高考数学一轮复习 古典概型跟踪检测 理(含解析)新人教A版

古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．知识点 古典概型 古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性． ②每个结果发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.易误提醒 (1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．(2)概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.[自测练习]1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案：A2．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P (A )＝152，P (B )＝1352，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726.答案：7263．(2016·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2016·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案：19考点一 古典概型|1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.答案：C2．(2015·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．计算古典概型事件的概率可分三步(1)算出基本事件的总个数n .(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m .(3)代入公式求出概率P .考点二 古典概型的交汇命题|古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．归纳起来常见的交汇探究角度有： 1．古典概型与平面向量相结合． 2．古典概型与直线、圆相结合． 3．古典概型与函数相结合． 4．古典概型与统计相结合． 探究一 古典概型与平面向量相结合1．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3,9}． (1)求a ∥b 的概率； (2)求a ⊥b 的概率．[解] (1)由题意，得(x ，y )所有的基本事件为(－1，1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．(1)设“a ∥b ”为事件A ，则xy ＝－3. 事件A 包含的基本事件有(－1,3)，共1个． 故a ∥b 的概率为P (A )＝19.(2)设“a ⊥b ”为事件B ，则y ＝3x .事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个． 故a ⊥b 的概率为P (B )＝29.探究二 古典概型与直线、圆相结合2．(2015·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712探究三 古典概型与函数相结合3．设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，∴概率为16.探究四 古典概型与统计相结合4．(2015·高考安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．9.古典概型综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道相供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号分组频数1[4,5) 22[5,6)83[6,7)74[7,8] 3(1)现从融合指数在[4,5)和2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．[易误点析](1)观察表中数据，先求出样本空间所含的基本事件数，再求出至少有1家的融合指数在[7,8]内所含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式，即可求出所求事件的概率；(2)利用频率分布直方图中的平均数的计算方法，即可得结果．[规范解答](1)法一：融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．(3分)其中，至少有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．(6分)所以所求的概率P＝910.(8分)法二：融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．(3分)其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．(6分)所以所求的概率P＝1－110＝910.(8分)(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.(12分)[模板形成]审题求出样本空间所含的基本事件数↓再分析并求出所求事件的事件数↓利用古典概型公式求概率↓根据统计知识求解相关问题↓反思解题过程，注意规范化[跟踪练习]在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A.15B.25C.16D.18解析：如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25，故选B.答案：BA 组 考点能力演练1．第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是( )A.1415 B.115 C.35D.25解析：从6人中抽取2人的基本事件个数为15，而事件“两名志愿者都来自圣彼得堡国立大学”包含的基本事件个数为6，∴所求概率为P ＝1－615＝35.故选C.答案：C2．(2016·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12解析：由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个， 故所求的概率为16.答案：A3．记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为( )A.518B.14C.310D.910解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a ，b ，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的条件是a 2－8b >0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为936＝14.答案：B4．(2016·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14. 答案：C5．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个． 由1,2,4组成的三位自然数共6个； 由1,3,4组成的三位自然数也是6个； 由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”． 当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”． 故这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.答案：C6．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25. 答案：257．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． 解析：以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.答案：9258．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足题意的b >a 共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案：5129．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．解：(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C 13×C 13＝9种选法．记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C 12·1＋C 12·1＝4，∴P (A )＝m n ＝49. (2)从报名的6人中任选2名，有n ＝C 26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C 23＝6. ∴选出2名教师来自同一学校的概率P (B )＝615＝25.10．(2016·烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4. (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上； (2)估计成绩在85分以上学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表解：(1)样本的频率分布表：(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人， 所以估计成绩在85分以上的学生比例为1050＝15.(3)[40,50)内有2人，记为甲、A .[90,100)内有4人，记为乙，B 、C 、D .则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B )，(甲，乙，C )，(甲，乙，D )，(甲，B ，C )，(甲，B ，D )，(甲，C ，D )，(A ，乙，B )，(A ，乙，C )，(A ，乙，D )，(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，C ，D )．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B )，(甲，乙，C )，(甲，乙，D )． 所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P ＝312＝14.B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1解析：由题意得基本事件的总数为C 215，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 110C 15，所以所求概率P ＝C 110C 15C 215＝1021.答案：B2．(2015·高考江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.答案：563．(2015·高考四川卷)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P 1坐到了55号座位的概率． 解：(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示为：于是，所有可能的坐法共8种．设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以P (A )＝48＝12.答：乘客P 5坐到5号座位的概率是12.4．(2014·高考福建卷)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为1a(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝310.。

2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132 B.164 C.332D.364解析：有放回地取2次，共有64种结果，其中不小于15的有(7,8)、(8,7)、(8,8)共3种情况．故P ＝364.故选D.答案：D2．(xx·江苏苏北四市第一次调研)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14 B.12 C.34D.23解析：如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34.故选C.答案：C3．(xx·北京模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：D4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则 点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：由题意(m ，n )的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)共有36种情况，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为336＝112.答案：D5．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.答案：B6．(xx·四川资阳高三模拟)已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316B.38C.34D.12解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13，故填13.答案：138．在分别写着1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：∵从四张卡片中随机取出两张有6种情况，分别为：1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4，而取出的两张卡片上的数字之和为奇数的有4种情况，分别为：1与2,1与4,2与3,3与4，∴取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率P ＝46＝23.答案：239．(xx·安徽皖南八校第二次联考)两根相距9m 的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为________．解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9m ，记“灯与两端距离都大于3m”为事件A ，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A 发生，即μA ＝3m ，∴P (A )＝μA μΩ＝39＝13. 答案：1310．(xx·北京西城抽样测试)已知函数f (x )＝2ax 2－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．解析：令t ＝ax 2－bx ＋1，函数f (x )在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t ＝ax 2－bx ＋1须在[1，＋∞)上递增，∴－－b 2a ≤1，即2a ≥b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤20≤b ≤2，2a ≥b，画出图示得阴影部分面积．∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2＝34.答案：34三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·潍坊市模拟)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个，因此，所求事件的概率是13.(2)先从袋中取出一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以，所求概率为316.12．(基础题，易)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716. 13．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.33847 8437 萷•40629 9EB5 麵21067 524B 剋33123 8163 腣27318 6AB6 檶7b37950 943E 鐾%23831 5D17 崗38396 95FC 闼•23746 5CC2 峂h。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.理解古典概型及其概率计算公式． 2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.高考对本节内容的考查多为选择题或填空题，难度中低档，如2012年广东T7，上海T11等. [归纳·知识整合] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． [探究]　1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？ 提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． [探究]　2.如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝ [自测·牛刀小试] 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A. B. C. D．1 解析：选C　基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为. 2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为( ) A. B. C. D．1 解析：选C　用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选A　由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为＝. 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5的下方的概率为________． 解析：点P在直线x＋y＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P＝＝. 答案： 5．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________． 解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为＝. 答案： 简单古典概型的求法 [例1]　编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格： 区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； 求这2人得分之和大于50的概率． [自主解答]　(1)4,6,6. (2)得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A 10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种． “从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种． 所以P(B)＝＝. 本例条件不变，从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和小于50的概率． 解：得分之和小于50的所有可能结果有： {A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A5，A13}，{A10，A13}，{A11，A13}． 故这2人得分之和小于50的概率为P＝. ——————————————————— 应用古典概型求概率的步骤 (1)仔细阅读题目，分析试验包含的基本事件的特点； (2)设出所求事件A； (3)分别列举事件A包含的基本事件，求出总事件数n和所求事件A包含的基本事件数m； (4)利用公式求出事件A的概率． 1．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动． (1)求所选2人中恰有一名男生的概率； (2)求所选2人中至少有一名女生的概率． 解：设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10种． (1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共6种，则P(A)＝＝， 故所选2人中恰有一名男生的概率为. (2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共7种，则P(B)＝， 故所选2人中至少有一名女生的概率为. 较复杂的古典概型的概率 [例2]　为振兴旅游业，四川省2012年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡． (1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率； (2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率． [自主解答]　(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡． 设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”， 则P(A)＝＝， 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是. (2)设事件B为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况． 则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝， 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是. ——————————————————— 计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点 (1)解题的关键点是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型； (2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或先求其对立事件的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解． 2．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n14151617181920频　数10201616151310 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85. 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85. 所以y关于n的函数解析式为 y＝ (nN)． (2)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 ×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. 利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7. 4种方法——基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型； (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定一两个元素的试验，也可看成是坐标法； (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求； (4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率． 1个技巧——求解古典概型问题概率的技巧 (1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算； (2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 1个构建——构建不同的概率模型解决问题 (1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题； (2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”． 答题模板——求古典概型概率 [典例]　(2012山东高考·满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率． [快速规范审题] 第(1)问 1．审条件，挖解题信息 观察条件：五张卡片，红色三张，标号1,2,3.蓝色2张，标号为1,2，从中取两张所有可能的结果n 2．审结论，明解题方向 观察所求结论：求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率得出满足这两个条件的结果m 3．建联系，找解题突破口 利用古典概型概率公式求解：P＝ 第(2)问 1．审条件，挖解题信息 观察条件：红色卡片三张、蓝色卡片二张、绿色卡片一张，从中取两张得所有的可能的结果数n 2．审结论，明解题方向 观察所求结论：观察所求结论求两种卡片颜色 不同且标号之和小于4的概率得出满足这两个条件的结果m 3．建联系，找解题突破口 利用古典概型概率公式求解：P＝[准确规范答题] 列举从5张卡片中任取两张的可能结果时，易漏掉或重复某种结果． (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．(3分) 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)共3种．(5分) 所求事件包含的事件数列举不全或重复．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(6分) (2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．(9分) 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8种．(11分) 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(12分) [答题模板速成] 求古典概型概率的一般步骤： 第一步　审清题意第二步　建立数量关系第三步　转化为数学模型第四步　解决数学问题理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数分析所求事件，找出所求事件的个数根据古典概率公式求解得出结论解后反思，规范解答步骤，检查计数过程是否有误 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C　设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个． 2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P＝＝. 3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为＝. 4．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个景点，最后一个景点的选法有C×C＝36种，若两个人最后选同一个景点共有C＝6种选法，所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P＝＝. 5．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有CC＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有CC＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C×1＝5个．于是，所求概率为＝. 6.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)． 解析：所有的可能情况有CCC，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有CCC，由古典概率公式得P＝＝. 答案： 8．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________． 解析：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，共有10种取法，该两点间的距离为的有4种，所求事件的概率为P＝＝. 答案： 9．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 解析：6节课共有A＝720种排法，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法有AA＝144种排法，所以相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为＝. 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数之和为5的概率； (2)两数中至少有一个奇数的概率． 解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． (1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P(A)＝＝.所以两数之和为5的概率为. (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件．所以P(B)＝1－＝.所以两数中至少有一个奇数的概率为. 11．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi. (1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A； (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率． 解：(1)A＝{6i,7i,8i,9i}． (2)满足条件的基本事件的个数为24. 设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B. 当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9； 当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9； 当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9； 当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9. 即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个． 所以所求概率P＝. 12．(2012·江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点． (1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O共面的概率． 解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是： x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2共4种； y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2共4种； z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2共4种． 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种． (1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝. (2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝. 1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________． 解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为. 答案： 2．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝＝. 答案： 3．(2012·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55. (1)求an和bn； (2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率． 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得 S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8， 解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1. (2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)． 符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P＝.。

课时过关检测(五十九) 随机事务的概率与古典概型A 级——基础达标1．某种机器运用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a 元；在机器运用期间，假如备件不足再购买，则每个2a 元．某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年运用期内更换的易损零件数，得到如图所示的频数分布直方图．若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，则在机器淘汰时备件有剩余的概率为( )A ．15B ．710C ．45D ．910解析：B 由频数分布直方图可知，机器在三年运用期内更换的易损零件数小于20的频率为6＋16＋24＋24100＝710，所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为710．故选B ． 2．假如一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”(如132)，现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A ．23B ．112C ．16D ．13解析：D 当十位上的数为4时，共有A 23＝6个；当十位上的数为3时，共有A 22＝2个，共8个．故P ＝8A 34＝824＝13，故选D ． 3．已知大于3的素数只分布在{6n －1}和{6n ＋1}两数列中(其中n 为非零自然数)．数列{6n －1}中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列{6n ＋1}中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中随意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是( )A ．12B ．13C ．16D ．34解析：B 30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，其中阴性素数有5,11,17,23,29，共5个，阳性素数有7,13,19，共3个．因此，所求概率为P ＝C 15C 13C 210＝13．故选B ．4．(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所改变，其概率分布如下表所示：A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事务B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节约时间C ．假如要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应当走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0．04解析：BD 对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事务，所以选项A 错误；对于选项B ，线路一所需的平均时间为30×0．5＋40×0．2＋50×0．2＋60×0．1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0．3＋40×0．5＋50×0．1＋60×0．1＝40分钟，所以线路一比线路二更节约时间，所以选项B 正确；对于选项C ，线路一所需时间小于45分钟的概率为0．7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0．8，小张应当选线路二，所以选项C 错误；对于选项D ，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种状况，概率为0．2×0．1＋0．1×0．1＋0．1×0．1＝0．04，所以选项D 正确．故选B 、D ．5．已知事务A ，B 互斥，且事务A 发生的概率P (A )＝15，事务B 发生的概率P (B )＝13，则事务A ，B 都不发生的概率是________．解析：因为事务A ，B 互斥，且P (A )＝15，P (B )＝13，则事务A ，B 至少一个发生的事务为A ＋B ，其概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝15＋13＝815，事务A ，B 都不发生的事务是A ＋B 的对立事务，则其概率为1－P (A ＋B )＝1－815＝715．所以事务A ，B 都不发生的概率是715．答案：7156．小明在一个专用的邮票箱中，保藏了北京2024年冬奥会祥瑞物和冬残奥会祥瑞物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”(图案为大熊猫)的概率为________．解析：设冬奥会祥瑞物和冬残奥会祥瑞物纪念邮票一套2枚分别记为A (为“冰墩墩”)，B ，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚分别记为a ，b ，从这4枚邮票中随机抽取2枚的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(a ，b )}，共6个样本点，其中恰好有一张是“冰墩墩”的样本点有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，共3个，故所求概率为36＝12． 答案：127．(2024·天津一模)将一颗骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为________；以第一次向上的点数为横坐标x ，其次次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部的概率为________．解析：将一颗骰子先后抛掷2次，共有62＝36个样本点，记事务A ：两次向上的点数中至少有一个奇数，则事务A －所包含的样本点有：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，所以，P (A )＝1－P (A －)＝1－936＝34；记事务B ：点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部，则事务B 所包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，故P (B )＝836＝29． 答案：34 298．A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育熬炼状况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的熬炼时间，数据如表(单位：小时)： A 班6 6．57 7．58 B 班6 7 8 9 10 11 12 C 班3 4．5 6 7．5 9 10．5 1213．5(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设全部学生的熬炼时间相互独立，求该周甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的概率．解：(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C 班抽8个，故抽样比k ＝20100＝15，故C 班有学生8÷15＝40(人)．(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40(种)状况，而且这些状况是等可能的．当甲的熬炼时间为6小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有2种状况；当甲的熬炼时间为6．5小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有3种状况；当甲的熬炼时间为7小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有3种状况；当甲的熬炼时间为7．5小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有3种状况；当甲的熬炼时间为8小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有4种状况．故该周甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的概率P ＝2＋3＋3＋3＋440＝38．B 级——综合应用9．《三十六计》是中华民族非物质文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书．三十六计中，每六计为一套，共分为胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，合三十六个计策，假如从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为( )A ．121B ．114C ．17D ．142解析：C 从36个计策中任取2个计策的样本空间中包含的样本点总数为C 236＝630，所选2个计策都来自同一套包含的样本点个数为6C 26＝90，则这2个计策都来自同一套的概率为P ＝90630＝17．故选C ． 10．(多选)利用简洁随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事务A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )A ．P (B )＝710B ．P (A ∪B )＝910C ．P (A ∩B )＝0D ．P (A ∪B )＝P (C )解析：ABC 由题意知A ，B ，C 为互斥事务，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P (B )＝710，P (A )＝210，P (C )＝110，则P (A ∪B )＝910，故A 、B 、C 正确；故D 错误．故选A 、B 、C ．11．(2024·福州模拟)已知方程x 2a ＋y 2b＝1表示的曲线为C ，任取a ，b ∈{1,2,3,4,5}，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________．解析：全部可能的(a ，b )的组数为5×5＝25，又因为焦距2c ＝2，所以c ＝1，所以a －b ＝±1，则满意条件的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共8组，所以概率为P ＝825． 答案：82512．厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国闻名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势，为了备战2024年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”确定从9名协会会员中随机选择3人参赛，则事务“其中A ，B ，C ，D 这4人中至少1人参与，且A 与B 不同时参与，C 与D 不同时参与”发生的概率为________．解析：从9名协会会员中随机选择3人参赛，所包含的总的样本点共有C 39＝84个；若A ，B ，C ，D 这4人中只参与一人，则需从剩下的5名会员中再选2人，所以对应的样本点有C 14C 25＝40个；若A ，B ，C ，D 这4人中参与两人，则需从剩下的5名会员中再选1人，所以对应的样本点有C 12C 12C 15＝20个；因此事务“其中A ，B ，C ，D 这4人中至少1人参与，且A 与B 不同时参与，C 与D 不同时参与”发生的概率为P ＝40＋2084＝57． 答案：5713．有一种击球竞赛，把从裁判发球哨响起先到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，竞赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球竞赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等．(1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；(2)竞赛进入决胜局，两队得分均为25分．在接下来的竞赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则竞赛结束，得分多的队获竞赛成功，求甲队在第四回合获得竞赛成功的概率．解：(1)用A 表示事务“一回合中，甲队赢球”，则三个回合中，全部可能结果是：AAA ，AA A －，A A －A ，A －AA ，A －A －A ，A －A A －，A A －A －，A －A －A －，共8个，其中只有A A －A ，A A －A －，A －AA 三个结果，甲队得1分．设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球．甲队得1分”为事务B ，则P (B )＝38， 所以，甲队得1分的概率为38． (2)打完四回合的全部可能结果是：A A －AA ，A －AAA ，A －A －AA ，A －A A －A ，A －AA A －，A A －A A －，A A －A －A ，A －A －A A －，A －A A －A －，A A －A －A －，共10个，其中只有A A －AA ，A －AAA 两个结果，甲队在第四回合比乙队多2分，甲获胜．设“甲队在第四回合获竞赛成功”为事务C ，则P (C )＝210＝15． 所以，甲队在第四回合获得竞赛成功的概率为15．。

课时跟踪检测(六十六) 古 典 概 型(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2021·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，那么b >a 的概率是( )2．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在那个实验中，大体事件的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．83．(2021·合肥模拟)从1到10这十个自然数中随机取三个数，那么其中一个数是另两个数之和的概率是( )4．(2021·郑州模拟)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项从头排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )5．(2021·浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，那么两次掏出的球的编号之和等于4的概率是________．6．(2021·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n是将一枚骰子前后抛掷两次所得点数，事件A＝“方程x2m2＋y2n2＝1表示核心在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.7．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个品级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其品级进行统计分析，取得频率散布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从品级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件品级恰好相同的概率．8．将一个质地均匀的正方体(六个面上别离标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面别离标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋b i.(1)假设集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)知足a2＋(b－6)2≤9”的概率．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2021·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱竞赛，由500名公共评委现场投票决定歌手名次．依照年龄将公共评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，现从这两组被抽到的评委中别离任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．2．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．3．(2021·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号别离为1,2,3,4,5的五名男记者和编号别离为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号别离为x ，y ，且x ＜y ”．(1)共有多少个大体事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率． 答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选D 从{1,2,3,4,5}当选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}当选取一个数b 有3种取法．因此选取两个数a ，b 共有5×3＝15个大体事件．知足b >a 的大体事件共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.2．选C 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的大体事件有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．3．选A 不妨设掏出的三个数为x ，y ，z (x ＜y ＜z )，要知足x ＋y ＝z ，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C 310种结果，故所求概率为20C 310＝16. 4．解析：选D注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12·4x r ＝C r n ·2－r ·x 234n r -.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n－8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 34-4r，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512，选D.5．解析：列举可知，共有36种情形，和为4的情形有10种，因此所求概率P ＝1036＝518.答案：5186．解析：实验中所含大体事件个数为36；假假想表示椭圆，那么前后两次的骰子点数不能相同，那么去掉6种可能，既然椭圆核心在x 轴上，那么m ＞n ，又只剩下一半情形，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.答案：5127．解：(1)由频率散布表得＋m ＋＋＋n ＝1， 即m ＋n ＝.由抽取的20个零件中，品级为5的恰有2个， 得n ＝220＝，因此m ＝－＝.(2)由(1)得，品级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；品级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种．记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其品级相等”．则A 包括的大体事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝.8．解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}． (2)知足条件的大体事件的个数为24.设知足“复数在复平面内对应的点(a ，b )知足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9知足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8知足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8知足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6知足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．因此所求概率P ＝1124.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，因此各组抽到的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29.2．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1,3}，那么M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，因此知足条件的点A的所有情形为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A正好在第三象限的可能情形为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝425.(2)点A在y轴上的可能情形为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－525＝4 5.(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能情形为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝825.3．解：(1)共有36个大体事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x＋y＜17，其中x＜y”，由(1)可知事件A共含有15个大体事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B，那么事件B为“x＜y≤5”，包括：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝1536＋1036＝2536.。

9-4 古典概型课时规范练(授课提示：对应学生用书第325页)A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )A.13 B ．12 C.23D ．562．(2016·高考北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( B ) A.15 B ．25 C.825D ．9253．一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2,3,4,6.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( B ) A.14 B ．12 C.13D ．23解析：因为从四个球中随机选三个共有C 34＝4(种)不同的选法，其中能构成等差数列的三个数分别为(2,3,4)，(2,4,6)，共2种不同的选法，所以根据古典概型概率公式得P ＝24＝12，故选B.4．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( B ) A.19 B ．16 C.118D ．1125．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( C ) A.13 B ．512 C.12D ．7126．在2,0,1,8这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( C ) A.34 B ．58 C.12D ．147．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( A ) A.13 B ．23 C.16D ．568．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的概率为( C ) A.1136 B ．736 C.711D ．710解析：先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的情况有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率P ＝711.9．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( B ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8D ．110．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( B ) A.15 B ．25 C.35D ．4511．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 23 .解析：所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.12．某校有A ，B 两个文学社团，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，则三人不在同一个社团的概率为 34.解析：a ，b ，c 三名学生各自随机选择参加A ，B 两个文学社团中的一个社团，共有8种情况，其中3人同在一个文学社团中有2种情况，因此3人同在一个社团的概率为28＝14.由对立事件的概率可知，三人不在同一个社团的概率为1－14＝34.13．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数如下表：(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解析：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4，4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.B 组 能力提升练1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( B ) A.12 B ．13 C.14D ．162．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( D )A.79 B ．13 C.59D ．233．从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个，这个点在圆x 2＋y 2＝2 018内部的概率是( B ) A.35 B ．25 C.15D ．454．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( B ) A.15 B ．25 C.35D ．455．从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为( D ) A.110 B ．25 C.12D ．356．如图，在A ，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是( A )A.14 B ．13 C.12D ．237．(2016·高考江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 56.解析：法一 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为3036＝56.法二 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－636＝56.8．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是 16 .解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，(a ，b )的所有可能结果有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12种，其中log 28＝3，log 39＝2为整数，所以log a b 为整数的概率为16.9．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 13.解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.10．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 15.解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为210＝15.11．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 56.解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.12．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是 13.解析：设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a ，b ，c ，甲、乙两人各抽取1张的所有情况有ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ，共6种，其中两人都中奖的情况有ab ，ba ，共2种，所以所求概率为13.13．某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解析：(1)由题意知，样本数据的平均数x ＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种， 故所求概率P (M )＝815.。

课时跟踪检测（五十九） 古典概型(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴所求概率P ＝115.2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛，则决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位出场的概率为( )A.12B.13 C.14D.38解析：选B 基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”，共6个，设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位出场”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，共2个，则P (A )＝26＝13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位出场的概率为13.3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.15 B.25C.16D.18解析：选B 如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25.4．(2018·山西四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A ∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为39＝13.5．已知集合A ＝{－2，－1,1,2,3,4}，集合B ＝{－3,1,2}，从集合A 中随机选取一个数x ，从集合B 中随机选取一个数y ，则点M (x ，y )正好落在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x ＋y －4≤0内的概率为( )A.19 B.16C.518D.29解析：选C 易知总的基本事件共有18种可能，其中满足⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x ＋y －4≤0的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共5种可能，由古典概型的概率计算公式可知所求概率P ＝518. 6．(2018·广东五校协作体联考)从1至9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( )A.23B.13C.19D.18解析：选C 从1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有C 79＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选三组，则有C 34＝4，故这七个数的平均数是5的概率为436＝19.7．(2018·武汉调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．解析：∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率P ＝1－520＝34.答案：348．在集合⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．解析：基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件为π3，5π3，7π3，共3个，故所求概率P ＝310.答案：3109．已知一质地均匀的正四面体，四个面分别标有1,2,3,4，抛掷两次得到的点数分别为a ，b ，并记点A (a ，b )，O 为坐标原点，则直线OA 与抛物线y ＝x 2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与抛物线y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，点A 的可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知所求概率P ＝416＝14.答案：1410．(2018·福州质检)从集合M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z}中随机取一个点P (x ，y )，若xy ≥k (k >0)的概率为625，则k 的最大值是________．解析：因为M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z}，所以M ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}，所以集合M 中元素的个数为5×5＝25.因为xy ＝1的情况有2种，xy ＝2的情况有4种，xy ＝4的情况有2种，所以要使xy ≥k (k >0)的概率为625，需1<k ≤2，所以k 的最大值为2.答案：2B 级——中档题目练通抓牢1．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序A ，B ，C ，D ，E ，F ，则程序A 在第一或最后一步，且程序B 和C 相邻的概率为( )A.15B.115C.415D.215解析：选D 程序A 在第一或最后一步，且程序B 和C 相邻的概率为P ＝A 12A 22A 44A 66＝215.2．(2018·河北三市联考)已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )A.34 B.35C.45D.710解析：选C 所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45. 3．(2017·合肥二检)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )A.13 B.15C.19D.320解析：选A 法一：当学生A 最后一个出场时，有A 13A 33＝18种不同的安排方法；当学生A 不是最后一个出场时，有A 23A 33＝36种不同的安排方法，所以满足“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18＋36＝54种．其中“C 第一个出场”的结果有A 13A 13A 22＝18种，则所求概率为1854＝13，选项A 正确．法二：“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是13.4．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的6个面的中心分别为E ，F ，G ，H ，I ，J ，甲从这6个点中任选2个点连成直线l 1，乙也从这6个点中选2个点连成与直线l 1垂直的直线l 2，则l 1与l 2异面的概率是________．解析：如图所示，因为正方体6个面的中心构成一个正八面体，所以甲、乙连成的两条直线互相垂直的情况有：IJ ⊥EF ，IJ ⊥GH ，IJ ⊥GE ，IJ ⊥GF ，IJ ⊥EH ，IJ ⊥FH ，EF ⊥GH ，EF ⊥GI ，EF ⊥GJ ，EF ⊥HI ，EF ⊥HJ ，GH ⊥EI ，GH ⊥EJ ，GH ⊥FI ，GH ⊥FJ ，共15组，其中异面的有：IJ ⊥GE ，IJ ⊥GF ，IJ ⊥EH ，IJ ⊥FH ，EF ⊥GI ，EF ⊥GJ ，EF ⊥HI ，EF ⊥HJ ，GH ⊥EI ，GH ⊥EJ ，GH ⊥FI ，GH⊥FJ ，共12组，故所得的两条直线异面的概率P ＝1215＝45.答案：455．我们把形如“3241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数)，由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为________．解析：通过画树状图可知， 由1,2,3,4四个数组成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为1024＝512.答案：5126．移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解：(1)设事件A 为“从中任选 1 人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56.(2)设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的所有基本事件如下：a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1c 1，a 1c 2，b 1b 2，b 1b 3，b 1c 1，b 1c 2，b 2b 3，b 2c 1，b 2c 2，b 3c 1，b 3c 2，c 1c 2，共15个．其中使得事件B 成立的有b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，c 1c 2，共4个． 则P (B )＝415.故这2人获得相等优惠金额的概率为415.7．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分) [50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]总计 频数b频率a0.25数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．解：(1)∵由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8， 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为p ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，设事件A ＝“取出的两个样本中数字之差小于等于10”，则A ＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，∴取出的两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率P (A )＝1021.C 级——重难题目自主选做(2018·湖南长郡中学月考)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm ～195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)、第二组[160,165)、第三组[165,170)、……、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高在第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x ，y ，求|x －y |≤5的概率．解：(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组的频率为1－0.82＝0.18，所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144.(2)由(1)知后三组的人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2， 设第六组的人数为m ，则第七组的人数为9－2－m ＝7－m ， 由m ＋2＝2(7－m )，解得m ＝4，即第六组的人数为4，第七组的人数为3，频率分别为0.08,0.06.频率除以组距分别等于0.016,0.012，补充完整的频率分布直方图如图所示．(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4，设为a，b，c，d，身高在[190,195]内的人数为2，设为A，B.当x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种情况．当x，y∈[190,195]时，只有AB这1种情况．当x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8种情况．所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15.事件|x－y|≤5所包含的基本事件有6＋1＝7种，故P(|x－y|≤5)＝715.。

11。

2古典概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为。

2.基本事件的特点（1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件）都可以表示成的和.3。

古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件.(2）等可能性:每个基本事件出现的可能性。

4。

古典概型的概率公式.P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数1。

任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和。

2。

求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1）在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(）（2）基本事件的概率都是1n。

若某个事件A包含的结果有m个,则P(A)=mn.(）（3）掷一枚质地均匀的硬币两次，出现“两个正面”“一正一反"“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(4）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为card(A)card(I)。

()(5)从1,2，3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。

2.()2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是（)A.14B.13C。

12D.343.(2019全国3,3）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(）A。

16B。

14C。

13D.124.从集合A={1，3，5,7,9｝和集合B=｛2,4，6,8｝中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是()A。

2021年高考数学理新课标A 版一轮总复习开卷速查必修部分65古典概型1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析：复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16. 答案：C2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )A.16 B ．14 C.112 D.19解析：试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本事件．事件：点P 在x ＋y ＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故P ＝636＝16.答案：A3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512 B ．712 C.13 D.12解析：∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P ＝1536＝512，故选A.答案：A4．一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，若从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15 B ．310 C.25 D.12解析：从袋中任取两个球，其一切可能结果有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P ＝25.答案：C5．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12 B ．13 C.14 D.18解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14，故选C.答案：C6．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.12 B ．56 C.34 D.23解析：由题可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为3036＝56.答案：B7．从某学习小组的10名同学中选出3名同学参加一项活动，其中甲、乙两名同学都被选中的概率是__________．解析：从10名同学中选出3名同学有C 310＝10×9×83×2×1＝120种选法，其中甲、乙两名同学都被选中有C 18＝8种选法，因此甲、乙两名同学都被选中的概率是8120＝115.答案：1158．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m ＞n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.答案：5129．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为__________．解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A ，B ，C .则A ，B ，C 彼此互斥，由题意可得P (B )＝0.03，P (C )＝0.01，所以P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.9610．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解析：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.B 级 能力提升练11．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X ＞0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X ＜0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解析：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种． 故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p 1＝715；因为去唱歌的概率为p 2＝415，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1－415＝1115.12．某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1)2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解析：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310.36496 8E90 躐cK-V!$c 25949 655D 敝/s29967 750F 甏W。