2016届高考文科数学第一轮复习教(学)案——选修4-5不等式

选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．含____________的不等式叫作绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥0，－f x ，f x <0去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔________； |ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔__________.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．5．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．6．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图像求解．7．重要绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0.同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0.1．(2012天津高考)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5，则实数m 的取值范围为__________．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a 的值为__________．4．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________．5．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，f (x )＞2的解集为__________；若不等式a ＞f (x )有解，则实数a 的取值范围是__________．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则a ＝__________；若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，则k 的取值范围是__________． 方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图像法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值．请做演练巩固提升1二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若a ＝－1，则不等式f (x )≥3的解集为__________；若f (x )≥2，则a 的取值范围是__________．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x －a |＋|x －b |≥c 的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图像法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x －a |≥c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x －a |＜c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离小于c 的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升2三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图像解不等式【例3】 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|，则不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为_______．方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图像求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升3等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3的解集为__________；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则a 的取值范围为__________． 解析：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．答案：(1){x|x≤1或x≥4}(2)[－3,0]答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)≤|x－4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2]⊆[－2－a,2－a]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b满足的绝对值不等式是__________．2．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．4．设不等式|2x－1|＜1的解集为M，则集合M＝__________，若a，b∈M，则ab＋1与a＋b的大小关系是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥04．(a －b )(b －c )≥0 5．距离 7．|a |＋|b | 基础自测1．－3 解析：∵|x －2|≤5， ∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3.2．(－2,8) 解析：存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5⇔(|x －3|＋|x －m |)min ＜5，即|m －3|＜5，解得－2＜m ＜8.3．2 解析：由题意，知f (－2)＝f (3)＝5，即1＋|2＋a |＝4＋|3－a |＝5，解得a ＝2.4．(1,3) 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.5.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－7或x >53 a ＞－92解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2.解得x ＜－7或53＜x ≤4或x ＞4.所以原不等式的解集为{x |x ＜－7或x ＞53}．由题意知a ＞f (x )min ，又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x ≤4，x ＋5，x >4.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－92. 所以a ＞－92.考点探究突破【例1】 2 k ≥1 解析：由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 【例2】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.(方法二)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3.所以不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件； 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以对于任意的x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【例3】 {x |x ＜5} 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图像如下：不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )的图像可知，原不等式的解集为{x |x ＜5}． 演练巩固提升1．|a －b |≥3 解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，集合B ＝{x |x ＜b －2，或x ＞b ＋2}，又因为A ⊆B ，所以有a ＋1≤b －2，或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3，或a －b ≥3，即|a －b |≥3.2．－2≤a ≤4 解析：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x 到a 点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a ≤4.3．{x |x ≥0} 解析：令y ＝|x ＋10|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ≤－10，2x ＋8，－10<x <2，12， x ≥2.则可画出其函数图像如图所示：由图像可以观察出使y ≥8的x 的取值范围为[0，＋∞)． ∴|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为{x |x ≥0}． 4．{x |0＜x ＜1} ab ＋1＞a ＋b解析：由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．由a ，b ∈M ，得0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .。

选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式[考情展望] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考向一绝对值三角不等式的应用设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)∵32∈A ，12∉A ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，因此12＜a ≤32，又a ∈N *，从而a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|， 又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时等号成立． 故f (x )的最小值为3.规律方法1 1.本题常见的错误：(1)不能由12∉A ，得a ≤32；(2)第(2)问中，不能利用绝对值三角不等式进行放缩，这是失分的主要原因．2．利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．对点训练 对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值． 【解】 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.考向二 含绝对值不等式的解法(2014·课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)【证明】 f (x )≥2； (2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解】 (1)由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.规律方法2 1.第(1)问的关键是根据绝对值的三角不等式及a 的取值范围去掉绝对值符号．第(2)问中对参数a 的结论有两种情形，a 的取值范围是各类情形的并集．2．本题解不等式，是运用零点分区间讨论，另外还常用绝对值的几何意义数形结合求解．对点训练 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3. 若x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1. 若2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅. 若x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4. 综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}． (2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |， (**)当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 解之得－2－a ≤x ≤2－a .由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集， ∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0]．考向三 绝对值不等式的综合问题已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，因此－4a ＝－2且2a＝1，∴a ＝2.(2)法一 由(1)知f (x )＝|2x ＋1|， 记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－2|x ＋1|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.法二 记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则|h (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝||2x ＋1|－|2x ＋2||≤|(2x ＋1)－(2x ＋2)|＝1.当且仅当(2x ＋1)(2x ＋2)≥0时，即x ≥－12或x ≤－1时等号成立，则k ≥1.规律方法3 1.第(2)问求解的关键是转化为求⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的最大值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．对点训练 已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4. (1)若函数f (x )的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式f (x )－g (x )≥m ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的最大值． 【解】 (1)依题意，f (x )≤1，即|x －3|≤3.∴－3≤x －3≤3，∴0≤x ≤6，因此实数x 的取值范围是[0,6]． (2)f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6≥|(x －3)－(x ＋1)|－6＝－2， ∴f (x )－g (x )的最小值为－2， 要使f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R .应有m ＋1≤－2，∴m ≤－3，故实数m 的最大值是－3.课时检测 绝对值不等式(建议用时：45分钟)1．解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0； (2)||x －2|－1|≤1.【解】 (1)原不等式化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方， 化简得4x ＋1>4－8x ，解之得x >14.∴原不等式的解集⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14. (2)由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， ∴－2≤x －2≤2,0≤x ≤4.∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤4}．2．若关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a的解集是R ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a <0时，由于|x ＋1|＋|x －3|≥0， ∴原不等式的解集为R .(2)当a >0时，由于|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|≥4恒成立． 若使原不等式的解集为R ，只需a ＋4a ≤4，则a －2a≤0，∴a ＝2.综合(1)、(2)知，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}． 3．设f (x )＝|x －2|＋x ，g (x )＝|x ＋1|，解不等式g (x )<f (x )． 【解】 由g (x )<f (x )，得|x ＋1|<|x －2|＋x . ∴|x －2|－|x ＋1|＋x >0，①当x ≤－1时，(*)式化为(2－x )＋(x ＋1)＋x >0， ∴－3<x ≤－1.②当－1<x <2时，(*)式化为(2－x )－(x ＋1)＋x >0， ∴－1<x <1.③当x ≥2时，(*)式化为(x －2)－(x ＋1)＋x >0，则x >3. 综合(1)、(2)、(3)，原不等式的解集为{x |－3<x <1或x >3}． 4．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2化为|x －1|≥2， ∴x ≥3或x ≤－1.所以f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)∵f (x )≤0⇔|x －a |＋3x ≤0.(*)不等式(*)化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0.由于a >0，∴不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2. 依题意，得－a2＝－1，故a ＝2.5．(2014·重庆高考改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 设f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，f (x )>5；当－2≤x <12时，f (x )>52；当x ≥12时，f (x )≥52.因此f (x )的最小值为52，于是原不等式对∀x ∈R 恒成立，则a 2＋a 2＋2≤52，解之得－1≤a ≤12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]．7．(2015·大连模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式||a ＋b |－|a －b ||≤|a |f (x )(a ≠0，a ∈R ，b ∈R )恒成立，求实数x 的范围． 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥2，1，1<x <2，3－2x ，x ≤1.∴不等式f (x )≤3的解集为[0,3]．(2)因为||a ＋b |－|a －b ||≤2|a |，得2|a |≤|a |f (x )，由a ≠0，得2≤f (x )，即|x －1|＋|x －2|≥2.解得x ≤12或x ≥52.∴实数x 的取值范围是x ≤12或x ≥52.8．(2015·郑州质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ， 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立， 应有－a 2≥a －2，则a ≤43.9．(2014·辽宁高考)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x ∈－∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )] ＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎪⎫x －122≤14.10．(2015·南京调研)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{}x |x ≤1或x ≥5. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.第二节 不等式的证明[考情展望] 1.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.2.(供部分省选用)了解柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义，能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证A B≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．几个重要的不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．(3)定理3(二维形式的三角不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.考向一 比较法证明不等式已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 【解】 法一 ∵⎝⎛⎭⎪⎫a b＋b a －(a ＋b ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝a －ba －bab＝a ＋ba －b2ab≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b . 法二 由于a b ＋ba a ＋b＝a a ＋b bab a ＋b＝a ＋ba －ab ＋b ab a ＋b ＝a ＋b ab －1≥2abab－1＝1.又a ＞0，b ＞0，ab ＞0.∴a b ＋ba≥a ＋b . 规律方法1 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a ＞b 转化为证明a b＞1(b ＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．对点训练 求证：(1)当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2； (2)当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab ).【证明】 (1)(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2)＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0，∴1＋2x 4≥2x 3＋x 2.(2) ，当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＝1；当a >b >0时，a b>1，a －b2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >1；当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b>1.∴a a b b≥(ab ).考向二 综合法证明不等式(2013·课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.【证明】 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.规律方法2 1.综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法证明不等式，利用已证的不等式为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．对点训练(2014·江苏高考)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.【证明】因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥33xy2>0,1＋x2＋y≥33x2y>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.考向三分析法证明不等式(2015·郑州质检)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1) 若x2－1比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab.【解】(1)由题意知|x2－1－0|＞|1－0|，即|x2－1|＞1，所以x2－1＜－1或x2－1＞1，解得x＞2或x＜－2，所以x的取值范围是{x|x＞2或x＜－2}．(2)要证明a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab，即证|a3＋b3－2ab ab|＞|a2b＋ab2－2ab ab|，因为a≠b，故a2b＋ab2＞2a2bab2＝2ab ab，a3＋b3＞2a3b3＝2ab ab.所以只需证a3＋b3－2ab ab＞a2b＋ab2－2ab ab.即证明a3＋b3－(a2b＋ab2)＞0，化简得(a－b)2(a＋b)＞0显然成立，所以a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab.规律方法3 1.(1)善于把“新概念”，“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行操作．(2)第(2)问证明关键有两点：①将结论转化为证明绝对值不等式；②抓住基本不等式，巧妙去绝对值符号．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.对点训练 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证原不等式，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a >0，∴两边均大于零． 因此只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证 2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，又a 2＋1a2≥2显然成立，∴原不等式成立．考向四 柯西不等式的应用(2014·福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 【解】 (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.规律方法4 1.第(1)问活用绝对值不等式的性质，回避分类讨论，优化解题过程． 2．第(2)问构造两个数组，使之与柯西不等式有相似的结论，从而利用柯西不等式给出证明．当然本题亦可利用基本不等式放缩将条件平方转化证明，请读者完成．对点训练 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋2b ＋3c ＝6，求a 2＋4b 2＋9c 2的最小值．【解】 由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥12，又a ＋2b ＋3c ＝6，∴当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时，(*)式取等号．从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.课时检测 不等式的证明 (建议用时：45分钟)1．(2015·太原调研)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn )·(bm ＋an )的最小值．【解】 ∵a ，b ，m ，n 为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2， ∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2) ＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2， 当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”． 故(am ＋bn )·(bm ＋an )的最小值为2.2．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.【证明】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴2ab ≤a ＋b ＝1. 因此ab ≤12，1ab≥4.则1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8.故1a ＋1b ＋1ab≥8成立．3．(2014·陕西高考改编)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2＋n 2的最小值．【解】 由柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)， 得25≤5(m 2＋n 2)，∴m 2＋n 2≥5.当且仅当a b ＝m n时，等号成立，故m 2＋n 2的最小值为 5. 4．设不等式|2x －1|<1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 【解】 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1， 解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}． (2)由(1)知a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .5．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【证明】 因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立； 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．因此当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．6．(2014·课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 【解】 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2.当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.7．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 【证明】 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.欲证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m 成立． 只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 只要证明a 2－2ab ＋b 2≥0，又a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .8．已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.【证明】 法一 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ； 1b ＋1c≥21bc＝2a ；1c ＋1a ≥21ac＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .法二 ∵a ，b ，c 是互不相等的正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.9．(2015·南京调研)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，且a ，b ，c 大于0，a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥3＋22b a ·a2b＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b3c＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9. 10．已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝－x2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 【解】 (1)证明：∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2a －b －b 2a －b ab ＝a －b 2a ＋bab.又∵a ＞0，b ＞0，∴a －b2a ＋bab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b . (2)∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0， 由(1)的结论，函数y ＝－x2x＋x 21－x≥(1－x )＋x ＝1. 当且仅当1－x ＝x 即x ＝12时等号成立．∴函数y ＝－x2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值为1.。

选修4­5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. （选修45P 5例2改编）解不等式|2x －1|>3.解：不等式|2x －1|＞3可化为2x －1<－3或2x －1>3，解得x<－1或x>2.故不等式的解集为{x| x<－1或x>2}.2. 已知|x －a|<b （a ，b ∈R ）的解集为{x|2<x<4}，求a －b 的值.解：由|x －a|<b ，得a －b<x<a ＋b.又|x －a|<b （a ，b ∈R ）的解集为{x|2<x<4}，所以a －b ＝2.3. 求不等式|2x ＋1|－|5－x|＞0的解集. 解：原不等式化为|2x ＋1|>|5－x|， 两边同时平方得 4x 2＋4x ＋1>25－10x ＋x 2， 即3x 2＋14x －24>0，解得原不等式的解集为（－∞，－6）∪（43，＋∞）.4. （选修45P 6例4改编）若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围.解：由绝对值不等式的几何性质知，|x －4|＋|x －3|≥|（x －4）－（x －3）|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是（1，＋∞）.5. 不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，求实数k 的取值范围.解：（解法1）根据绝对值的几何意义，设数x ，－1，2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB>k 恒成立.∵ AB＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3，∴ 故当k<－3时，原不等式恒成立.即实数k 的取值范围为（－∞，－3）.（解法2）令y ＝|x ＋1|－|x －2|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2，作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2的图象（如图），要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可.即实数k 的取值范围为（－∞，－3）.1. 不等式的基本性质 ① a>b ⇔b<a ； ② a>b ，b>c ⇒a>c ； ③ a>b ⇒a ＋c>b ＋c ； ④ a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；⑤ a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ； ⑥ a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ； ⑦ a>b>0⇒a n>b n（n∈N ，且n>1）； ⑧ a>b>0⇒na>nb （n∈N ，且n>1）.2. 含有绝对值的不等式的解法① |f （x ）|>a （a>0）⇔f （x ）>a 或f （x ）<－a ； ② |f （x ）|<a （a>0）⇔－a<f （x ）<a. 3. 含有绝对值的不等式的性质 ① |a|＋|b|≥|a＋b|； ② |a|－|b|≤|a＋b|；③ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.[备课札记]1 含绝对值不等式的解法1 解不等式：|x －2|＋x|x ＋2|＞2.解：当x≤－2时，不等式化为（2－x ）＋x （－x －2）＞2，解得－3＜x≤－2； 当－2＜x ＜2时，不等式化为（2－x ）＋x （x ＋2）＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； 当x≥2时，不等式化为（x －2）＋x （x ＋2）＞2，解得x≥2.所以原不等式的解集为{x|－3＜x ＜－1或x ＞0}. 备选变式（教师专享）已知函数f （x ）＝|x ＋a|＋|x －2|.（1） 当a ＝－3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2） 若f （x ）≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围. 解：（1） 当a ＝－3时，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4. 所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}. （2） f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔ 4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔ －2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]., 2 含绝对值不等式的运用), 2) 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1.证明：因为|x ＋5y|＝|3（x ＋y ）－2（x －y ）|. 由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y|＝|3（x ＋y ）－2（x －y ）|≤|3（x ＋y ）|＋|2（x －y ）|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1. 变式训练设函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|（a ＞0）. （1） 求证：f （x ）≥2；（2） 若f （3）＜5，求实数a 的取值范围.（1） 证明：由a ＞0，有f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a≥2，所以f （x ）≥2.（2） 解：f （3） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a|.当a ＞3时，f （3） ＝a ＋1a ，由f （3） ＜5，得3＜a ＜5＋212；当0＜a≤3时，f （3） ＝6－a ＋1a ，由f （3）＜5，得1＋52＜a≤3.综上，a 的取值范围是（1＋52，5＋212）., 3 含绝对值不等式的综合运用) , 3) 已知函数f （x ）＝|2x ＋1|＋|2x －3|. （1） 求不等式f （x ）≤6的解集；（2） 若关于x 的不等式f （x ）＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（1） 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x≤－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32≤x ≤2或－12＜x ＜32或－1≤x≤－12，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.（2） ∵ f（x ）＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|（2x ＋1）－（2x －3）|＝4，∴ |a －1|＞4，解此不等式得a ＜－3或a ＞5.故实数a 的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）. 变式训练已知a>0，b>0，且a 2＋b 2＝92，若a ＋b≤m 恒成立.（1） 求m 的最小值；（2） 若2|x －1|＋|x|≥a＋b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围.解：（1） ∵ （a 2＋b 2）（12＋12）≥（a ＋b ）2， ∴ a ＋b≤3，当且仅当a 1＝b1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝32时取等号.∵ a ＋b≤m 恒成立，∴ m ≥3. 故m 的最小值为3.（2） 要使2|x －1|＋|x|≥a＋b 恒成立， 则2|x －1|＋|x|≥3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－2x ＋2－x≥3或⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤1，－2x ＋2＋x≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，2x －2＋x≥3. ∴ x ≤－13或x≥53.∴ x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞.1. （2017·苏北四市期末）已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式|x ＋1|－2x ＜m.解：因为a ，b ，c>0，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc≥331a 3·1b 3·1c 3＋27abc ＝3abc＋27abc≥23abc ·27abc＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝313时，取等号， 所以m ＝18.所以不等式|x ＋1|－2x<m ，即|x ＋1|<2x ＋18， 所以－2x －18<x ＋1<2x ＋18，解得x>－193，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－193，＋∞. 2. （2016·江苏卷）设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.证明：∵ |x－1|<a 3，|y －2|<a3，∴ |2x ＋y －4|＝|2（x －1）＋（y －2）|≤2|x－1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.3. （2017·苏北四市期中） 设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c.证明：因为|x －1|＜c 3，所以|2x －2|＜2c3，故|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1|≤|2x－2|＋|y －1|＜2c 3＋c3＝c ，故|2x ＋y －3|＜c.4. 已知一次函数f （x ）＝ax －2. （1） 当a ＝3时，解不等式|f （x ）|<4； （2） 解关于x 的不等式|f （x ）|<4；（3） 若不等式|f （x ）|≤3对任意x∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1） 当a ＝3时，则f （x ）＝3x －2，∴ |f （x ）|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x<6⇔－23<x<2，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23＜x ＜2. （2） |f （x ）|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4⇔－2<ax<6， 当a>0时，不等式的解集为{x|－2a ＜x ＜6a }；当a<0时，不等式的解集为{x|6a ＜x ＜－2a}.（3） |f （x ）|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax－2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax≤5，ax ≥－1.∵ x ∈[0，1]，∴ 当x ＝0时，不等式组恒成立； 当x≠0时，不等式组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5x，a ≥－1x .∵ 5x ≥5，－1x ≤－1，∴ －1≤a≤5. ∴ a 的取值范围为[－1，5].1. （ 2017·苏州期初）已知a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x－1＋a －（x －a ）|＝|2a －1|.又a≥2，故|2a －1|≥3. 所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.2. 设不等式|x －2|＋|3－x|<a （a∈N *）的解集为A ，且2∈A ，32∉A.（1） 求a 的值；（2） 求函数f （x ）＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值.解：（1） 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤2，所以1<a≤2.因为a∈N *，所以a ＝2.（2） 因为|x ＋2|＋|x －2|≥|（x ＋2）－（x －2）|＝4， 所以f （x ）的最小值是4.3. 已知实数x ，y 满足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16，求证：|y|<518.证明：因为3|y|＝|3y|＝|2（x ＋y ）－（2x －y ）|≤2|x＋y|＋|2x －y|， 由题设知|x ＋y|<13，|2x －y|<16，从而3|y|<23＋16＝56，所以|y|<518.4. 对于任意的实数a （a≠0）和b ，不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|（|x －1|＋|x －2|）恒成立，求实数x 的取值范围.解：不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|（|x －1|＋|x －2|）恒成立，即|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b|＋|a －b||a|对于任意的实数a （a≠0）和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值即可.因为|a ＋b|＋|a －b|≥|a＋b ＋a －b|＝2|a|，即|a ＋b|＋|a －b||a|≥2，也就是|a ＋b|＋|a －b||a|的最小值为2，于是|x －1|＋|x －2|≤2， 由绝对值的意义得12≤x ≤52.1. |ax ＋b|≤c（c ＞0）和|ax ＋b|≥c（c ＞0）型不等式的解法 （1） |ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c.（2） |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.2. |x－a|＋|x－b|≥c（c＞0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.第2课时 不等式证明的基本方法（对应学生用书（理）210～214页）1. （选修45P 12例2改编）若a ，b ∈{x|0<x<1}，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小. 解：因为0<a<1，0<b<1，所以a －1＜0，b －1<0. 所以（ab ＋1）－（a ＋b ）＝（a －1）（b －1）>0. 故ab ＋1>a ＋b.2. 若a ，b ，c ∈R *，且满足a ＋b ＋c ＝2，求abc 的最大值.解：因为a ，b ，c ∈R *，所以2＝a ＋b ＋c≥33abc ，故abc ≤827.当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827.3. 若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝4，求3a ＋4b ＋5c 的最大值.解：由柯西不等式得（3a ＋4b ＋5c ）2≤（a 2＋b 2＋c 2）（9＋16＋25）＝200，所以－102≤3a ＋4b ＋5c≤102，所以3a ＋4b ＋5c 的最大值为10 2.4. 已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y . 证明：∵ x＞0，y ＞0，∴ x ＋y ＞0，∴ 要证⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y ， 即证（ax ＋by ）2≤（x ＋y ）（a 2x ＋b 2y ），即证xy （a 2－2ab ＋b 2）≥0，即证（a －b ）2≥0. 而（a －b ）2≥0显然成立，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y . 5. 已知a ，b ＞0，a ＋b ＝2，x ，y ＞0，求证：（ax ＋by ）（bx ＋ay ）≥4xy .证明：已知（ax ＋by ）（bx ＋ay ）＝ab （x 2＋y 2）＋（a 2＋b 2）·xy，且a ，b ，x ，y ＞0，所以由均值不等式得ab （x 2＋y 2）＋（a 2＋b 2）xy≥（a 2＋2ab ＋b 2）xy ＝（a ＋b ）2xy ＝4xy ，当且仅当x ＝y 时取等号.1. 不等式证明的常用方法（1） 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的.比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负.比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号.其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述.（2） 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式.（3） 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”.2. 不等式证明的其他方法和技巧 （1） 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法.（2） 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C 1≥C 2≥…≥C n≥B ，利用传递性达到证明的目的.（3） 数学归纳法 3. 柯西不等式的二维形式（1） 柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则（a 21＋a 22）（b 21＋b 22）≥（a 1b 1＋a 2b 2）2（当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立）.（2） 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.（3） 三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2. 4. 柯西不等式的一般形式设n 为大于1的自然数，a i ，b i （i ＝1，2，…，n ）为实数，则∑ni ＝1a 2i∑ni ＝1b 2i≥⎝⎛⎭⎫∑ni ＝1a ib i 2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n时成立（当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n ）.5. 算术几何平均不等式a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n （a 1，a 2，…，a n ∈R *），等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立., 1 用比较法证明不等式), 1) （2017·南京、盐城模拟）设a≠b，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab （a 2＋b 2）.证明：a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab （a 2＋b 2）＝（a 2＋b 2）2－4ab （a 2＋b 2）＋4a 2b 2＝（a 2＋b 2－2ab ）2＝（a －b ）4.因为a≠b，所以（a －b ）4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab （a 2＋b 2）. 备选变式（教师专享）已知m ，n 是正数，求证：m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2.证明：∵ m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m ＝（m 3－n 3）（m －n ）mn＝（m －n ）2（m 2＋mn ＋n 2）mn，又m ，n 均为正实数，∴ （m －n ）2（m 2＋mn ＋n 2）mn ≥0，∴ m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2，当且仅当m ＝n 时，等号成立., 2 用分析法、综合法证明不等式), 2) （2017·南通、泰州模拟）设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx.证明：因为x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，所以1x 3y ＋xy≥2x ＝2yz ，1y 3z ＋yz≥2y ＝2xz ，1z 3x ＋xz≥2z ＝2xy.所以1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ≥xy ＋yz ＋zx.变式训练已知a ，b ，c 均为正数.求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3. 证明：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca. 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca ≥6 3. 所以原不等式成立., 3 均值不等式的应用), 3) （2017·南通、扬州、泰州模拟）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1.求证：a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d.证明：因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1， 所以a 5＋b ＋c ＋d≥44a 5bcd ＝4a ①.同理b 5＋c ＋d ＋a≥4b ②，c 5＋d ＋a ＋b≥4c ③，d 5＋a ＋b ＋c≥4d ④， 将①②③④式相加并整理，即得a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d. 变式训练已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：因为x ，y ，z 均为正数， 所以x yz ＋y zx ≥1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥2z .同理可得z xy ＋y zx ≥2x ，x yz ＋z xy ≥2y.当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式左、右两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 备选变式（教师专享）已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求（a ＋2）（b ＋2）（c ＋2）的最小值.解：∵ （a ＋2）（b ＋2）（c ＋2）＝（a ＋1＋1）（b ＋1＋1）（c ＋1＋1）≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立， ∴ （a ＋2）（b ＋2）（c ＋2）的最小值为27. , 4 柯西不等式的应用), 4) （2017·苏锡常镇一模）已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值.解：由柯西不等式可得（3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1）2≤（12＋12＋12）·[（3a ＋1）2＋（3b ＋1）2＋（3c ＋1）2]＝3×12，∴ 3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤6，当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时取等号. ∴ 3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值是6. 变式训练求函数f （x ）＝5x ＋8－2x 的最大值. 解：函数定义域为[0，4]，且f （x ）≥0.由柯西不等式得[52＋（2）2][（x ）2＋（4－x ）2]≥（5·x ＋2·4－x ）2， 即27×4≥（5·x ＋2·4－x ）2， 所以5x ＋8－2x ≤6 3.当且仅当2·x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号.所以函数f （x ）＝5x ＋8－2x 的最大值为6 3. 备选变式（教师专享）（2017·南京期末）求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值. 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x.由柯西不等式得y 2＝（3sin x ＋4cos 2x ）2≤（32＋42）·（sin 2x ＋cos 2x ）＝25， 所以y max ＝5，此时sin x ＝35.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5.1. （2017·苏州期中）已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15. 证明：∵ [（1＋a ）＋（1＋b ）＋（1＋c ）＋（1＋d ）]·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥（1＋a ·a 1＋a＋1＋b ·b 1＋b＋1＋c ·c 1＋c＋1＋d ·d 1＋d）2＝（a ＋b ＋c ＋d ）2＝1，又（1＋a ）＋（1＋b ）＋（1＋c ）＋（1＋d ）＝5， ∴ a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15. 2. （2017·南京、盐城期末）若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.解：由柯西不等式，得（x ＋2y ＋z ）2≤（12＋22＋12）·（x 2＋y 2＋z 2）， 即x ＋2y ＋z≤12＋22＋12·x 2＋y 2＋z 2. 因为x ＋2y ＋z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥16，当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝z ＝16，y ＝13时取等号.综上，（x 2＋y 2＋z 2）min ＝16.3. （2017·镇江期末）已知a ＞0，b ＞0，求证：（a 2＋b 2＋ab ）·（ab 2＋a 2b ＋1）≥9a 2b 2. 证明：因为a ＞0，b ＞0，由均值不等式知a 2＋b 2＋ab≥33a 3b 3＝3ab ，ab 2＋a 2b ＋1≥33a 3b 3＝3ab ，所以两式相乘可得（a 2＋b 2＋ab ）·（ab 2＋a 2b ＋1）≥9a 2b 2.4. （2017·常州期末）已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，求4x 2＋y 2的最小值. 解：（解法1）根据柯西不等式得[（2x ）2＋y 2]（12＋12）≥（2x ＋y ）2，化简得4x 2＋y 2≥18，当且仅当2x ＝y ＝3，即x ＝32，y ＝3时取等号.因此，当x ＝32，y ＝3时，4x 2＋y 2取得最小值18.（解法2）由2x ＋y ＝6得y ＝6－2x ；由x ＞0，y ＞0，得0＜x ＜3.因此4x 2＋y 2＝4x 2＋（6－2x ）2＝8x 2－24x ＋36＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋18. 当x ＝32，y ＝3时，4x 2＋y 2取得最小值18.5. 已知a ，b ，c>0，且1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1＝1，求证：a a 2＋1＋b b 2＋1＋cc 2＋1≤ 2.证明：因为1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1＝1，所以a 2a 2＋1＋b 2b 2＋1＋c2c 2＋1＝2.由柯西不等式，得（1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1）（a 2a 2＋1＋b 2b 2＋1＋c 2c 2＋1）≥（a a 2＋1＋b b 2＋1＋cc 2＋1）2，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＋cc 2＋1≤ 2.1. 已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.证明：因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2（x 1＋x 2＋x 3）＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号.所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.2. 设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋ c.证明：由a ，b ，c 均为正数，根据均值不等式，得1a ＋1b ≥2ab ，1b ＋1c ≥2bc ，1c ＋1a ≥2ca.将此三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ca.由abc ＝1，则有abc ＝1.所以1a ＋1b ＋1c ≥abc ab ＋abc bc ＋abcca＝a ＋b ＋ c.3. （2017·苏北三市模拟）已知a ，b ，c 为正实数，且a 3＋b 3＋c 3＝a 2b 2c 2.求证：a ＋b＋c≥333.证明：因为a 3＋b 3＋c 3＝a 2b 2c 2≥33a 3b 3c 3，所以ab c≥3，所以a ＋b ＋c≥33abc ≥333，当且仅当a ＝b ＝c ＝33时，取等号. 4. 已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值.解：由柯西不等式，得[a 2＋（2b ）2＋（3c ）2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥（a ＋b ＋c ）2.因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以（a ＋b ＋c ）2≤11， 所以－11≤a ＋b ＋c≤11.所以a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝时取得.。

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式对应学生用书P172 根底盘查一绝对值三角不等式(一)循纲忆知理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.(二)小题查验1．推断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立()(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立()(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材习题改编)f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________．解析：∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1,∴f(x)min＝1.答案：13．假设|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2＝5.答案：5根底盘查二绝对值不等式的解法(一)循纲忆知会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.(二)小题查验1．推断正误(1)|ax＋b|≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c()(2)假设|x|＞c的解集为R，则c≤0()(3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅()答案：(1)√(2)×(3)√2．假设关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．解析：由|x－a|＜1，则－1＜x－a＜1，∴a－1<x＜a＋1，∴a＝2.答案：23．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)对应学生用书P172 考点一绝对值不等式的解法|(根底送分型考点——自主练透)[必备知识]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)假设c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．(2)假设c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为假设干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得假设干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．[提示]解含绝对值号的不等式要注意分类商量思想的应用．[题组练透]1．解不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0.解：法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，(2x ＋1)－2(x －1)＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.2．(2021·广东高考改编)解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5. 解：当x <－2时，原不等式即1－x －x －2≥5⇒x ≤－3， 此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋x ＋2≥5，此时无解； 当x >1时，原不等式即x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2， 此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{ x |x ≤－3或x ≥2}． 3．解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解：①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[类题通法]含绝对值不等式的常用解法1．根本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．考点二 绝对值不等式的证明|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.[提示] 绝对值不等式的证明实质是放缩思想的运用．[典题例析](2021·河北唐山三模)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比拟|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.[类题通法]证明绝对值不等式主要的三种方法1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明． 2．利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． 3．转化为函数问题，数形结合进行证明．[演练冲关]x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类商量去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[典题例析](2021·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a | (a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)假设f (3)<5，求a 的取值范围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥“a ＝1〞时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.[类题通法]解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类商量，将原问题转化为分段函数问题进行解决．[演练冲关]1．(2021·大同调研)函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3， ∴①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－2x ＋2－x ≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜2，2x －1＋2－x ≤3或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＋x －2≤3.解①求得0≤x ＜12；解②求得12≤x ＜2；解③求得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (2)∵当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立， 即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4的最大值为6－4＝2,4－x 的最小值为4－2＝2， ∴2a ＝2，∴a ＝1， 即a 的范围为{1}．1．假设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －m |－4的定义域为R ，求实数m 的取值范围． 解：根据题意，不等式|x ＋2|＋|x －m |－4≥0恒成立，所以(|x ＋2|＋|x －m |－4)min ≥0.又|x ＋2|＋|x －m |－4≥|m ＋2|－4，所以|m ＋2|－4≥0⇒m ≤－6或m ≥2.2．(2021·重庆高考改编)假设不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．对应B 本课时跟踪检测〔六十六〕解：|2x －1|＋|x ＋2|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋2)＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 3．(2021·云南模拟)函数f (x )＝|x －a |.(1)假设f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥ f (x ＋2t )．解：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，所以f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，等价于|x －2＋2t |－|x －2|≤t . 当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ， 解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ≤2－t2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R; 当t ＞0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤2－t 2.4．(2021·洛阳模拟)函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |. (1)求不等式f (x )＞0的解集；(2)假设存在x 0∈R ，使得f (x 0)≤m 成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ＜－12，3x ＋1，－12≤x ≤0，x ＋1，x ＞0.当x ＜－12时，由－x －1＞0得x ＜－1，当－12≤x ≤0时，由3x ＋1＞0得x ＞－13，即－13＜x ≤0，当x ＞0时，由x ＋1＞0得x ＞－1，即x ＞0. 综上，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞－13.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12. 假设存在x 0∈R ，使得f (x 0)≤m 成立，即m ≥－12.∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 5．函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)假设f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解； 当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．6．(2021·长春联考)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)． (2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.7．(2021·昆明模拟)函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)假设关于x 的不等式f (x )<|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)假设关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |>4，∴a <－32或a >52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0， 即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6， ∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32<m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m <－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．8．(2021·沈阳模拟)函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)假设∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)<m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)<m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 第二节不等式的证明根底盘查 不等式证明的方法 (一)循纲忆知了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法． (二)小题查验 1．推断正误(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0〞时假设为“a ，b ，c 全不为0〞( ) (2)假设实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0( ) 答案：(1)× (2)√2．假设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则m 与n 的大小关系为________． 解析：∵n －m ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴n ≥m . 答案：n ≥m考点一 比拟法证明不等式|(根底送分型考点——自主练透) [必备知识](1)求差比拟法：了解a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比拟法．(2)求商比拟法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比拟法．[题组练透]1．c >b >a ，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 证明：ab 2＋bc 2＋ca 2－(a 2b ＋b 2c ＋c 2a ) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2)＋b (b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝(c 2－b 2)(b －a )＋(b 2－a 2)(b －c )对应学生用书P175 对应学生用书P175＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a )．∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2＋bc 2＋ca 2>a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.2．a ，b ∈(0，＋∞)，证明：a a b b ≥(ab )a ＋b 2.证明：a ab b (ab )2a b +＝a2a b -b2b a -＝⎝⎛⎭⎫a b 2a b-，当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2a b-＝1.当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1.当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b->1.综上可知，a a b b ≥(ab )2a b +成立．[类题通法]用比拟法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—推断—结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解．考点二 综合法与分析法|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果〞的方法．2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因〞的方法．3．平均值不等式定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．4．一般形式的算术—几何平均值不等式如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典题例析]1．a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：法一：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc ＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立. 法二：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 2．a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．[类题通法]1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a 2≥0；(2)|a |≥0；(3)a 2＋b 2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22等；(4)a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a >0)，b a ＋a b ≥2(ab >0)，b a ＋ab≤－2(ab <0)等．2．分析法证明不等式的考前须知：用分析法证明不等式时，不要把“逆求〞错误地作为“逆推〞，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证〞、“只需证〞这样的连接“关键词〞．[演练冲关](2021·新课标全国卷Ⅰ)假设a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.对应A 本课时跟踪检测(六十七)1．(2021·江苏高考)x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 2．n ≥2，求证：1n>n －n －1. 证明：要证1n>n －n －1， 只需证1n >(n －n －1)(n ＋n －1)n ＋n －1. 即1n >1n ＋n －1， 只需证 n ＋n －1>n ， 只需证n －1>0， 只需证n >1， 因为n ≥2>1，所以1n>n －n －1. 3．a ，b ，c 均为正数，求证： (1)b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥a ＋b ＋c ；(2)a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32. 证明：(1)b 2a ＋c 2b ＋a 2c＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a2c ＋c －(a ＋b ＋c ) ≥2b 2a·a ＋2c 2b·b ＋2a 2c·c －(a ＋b ＋c ) ＝a ＋b ＋c (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)，得证． (2)a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ＝a ＋b ＋c b ＋c ＋a ＋b ＋c a ＋c ＋a ＋b ＋ca ＋b－3 ＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )]·⎝⎛⎭⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3 ≥12×33(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )×331(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )－3 ＝92－3＝32， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，得证． 4．a >2，求证：log a (a －1)<log (a ＋1)a . 证明：∵a >2，∴a －1>1， ∴log a (a －1)>0，log (a ＋1)a >0.由于log a (a －1)log (a ＋1)a＝log a (a －1)log a (a ＋1)<⎣⎡⎦⎤log a (a －1)＋log a (a ＋1)22＝⎣⎡⎦⎤log a (a 2－1)22.∵a >2，∴0<log a (a 2－1)<log a a 2＝2. ∴⎣⎡⎦⎤log a (a 2－1)22<⎣⎡⎦⎤log a a 222＝1. ∴log a (a －1)<log (a ＋1)a .5．(2021·银川市质检)a ，b ，c 全为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)ab ＋bc ＋ca ≤1； (2)a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：(1)∵a ，b ，c 全为正数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)；b ＋c ≥2bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)； c ＋a ≥2ca (当且仅当c ＝a 时等号成立)，∴2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)． ∴ab ＋bc ＋ca ≤1(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)． (2)a 2＋b 2＋c 2≥13⇔a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23⇔a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)b 2＋c 2≥2bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)c 2＋a 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时等号成立)2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ⇒a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)．6．设a ，b ，c 均为正实数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 证明：∵a ，b ，c 均为正实数， ∴12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ， 当且仅当c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 7．x ，y ∈R ，且|x |<1，|y |<1. 求证：11－x 2＋11－y 2≥21－xy. 证明：法一：分析法：∵|x |<1，|y |<1， ∴11－x 2>0，11－y 2>0， ∴11－x 2＋11－y 2≥2(1－x 2)(1－y 2).故要证明结论成立， 只要证明2(1－x 2)(1－y 2)≥21－xy 成立． 即证1－xy ≥(1－x 2)(1－y 2)成马上可． ∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2， ∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥(1－x 2)(1－y 2)>0. ∴不等式成立．法二：综合法：∵211－x 2＋11－y 2≤1－x 2＋1－y 22＝2－(x 2＋y 2)2≤2－2|xy |2＝1－|xy |，∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．8．(2021·辽宁高考)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8xf (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4， 解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤ 34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤ 34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。