第十七章 反比例函数全章小结-

反比例函数知识点总结 李苗知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xk y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xk y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数x k y =（0k ≠） k 的符号 0k >0k < 图像性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k <时，函数图像注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数知识点总结一、定义和性质y=k/x其中k为常数，称为反比例函数的比例常数。

1.y随着x的增加而减小，或随着x的减小而增加。

2.当x=0时，函数y无定义。

3.曲线y=k/x在第一象限中，以坐标轴为渐近线。

二、图像和图像特征第一象限：当x>0时，y>0，两者同号，图像在该象限中呈现右上方向的增长，且随着x增大而逐渐降低，但不会等于0。

这个分支与y轴无交点，但是它和x轴的交点是(1/k,k)。

第二象限：当x<0时，y<0，两者异号，图像在该象限中呈现左下方向的增长，且随着x减小而逐渐增大，但不会等于0。

这个分支与y轴无交点，但是它和x轴的交点是(-1/k,-k)。

三、定义域和值域四、解析表达式五、反比例函数的性质与变换1.反比例函数的比例常数k越大，曲线的形状越平缓，即曲线与坐标轴之间的夹角越小。

2.反比例函数的图像关于y轴对称。

3.对于反比例函数的图像，x轴和y轴是渐近线，即曲线会无限接近x轴和y轴。

4.若给定一个特定的函数值y0，可以通过求解方程y0=k/x，得到x 与y的关系式。

六、反比例函数的应用1.马力与速度的关系：汽车的马力与速度成反比例关系，马力越大，达到其中一速度所需的时间越短。

2.投资收益与投资金额的关系：在一些投资项目中，投资收益与投资金额成反比例关系，这意味着投资金额较小的项目可能会有更高的投资收益率。

3.速度与时间的关系：在物理学中，速度和时间是反比例关系，速度越大，所需的时间越短。

4.电阻与电流的关系：根据欧姆定律，电阻与电流成反比例关系，电阻越大，所能通过的电流越小。

总结：反比例函数是一类常见的函数关系，具有重要的应用价值。

对于反比例函数的定义和性质，需要了解其图像特征以及定义域和值域的范围。

同时，反比例函数可以通过解析表达式表示，并具有一些特殊的性质和变换规律。

在实际生活中，反比例函数有着广泛的应用，例如在汽车马力与速度的关系、投资收益与投资金额的关系、速度与时间的关系以及电阻与电流的关系等方面。

八年级数学第十七章反比例函数单元分析
本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。

反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。

本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。

第17.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。

反比例函数（k
为常数，）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，y
随x的增大（减
小）而减小（增大）；当时，图象分布在二、四象限，y随x的增大（减小）
而增大（减小）。

第17.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。

教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与已学内容的衔接，还要加强反比例函数与正比例函数的对比。

本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。

教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通。

本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力。

课时分配
17.1 反比例函数
3课时
17.2 实际问题与反比例函数 4课时数学活动
小结
1课时
17.1反比例函数
17.2实际问题与反比例函数。

数学反比例函数知识点总结数学反比例函数知识反比例函数主要考察三个方面1)反比例函数图像的性质;2)求反比例函数解析式;3)K的几何性质的应用。

以上几点考察基本上都是和一次函数，相似，全等，方程，圆，三角函数，勾股定理等知识相结合考察，单一命题的机会比较少同时题目也比较简单。

本专题主要针对B卷类近几年考到的填空题做出总结，让同学们能够从多角度，多方位的训练。

反比例函数的定义如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

y是x的反比例函数?函数表达式为y=k/x 或y=kxˉ1或xy=k(k为常数，k≠0)。

反比例专题我们总结出六类常考题型：1)由反比例函数k的几何意义转化出三角形或梯形之间面积的等量关系题型。

2)由反比例函数和一次函数相交形成的线段等量关系题型。

3)由反比例函数和一次函数相交求交点坐标的题型。

4)反比例函数与相似三角形综合考察求k或线段比题型。

5)反比例函数图像的分布与k之间的关系题型6)反比例函数与三角函数，方程(组)等有关的问题。

数学反比例函数知识2反比例性质1规律：反比函数与一次函数(与正比例函数相交，交点关于原点对称)相交，求线段数量关系时，切记“原点O到两交点的距离是相等的”若给出反比函数解析式，那么最终求得的结果的过程肯定要转化成关于“k”的几何意义。

2规律：一次函数与反比函数相交且两函数解析式都未知，此时一次函数所在直线与交点分别于x轴，y轴做垂线的交点所连接的线段是相互平行的，同时一次函数与反比函数的交点到一次函数与x轴，y轴的交点的距离是相等的。

3规律：题目中给出线段比例和四边形的面积求k 问题，利用同底等高三角形面积与高之间的关系，面积与k之间的关系。

求出k(此时不用具体求出点坐标)。

4规律：有中点时利用中点坐标公式，再根据反比函数上任何一点处的几何意义都相同的思想转化出面积问题。

5规律：若反比例函数图像经过多个点，那么在这几点处的几何意义是相同的。

反比例函数知识点总结归纳反比例函数知识点总结归纳反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)假设y=k/nx此时比例系数为：k/n函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的'取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一实在数y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x(-1) y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时，假设能灵敏运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。

拓展阅读：进步数学成绩的窍门学习效率之关于难题很多学生喜欢攻克难题的那种乐趣，于是他们拿出那种不到黄河心不死的精神，有时候消耗一节课时间，攻克一道难题，并且很有成就感。

记住：永远不要花一节课时间去攻克一道难题，这是造成学习效率低下的重大原因。

你用一节课攻克一道题，其他题目怎么办，你时间够用吗，更重要的是，你对这道题目，真的收获很大吗。

看完答案，或者听完讲解之后，你必需要花更多的时间来归纳总结：我为何没有解答出这道题，打破口在哪里，我为什么没找到，是哪些【关键词】：^p 汇触发理解题思路，我该如何建立条件反射，以便以后再次看到这些词汇信息，迅速找到相关打破口。

记住，这才是最重要的工作。

归纳总结很重要数学的归纳总结太重要了。

课题： 反比例函数小结与复习（2）学习目标：能用反比例函数的知识解决有关问题。

学习重点：建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。

学习难点：建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。

教学流程：一：课前检测二：自主学习1、知识结构：2、常见的与实际问题相关的反比例关系：（1） 面积一定时，矩形的长与宽成反比例；（2） 面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；（3） 体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例；（4） 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；（5） 总价一定时，单价与商品的件数成反比例。

三：探究展示1、一封闭电路中，电流I （A ）与电阻R （Ω）的图象如下图，回答下列问题：（1）写出电路中电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系式。

（2）如果一个用电器的电阻为5Ω，其允许通过的最大电流为1A ，那么这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧毁？说明理由。

2、某水库蓄水160万立方米，由于连降大雨，水库的蓄水量达到了190万立方米，为保证安全，该区地防洪部门决定开闸放水，使水库蓄水量回到160万立方米。

（1） 写出放水时间t （天）与放水量a （万立方米/天）之间的函数关系。

（2） 如果每天放水6万立方米，几天可以使水库的蓄水量回到160万立方米？四：达标检测1、一辆汽车从甲地开往乙地，汽车速度v 随时间t 的变化情况如图所示。

（1）甲乙两地的路程是多少？（2）写出t 与v 的函数关系式。

（3）当汽车的速度是75千米/时时，所需时间是多少？（4）如果准备在5小时之内到达，那么汽车的速度最少是多少？五：中考链接物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强p 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算公式为SF P ，当一个物体所受压力为定值时，则该物体所受压强p与受力面积S 间的关系用图像表示大致可为( )．。

第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x ky =还可以写成kx y =2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，x ky =（为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限 函数的增减性o k > 一、三象限 在每个象限内，值随的增大而减小 o k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k kkx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky =，（0≠k ）即kx y =（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点，，，，， 。

第十七章、反比例函数第一节、知识梳理反比例函数一、学习目标：１. 掌握用描点法画反比例函数图象的方法和步骤，并结合函数图象正确理解和掌握反比例函数的概念和性质．２. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式，重点掌握待定系数法求反比例函数的解析式．３. 能用反比例函数解决生活实际问题，在解决物理问题，日常生产、生活问题的时候构建反比例函数模型．二、知识概要：三、要点点拨：１. 反比例函数自变量x的取值范围为x≠０．２. 反比例函数的图象为两支，这两支不连续，且以原点为对称中心成中心对称．与坐标轴无限接近但不能相交．３. 反比例函数值的变化规律要在同一支曲线上去研究．四、中考视点：有关反比例函数的试题主要出现在客观题中，但在解答中也时有出现，考查的主要内容有：1. 反比例函数的图象及性质是中考命题的重点．2. 求反比例函数的解析式（重点考查待定系数法），并与现实生活中的问题相联系，有增加的趋势.3. 借助于交点坐标，构建与正比例函数、一次函数的综合题，是中考命题的热点.实际问题与反比例函数一、学习目标：１.能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决实际问题．２. 能够画出描述实际问题的函数图象，并根据图象反应出的量的变化规律去解决实际问题.二、知识概要：１.根据实际情景构建反比例函数关系式（１）数学中常用的反比例函数关系式．（２）物理学中常用的反比例函数关系式．（３）利用实际问题情境中给出的数量关系，建立反比例函数关系式．２.利用反比例函数关系解决实际问题．３.有关实际问题中的反比例函数图象.（１）作出实际问题的函数图象.（２）利用实际问题的函数图象解决问题．三、知识链接：“反比例关系”和“反比例函数”的联系与区别：反比例关系是小学的概念：如果xy＝k（k是常数，k≠０），那么x与y这两个量成反比例关系．这里x，y既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式．例如y＋１与x ＋３成反比例，即反比例的关系式为，但x和y不一定是反比例函数．但反比例函数中的两个变量必成反比例关系．四、中考视点：由实际问题中给出的数量关系写出反比例函数，再由反比例函数的性质去解决实际问题是本节考查的重点.第二节、教材解读一、【例1】已知y关于x的反比例函数的图象过点Ｐ（３，６）．（１）求y与x的函数解析式；（２）求当x ＝２时y的值．【思考与分析】由反比例函数的形式y=（k是常数，k≠0），可知求解析式的关键是确定系数k的值，所以我们可以根据条件用待定系数法求之．解：（１）设y=，将Ｐ（３，６）代入可得：６=，解得k＝１８，所以函数解析式为：y=．（２）把x＝２代入y=，得y=＝９．【小结】待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式y=（k≠0，k为待定系数）；（2）将已知条件代入（只需知道一个点的坐标）；（3）解出待定系数；（4）将求得的值代回所设解析式.二、要点收藏夹反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线.（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x值的增大而增大；（3）双曲线的两支无限接近x轴和y轴，但永远达不到x轴和y轴（即双曲线的两支与x轴和y轴没有交点）；（4）双曲线的两支关于直线y＝±x对称.三、典型例题剖析【例2】①如果反比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值是（）②写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式.③当a ____时，反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小.【思考与分析】我们知道在反比例函数解析式中，如果常数k确定了，则这个反比例函数关系式就确定了.①由的图象经过点（1，－2），故将x＝1，y＝－2同时代入解析式便可求出k值；②由反比例函数的图象位于第二、四象限，可知k＜0，因此所写的函数关系式只要满足k＜0就行；③由反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小可知k＞0，即1－a＞0，从而求出a应满足的条件.解：①C；②如（答案不惟一，只要满足k＜0 即可）；③a＜1．【小结】求反比例函数解析式的关键是借助已有的条件，如过已知某点，或两个分支所在的象限或图象在每一个象限内y值随x值的变化情况等信息求出k的值或k满足的条件.四、在构建反比例函数模型解决实际问题的时候需注意分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型．（在反比例函数关系中，两个变量的积是定值）【例3】已知某盐厂晒出了3000吨盐，厂方决定把盐全部运走.（1）运走所需的时间t（天）与运走速度v（吨/天）有什么样的函数关系？（2）若该盐厂有工人80名，每天最多共可运走500吨盐，则预计盐最快可在几日内运完？（3）若该盐厂的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在２天内把剩下的盐全部运走，则需要从其它盐厂调过多少人？【思考与分析】我们知道这是一道工程问题，关键是要熟悉本类问题中各量之间的关系.（1）盐的总量＝运走所有的盐所需的时间×运盐的速度，可得t与v的函数关系式；（2）每天运盐500吨，即v=500，把v=500代入（1）中函数关系式可求得对应的t；（3）设从其它盐厂调过n人，依据剩下的盐＝80个工人运走的盐+n 个工人运走的盐，列方程求出n即可.解：（1）由题意，得t ＝（2）当v=500时，t ＝＝6，即盐最快可在6日内运完.（3）设需从其它盐厂调过n个人，则根据题意，得：解得n=40，即需从其它盐厂调过40人.【小结】本题的关系式是：盐的总量＝运走所有的盐所需的时间×运盐的速度，当然，这三者之间的关系还可以相互转化，通常只要知道其中的两个量就可求出或表示出第三个量；第（2）题实际上是求值问题，只要代入（1）即可；第（3）题借助了方程进行解答.第三节、错题剖析一.反比例函数中，切记k≠0【例1】若函数为反比例函数，则m= .错解：因为为反比例函数，所以|m|=1，所以m=±1.错解剖析：反比例函数的定义是：一般地，形如（k≠0，k为常数）的函数叫做反比例函数.定义中强调了系数k≠0，k为常数这一条件.错解忽视了k≠0这个条件.在本题中m-1相当于定义中的k，这里应有m-1≠0，所以m≠1.正解：由|m|=1，得m=±1．又因为m-1≠0，所以m≠1．所以m=-1.反思：解决反比例函数中的字母取值问题，一定要注意k≠0这一限制条件，否则容易出现错误. 二.注意自变量的取值范围【例2】一矩形的面积是10，则这个矩形的一组邻边长y与x的函数关系的图象大致是（）错解：选C.错解剖析：本题是一道实际问题，已知矩形的面积是10，两邻边长分别是x，y，所以xy=10，所以（x>0），此函数是反比例函数，由于自变量x的取值范围是x>0，所以函数的图象只有一个分支，且在第一象限.而错解忽视了实际问题中自变量的范围.正解：选D.反思：在具体问题中确定反比例函数的图象，一定要注意自变量的取值具有实际意义.三、对反比例函数概念理解不透【例3】在下列函数关系式：，，，2xy＝1中，y是x 的反比例函数的个数是（）A.2B.3C.4D.5错解：选D.错解剖析：选D是因为对反比例函数概念理解不透.反比例函数的概念是：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数通常有3种表达形式：1：（上述三个式子中k都为常数，且k≠0）.正解：选B四、对反比例函数图象及其性质理解不透【例4】若点（－1，y1），（－2，y2），（2，y3），在反比例函数的图象上，则（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C. y3 ＞y1＞y2D.y3＞y2＞y1错解：选C.错解剖析：对反比例函数图象及其性质理解不透，误认为y随x的增大而增大.反比例函数图象的增减性为：当k>0时，在同一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一象限内，y随x的增大而增大.这里要特别注意“在同一象限内”这一点，本题中三个点并不在同一象限内.可以用函数的增减性来解决问题，也可以直接代入，求出这三个点的纵坐标的值，来比较函数值的大小.正解：选A.【小结】反比例函数的概念和图象及性质是我们学习这一章内容应该牢牢把握的，很多题目会考查到这些知识，我们要能正确应用.五、将反比例函数与正比例函数混为一谈【例5】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为.错解：因为度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，所以设反比例函数解析式为：y＝kx.又因为200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，所以200＝0.5k，解得k＝400.所以y与x的函数关系式为y＝400x.错解剖析：本题是以物理中的物理现象与定律为背景，考查反比例函数的解析式的确定，其中反比例与正比例是两个不同的概念，错解正是混淆了这两个概念而导致的错误.正解：设反比例函数解析式为，根据题意，得２00＝，解得k＝100.所以y与x 的函数关系式为六、错误地理解题意，得到不切实际的答案【例6】某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少个售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能使全部学生就餐完毕.（1）共有多少学生就餐？（2）设开放x个窗口时，需要y小时才能使当天就餐的同学全部吃上饭，试求出y与x之间的函数关系式.（3）已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以使当天就餐的学生全部就餐？错解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即3×10×60＝1800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得y＝3×60x+1800，即y与x之间的函数关系式为：y＝180x+1800.（3）由（2）知，当x＝20时，y＝5400.即当同时开放20个窗口时，最少需5400小时可以使当天就餐的学生全部就餐.错解剖析：本题中的第（1）问是没有错的，问题是在（2）问上，由于当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，则由题意列出的等式应该是3×60xy＝1800，化简后应是反比例函数，若能正确地求出（2），问题（3）也就不会再出现错误了.正解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即3×10×60＝1800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得3×60xy＝1800，即y与x 之间的函数关系式为（3）由（2）知，当x＝20时，y＝0.5.即当同时开放20个窗口时，最少需0.5小时可以使当天就餐的学生全部就餐.第四节、思维点拨【例1】如图，如果函数y=kx＋k 和函数（其中k为不等于０的常数）的图象在同一坐标系中，其图象为（）.【思考与分析】本例是一次函数与反比例函数的图象综合题，我们把函数解析式与函数图象有机结合起来解决这类问题.一般解法：1.我们可以分k＞0和k＜0两种情况，由k的符号确定图象的位置；2．可以由一个图象在坐标系中的位置，确定k的取值范围，再判断另一图象画得是否正确；3.由两图象的位置分别确定k 的取值范围，最后看它们是否一致.解法1: 当k＞0时,一次函数y=kx＋k 的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限，故选Ｂ.当k＜0时，一次函数的图象经过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选Ｃ.解法2: 图A中由的图象在第二、四象限可知k＜0，所以一次函数y=kx＋k的图象经过二、三、四象限，所以A不符合，得到答案C．同样的分析方法排除D，得到答案Ｂ.解法3:图A中由一次函数y=kx＋k的图象经过一、二、四象限，得前面的k＜0而后面截距k>0，自身出现矛盾，故排除Ａ，同样的分析方法排除D，得到答案Ｂ，Ｃ.【例2】已知反比例函数和一次函数y=mx+n的图象的一个交点是A（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式.【思考与分析】已知双曲线和直线都经过点A（－3，4），可将A点分别代入解析式用待定系数法确定k，而一次函数与x轴的交点到原点的距离为5，可知交点为（5，0）或（－5，0），然后联立组成方程组，求出m，n的值.解：因为反比例函数的图象过点A（－3，4），所以所以这个反比例函数的解析式为又由题意知，一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（5，0）或（－5，0）.当直线y=mx+n的图象过点（－3，4）和（5，0）时，有当y=mx+n的图象过点（－3，4）和（－5，0）时，有所以y=2x+10.所以这个一次函数的解析式为y=-x+或y=2x+10.【小结】方程思想是重要的数学思想之一，它是在所给定的数学问题中挖掘并找出已知量与未知量之间的等量关系，再通过对未知量设元，构成方程或方程组，解出未知量，从而达到解决问题的目的.在函数这一部分，许多需要我们确定函数解析式的考题都需要我们根据题中条件构建方程来解决．【例3】某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55至0.75元之间.经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿度与（x－0.4）成反比例，又当x＝0.65元时，y＝0.8．（１）求y与x的函数关系式；（２）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］【思考与分析】本题y与x虽不是反比例函数，但根据题意y与（x－0.4）成反比例，根据反比例的特点列出关系式，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量为，实际电价减去成本价为x－0.3，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解：（1）因为y与（x－0.4）成反比例，0.8代入可以求出k＝0.2．（２）根据题意，收益将x＝0.6代入，收益为0.6亿元.所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是0.6亿元．【小结】反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为反比例函数的问题来解决．用反比例函数解决实际问题的具体步骤是：（１）认真分析实际问题中变量之间的关系；（２）若变量之间是反比例关系，则建立反比例函数模型（即确定反比例函数解析式）；（３）利用反比例函数的性质去解决实际问题．反比例函数的应用中经常用到数形结合思想.数形结合思想就是在研究问题时把数与形结合起来考虑，不是把问题的数量关系转化为图形的性质，就是把图形的性质转化为数量关系来考虑，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.【例4】某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？【思考与分析】（1）首先观察图象得到F是v的反比例函数，同时该函数图象通过点（3000，20），然后把F=3000，v=20代入函数关系式P=Fv中得到功率P的值；（2）把F=1200牛代入（1）中求得的函数关系式就能求出速度v的值；（3）由于车速v不超过30米／秒，所以v≤30，即≤30，然后根据函数图象及性质知：F随着v的增大而减小即可得到F的范围.解：（1）由P= Fv=20 ×3000=60000，v=；（2）当F=1200时，v==50（米/秒）=180（千米/时），所以当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时；（3）当v=30米/秒时，代入v=则F=2000（牛）所以当v≤30米/秒时，即≤30，则F≥2000（牛）．所以如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应大于等于2000牛．【小结】解决这道题的关键是读懂题意，看懂图象，充分挖掘图象中隐含的已知条件，然后根据函数图象，确定函数解析式，并利用图象及性质解题.第五节、竞赛数学一、【例1】一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数的图象交与M，N两点.如图所示：（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.【思考与分析】将（-1，-4）代入反比例函数解析式求出k值，再将x=2代入其中求出m的值，然后把M，N两点坐标代入y=ax+b解二元一次方程组，求出a、b的值.解：（1）将N（-1，-4）代入，得k=4．从而反比例函数的解析式为：.将M（2，m ）代入到中，解得：m=2.将M（2，2）、N（-1，-4）代入y=ax+b中，解得：a=2，b=-2.所以一次函数的解析式：y=2x－2.（2）由图象可知，当x＜-1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值.【小结】数形结合思想是重要的数学思想，函数图象和几何图形一样具有直观形象的特征，如果能发现函数解析式及式子中的相关系数的几何意义，将数量关系借助图象使之形象化、直观化，就可以简化求解过程．二、反比例函数图象的对称性反比例函数（k≠0）的图象是双曲线，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，都过原点且互相垂直；坐标原点是它的对称中心.三、反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义1．如图1，过双曲线上的任意一点P分别作x轴和y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN，而PM=∣y∣，PN=∣x∣，所以矩形PMON的面积S=PM·PN=∣x∣·∣y∣＝∣xy∣.因为,所以xy = k，S=PM·PN=k.即过双曲线上的任意一点作x轴和y轴的垂线，所得的矩形面积为∣k.∣2．如图1过双曲线上的任意一点E作其中一个坐标轴的垂线EF，连接OE，则△OEF的面积为【例2】如图2，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝。

第十七章反比例函数全章小结从容说课本章的基础知识总结：1．反比例函数的概念：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不为零．2．反比例函数的图象和性质:（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线．（2）当k>0时双曲线位于第一、三象限；•当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．3．反比例函数的应用：列反比例函数关系式，并用反比例函数的性质解决生活中特别是物理学中的问题．课程标准知识和能力总结．1．结合具体情况领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．会画反比例函数的图象，从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息．3．逐步提高我们的观察、归纳、分析问题的能力，•体验数形结合的数学思想方法．4．我们要善于用函数的观点处理实际问题．教学时，教师应关注学生运用自己的语言回答有关问题的过程，关注学生举例说明对有关知识的理解；通过一些问题向学生强调利用图象了解函数的性质，并进一步发展从图象中获取信息的能力．教学时间第8课时三维目标一、知识与技能1．反比例函数的图象和性质．2．反比例函数的应用：解决实际问题，学科内部的应用．二、过程与方法1．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，•理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．能画出反比例函数的图象，•并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．3．培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法．4．能根据所给的条件，确定反比例函数，体会函数在实际问题中的应用价值．三、情感、态度与价值观1．面对困难，培养学生克服困难的勇气和战胜困难的信心．2．培养学生的合作交流意识和运用数学问题解决实际问题的意识，•认识数学的实用性．教学重点反比例函数的概念、图象和主要性质．教学难点对反比例函数意义的理解．教具准备教学投影仪．教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：你能举出现实生活中有关反函数的几个例子吗？问题2：说一说函数y=2x和y=-2x的图象的联系和区别．（先由学生小组交流本单元的小结，再进行小组汇报，教师在旁适时引导，提问，鼓励．学生分四人小组合作交流，归纳出本单元的知识体系，以及对每一个知识块的认识，由上面两个问题作牵引，完成本单元的知识体系）．教师应重点关注：①关注学生的复习过程，观察学生智力、情感的达标水平．②对函数概念及图象、性质的理解．③关注数学活动对学生发展的影响，学生能否从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息，是否善于对实际问题进行分析，并灵活运用所学知识解决问题．二、单元知识结构图三、巩固、延伸、提高做一做：1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=2时，y=14；x=3时，y=2813，•求y 与x 的函数表达式．分析：依据正、反比例函数的定义，利用待定系数法求得其比例系数，•从而求出y 与x 之间的函数关系式．解：设y 1=1k x ，y 2=k 2x 2，则y=1k x +k 2x 2，将（2，14），（3，2813）代入上式 得121122414421392833k k k k k k ⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得∴函数关系式为y=4x+3x 2． 点评：（1）一个反比例函数和一个正比例函数相加，构成一个新的函数，从形式上较为复杂，但是用待定系数法求系的方法都一样． （2）要将k 1，k 2设成不同的两个参数． 2．若反比例函数y=kx（k ≠0），当x>0，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx-k 的图象经过第几象限（ ）A ．一，二，三B ．一，二，四C ．一，三，四D ．二，三，四 解：∵x>0时，y 随x 的增大而增大． ∴k<0，∴一次函数y=kx-k 的图象过一，二，四故选B ． 点评：要判断y=kx-k 的位置，需知道k 的符号，由已知y=kx，当x>0时，y 随x•的增大而增大，所以k<0．3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=（m-1）x 与反比例函数y=4mx的图象的大体位置不可能是（ ）解析：当m-1>0时m>1时，4m>0，此时直线过一、三象限．双曲线位于第一、三象限，A 可能，D 不可能；当m-1<0时，即m<1，分两种情况：0<m<1或m<0．当m<0时，直线过二、四象限，•双曲线位于二、四象限；当0<m<1时，直线过二、四象限，此时，4m>0，双曲线在第一、三象限，所以B 、C 都有可能，故不可能的是D ．点评：要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，在这里，要判断m-1与4m 的符号，进而选择合理答案，因不确定其符号，•所以分两种情况进行讨论，当m-1>0时，4m>0，故A 对，D 不对；当m-1<0又有两种情况：0<m<1或m<0，•而前者又4m>0，故B 对，后者又4m<0，故C 对．4．（1）若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是反比例函数y=-1x的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 3<y 1C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 3<y 2 （2）已知反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1<x 2，则y 1-y 2值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（3）如图，正比例函数y=kx （k>0），与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，•过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 的面积为S ，则（ ）A ．S=1B ．S=2C ．S=3D ．S 的值不确定解：（1）方法一：用图象解法，作出y=-1x的草图，即得三点的大致位置，观察图象，直接得到y 2<y 3<y 1，故选B ．方法二：将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中， 得y 1=-23123111,,y y x x x =-=-，由于x 1<0<x 2<x 3，所以y 2<y 3<y 1，故选B ． （2）∵k<0，∴图象在二、四象限内，y 随x 的增大而增大，当AB •是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴y 1<y 2，∴y 1-y 2<0． 当A 、B 不是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴A 在第二象限，B 在第四象限． ∴y 1>y 2，∴y 1-y 2>0． ∴选D ．（3）∴A 和C 关于O 对称，∴AO=CO ，设A （x 0，y 0），则y 0=01x ，∴x 0·y 0=1．∴S △AOB =12x 0y 0=12． ∵△AOB 和△BOC 若分别把AO 、CO 看作底，那么底上的高相等， ∴S △AOB =S △BOC ．∴S △ABC =1，故选A ．点评：（1）因反比例函数的表达式具体，所以其图象具体，因x 1<0<x 2<x 3，•所以三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）的前后位置可确定于是可得y 1，y 2，y 3的关系，•也可直接代入表达式内和实数大小比较方法判定；（2）由A 、B 两点的横坐标没有和O 作比较，所以A 、B •两点的位置可分为两种情况讨论； （3）因△AOB 的面积易求，要求△ACB 的面积只需找到△AOB 和△BOC 的关系，•发现AO=CO ，而且高相同，所以面积相等．5．（2005年山西省实验区初中毕业生学业考试）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，•其图象如下图所示．当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了完全起见，气体体积应（• ）A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C．不大于2437m 3 D ．不小于2437m 3解：因为当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数． 设p=kV因为函数图象过A （0.8，120），代入p=kV中得120=0.8k所以k=96,即p=96V． ∵96>0，所以p 随V 的增大而减小，当p=140kPa 时，V=96140=2435．所以为了完全起见，•气球内的气压应不大于140kPa ，气体的体积应不小于2435m 3． 或根据图象回答，所以应选B ．板书设计活动与探究已知反比例函数y=2mx和一次函数y=-2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+m ）两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）如右图所示，已知点A 在第二象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，试判断在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意可得212(1)1b a b m a =--⎧⎨+=-+-⎩解得m=-2，∴反比例函数的解析式为y=-1x， （2）由21,1,y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 经检验121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 都是原方程组的解． ∵A 点在第二象限，∴A 点坐标为（-1，1）．（3），OA 与x 轴所夹锐角为45°．①当OA 为腰时，由OA=OP ，得P 1，0），P 2（，0），由OA=AP ，得P 3（-2，0）． ②当OA 为底时，得P 4（-1，0）．∴这样的点有4，0），（，0），（-2，0），（-1，0）．习题详题 复习题17 1．（1）a=24150;(2)h h h S=2．>，-；>，=3．（1）一，三，减小；（2）二，四，增大 4．（B ）5．由题意得k-1>0，所以k>1 6．p=F S设A 、B 、C 三个面的面积分别为4k ，2k ，k （k>0）由题意得S=2k 时，p=a 得F=2ka ，•所以p=2kaS所以当S=4k 时，p=242ka ak =帕； 当S=k 时，p=2kaS=2a （帕）． 7．（1）d=4210t⨯（2）当t=10时，d=421010⨯（天）约为421010⨯=2×103（天）则这个电视机大约可使用2×103（天）8．两个不同的反比例函数不会相交，设这两个反比例函数为y=1k x ，y=2kx（k 1，k 2为常数且k 1≠k 2）．若有交点，则12,k y xk y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩有解，但此方程组无解． 所以不同的反比例函数不会相交．9．正比例函数y=k 1x 与反比例函数y=2kx无交点，则12y k k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩把①代入②得k 1x=2k x，k 1x 2=k 2，∵k 1≠0， ∴x 2=21k x 若x 无解，则<0，即R 1和R 2异号，所以R 1R 2<0 10．（1）→（B ）；（2）→（A ）；（3）→（C ）；（4）→（D ）11．（1）V=610t（2）当V=104立方米时，代入V=610t 得t=641010=102（天）．（3）当公司以104立方米/天，工作40天后，共运送土方40×104=4×105立方米，•剩下106-4×105=6×105（立方米）土石方在50天运送完，则每天需送561050=12 000（立方米）．而每辆卡车一天可运送土石方104÷100=100（立方米），所以每天运送12 000立方米的土石方需12000100=120辆车，而现在有100辆，公司至少需要再增加20•辆卡车才能按时完成任务．。