πB．C．eπD．3π二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设向量=〔m，1〕，=〔1，3〕，且•〔﹣〕=0，那么m= ．14．△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，那么∠ACB= ．15．〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数为﹣26，那么实数a值为．16．实数x，y满足不等式组，那么取值范围是．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}前n项与为S n，a n=，n∈N*．〔1〕求通项公式a n及S n；〔2〕设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}前n项与T n．18．在如下图几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD中点．〔1〕求证：EM∥平面ADF；〔2〕求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求二面角D﹣AF﹣B大小．19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁公务员，得到情况如表：〔1〕完成表格，并判断是否有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞，并说明理由；〔2〕现把以上频率当作概率，假设从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎概率．〔2〕15位有意愿生二胎女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请2人中来自省女联人数为X，求X公布列及数学期望E〔X〕．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P〔k2≥k0〕k020．设椭圆C：=1〔a ＞〕右焦点为F，右顶点为M ，且+=，〔其中O为原点〕，e为椭圆离心率．〔1〕求椭圆C方程；〔2〕假设过点F直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N ，使得•为定值？如果有，求出点N坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．21．函数f〔x〕=e x﹣kx+k〔k∈R〕．〔1〕试讨论函数y=f〔x〕单调性；〔2〕假设该函数有两个不同零点x1，x2，试求：〔i〕实数k取值范围；〔ii〕证明：x1+x2＞4．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C极坐标方程是ρ=4sin〔θ﹣〕，直线l参数方程是〔t 为参数〕．〔1〕将曲线C极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕设直线l与x轴交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=m﹣|x﹣3|，不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；〔1〕求实数m值；〔2〕假设关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立，求实数a取值范围．2021 -2021学年广东省广州市执信中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式解集确定出A，找出A与B交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：〔x﹣1〕〔x+2〕＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，应选：B．2．复数〔1+i〕z=2﹣3i〔i为虚数单位〕，那么z在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数表示法及其几何意义；复数代数形式乘除运算．【分析】根据复数运算法那么先化简z，然后根据复数几何意义进展判断即可．【解答】解：∵〔1+i〕z=2﹣3i，∴z====﹣i，对应坐标为〔﹣，〕位于第三象限，应选：C3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a16值是〔〕A．22 B．16 C．15 D．18【考点】等差数列通项公式．【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a16．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，解得d=，a1=﹣，∴a16=a1+15d=﹣+=22．应选：A．4．角θ顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，那么cos2θ﹣sin2θ等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角三角函数定义．【分析】在直线y=2x上除了原点外任意取一点〔a，2a〕，那么r=|a|，求得cos2θ 与sin2θ 值，即可求得cos2θ﹣sin2θ 值．【解答】解：在直线y=2x上除了原点外任意取一点〔a，2a〕，那么r=|a|，∴cos2θ==，∴sin2θ==，∴cos2θ﹣sin2θ=﹣，应选：B．5．如下图，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径半圆弧上随机取一点B，那么△AOB面积小于概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB面积小于概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB面积小于，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB面积小于概率为=．应选：A．6．某几何体三视图如下图，那么此几何体体积是〔〕A．πB．6πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半局部为半圆锥，下半局部为半圆柱组成几何体，根据三视图数据求半圆柱与半圆锥体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半局部为半圆锥，下半局部为半圆柱组成几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥底面圆半径为2，圆锥高为2，圆柱高为1，∴几何体体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．应选C．7．函数y=2x﹣x2图象大致是〔〕A．B．C．D．【考点】函数图象与图象变化．【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数零点2，4；函数特殊函数值f〔﹣2〕符号加以解决即可．【解答】解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，所以选A．8．执行程序框〔如图〕，如果输入N=10．那么输出s=〔〕A． B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是利用循环计算s值并输出，模拟程序运行过程，即可得到答案．【解答】解：由中N=10．第一次执行循环体后，p=1，s=1，k=2，满足继续循环条件；第二次执行循环体后，p=3，s=1+=，k=3，满足继续循环条件；第三次执行循环体后，p=6，s=+=，k=4，满足继续循环条件；第四次执行循环体后，p=10，s=+=，k=5，满足继续循环条件；第五次执行循环体后，p=15，s=+=，k=6，满足继续循环条件；第六次执行循环体后，p=21，s=+=，k=7，满足继续循环条件；第七次执行循环体后，p=28，s=+=，k=8，满足继续循环条件；第八次执行循环体后，p=36，s=+=，k=9，满足继续循环条件；第九次执行循环体后，p=45，s=+=，k=10，不满足继续循环条件；故输出结果为：应选：C9．设0＜b＜a＜1，c＞1，那么〔〕A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c【考点】不等式根本性质．【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数单调性，可以排除ABC，问题得以解决．【解答】解：∵0＜b＜a＜1，c＞1，∴ab＞b2，b2＜bc，故A错误，∴0＞log b c＞log a c，故D正确，∴alog b c＞alog a c＜blog a c，故B无法比拟，又∵y=xα〔α＞0〕在〔0，+∞〕为增函数，∴a c＞b c，∴aa c＞ab c＞bb c＜ab c，故C无法比拟，应选：D10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角余弦值为〔〕A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成角．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，如图：BC 中点为O，连结ON，，那么MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．应选：C．11．如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕焦点F直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线方程为〔〕A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x【考点】抛物线标准方程．【分析】分别过点A，B作准线垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段性质可求得p，那么抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，那么由得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．应选D．12．我们把形如y=〔a＞0，b＞0〕函数称为“莫言函数〞，其图象与y轴交点关于原点对称点称为“莫言点〞，以“莫言点〞为圆心且与“莫言函数〞图象有公共点圆称为“莫言圆〞，当a=b=1时，“莫言圆〞面积最小值是〔〕A．2πB．C．eπD．3π【考点】函数图象．【分析】根据中关于“莫言函数〞，“莫言点〞，“莫言圆〞定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点〞坐标，并设出“莫言圆〞方程，根据两点距离公式求出圆心到“莫言函数〞图象上点最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=1且b=1时，函数“莫言函数〞为y=图象与y轴交于〔0，﹣1〕点，那么“莫言点〞坐标为〔0，1〕．令“莫言圆〞标准方程为x2+〔y﹣1〕2=r2，令“莫言圆〞与函数y=图象左右两支相切，那么可得切点坐标为〔，〕与〔﹣，〕，此时“莫言圆〞半径r=；令“莫言圆〞与函数图象下支相切，此时切点坐标为〔0，﹣1〕．此时“莫言圆〞半径r=2；故所有“莫言圆〞中，面积最小值为3π．应选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设向量=〔m，1〕，=〔1，3〕，且•〔﹣〕=0，那么m= ﹣1或2 ．【考点】平面向量数量积运算．【分析】可先求出坐标，这样进展向量数量积坐标运算由=0即可建立关于m方程，解出m即可．【解答】解：；∴m=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．14．△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，那么∠ACB= ．【考点】正弦定理．【分析】由利用三角形面积公式可求AB，进而由余弦定理可得BC，由余弦定理可得cos∠ACB=，结合范围∠ACB∈〔0，π〕，即可得解∠ACB=．【解答】解：∵△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，∴=×2×AB×sin，可得：AB=1，∴由余弦定理可得：BC===，∴由余弦定理可得：cos∠ACB===，∵∠ACB∈〔0，π〕，∴∠ACB=．故答案为：．15．〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数为﹣26，那么实数a值为3或．【考点】二项式定理应用．【分析】把〔1﹣2x〕5与〔1+ax〕4分别利用二项式定理展开，可得〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数，再根据x2系数为﹣26，求得a值．【解答】解：∵〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4=〔1﹣10x+40x2+ (32x5)•〔1+4ax+6a2x2+4a3x3+a4x4〕展开式中x2系数为﹣26，∴6a2﹣10•4a+40=6a2﹣40a+40=﹣26，即3a2﹣20a﹣38=0，求得实数a=3或a=，故答案为：3或．16．实数x，y满足不等式组，那么取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数性质结合换元法设t=，进展转化，然后作出不等式组对应平面区域，利用线性规划知识进展求解即可．【解答】解：==+﹣2，设t=，那么=t+﹣2，作出不等式组对应平面区域如图：那么t=几何意义是区域内点到原点斜率，由图象知OC斜率最小，OB斜率最大，由得，即B〔1，3〕，此时OB斜率t==3，由得，即C〔3，1〕，此时OC斜率t=，即≤t≤3，∵y=t+﹣2在≤t≤1上递减，在1≤t≤3递增，∴当t=1时，函数取得最小值y=1+1﹣2=0，当t=3或时，y=+3﹣2=，即0≤y≤，即取值范围是，故答案为：．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}前n项与为S n，a n=，n∈N*．〔1〕求通项公式a n及S n；〔2〕设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}前n项与T n．【考点】数列求与；数列递推式．【分析】〔1〕a n=，那么a n+1=，a n﹣1﹣a n==，整理a n﹣1=3a n，当n=1时，求得a1，求得数列{a n}是等差数列，即可求得数列{a n}通项公式a n及S n；〔2〕求得b n通项公式，分别求得当n≤3时及当n≥4时数列{b n}前n项与T n．【解答】解：〔1〕由题意，a n=，n∈N*，那么a n+1=，作差得：a n+1﹣a n==，化简得：a n+1=3a n，又n=1时，a1==，解得a1=1，故数列{a n}是首项为1，公比为3等比数列，那么a n=3n﹣1，S n==；〔2〕a n﹣10=3n﹣1﹣10，那么b n=|a n﹣10|=，当n≤3时，T n=10n﹣=10n﹣，当n≥4时，T n=T3+﹣10〔n﹣3〕=17+﹣10+30=综上那么T n=．18．在如下图几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD中点．〔1〕求证：EM∥平面ADF；〔2〕求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求二面角D﹣AF﹣B大小．【考点】二面角平面角及求法；直线与平面平行判定；直线与平面所成角．【分析】〔1〕取AD中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行判定定理，证出EM∥平面ADF；〔2〕取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF与平面ABCD所成角，从而可求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求出平面ADF、平面EBAF一个法向量，利用向量夹角公式，可求二面角D﹣AF﹣B大小．【解答】解：〔1〕取AD中点N，连接MN，NF．在△DAB中，M是BD中点，N是AD中点，∴MN∥AB，MN=AB．又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN∥EF且MN=EF，∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；〔2〕取AB中点G，连接FG，DG，那么FG∥EB，FG=∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∴∠FDG为直线DF与平面ABCD所成角∵BC=，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3∵BG=1，∴DG=∴tan∠FDG===；〔3〕因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz．由可得B〔0，0，0〕，A〔0，2，0〕，D〔3，0，0〕，F〔0，1，〕∴=〔3，﹣2，0〕，=〔0，﹣1，〕．设平面ADF一个法向量是=〔x，y，z〕．由，得，令y=3，那么=〔2，3，〕因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．∴=〔3，0，0〕是平面EBAF一个法向量．∴cos ＜＞==∵二面角D﹣AF﹣B为锐角，∴二面角D﹣AF﹣B大小为60°19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁公务员，得到情况如表：〔1〕完成表格，并判断是否有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞，并说明理由；〔2〕现把以上频率当作概率，假设从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎概率．〔2〕15位有意愿生二胎女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请2人中来自省女联人数为X，求X公布列及数学期望E〔X〕．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P〔k2≥k0〕k0【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量期望与方差．【分析】〔1〕直接利用k2运算法那么求解，判断生二胎意愿与性别是否有关结论．〔2〕利用独立重复试验真假求解所求结果即可．〔3〕求出X可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】解：〔1〕由于=＜6.635．故没有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞．〔2〕由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿概率为=，无意愿概率为=，记事件A：这三人中至少有一人要生二胎，且各人意愿相互独立那么P〔A〕=1﹣=1﹣=．答：这三人中至少有一人有意愿生二胎概率为：．〔3〕X可能取值为0，1，2P〔X=0〕==；P〔X=1〕==；P〔X=2〕==．X012PE〔X〕==20．设椭圆C：=1〔a＞〕右焦点为F，右顶点为M，且+=，〔其中O为原点〕，e为椭圆离心率．〔1〕求椭圆C方程；〔2〕假设过点F直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆简单性质．【分析】〔1〕由题意求得a2=c2+3及|OF|、|OM|、|FM|，并代入+=，即可求得a值，即可求得椭圆方程；〔2〕直线l斜率存在时，设其方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积坐标表示，结合条件能求出存在点N〔，0〕满足•=﹣．【解答】解：〔1〕由题意可知：焦点在x轴上，由a2=c2+3∴丨OF丨=c=，丨OM丨=a，丨FM丨=a﹣c=a﹣，e==由+=，即：+=，∴a[a2﹣〔a2﹣3〕]=3a〔a2﹣3〕，解得a=2．∴椭圆C方程；〔2〕由〔1〕可知：c=1，当直线l斜率存在时，设其方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，将椭圆方程代入椭圆方程：，整理得：〔3+4k2〕x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，x1+x2=，x1•x2=，假设存在定点N〔m，0〕满足条件，那么有•=〔x1﹣m〕〔x2﹣m〕+y1y2，=m2﹣m〔x1+x2〕+k2〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕，=〔1+k2〕x1•x2﹣〔m+k2〕•〔x1+x2〕+k2+m2，=﹣+k2+m2，如果要上式为定值，那么必须有=⇒m=，证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N〔，0〕满足•=﹣．21．函数f〔x〕=e x﹣kx+k〔k∈R〕．〔1〕试讨论函数y=f〔x〕单调性；〔2〕假设该函数有两个不同零点x1，x2，试求：〔i〕实数k取值范围；〔ii〕证明：x1+x2＞4．【考点】利用导数研究函数单调性．【分析】〔1〕求出函数导数，通过讨论k范围求出函数单调区间即可；〔2〕〔i〕结合题意得到k＞0时，函数单调性，从而求出k范围即可；〔ii〕先求出两个根范围，问题转化为数x2﹣x1=ln〔x2﹣1〕﹣ln〔x1﹣1〕，令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，问题转化为证明y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，根据函数单调性证明即可．【解答】解：〔1〕由f〔x〕=e x﹣kx+k，〔k∈R〕，那么f′〔x〕=e x ﹣k，讨论：假设k≤0，那么f′〔x〕＞0，故f〔x〕在定义域上单调递增；假设k＞0，令f′〔x〕＞0，解得x＞lnk；令f′〔x〕＜0，解得x ＜lnk，综上：当k≤0时，f〔x〕单调递增区间为R，无单调递减区间；当k＞0时，f〔x〕单调递增区间为〔lnk，+∞〕，单调递减区间为〔﹣∞，lnk〕，〔2〕〔i〕由题意：由〔1〕可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；k＞0时，令f〔lnk〕=e lnk﹣klnk+k＜0，解得k＞e2，此时f〔1〕=e＞0；x→+∞时，f〔x〕→+∞＞0，因此会有两个零点，符合题意．综上：实数k取值范围是〔e2，+∞〕；〔ii〕：由〔i〕可知：k＞e2时，此时f〔1〕=e＞0；x→+∞时，f〔x〕→+∞＞0，且f〔2〕=e2﹣k＜0，因此x1∈91，2〕，x2∈〔2，+∞〕，由=kx1﹣k，=kx2﹣k，相除后得到=，取对数x2﹣x1=ln〔x2﹣1〕﹣ln〔x1﹣1〕，令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，要证x1+x2＞4，即证y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，构造函数h〔t〕=lnt﹣〔t＞1〕，由h′〔t〕=＞0，y=h〔t〕单调递增，那么h〔t〕＞h〔1〕=0，故不等式成立，综上，原不等式成立．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C极坐标方程是ρ=4sin〔θ﹣〕，直线l参数方程是〔t 为参数〕．〔1〕将曲线C极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕设直线l与x轴交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|取值范围．【考点】简单曲线极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕ρ=4sin〔θ﹣〕，两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin〔θ﹣〕，展开可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．〔2〕由直线l参数方程〔t为参数〕．消去参数t可得直线l直角坐标方程得：y=﹣〔x﹣2〕．可得：M〔2，0〕，利用|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，即可得出．【解答】解：〔1〕ρ=4sin〔θ﹣〕，两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin 〔θ﹣〕，展开可得：ρ2=4，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x，配方得：〔x+1〕2+=4．〔2〕由直线l参数方程〔t为参数〕．消去参数t可得直线l直角坐标方程得：y=﹣〔x﹣2〕．令y=0得x=2，即M〔2，0〕，又曲线C为圆，圆C圆心坐标为，半径r=2，那么|MC|==2．由|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，那么|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=m﹣|x﹣3|，不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；〔1〕求实数m值；〔2〕假设关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立，求实数a取值范围．【考点】绝对值不等式解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕由m﹣|x﹣3|＞1，得4﹣m＜x＜m+2，根据不等式解集求出m值即可；〔2〕问题等价于|a﹣3|≥3恒成立，求出a范围即可．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=m﹣|x﹣3|，∴不等式f〔x〕＞1，即m﹣|x﹣3|＞1，∴4﹣m＜x＜m+2，由不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；那么，解得：m=3；〔2〕关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立⇔关于x不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0，即a∈〔﹣∞，0]∪[6，+∞〕．。

海珠区2015学年第二学期期末联考试题高二数学(理科)本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z 满足(1i)1i z -=+，则z =( )A ．12B ．1C ．2D ．22．下列求导运算正确的是( ) A ．'11xxe e B ．'cos3sin3xx C ．'211x x D ．'ln 1ln x x x3．设221122,,,XN u YN u ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>4．“0>x ”是“0342>++x x ”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，抛物线的准线与椭圆相交于,A B 两点，则AB =（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．在四面体OABC 中，点,M N 分别是,OA BC 的中点，记OA a =，OB b =，OC c =，则MN =（ ） A ．311222a b c -- B ．111222a b c -- C ．111222a b c -++ D ．111222a b c -+ 7．先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”， 事） A ．14 B ．13 C ．12 D ．238．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．222)1(k k ++ B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k9．以下命题正确的个数为（ ）(1)命题“x R ∀∈，012>+-x x ” 的否定．．为真命题； (2)命题“若b a >，则22b a >”的逆命题．．．为真命题； (3)命题“若A B =，则sin sin A B =”的否命题．．．为真命题； (4)命题“若0>>b a ，则ba 11<”的逆否命题．．．．为真命题. A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 右支交于点A ，若OF OA =，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．511．设S =,则S 的值等于( ) A ．120152015-B ．120162015-C ．120152016-D ．120162016-12．若点P 在曲线21y x =+上，点Q 在曲线y =PQ 最小值是（ ）A B ．2 C ．4 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．曲线2yx =与直线y x =围成的图形的面积是________．14．已知()()()21010012103111()x a a x a x a x +++⋯+＝＋＋＋＋，则8a = ． 15．将4本不同的书送给3名同学，每人至少1本，则不同的送法有________种．（用数字作答）16．已知直线:l y x a =-经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 与C 交于A B 、两点．若6AB =，则p 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，34C π=， （Ⅰ）求证：()()1tan 1tan 2A B ++=；（Ⅱ）若b =，求证：3tan 2tan A B =.18.（本小题满分12分）已知函数()ln (,)f x a x bx a b R =+∈的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线的方程为2y x =-。

2012-2013学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i是虚数单位，复数z=的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出．解答：解：z==．故其虚部为1．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键．2．（5分）“x＞3”是“x＞5”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．解答：解：若“x＞3”，则“x＞5”不成立，如x=4；反之，“x＞5”时“x＞3”，成立，故“x＞3”是“x＞5”的必要非充分条件．故选B．点评：本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．3．（5分）抛物线x2=﹣8y的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的标准方程可得 p=4，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．解答：解：抛物线x2=﹣8y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=4，故选C．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键．4．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（2x）′=x•2x﹣1B．（3e x）′=3e xC．（x2﹣）′=2x﹣D．（）′=考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用导数的运算法则逐项判断即可．解答：解：（2x）′=2x ln2，故A错误；，故C错误；=，故D错误；故选B．点评：本题考查导数的运算，考查学生的运算能力，属基础题．5．（5分）已知命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∀x∈R，cosx≥1C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞1考点：命题的否定；全称命题．专题：阅读型．分析：直接依据依据特称命题的否定写出其否定．解答：解：命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为∃x∈R，cosx＞1故选C点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题6．（5分）观测两个相关变量，得到如下数据：x ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 ﹣5 5 4 3 2 1y ﹣0.9 ﹣2 ﹣3.1 ﹣3.9 ﹣5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9则两变量之间的线性回归方程为（）A．=0.5x﹣1 B．=xC．=2x+0.3D．=x+1考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：求出样本中心点为（0，0），代入选择支，检验可知B满足，即可得到结论．解答：解：由题意，=0，==0∴样本中心点为（0，0）代入选择支，检验可知B满足故选B．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程经过样本中心点，属于基础题7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的x值是（）A．8B．6C．4D．3考点：程序框图．专题：探究型．分析：根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x值的变化规律，进而可得答案．解答：解：当k=1时，S=1+1×31=4；当k=2时，S=4+2×32=22；当k=3时，S=22+3×33=103；当k=4时，输出x=2k=8．故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当程序的循环次数不多时，多采用模拟循环的方法．8．（5分）（2011•海珠区一模）给定下列四个命题：①若两个平面互相垂直，那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．④若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；其中，为真命题的是（）A．①和③B．②和③C．③和④D．①和②考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：综合题．分析：根据面面垂直的性质，可以判断①的真假；由线面垂直的判定定理，可判断出②的真假；根据平面与平面的性质，可判断③的真假，根据平面平行的性质，可以判断④的真假．进而即可得到答案．解答：解：若两个平面互相垂直，那么分别在这两个平面内的任意两条直线，可能平行也可能相交，也可以异面，故①错误；由线面垂直的判定定理，我们可判断出②正确；根据平面与平面的性质，可得③正确；若一个平面内的两条平行直线与另一个平面都平行，那么这两个平面不一定平行，故④错误；故选B．点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质及推论，其中熟练掌握空间直线平面之间位置关系的判定、性质、定义是解答本题的关键．9．（5分）己知函数f（x）=ax3+bx2+c，其导数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值是（）A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c考点：利用导数研究函数的极值．专题：数形结合．分析：利用导函数图象，由导函数的图象求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．解答：解：由导函数的图象知，f（x）在（1，2）递增；在（2，+∞）上递减所以当x=2时取得极大值，极大值为：f（2）=8a+4b+c则函数f（x）的极大值是8a+4b+c故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，求函数的极值问题，通常利用导数求出函数的极值．10．（5分）椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．解答：解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A 点的距离相等而|FA|=|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈．故选D．点评：本题主要考查椭圆的基本性质，注意在解不等式过程中将看作整体，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）某厂家为调查一种新推出的产品的颜色接受程度是否与性别有关，数据如下表：黑红男17 9女 6 22根据表中的数据，得到k=≈10.653，因为K2≥7.879，所以产品的颜色接受程度与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为0.005 ．考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意k≈10.653，根据临界值表中所给的概率，得到与本题所得的数据对应的概率P（K2≥7.879）=0.005，由此得到本题答案．解答：解：提出假设H0：产品的颜色接受程度与性别没有关系根据表中的数据，得到 k=≈10.653对照临界值表可以得到P（K2≥7.879）=0.005∵题中K2≈10.653≥7.879，∴当H0成立时，K2≥7.879的概率约为0.005，因此我们有99.5%的把握认为产品的颜色接受程度与性别有关系这种判断出错的可能性是0.005故答案为：0.005点评：独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过k2的观测值与临界值的比较加以解决的．12．（5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．每个瓶子的制造成本是0.6πr2分，其中r是瓶子的半径（单位：厘米）．已知每出售1mL（1mL=1立方厘米）的饮料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为5cm．要使每瓶饮料的利润最大，瓶子的半径为5cm ．考点：根据实际问题选择函数类型；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．解答：解由于瓶子的半径为rcm，所以每瓶饮料的利润是y=f（r）=0.3×πr3﹣0.6πr2，0＜r≤5令f′（r）=1.2πr2﹣1.2πr=0，则r=1当r∈（0，1）时，f′（r）＜0；当r∈（1，5）时，f′（r）＞0．∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，5）上单调递增，∴r=5时，每瓶饮料的利润最大，故答案为：5cm．点评：本题考查函数模型的建立，考查导数知识的运用，确定函数的模型是关键．13．（5分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程x2=（4m2﹣m）y表示焦点在y轴正半轴上的抛物线．若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是（，1）．考点：复合命题的真假．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p∧q为真命题，知命题p和命题q都是真命题，由此利用抛物线和椭圆性质能求出实数m的取值范围．解答：解：∵p∧q为真命题，∴命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆是真命题，q：方程x2=（4m2﹣m）y表示焦点在y轴正半轴上的抛物线是真命题．当命题p是真命题时，0＜m＜1；当命题q为真命题时，4m2﹣m＞0，解得m＜0，或m＞．∴当p∧q为真命题时，实数m的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意复合命题真假判断的灵活运用．14．（5分）（2004•广东）由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系：=．考点：归纳推理．专题：压轴题；探究型．分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．解答：解：∵在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．故由（面积的性质）结合图（2）可类比推理出：体积关系：=故答案为：点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知双曲线C的方程为2x2﹣y2=2（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的右顶点A到双曲线C的渐近线的距离．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）双曲线方程化为标准方程，求出几何量，即可求双曲线C的离心率；（2）确定双曲线C的右顶点A坐标，双曲线C的渐近线方程，利用距离公式，即可求得结论．解答：解：（1）将双曲线C的方程2x2﹣y2=2化为标准方程，得，…（2分）于是，．…（5分）因此双曲线C的离心率．…（7分）（2）双曲线C的右顶点坐标为A（1，0）；…（8分）双曲线C的渐近线方程是：，即．…（9分）易知，点A（1，0）到两条渐近线的距离相等，设为d，则．…（11分）所以，双曲线C的右顶点A到双曲线C渐近线的距离为．…（12分）点评：本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（12分）设函数f（x）=sin2x+cos2x+1．（1）求函数f（x）的周期和最大值；（2）设ABCD的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a=1，b=2，f（C）=2，求边长c及sinA的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的周期和最大值；（2）先求C，再利用余弦定理，求出c，利用正弦定理，可求sinA的值．解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+1==．…（2分）∴f（x）的周期T=π，…（4分）（2）由，得…（5分）∵0＜C＜π，∴，∴．…（6分）∴C=．…（7分）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC==5…（9分）∴…（10分）由正弦定理得：，…（11分）即，所以．…（12分）点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．17．（4分）如图，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=DC，M为BD的中点．（1）求证：EM∥平面ABC；（2）求证：平面AEM⊥平面BCD；（3）若AB=BC=2，求三棱锥E﹣BCD的体积V．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）取BC的中点N，连接MN、AN，利用三角形中位线定理结合已知条件证出四边形EANM是平行四边形，从而得到EM∥AN，利用线面平行判定定理即可证出EM∥平面ABC；（2）利用等腰三角形“三线合一”证出AN⊥BC，由DC⊥平面ABC证出DC⊥AN，结合线面垂直判定定理可得AN⊥平面BCD，而AN∥EM可得EM⊥平面BCD，利用面面垂直判定定理即可证出平面AEM⊥平面BCD；（3）由EM⊥平面BCD得EM是三棱锥E﹣BCD的高．由题中数据算出△BCD的面积为4，利用锥体的体积公式即可算出三棱锥E﹣BCD的体积V．解答：解：（1）取BC的中点N，连接MN、AN，∵M为BD的中点，∴MN∥DC且．…（1分）∵EA∥DC，，∴EA∥MN，EA=MN．∴四边形EANM是平行四边形．…（2分）∴EM∥AN．…（3分）又∵EM⊄平面ABC，AN⊂平面ABC，…（4分）∴EM∥平面ABC．…（5分）（2）∵AB=AC，N为BC的中点，∴AN⊥BC．…（6分）∵DC⊥平面ABC，AN⊂平面ABC，∴DC⊥AN．…（7分）又∵DC∩BC=C，∴AN⊥平面BCD．…（8分）∵AN∥EM，∴EM⊥平面BCD．…（9分）∵EM⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面BCD．…（10分）（3）由（2）知EM是三棱锥E﹣BCD的高．在△ABC中，AB=BC=AC=2，∴，∴．…（11分）在△BCD中，BC=2，CD=4，CD⊥BC，∴△BCD的面积为．…（12分）∴三棱锥E﹣BCD的体积为．…（14分）点评：本题在四棱锥中证明线面平行、面面垂直，并求锥体的体积．着重考查了锥体体积公式、直线与平面平行的判定定理和面面垂直判定定理等知识，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y﹣（a+b+6）=（3+2a+b）（x﹣1），整理得y=（3+2a+b）x+3﹣a．又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，∴，解得，∴a=2，b=﹣4．（2）由（1）知f（x）=x3+2x2﹣4x+5，f'（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2），令f'（x）=0，得或x=﹣2．当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：﹣2 1 x ﹣3 （﹣3，﹣2）f'（x）+ ﹣+f（x）8 增极大值减极小值增 4∴f（x）的极大值为f（﹣2）=13，极小值为，又∵f（﹣3）=8，f（1）=4，∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13．点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为；抛物线C2：y2=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2相切，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可得到椭圆方程；利用抛物线C2：y2=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2，可求抛物线C2的方程；（2）分类讨论，将直线与椭圆、双曲线联立，利用判别式，即可求得结论．解答：解：（1）由2b=2，得b=1．…（1分）由，得．…（2分）∴椭圆C1的方程是．…（3分）依题意有，得p=2，…（4分）∴抛物线C2的方程是y2=4x．…（5分）（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．由直线l与椭圆C1相切，可得；由直线与抛物线C2相切得n=0．∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n …（8分）当直线l与椭圆C1相切时，联立，得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣2=0，由，得n2=2k2+1，…（10分）当直线l与抛物线C2相切时，联立，得k2x2+2（kn﹣2）x+n2=0，由，得kn=1，…（12分）联立，解得或，．…（13分）综上，直线l的方程为．…（14分）点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数；（3）若 a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有|f（x1）﹣f（x2），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=﹣4时，利用导数的运算法则可得，在区间（0，+∞）上分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出单调区间；（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程（x∈（1，e]）．设g（x）=，则．分别解出g′（x）＞0与g′（x）＜0即可得出单调性，又g（e）=e2，，作出y=g（x）与直线y=﹣a的图象，由图象可知a的范围与方程根的关系；（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数在区间[1，e]上是减函数．不妨设1≤x1≤x2≤e，则等价于．即，即函数在x∈[1，e]时是减函数．可得，即在x∈[1，e]时恒成立．再利用在x∈[1，e]时是减函数，即可得出实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣4时，，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程（x∈（1，e]）．设g（x）=，则．当时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，当时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．又g（e）=e2，，作出y=g（x）与直线y=﹣a的图象，由图象知：当2e＜﹣a≤e2时，即﹣e2≤a＜﹣2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；当a＜﹣e2或a=﹣2e时，方程f（x）=0有1个根；当a＞﹣2e时，方程f（x）=0有0个根．（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数在区间[1，e]上是减函数．不妨设1≤x1≤x2≤e，则等价于．即，即函数在x∈[1，e]时是减函数．∴，即在x∈[1，e]时恒成立．∵在x∈[1，e]时是减函数，∴．所以，实数a的取值范围是．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、适当变形等基础知识与基本技能，考查了数形结合思想方法、推理能力和计算能力．。

海珠区2013-2014学年下学期期末联考试题高二数学本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考室号、座位号填写在答题卡上；填写考生编号，并用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回监考老师，试卷自己保管。

5．本次考试不允许使用计算器。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导运算正确的是( )A.()sin 'cos x x =- B.()cos 'sin x x =C.'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()'122x x x -=⋅2.已知a 是实数，()()1a i i ++是纯实数，则a 等于（ ）A.2B.1C.1-D.2- 3.已知向量(3,1,2),(,,4)x y =-=-a b ，且//a b ，则x y +=（ ）A.8B.4C.4-D.8-4.已知椭圆2221(0)9x y a a +=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A.2B.10C.10D.4 5.设集合{}{}13,(3)0Mx x N x x x =-<<=-<，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在高台跳水运动，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，则瞬时速度为1m/s 的时刻是（ ） A.55s 98 B.65s 98 C.55s 49 D.65s 497.下列选项中，说法正确的是( )A.命题“若21x=,则1x =”的否命题．．．为:“若21x =,则1x ≠”.B.命题“若22am bm<，则a b <”的逆命题．．．是真命题.C.命题“210x R x x ∀∈-+≥,”的否定．．是:“200010x R x x ∃∈-+≤,”. D.命题“若x y =,则cos cos x y =”的逆否命题．．．．为真命题.8.抛物线22y x =的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且||2MF =，则双曲线的离心率为（ ）A.10 B. 2 C. 5 D. 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.定积分320x dx ⎰= .10.在二项式61(2)x x-的展开式中,含2x 项的系数是 . 11.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种.（用数字作答） 12.已知随机变量X 的分布列是1 20.4则DX= .13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽 4米，水位上升1米后，水面宽 米.第13题14.若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .则数列n Sn⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为2d.类似地，若正项等比数列{}n b 的公差为q ，前n 项和为n T .则数列 为等比数列，公差为三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若a 、b 、c 成等比数列, 求证:ABC ∆为等边三角形. 16.（本小题满分12分）已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图像过点(1,(1))P f ，且在点P 处的切线方 程为86y x =-.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 17.（本小题满分14分）已知A 盒中有2个红球和2个黑球.B 盒中有2个红球和3个黑球，现从A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中. （Ⅰ）求A 盒中有2个红球的概率；（Ⅱ）求A 盒中红球数ξ的分布列及数学期望18．（本小题满分14分）如图，在等腰直角三角形RBC 中，90RBC ∠=o，2RB BC ==.点A 、D 分别是PB ，RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA AB ⊥，连结PB ，PC . （Ⅰ）求证:BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角A CD P --的平面角的余弦值. 19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线l 的方程为1y =-，过点()0,1A且与直线l 相切的动圆的圆心为点M ，记点M 得轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程;（Ⅱ）若直线1y kx =+与曲线E 相交于B ，C 两点，过B 点作直线l 的垂线，垂足为D ，O 为坐标原点，判断D ，O ，C 三点是否共线？并证明你的结论. 20．（本小题满分14分）已知函数()ln 1f x x x =+（Ⅰ）若0x >时，函数()y f x =的图像恒在直线y kx =上方，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）证明：当时n *∈N ，1111ln(1)2341n n +>+++++L .海珠区2013-2014学年下学期期末联考参考答案及评分标准高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）9.9 10. 240 11. 60 12.0.6 13. 三、解答题（共6小题，共80分。