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- 1 -Finsler 几何统一场与信息物理学叶 鹰浙江大学信息资源管理研究所(310028)yye@摘 要： 将Finsler 几何的数学形式与物理意义相结合，确立了Finsler 几何统一场与信息物理学的数学表示。
用Finsler 几何中的Hilbert 形式作为统一场势A，以Chern 联络的曲率形式作为统一场强F，提出用TrF∧*F 代表的偶数维作用项和Chern-Simons 形式代表的奇数维作用项共同构成统一作用量，将序间、空间、时间对应的Cartan 张量作为真实物理状态，从而获得Finsler 几何中的信息物理统一场。
关键词： Finsler 几何；Finsler 空间；几何场论；统一场论；信息物理学1. 引 言1985年Asanov 曾对Finsler 几何中的相对论、宇宙论进行过探讨[1]，近年的研究揭示了Finsler 空间对物理学的重要意义[2-3]，参考主流数学物理研究的几何统一论、超弦理论和M 理论[4-6]，在笔者前期工作[7]和曹盛林教授研究成果[8-10]基础上赋予Finsler 几何以实在的信息物理意义，结果具有统一场论价值。
数学方法取自[11-12]。
2. Finsler 几何场Finsler 几何是Riemann 几何的自然拓广，或者说是没有二次限制的Riemann 几何，其中去掉齐性条件的Finsler 几何也称Lagrange 几何。
Finsler 几何相应于Riemann 几何的有关参量如下：对于纤维丛(E,p,B,F,G)(E 为丛空间，B 为底空间，p:E→B 是满连续映射，F 即纤维，G 是有效作用于F 上的变换群)，相应于切丛TM 上的Riemann 度规：2/121)(j i ij dx dx g d =τ (1)射影化切丛PTM 或球丛SM 上的Finsler 度规为：),...;,...(11n n dx dx x x f d =τ (2)其中f 是Finsler 函数。
第三章 量子力学中的力学量§1.1 学习指导实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。
量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。
本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。
在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。
按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。
根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。
用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。
本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆrr =v v 和动量算符ˆp i =-∇vh 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符122ˆ()mHp U r =+v是最重要的力学量算符。
厄密算符ˆQ是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。
对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψϕτψϕτ**=⎰⎰ （3-1）厄密算符ˆQ 的本征值nq 为实数，对应的本征函数()n r ϕv满足本征方程 ˆ()()n n nQ r q r ϕϕ=v v ， （3-2） 本征函数之间具有正交性。
归一化的本征函数()n r ϕv满足正交归一性关系,()()m n m n r r d ϕϕτδ*=⎰v v， （3-3）其集合具有完备性(')()(')n n nr r r r ϕϕδ*=-∑v v v v。
第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
运筹学_江西财经大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在0 - 1整数规划中变量的取值可能是_。
参考答案:0或12.对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为个。
参考答案:n3.求一个线性函数在一组约束条件下的最大化或最小化问题，称为线性规划问题。
参考答案:线性4.线性规划模型不包括下列( )要素。
参考答案:状态变量5.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
参考答案:正确6.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
参考答案:错误7.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
参考答案:错误8.未到达目标的差值称为负偏差。
参考答案:正确9.超出目标的差值称为正偏差。
参考答案:正确10.一对正负偏差变量至少一个等于零。
参考答案:正确11.一对正负偏差变量至少一个大于零。
参考答案:错误12.目标约束一定是等式约束。
参考答案:正确13.系统约束中最多含有一个正或负的偏差变量。
参考答案:错误14.正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零。
参考答案:错误15.在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是（）参考答案:纯整数规划16.在表上作业法求解运输问题中，非基变量的检验数（）。
参考答案:以上三种都可能17.整数规划问题中，变量的取值可能是（）。
参考答案:以上三种都可能18.物资调运方案的最优性判别准则是：当全部检验数时，当前的方案一定是最优方案。
参考答案:非负19.整数规划问题中，变量的取值可能是（）参考答案:以上三种都可能20.当供应量大于需求量，欲化为平衡问题，可虚设一需求点，并令其相应运价为（）。
参考答案:最大与最小运量之差21.在单纯形表的终表中，若非基变量的检验数有0，那么最优解（）参考答案:不存在22.满足条件的基本解称为基本可行解。
参考答案:非负23.图解法适用于含有个变量的线性规划问题。
关于“Levi-Civita平移”人为假设的逻辑失当—— 20世纪“广义相对论”逻辑基础反思之三杨本洛上海交通大学自然科学基础研究组，上海 200240Email: blyang@摘 要：整个现代微分几何必须建立在“Levi-Civita向量平移”一个纯粹的人为假设之上。
正因为只是纯粹的人为认定，缺失一切科学陈述必需的“实体论”基础以及相应蕴含的“确定性”意义，最终必然导致整个陈述系统陷入逻辑悖谬之中。
关键词： Levi-Civita向量平移，逻辑，悖谬1. 导言人类的自然科学体系，是描述“自存”物质世界的。
因此，根据逻辑也仅仅根据逻辑，自然科学体系只可能逻辑地隶属于物质世界，或者成为科学陈述体系的逻辑主体；反过来，一旦把自然科学建立在“约定论”基础之上，那么，整个自然科学必然充斥矛盾和悖谬。
如果说，Gauss于18世纪所建立古典微分几何的前半段，由于建立在“实体论”基础之上，相应能够为“曲面几何分析”提供许许多多有用的结果，但是，根源于西方科学世界一种不可思议并且根深蒂固的“形而上学”简单思维模式，Gauss违背了“性质必须从属于特定客体”以及“任何客体的性质集合本质上是一个不容分割、彼此依赖的整体”这样两个素朴或本应自明的基本逻辑原则，凭借幼稚的主观意愿，强行把“性质集合”的整体割裂开来，并且也实际上违背了他在“实体论”基础之上导出的一系列有用结果，想当然地划分为“内蕴和外在”两个独立部分，从而将微分几何彻底引入歧途，并最终只可能堕落为依赖“神学”支撑的矛盾体。
此外，在19世纪末，Cantor曾经以科学研究所必需、但又极其难得的真诚和严肃精神，首先指出他自己创造的“集合论”存在逻辑悖论。
自此以后，整个西方科学世界一直陷入这个巨大认识困惑构造的深渊之中。
直至21世纪，面对Hilbert的“公理化体系”和Browier 的“直觉主义”之间延续了一个世纪的争论，职业数学家们仍然无所适从、不知所措。
其实，除了Cantor自我揭示“集合论”的逻辑悖论，由法国人Frechet根据“公理化思想”而提出的拓扑学、并一直被用作构建现代微分几何体系一个必要形式基础的时候，根据逻辑且仅仅根据逻辑，人们几乎立即可以做出判断：不仅仅像Browier曾经雄辩指出的那样，不可能凭借“公理化”的人为约定就可以否定数学基础逻辑悖论的真实存在，同样，在错误基础之上创造出来的拓扑学必然逻辑地隐含逻辑悖论。
事实上，只要真正懂得拓扑学的“拓扑公理”希望告诉人们的东西，几乎立即可以构造逻辑反例，将这个纯粹的“人为约定”置于悖论之中。
数学家R. Courant在《什么是数学》一书中曾经这样指出仅仅是感觉并不能构成知识和见解，必须要与某些基本的实体即“自在之物”想相适应、相印证。
综观整个数学体系及其大致的发展历程，可以相信：即使是那些笃信“约定论（公理化体系）”的数学家，最初的思想并非纯粹“主观意志”范畴的自我创造，而总隐含某种“实体”的影子。
因此，一旦把本来仅仅隶属于某种特定物质对象的抽象特征绝对化，不知道自觉加以限制，形式主义必然最终形形色色逻辑悖论之中。
当然，从“逻辑基础”考虑，整个西方“逻辑体系”的错误仍然全部渊源于他们违背了以上所说的两个基本原则，即“性质必须从属于特定客体”与“任何客体的性质集合本质上是一个不容分割、彼此依赖的整体”两个不容置疑的理性原则；以及在“形而上学”简单思维模式之上却喜好“故弄玄虚”的不良习惯。
根据逻辑且仅仅根据逻辑，并且正如Kline曾经做出“只能依赖于伟大人物直觉而存在的现代数学大厦杂乱无章、相互矛盾，真实处于即将坍塌危险之中”的描述，现代数学体系需要严肃面对的是一个“整体性”的“逻辑不相容”问题。
也就是说，人们必须从整个数学体系的每一个“基元”概念开始，对包括集合论、拓扑学以及微分几何在内，目前主要由西方人凭借“主观意志”杜撰而得的整个现代数学体系进行“系统”的逻辑梳理。
2. 关于曲面上“向量平移”假设与“绝对微分”表达式的古典构造对于20世纪的任何一位几何学研究者，都不会否定现代微分几何必需的“约定论”基础，或者说，只是由于人为约定被改称为“公理化假设”的“公理化”基础。
毋庸置疑，所有这些能够称之为“公理化假设”的人为约定，绝非一般人可以染指，它们只可能专属于被Kline称之为具有“比凡人推演论证更为可靠的直觉”那些“伟大人物”的特殊权利了。
1在现代微分几何中，为了在给定几何空间某个“低维曲面”的几何实体之上，乃至根据“约定论”而人为创造出来、与“低维曲面”本来需要“嵌入（赖以生存）”的“高维空间”没有任何确定逻辑关联的“流形”之上，能够按照“伟大人物”的心智，构造出仅仅属于“曲面”或“流形”自身的独立形式表述系统，一个不可缺省的前提性认识基础是：首先引入仅仅隶属于曲面之上的“向量平移”假设，进而以这个人为假设为基础构造“绝对微分”的概念，最终建立与“高维空间”无关而仅仅隶属于曲面或者流形自身的微分运算结构。
此处，不得不打破由傲慢自大的西方科学世界所制定“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更为可靠”的禁忌，采取逻辑的推演论证方法，并且以曾经建立“实体论”基础之上的Gauss微分几何为基本素材，重新考察这些似乎应该“天然成立”的人为假设在逻辑上到底是否合理的问题。
2.1 古典微分几何中“向量平移”概念的提出首先，以教材[4]为蓝本，较为完整地援引“古典微分几何”中与“向量平移”相关的论述。
只是在个别地方，为了避免歧义或者便于形成较为准确的认识稍加评述。
原著述这样指出：曲面上的向量，指的是曲面上给定点处切于此曲面的向量。
如果从曲面的某一点到另外一点“平行移动”一向量，那么，一般来说平行移动以后的向量的方向与不能继续保持在曲面的切平面之上，或者与切平面形成一定角度，因而不能认为是曲面上的向量。
我们在这里建立曲面上向量平面的平行移动概念。
如下图所示1值得注意：一旦把自然科学体系建立在“约定论”之上，那么，作为一个“必然”的逻辑推论，必须对自然科学的研究者做出“民族或人种”的分野，并且，只能把自然科学的建构确立在“天才论”的基础之上。
实际上，这正是20世纪科学世界在取得技术高度进步的同时，不得不向人们反复灌输所谓“科学宗教”的根本原因。
当然，这也是在20世纪末西方知识社会，之所以会爆发“科学大战”的历史背景。
尽管由于“科学大战”的双方似乎并不真正愿意承认或者诚实地面对包括西方哲学在“认识论”基础之上、以及整个现代自然科学体系一系列基元概念大量存在的认识紊乱。
因此，他们的“科学大战”只可能演变为“人文化”意义上无休无止的彼此攻歼。
然而，人类的历史总会前进。
任何形式的科学宗教，不仅仅成为强加于现代人类的精神枷锁，首先更是对西方世界一切善良、真诚、向往真理有识之士的精神桎梏。
[3]假设曲面S 上存在一条曲线（C ）2,1),(==i t u u i i该曲线上的点M (t ) 给出了曲面上的向量a (t )，或者说，该向量在曲面上点M (t ) 处切于曲面。
并且，沿着该曲线给出了一个定义在曲面之上的向量场。
当曲线上的参量t 从与点M 对应的值变化到与邻点M ’所对应的值时，曲面上的向量场相应变化为a (t ’)。
如果将M ’点处的向量 a (t ’)按照“通常意义的移动”重新移动到原来的M 点，并且将其增量的主要部分记为微分d a 。
显然，这个定义于M ’一点处的向量 a (t ’) 按照“通常意义”重新平移至点M 处的向量a + d a 一般不再在M 点处的切平面上。
因此，该向量 a +d a 不再是曲面在M 点处的切向量。
援引以上陈述时，笔者对相关陈述的词序做了某些细微的变动。
最初的陈述是：“当向量a 从点M 移动到（按通常意义的移动）到邻近点M ’时得到增量，其主要部分等于微分d a 。
从点M 引a + d a ，那么一般来说，这个向量不在点M 的切平面上。
因此，它不再是M 的切向量。
”显然，这些细微的差异并不在于陈述语言是否通顺，而在于尽可能消除对相关几何图像的理解歧义。
原著继而指出：也就是说，对于M ’点处向量a (t ’)，按照通常意义平移而至M 点，等价地表示为向量a +d a 时，向量a +d a 可以进一步分解为M 点处在切平面上的和沿曲面法线n 方向的两个分量。
注意：仅仅为了赋予古典微分几何中的这一表述以更为明确的几何内涵，此处构造与以上陈述保持一致的映射2')(:)(',))(()'(:)(?')'(:R t u u C M M M d M M M M M i i M M ⊂=∈+=∈=→∈→a a a a a a a (1)这样，将相关命题进一步明确为：定义于M ’点的向量如何在其邻点M 予以表述的问题。
相关教材继续指出：其中，该向量在法线方向上的分量为n a n n a a n a a )()]([)(d d d n ⋅=+⋅=+ (2)其中已经考虑向量a 定义在M 点的切平面上，因此其法向分量n ⋅a 恒等于零。
相M ’ (C)应得到切向分量n a n a a a a )()(d d d t ⋅−+=+ (3)这是沿曲线（C ），曲面上向量场a 在M ’点处的向量 a (t ’) 按照“通常平移”的概念移动至M 点时，在M 点的切平面上的投影向量。
于是，我们把曲面上点M 处向量 (a + d a ) t 与向量a 的差称为曲面上向量场a从M 点沿曲线（C ）移动到M ’点的绝对微分，表示为n a n a a )(d d D ⋅−= (4)由以上分析看出，对于定义在曲面上的向量场a 及其曲面上的一个给定曲线（C ）而言，向量场a 在曲面上M 点处并且沿着给定曲线的绝对微分D a ，就等于它的通常微分d a 投影到M 点切平面上的那个部分。
因此，曲面上向量场a 在点M 处的绝对微分D a 仍然是定义在曲面上的向量。
原文在此处的最初叙述为：“由以上看出，当向量从点M 沿曲线（C ）移动到点M ’ 时，向量a 的绝对微分D a 等于把它的通常微分d a 投影到点M 处的切平面上的部分，因此在点M 处向量的绝对微分D a 仍然是一个在点M 处切于曲面的向量。
”显然，两种陈述尽管都没有超越现代数学通常认同的范畴，但是，对于现代数学希望表述几何内涵的较为准确理解方面实际上存在着差异。
原著继而指出：如果上式所定义的绝对微分等于零，即n a n a a )(0d d D ⋅==a (5)该式表示：曲面上向量场在M ’点处的向量a (t ’) 按照‘通常意义平移’概念移动至M点，并且表示为M 点处的向量 a +d a 时，向量场的增量即通常意义上的微分d a 恰恰只与该点的法线方向n 重叠。
换句话说，对于定义于曲面之上的向量场a ，如果当此处所定义的绝对微分D a 能够满足等于零的条件，那么，将曲面上某确定点M邻点M ’处的向量a (t ’)按照通常意义的平移概念移动到原该确定点M ，表示为该点处的向量 a +d a ，那么，向量a +d a 在该确定点M 的切平面之上的投影该就等于向量场原来定义在M 点处的向量a 。
