山东省临沭第二中学2021届高三上学期教学质量检测数学答案

2021年高三（上）第二次质量检测数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（xx•丹东一模）复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，则实数x= ﹣1 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：本题是一个概念题，所给的条件是一个复数是纯虚数，根据a+bi是纯虚数所满足的条件是a=0且b≠0，这两个条件要同时成立．只要x2﹣1=0且x﹣1≠0，做出其中的x即可．解答：解：∵复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴x2﹣1=0且x﹣1≠0，∴x=±1且x≠1，∴x=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查复数的实部和虚部，是一个概念题，在解题时用到复数常见的几种形式，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中．2．（5分）（xx•奉贤区一模）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（1，2]．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，解不等式x2≤4求出集合N，再进行交集运算．解答：解：∵lgx＞0⇒x＞1，x2≤4⇒﹣2≤x≤2，∴M∩N=（1，2]．故答案是（1，2]点评：本题考查集合的交集运算．3．（5分）在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件“区域M”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，满足条件：“|x|+|y|≤2”的区域Ω为图中正方形，∵R=2，∴圆的面积为4π且圆内接正方形的对角线长为2R=4，∴圆内接正方形的边长为2∴圆内接正方形的面积为8，则点落在正方形内的概率P==故答案为．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．4．（5分）（xx•许昌二模）已知cosα=﹣，α∈（，π），则等于．考点：两角和与差的正切函数．专题：综合题．分析：由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵，∴sinα=，∴tanα==﹣，则tan（+α）===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因已知奇函数，又是填空题，可以用特值法来求解．解答：解：因为所给函数的定义域为R，所以f（﹣1）=，f（1）=，因为所给函数是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），所以，解得：a=2，故答案为：2．点评：本题考察函数的奇偶性，在利用函数奇偶性解决选择填空题时，我们常用特值法来求解析式中的参数，但是要先看定义域！6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是7500．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到第50次循环结束时输出S的值即可．解答：解析：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：S=0+3×1=3 k=1+2=3第2次循环：S=3×1+3×3=12 k=3+2=5第3次循环：S=3×1+3×3+3×5=27 k=5+2=7…以此类推，直到第50次循环，执行完毕后k=101时，S=3×1+3×5+3×7+…+3×99=3×=7500此时经过判断满足k≥100，跳出循环故输出S=7500故答案为：7500点评：本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时S值，属基础题．7．（5分）（xx•普陀区一模）在△ABC中，若，，则=3．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：两式相减，由向量的运算可得==9，解之即可．解答：解：∵，，∴，∴====9，∴=3故答案为：3点评：本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为36．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．解答：解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故答案为：36．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．9．（5分）已知B为双曲线（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解之，代入双曲线的方程化简可得．解答：解：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解得，代入双曲线的方程可得=1，即，解得故答案为：点评：本题为双曲线的离心率的求解，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为9．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：直线与圆．分析：设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|AB|的最小值d﹣r，从而得到|AB|2的最小值．解答：解：可设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．由于点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上．数形结合可知，由圆心O（0，0）向直线L作垂线，|AB|的最小值就是夹在圆与直线间的部分．由于圆心到直线的距离d==5，|AB|min=d﹣r=3，∴|AB|2的最小值为9，故答案为9．点评：本题主要考查直线和愿的位置关系，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题．11．（5分）（xx•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列，且，则数列a n的通项公式a n=2n．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．解答：解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．12．（5分）将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；压轴题．分析：设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．解答：解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2 求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0∴x=（a+b）因为a＜b有x属于（0，）所以0＜（a+b）＜∴1＜＜故答案为：（1，）．点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．13．（5分）（2011•新余二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M 是抛物线上的动点，则的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设M 到准线x=﹣的距离等于d，由抛物线的定义可得=，化简为，令m﹣=t，则m=t+，=，利用基本不等式求得最大值．解答：解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M 到准线x=﹣的距离等于d，则=======．令m﹣=t，t＞﹣，则m=t+，==≤=（当且仅当t= 时，等号成立）．故的最大值为，故答案为．点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的等差数列{a n}及任意的正整数n 都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为．考数列与不等式的综合．点：专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}前n项之和是S n，我们利用等差数列的前n项和公式，可将不等式+≥λ进行变形，配方后，根据实数的性质，易得实数λ的最大值．解答：解：∵S n=•n，∴λ+≥可以变形成：+a1a n+（﹣λ）≥0，即（a n+a1）2+（﹣λ）≥0，若不等式+≥λ对任意{a n}和正整数n恒成立，仅需要λ≤即可，则实数λ的最大值为．故答案为：．点评：数列是一种定义域为正整数的特殊函数，我们可以利用研究函数的方式研究它，特别是等差数列对应的一次函数，等比数列对应的指数型函数，我们要善于通过数列的通项公式、前n项和公式，或数列相关的一些性质，在解数列相关的不等式时，也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法．二、解答题：本大题共9小题，共90分．15．（14分）（xx•崇明县二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C﹣）=1，由C的范围，求出2x﹣的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵﹣1≤sin（2x﹣）﹣≤1，∴f（x）的最小值为﹣2，又ω=2，则最小正周期是T==π；（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，得到sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=，∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②，联立①②解得：a=1，b=2．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD 内的两条相交直线AB、PA即可．解答：（Ⅰ）解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，所以BO∥CD又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，所以：平面PAB⊥平面PCD．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题．17．（14分）如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，∵，∴，，∴N点的坐标为（3a，4a）．又射线OA的方程为y=3x，又B（p，0），∴直线BN的方程为∴．…（4分）当p=3a时，C（3a，9a），．当p≠3a时，方程组，解为∴点C的坐标为．∴．对p=3a也成立．∴．…（8分）（2）由（1）得．令，∴，当且仅当，即，此时，上式取等号，∴当Km时，S有最小值，即抢救最及时．…（14分）点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型．18．（8分）已知双曲线左右两焦点为F1，F2，P是右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，．（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围；（3）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．考点：双曲线的简单性质；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把λ值代入求的值，进而得到双曲线的渐近线方程；（2）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．解答：解：由相似三角形知，，，∴2a2λ+b2λ=b2，2a2λ=b2（1﹣λ），．（1）当时，，∴a=b，y=±x．（2）=，在上单调递增函数．∴时，e2最大3，时，e2最小，∴，∴．（3）当时，，∴b2 =2a2．∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F1F2的中垂线（y轴）上，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=8．又，∴．∴，故圆心C（0，2），半径为4，故所求的圆的方程为x2+（y﹣2）2=16．点评：本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题．19．（8分）（xx•湖北）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n为数列{b n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点：等比关系的确定．专题：压轴题．分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．（2）用数列a n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（Ⅱ）解：因为b n+1=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）=（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n又b1=﹣（λ+18），所以当λ=﹣18，b n=0（n∈N+），此时{b n}不是等比数列：当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，故知b n=﹣（λ+18）•（﹣）n﹣1，于是可得S n=﹣，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．20．（8分）（xx•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想．分析：（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e ﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．解答：解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律．21．（20分）选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A选修4﹣1：几何证明选讲如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．求证：∠ACB=∠OAC．B选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵A=，向量．求向量，使得A2=．C选修4﹣3：坐标系与参数方程已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，求实数a的值．D选修4﹣4：不等式选讲已知函数f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+（a，b．c为实数）的最小值为m，若a﹣b+2c=3，求m的最小值．考点：特征值、特征向量的应用；弦切角；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：A连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，由DE是切线，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能够推导出∠ACB=∠OAC．B由A=，知A2==，设=，则，由此能求出向量，使得A2=．C由椭圆C的极坐标方程得到，由此能求出a．D由f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．知x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，由此利用柯西不等式能求出m的最小值．解答：解：A证明：连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点，∴AE=AC，∴∠CAF=∠FAE，∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，∴∠ACB=∠OAC．B∵A=，∴A2==，设=，则，∴=，∴，解得x=﹣1，y=2，∴．C∵椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，∴，由=1，得a=12．D∵f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3x2﹣2（a+b+c）x+a2+b2+c2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．∴x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，∵a﹣b+2c=3，由柯西不等式得[12+（﹣1）2+22]•（a2+b2+c2）≥（a﹣b+2c）2=9，∴m=a2+b2+c2，当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴m的最小值为．点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，考查矩阵与变换的应用，考查椭圆的极坐标方程，考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA．（I）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：向量在几何中的应用；与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，从而就可以得到轨迹C的方程；（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，可得x2+x1=﹣1，由O、M、P三点共线可知，与共线，从而可得，这样，我们可以求出M的横坐标，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；方法二、设，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠﹣1）．（4分）（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2+x1=﹣1，（6分）由O、M、P三点共线可知，与共线，∴，由（Ⅰ）知x1≠0，故y0=x0x1，（8分）同理，由与共线，∴，即（x2+1）[（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）]=0，由（Ⅰ）知x1≠﹣1，故（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）=0，（10分）将y0=x0x1，x2=﹣1﹣x1代入上式得（x0+1）（﹣2﹣x1）﹣（x0x1﹣1）=0，整理得﹣2x0（x1+1）=x1+1，由x≠﹣1得，（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）方法二、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2=﹣x1﹣1，（6分）∴直线OP方程为：y=x1x①；（8分）直线QA的斜率为：，∴直线QA方程为：y﹣1=（﹣x1﹣2）（x+1），即y=﹣（x1+2）x﹣x1﹣1②；（10分）联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）点评：考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．23．（10分）已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣1．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得a k（x）=•，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F（x）的解析式求得F（2）═+2+3+…+（n+1），设S n=+2+3+…+（n+1），利用二项式系数的性质求得S n=（n+2）•2n﹣2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1．解答：解：（1）由题意可得a k（x）=•，k=1、2、3，…n+1，故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为=1，•=，=．再由2×=1+，解得n=8．（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=+2•（）+3•+（n+1）•，∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．设S n=+2+3+…+（n+1），则有S n=（n+1）+n+…+3+2+．把以上2个式子相加，并利用= 可得2S n=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2n﹣1，∴S n=（n+2）•2n﹣2．当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1，命题得证．点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．|40621 9EAD 麭26417 6731 朱29543 7367 獧21421 53AD 厭N38388 95F4 间#20166 4EC6 仆>^24909 614D 慍24462 5F8E 徎20444 4FDC 俜。

山东省2021届高三开学质量检测数学试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1•答卷前，考生务必将自己的姓爼、考生号等填写在答题卡和试卷指左位置上。

2.回答选择题时，选岀每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 A ={xllnx<l}, B = {xlx2—4x—12>0},则 AU(C R B)=A.(—8, 6)B.(—2, 6)C.(0, 6]D.(0, e)2•已知复数z=l+i, 2为z的共馳复数，则匸 =z3 + / 门 1 + / 小 1-3/ r 1 + 3/A.——B.——C. ----------D.2 2 2 23.马林•梅森(Marin ersenne, 1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。

梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2卩一1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方而的这一贡献，将形如2卩一 1(其中p是素数)的素••数，称为梅森素数。

在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为悔森素数的概率是A.— B 丄 C.— D.—11 6 22 224.已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布N(453, 99】)，估计这些考生成绩落在(552, 651]的人数约为(附：Z〜N@, o2),则 P(H-O<Z^H+G)=0.6827, P@—2G<Z〈P+2G)=0.9545)A.36 014B.72 027C.108 041D.168 2225•“中国剩余泄理”又称“孙子迫理” 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。

山东省临沂市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A 种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A 种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 22A 34(A +1224)576C A =种.故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题. 2．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】解: )()())1111112ii i z i i i ---=====++-， 故选：C 【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.3．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．323D ．233【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 4．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42RA x x =-≤≤， ∴()()0,2RA B =.故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题. 5．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=，所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 6．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-=====11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。

2021年山东省高三数学高考二模试题卷二第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，均为的子集，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．若复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．中，A ，B ，C 是的内角，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．实数x 、y 满足，则的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．55．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ． 6．在中，，，点满足，，则的长为（ ）A ．B ．C ．D ．67．设等差数列的前n 项和为，且，()()320152015120191a a -+-1=-，则下列结论正确的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，8．在探索系数，，，对函数图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正四棱锥底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）N R MN⊆RM N =R∅M N R z 12i i 2z⋅=z =1212-1i 2-1i 2ABC △ABC △π3A =1cos 2A =22326xy x +=22x y +7292()4,3A l 22231x y l ⎡⎣(⎡⎢⎣⎦,33⎛-⎝⎭ABC △9AC =60A ∠=︒D 2CD DB =AD =BC {}n a n S ()()3661201911a a -+-=20202020S =20156a a <20202020S =20156a a >20202020S =-20156a a ≤20202020S =-20156a a ≥A ωϕb ()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>A ωϕb ()sin f x x =()π2sin 213gx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π36121624S BCDE -A SBE -A ．B ．正四棱锥的外接球半径为C ．正四棱锥的内切球半径为D ．由正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱10．一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，(即，，三点分别在三角形三边或顶点上)，则两三角形面积比的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A ．当轴时，B ．双曲线的离心率C ．D ．若为的内心，满足，则12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ≥kx b+和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）A ．在内单调递增B ．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为C ．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D ．和之间存在唯一的“隔离直线”第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式的常数项是________．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是______．15．已知三棱锥，，，，则以点为球心， AS CD ⊥S BCDE -2a S BCDE -12a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭S BCDE -A SBE -ABC PQR P Q R ABC PRQABCS S △△14151617()2222:10,0x y C a b a b-=>>A B 1F 2F 122F F c =a b c P C B PA PB 1k 2k 2PF x ⊥1230PF F ∠=︒e =12k k I 12PF F △()1212IPFIPF IF F S S xS x =+∈R △△△12x =k b ()F x ()G x ()G x kx b≤+y kx b=+()F x ()G x ()()2f x x x =∈R ()()10g x x x=<()2ln h x e x =e ()()()m x f x g x =-x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x b 4-()f x ()g x k []4,1-()f x ()h x y e =-()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A BCD -5AB AD BC CD ====8BD =3AC =C为半径的球面与侧面的交线长为______．16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：的内角的对边分别为，若，______，求和．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件，若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件．．（1）求当时，销售量；当时，销售量；（2）试写出当广告费为千元时，销售量；（3）当，时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？19．（12分）如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M ，N 分别为，的中点． （1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份123456不“礼让行人”驾驶员人数120 105 100 85 90 80（1）请根据表中所给前个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起天内需完成罚款缴纳，记录月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为，若服从正态分布，求该月没能在天内缴纳人数．参考公式：，． ，，22ABD 5m =22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-sinsin 2B C b a B +=sin cos(π)6a Bb A =-ABC △,,A B C ,,a bc 22a b c +=A C a b n ()1n -2nb ()*n ∈N 1n =1a 2n=2a n n a 10a =4000b =ABCDEF ABCD 22AB CD ==60ABC∠=︒ACFE 2FB =EF AB MN ∥FCB AF FCB MAB MAC 476x y 5y ˆˆˆybx a =+56155XX()~8,9X N 14()()()112211ˆnniii ii i nnii i i x x y y x y nxyb x x x nx====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx=-()0.6826P Z μσμσ-<<+=()220.9544P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数，．（1）若对任意给定的，总存在唯一一个，使得成立，求实数的取值范围； （2）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，当轴时，（为坐标原点）． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．数 学答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．1．【答案】C 【解析】用图示法表示题意，如下图，故，故选C ．2．【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ． 3．【答案】C 【解析】若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，因为，所以，所以“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充分必要条件，故选C ． 4．【答案】B 【解析】由题意得，，因此，令，的对称轴为，开口向下，则在区间单调递增，所以当时，取得最大值4，故的最大值为，故选B ．5．【答案】C 【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离应小于等于半径，，即，解得，故选C ． 6．【答案】A 【解析】因为，所以，()330.9974P Z μσμσ-<<+=()32231f x ax ax =-+()()3042a g x x a =-+<051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦151,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()10f x g x =a 051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1,2)i x i =()()()120f x f x g x ==a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>A B D (1,0)F C P Q P x PQ x ⊥//OP AD O C AP BQ M BP AQ N MFN ∠M N N =R13i 12+=2i 1z ⋅=11i 2i 2z ==-π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =223302y x x =-≥02x ∴≤≤()222211933222x y x x x +=-=--+()()219322x f x --+=()f x 3x =()f x []0,22x =22x y +22xy +4l l ()34y k x -=-340kx y k -+-=22231x y ()2,3()2,3340kx y k -+-=2233411k kk-+-∴≤+221k k -≤+33k -≤≤2CD DB =1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+设，则，得，即，因为，故解得，即，所以，故选A ．7．【答案】A 【解析】令，知在定义域内为递增函数，∴由题意知，即，又，知，关于原点对称，∴，而，故选A ．8．【答案】B 【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD 【解析】如图所示：A 选项：取中点连接，正三棱锥中，，，又，所以平面，则，又，所以，故A 正确；B 选项：设底面中心为，球心为半径为，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在上，所以， 因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，所以， 由，得，解得，故B 正确；C 选项：设内切球半径为，易求得侧面面积为， 由等体积法得，解得，故C 错；D 选项：取中点，连接，，，则和分别是和的二面角的平面角， 由，，故与互补，所以共面， 又因为，则为平行四边形，故，故正四棱锥与正三棱锥AB x =222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441379cos609999x x =+⨯⨯︒+⨯2291260x x +-=0x >6x =6AB =222212cos 6069269372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=3()2019f x x x =+()f x 6201511a a ->-20156a a <()()0f x f x 61a -20151a -620152a a +=20201202012020620151010()1010()2020S a a a a a a =++=+=+=π34422A 12A =BE H ,AH SHA SBE -AH BE ⊥SH BE ⊥AH SH H =BE ⊥SAH BE AS ⊥//BE CD AS CD ⊥1O O R 1O S OS OB R ==112O BO S a ==()22211OB O B O S OS =+-2222222R a a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22Ra =r 221π3sin 23Sa a =⋅=22212113432334a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅()624a r -=SE F AF DF BF BFD ∠BFA ∠D SE B --A SE B --()22222223321cos 2332a a aBF DF BDBFD BF DF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭222222233221cos 2332a a a AF BF BA AFD AF BF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎛⎫⎪⎝⎭BFD ∠BFA ∠ASDE AS AE ED SD ===ASDE////AS ED BC S BCDE -拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确，故选ABD ．10．【答案】AB 【解析】如图，有两种方式：（1）左图中为中点，设的直角边长，为的直角边长为，，在中，由正弦定理得，所以， 所以， 所以，所以． （2）右图中，在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以，综上：最小值为，最大值显然为1，故选AB ． 11．【答案】BCD 【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴，如图，对于A ，当轴时，点P 为，，显然，即选项A 错误；对于B ，，， ∴，解得（负值舍去），即选项B 正确；对于C ，设，则，，所以，由点在双曲线上可得，代入，故C 正确；A SBE -R AB ABC △a PQR △x PQC α∠=QBR △πsin sin 4QR QB α=sin πsin 4x QB α=()sin cos cos sin πsin 4x a CQ QB αααα=+=+=+1π2sin 4x a α==⎛⎫+ ⎪⎝⎭214PRQ ABC S x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△QBR △ππsin sin 44QR QB α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 4πsin 4x QB α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()πsin 4cos 2cos sin πsin 4x a CQ QB x x αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=+=+()1tan 22cos sin x a ϕαα===+215PRQ ABCS x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△152b ac =2PF x ⊥2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭221212||1tan ||222b PF ac a PF F F F c ac ∠====1230PF F ∠≠︒222ac a b c ==-∴1ce a=>210e e --=12e ±=(,)P x y 1y k x a =+2y k x a =-21222+y y y k k x a x a x a =⋅=--(,)P x y 22222x a y a b-=22222212222222111212y b y b c k k x a a y a a ⎛====-=-= -⎝⎭对于D ，设圆I 的半径为r ，，， 即，由双曲线的定义知，，即，故选项D 正确，故选BCD ． 12．【答案】ABD 【解析】对于A ，， ，， 当时，，单调递增， ，在内单调递增，A 正确；对于B 、C ，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立． 由对任意恒成立，得．①若，则有符合题意；②若，则有对任意恒成立，的对称轴为，，；又的对称轴为，，即，，，同理可得，，综上所述：，，B 正确，C 错误；对于D ，函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，则恒成立，若，则不恒成立；若，令，对称轴为，在上单调递增， 又，故时，不恒成立；若，对称轴为， 若恒成立，则，解得1212IPF IPF IF F S xS S =+△△△212111||||||222r PF r PF x r F F ∴⋅=⋅+⋅⋅⋅1212||||||PF PF x F F =+12||||2PF PF a -=22a x c ∴=⋅1a x c e ===()()()21m x f x g x x x=-=-()212m x x x '∴=+()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x ''>()m x '∴()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝()m x ∴x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x y kx b =+21x kx b kx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩(),0x ∈-∞2210x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩(),0x ∈-∞210kx bx +-≤(),0x ∈-∞0k ≤0k =0b =0k<20x kx b --≥(),0x ∈-∞2y x kx b =--02kx =<2140k Δb +∴=≤0b ∴≤21y kx bx =+-02b x k =-≤2240Δb k ∴=+≤2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩421664k b k ∴≤≤-40k ∴-≤<421664b k b ≤≤-40b ∴-≤<40k -≤≤40b -≤≤()f x ()h x x =∴()f x ()h x k(y e k x -=y kx e=-()()0f x kx e x ≥->0k =()200x e x -≥>0k<()()20u x x kx e x =-+>02kx =<()2u x x kx e ∴=-+(0u e e =-=0k <()()0f x kx e x ≥->0k >()u x 02kx =>()0ux ≥()(22340Δke k =-=-≤k =此时直线方程为，下面证明，令，则，当时，；当时，；当时，，当时，取到极小值，也是最小值，即， ，即，函数和存在唯一的隔离直线，D 正确，故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由，可得，因此，的展开式的常数项为，故答案为． 14．【答案】【解析】将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以，故答案为． 15．【答案】,【解析】作的中点，连接，，作的中点，连接，因为，所以，，所以，又，则， 设到边的距离为，则，解得， 2y ex e =-()2h x ex e ≤-()()222ln G x ex e h x ex e e x =--=--()()2e x eG x x-'=xe=()0G x '=0x e <<()0G x '<x e >()0G x '>∴x e =()G x ()()min 0G x G e ==()()20G x ex e h x ∴=--≥()2h x ex e ≤-∴()f x ()h x 2y ex e =-3()5552222211121121x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()521015521C 1C 1rrrr rr r R x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()22102101,155C 12C 1k rk k rr k r T x x x --++=⋅-⋅+⋅-⋅()()2821055C 12C 1krk k rr x x--=⋅-⋅+⋅-⋅2802100k r -=⎧⎨-=⎩45k r =⎧⎨=⎩()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()454555C 12C 13⋅-+⋅-=349A B C a b c A B C a {},A a {},B a {},C a b {},A b {},B b {},C b c {},A c {},B c {},C c 1164C C 24=1196C C 54=244549P ==495πBD E AE CE AE F CF AB AD BC CD ===AE BD ⊥CE BD ⊥223CE AE BC BE AC ==-==AF EF =333cos3032222CF CE =︒=⨯=<C AB h 2211222ABCAC S AB h AC AB ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭△39122h =>所以以点为球心，为半径作球与面相交构成一个圆，圆心为，设半径为，设球的半径为，所以，所以圆的周长为，．16．【答案】5，41【解析】（1）当时，，，，，，，所以需5次步骤后变成1； （2）若第5次步骤后变成1，则，，，或，当，，或；当时，，，所以的可能值是，的可能值的和是，故答案为5，41．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】选择见解析，，．【解析】（1）选择条件①，由及正弦定理知，，整理得，由余弦定理可得，又因为，所以，由，整理得， 因为，所以，从而，解得． （2）选择条件②，因为，所以， 由，得， 由正弦定理知． 又，，可得，又因为，所以，，故．，由，整理得， 因为，所以，从而，解得． （3）选择条件③，由及正弦定理知，，C ABD Fr R =2r===2πr =5m =15a =253116a =⨯+=38a =44a =52a =61a =61a =52a =44a =38a =138a =216a =132a =15a =31a =22a =14a =m {}4,5,32m 453241++=π3A =5π12C=()22sin sin sin sin sin B C A B C-=-()22b c a bc -=-222b c a bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()0,πA ∈π3A =2b c +=sin 2sin A B C +=23πB C =-2πsin 2sin 33πC C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭sin 2π6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4ππ6C -=5π12C =πA B C ++=π222B C A+=-sin sin 2B C b a B +=cos sin 2Ab a B =sin cos sin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==sin 0B >sin 02A >1sin 22A =()0,πA ∈π26A =π3A =2b c +=sin 2sin ABC +=23πB C =-2πsin 2sin 33πC C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭sin 2π6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4ππ6C -=5π12C =sin cos 6πa B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin sin sin c πos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又，从而，解得．又因为，所以．又由，得，由，得，整理得， 因为，所以，从而，解得． 18．【答案】（1），；（2）；（3）厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大． 【解析】（1）设表示广告费为0千元时的销售量，则，，所以；，所以． （2）设表示广告费为0千元时的销售量，则，由题：，相加得，即．（3）时，，设获利为，则有，欲使最大，则，，解得，故，此时，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点Q ，连接，，则，且，又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）由四边形为等腰梯形，且，， 可得，，所以，所以．sin 0B >31sincos cos sin 6π2A A A A ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭tan 3A =()0,πA ∈π3A =22a b c +=2sin sin 2sin A B C +=23πB C =-2π2sin sin 2sin 33πC C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2sin 2π6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4ππ6C -=5π12C =132b a =274b a =1(2)2n n a b =-0a 0a b =102b a a -=132a b =2122b a a -=274a b =0a 0a b =102121222n n n b a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⋯⎪⎪-=⎪⎩0232222n nb b b b a a -=++++231(2)22222n n n b b b b a b b =+++++=-4000b =14000(2)2n n a =-n T 110100040000(2)10002n n n T a n n =⋅-=--n T 11n n nn T T T T +-≥≥⎧⎨⎩11114000(2)10004000(2)1000(1)22114000(2)10004000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧--≥--+⎪⎪∴⎨⎪--≥---⎪⎩55n n ≥⎧⎨≤⎩5n =7875n a =25719BC NQ FQ 12NQ AC ∥12NQ AC =12MF AC ∥12MF AC =MF NQ ∥MF NQ =MNQF MN FQ ∥FQ ⊂FCB MN ⊄FCB MN ∥FCB ABCD 22AB CD ==60ABC ∠=︒1BC =3AC =90ACB ∠=︒AC BC ⊥因为四边形为矩形，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，即，所以． 因为，所以，所以．则可建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，，∴，， 设为平面的法向量，则，即，取，则为平面的一个法向量； 又为平面的一个法向量，所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）达到“理想状态”；（3）2人． 【解析】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算，，，，与之间的回归直线方程． （2）由（1）知，当时，，且，月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．（3）因为服从正态分布，所以， 该月没能在天内缴纳人数为人．21．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意知，，因为，所以由，解得或；由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和，ACFE AC CF ⊥AC ⊥FCB AFC ∠AF FCB 60AFC ∠=︒1FC =2FB =222FB FC CB =+FC BC ⊥C xyz -(3,0,0)A (0,1,0)B 3(,0,1)2M 3(,0,1)2MA =-(3,1,0)AB =-(,,)x y z =m MAB 00MA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 30230x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩23x =(23,6,3)=m MAB (0,1,0)=n MAC 657257cos ,||||571⋅〈〉====⨯m n m n m n MAB MAC 25719ˆ8124yx =-+1(12345)35x =⨯++++=1(1201051008590)1005y =⨯++++=12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()niii nii x x y y bx x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=y ∴x ˆ8124yx =-+ˆ8124yx =-+6x =ˆ8612476y =-⨯+=807645-=<6∴X ()~8,9X N ()2140.9544P X <<=1410.95449022-⨯=28,575⎛⎤-- ⎥⎝⎦162,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()61f x ax x -='514x -≤≤()0f x '<10x -≤<514x <≤()0f x '>01x <<()f x 0,1[)1,0-51,4⎛⎤⎥⎝⎦，，，，所以的值域为．又因为在上单调递增，所以的值域为． 问题转化为直线和曲线的图象只有一个交点， 结合图象，有，解得a 的取值范围是． （2）由（1）可知，问题转化为与曲线，二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有，解得a 的取值范围是．22．【答案】（1）；（2）是，定值为．【解析】（1）当轴时，点的横坐标代入椭圆的方程，可得点的纵坐标，由题意知，，， 又当轴时，，，得，且，，∴椭圆的标准方程为．（2）为定值，且定值为，理由如下：由（1）得，，，设，，，直线的方程为，联立方程可得，整理得，则，， 由，，三点共线可得，①，，，②5(11)f a -=-()01f =()11f a =-5251432a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x []1,15a -()g x 51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 335,24216a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦335,,24216a a y t t ⎡⎤=∈+-⎢⎥⎣⎦()51,4y f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎛⎫= ⎪⎝⎣⎭⎦31243515216a a aa ⎧-<+⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩28,575⎛⎤-- ⎥⎝⎦335,,24216a a y t t ⎡⎤=∈+-⎢⎥⎣⎦()y f x =51,4x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭31242535132216a a a ⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩162,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭2212x y +=π2PQ x ⊥P P x c =C P 2P b y a=1c =(,0)A a -(0,)D b OP x ⊥//OP AD 2b b a a∴=1b =222a cb -=2a ∴=C 2212x y +=MFN∠π2()2,0A -(0,1)D ()2,0B()11,Px y ()22,Q x y ()3,M t y PQ 1x my =+221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩()222210m y my ++-=12222my y m -+=+12212y y m -=+A P M 31122t x =++221112x y +=()()2211112222y x x x ∴=-=-+111122x x -∴=+③由，，④,，分别将，，将，， 设，同理可得，由，，，⑤由③⑤得，，为定值．112x y =B Q M =)(12122x xy y =111x my =+221x my =+)()2121212132m y y my y y y -++-+=12222m y y m -+=+12212y y m -=+3=-2t ∴=()4,N t y '2t '=B P N =341y y =-()()343421,21,10FM FN y y y y ∴⋅=-⋅-=+=2πMFN ∴∠=。

2021届山东省临沂市高三二模考试数学试题一、单选题1．若集合A ，B ，U 满足UA B =∅，则下面选项中一定成立的是（ ）A ．B A ⊆ B ．A B U ⋃=C ．UA B U ⋃= D ．UB A U ⋃=【答案】D【分析】根据交集的结果可知A B ⊆，结合韦恩图即可判断各选项的正误. 【详解】由UAB =∅知：A B ⊆，即A 错误，∴A B B ⋃=，即B 错误；仅当A B =时UA B U ⋃=，即C 错误；UB A U ⋃=，即D 正确. 故选：D.2．已知奇函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，则()()12f g -+=（ ）A ．11-B ．7-C ．7D ．11【答案】C【分析】根据函数为奇函数可得将(1)(2)(1)(2)f g f f -+=---，再代入计算，即可得答案； 【详解】(1)(2)(1)(2)(1)(2)f g f f f f -+=-+=---33(1)1(2)1⎡⎤=-----⎣⎦2(9)=---7=，故选：C.3．“1x >”是“2232xx +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】令20x t =>得2320t t -+>求x 的范围，由等价原则结合集合的包含关系，判断条件间的充分、必要关系. 【详解】令20x t =>，则由2232xx +>得2320t t -+>，解得2t >或1t <， ∴1x >或0x <，故“1x >”是“2232xx +>”的充分不必要条件. 故选：A.4．某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为（ ） A ．书法、健美操、棋类 B ．健美操、书法、棋类 C ．棋类、书法、健美操 D ．棋类、健美操、书法【答案】B【分析】通过分析得到乙选择了书法，再分析得到丙选择棋类，即得解. 【详解】乙比选棋类的人个头高，所以乙没有选择棋类，因为丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，所以乙选择了书法， 所以排除AD,因为乙的个头比甲小， 所以丙比乙的个头小，所以丙选择棋类，甲选择健美操. 故选：B5．如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其正视图是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为（ ）A ．32.69克B ．33.36克C ．34.03克D ．34.37克【答案】B【分析】利用圆锥的体积与内切球的体积比，即可得答案；【详解】设圆锥形的体积为：1V ，底面半径为r ；内切球的体积为：2V ，∴()21123V r r π=，32412323V r π⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴12975.06933.3644V m V m =⇒=⇒=， 故答案为：B.6．在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等m ，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等M ，它能反映天体的发光本领．如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离．下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差y 关于距离x （光年）的回归方程类型的是（ ）A ．2y a bx =+B ．lg =+y a b xC ．y a =+D ．y a bx =+【答案】B【分析】由表格数据在直角坐标系中标注点坐标，勾画出大概图象，对比2,lg x x x 的图象，即可知其回归方程类型.【详解】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如下图示，图象左侧无限靠近y 轴，不与y 轴相交，故其拟合曲线比较接近lg y x =的图象， 故选：B.7．点A ，B ，C 在圆O 上，若2AB =，30ACB ∠=︒，则OC AB ⋅的最大值为（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．6【答案】C【分析】根据条件可得60AOB ∠=︒，AOB 为等边三角形.由向量的加法和数量积的运算结合余弦函数的和角公式可得答案.【详解】由题意30ACB ∠=︒，则60AOB ∠=︒ 又AO OB r ==，所以AOB 为等边三角形.()OC AB OC AO OB OC OB OC OA ⋅=⋅+=⋅-⋅ 22cos 22cos COB AOC =⨯⨯∠-⨯⨯∠()4cos cos 60BOC BOC =∠-︒+∠⎡⎤⎣⎦134cos cos 22BOC BOC BOC ⎛⎫=∠-∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6BOC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭显然203BOC π<∠<，所以当3BOC π∠=时，OC AB ⋅有最大值4 故选：C【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积的定义和数量积的最值问题，解答本题的关键是向量的加法得()OC AB OC AO OB ⋅=⋅+，然后由向量的数量积的定义得到22cos 22cos CO OC B B AOC A =⨯⨯∠-⨯⋅⨯∠，结合三角函数的恒等变换可得答案，属于中档题.8．点1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作直线12AB F F ⊥交双曲线C 于A ，B 两点，现将双曲线所在平面沿直线12F F 折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ，B 两点的对应点分别为A '，B '，1A F B β''∠=，若1cos 251cos 16αβ-=-，则双曲线C 的离心率为（ ）A．173B 3C ．2D ．3【答案】D【分析】设21,,A F y A B x A F z ''''===，根据余弦定理结合条件得到54z y =，再转化成,a c 的方程，即可得答案；【详解】设21,,A F y A B x A F z ''''===，22222222cos ,cos 22y y x z z x y zαβ+-+-==， ∴22222222211cos 25221cos 1612y x z y z x y z αβ---===---，54z y ∴=，∴2212438223b y y a b ac F F c c ===⇒=， ()2223838303c a ac e e e -=⇒--=⇒=，故选：D.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求解的关键是设出三个变量，再将变量间的关系转化为,a c 的方程.二、多选题9．设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（ ） A ．将曲线cos 2y x =向右平移π3个单位长度后与曲线E 重合 B ．将曲线πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则与曲线E 重合C ．将曲线()f x 向左平移π6后所得图象对应的函数为奇函数 D ．若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为π2【答案】BD【分析】选项A ：根据余弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项B ：根据余弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项C ：根据余弦型函数图象变换的规律结合奇偶性的判断方法即可判断；选项D ：根据余弦型函数的零点进行判断即可； 【详解】选项A ：将曲线cos 2y x =向右平移π3个单位长度后可得2cos 2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当0x =时，12y =-≠()π10cos 32f ==，所以平移后图像与曲线不E 重合，故选项A 不正确.选项B ：将曲线πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变可得()πcos 23y x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故B 正确.选项C ：将曲线()f x 向左平移π6后可得π2cos 2cos 2633y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 显然0x =时，102y =-≠，所以此时不为奇函数，故C 不正确. 选项D ：由()πcos 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得π2,32x k k Z ππ+=+∈，即,212k x k Z ππ=+∈ 由()()120f x f x ==，所以111,212k x k Z ππ=+∈，222,212k x k Z ππ=+∈ 所以12122x x k k π-=-，由12k k Z ∈，，可得12x x -的最小值为π2，故D 正确. 故选：BD10．1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin θθθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ） A ．πi2ei =B ．πi 4e1=C．3112⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πi πi 44πeecos 42-+=【答案】ABD【分析】根据i e cos isin θθθ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C. 【详解】因为i e cos isin θθθ=+ 所以πi 2ecos+isini 22ππ==，故A 正确πi 4e cos+isin44ππ==，πi 4e 1==，故B 正确321===-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误 πi πi 44cos isincos isin e e4444cos 224πππππ-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确故选：ABD11．若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ） A ．a b > B ．b c >C ．c a >D ．2a b >【答案】AB【分析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=， 又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误； 对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a == 又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误. 故选：AB.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.12．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，且()2,1A ，()11,B x y ，()22,C x y 在抛物线上，O 为坐标原点．下列说法正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()0,2B ．若FB FC AF +=，则2FB FC AF += C ．若6BC =，则BC 的中点到x 轴距离最小值为2D ．若直线BC 过点F ，则直线OB 与OC 的斜率之积为14- 【答案】BCD【分析】代入点()2,1A ，即可求得2p =，可判断A ；根据向量坐标运算与焦半径公式可判断B ；由+≥BF CF BC 得1222+≥y y ，即可判断C ；设直线BC 方程联立方程组，得用韦达定理和斜率公式可判断D ．【详解】由于点()2,1A 在抛物线()220x py p =>上得42p =，故2p =，所以F 的坐标为()0,1，A 错；对B 选项，FB FC AF +=得1220+-=y y 所以124+=++=FB FC y y p ，又22142⎛⎫=+= ⎪⎝⎭p AF 所以2FB FC AF +=成立，故B 正确；对C 选项，由6+≥=BF CF BC ，所以121226++=++≥y y p y y 则1222+≥y y ，所以则BC 的中点到x 轴距离最小值为2，故C 正确； 对D 选项，设直线BC 方程为1y kx =+，代入抛物线24x y =得2440x kx --=所以124x x =-，直线OB 与OC 的斜率之积为221212121212116164===-x x y y x x x x x x ，故D 正确 故选：BCD【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、填空题13．6x ⎛- ⎝的展开式中常数项为______．（用数字表示） 【答案】527【分析】先得出展开式的通项公，再令x 的系数为0，从而可得答案.【详解】6x ⎛- ⎝的展开式的通项公式为366216613r rr r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝ 令3602r-=，解得4r =所以6x ⎛- ⎝的展开式中常数项为：446115538127C ⎛⎫-== ⎪⎝⎭故答案为：52714．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里.机构A ，B 各负责一个产品，机构C 负责余下的三个产品，其中产品①不在A 机构测试的情况有___________种(结果用具体数字表示). 【答案】16【分析】分两类完成：产品1在B 机构检测和产品1在C 机构检测，利用分类加法原理求解.【详解】（1）若产品1在B 机构，则情况数为14C 4=；（2）若产品1在C 机构则情况数为224212C A =，由分类加法计数原理知总共41216+=种情况. 故答案为：1615．随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c 成等差数列，若()52E X =，则()D X =______． 【答案】512【分析】根据等差中项性质可得13b =，再根据期望分别得到117,,12312a b c ===，代入方差公式，即可得答案； 【详解】a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，11313a b c b b ++=⇒=⇒=，则13a d =-，13c d =+，1115112333324d d d ⎛⎫⎛⎫∴⨯-+⨯+⨯+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，117,,12312a b c ∴===， 2225151157()12212232212D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭512=， 故答案为：512. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，求解时注意概率和为1和等差中项性质的运用.四、双空题16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______，点N 轨迹的长度为______．【答案】1123 883+【分析】先求出正四面体的表面积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小正四面体的侧面面积和底面面积可得答案；通过证明AB 垂直于一截面，从而得出点N 的轨迹，可得答案.【详解】根据题意该正四面体的棱长为312AB =，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin 6014432⨯⨯⨯⨯︒= 该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体 每个角上小正四面体的侧面面积为1344sin 601232⨯⨯⨯⨯︒= 每个角上小正四面体的底面面积为144sin 60432⨯⨯⨯︒=所以该多面体的表面积为：144341234431123⨯⨯= 如图设点H 为该多面体的一个顶点，则8HF HM MF ===,在HFB 中，2222212cos 6084248482HB HF BF BH HF =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯= 则43HB =,所以222HB BF HF +=,即HB BF ⊥同理43MB =,MB AB ⊥,由HB MB B ⋂=,所以AB ⊥平面M BH . 由点N 是该多面体表面上的动点，且总满足MN AB ⊥， 则点N 的轨迹是线段,,MB HB MH所以点N 轨迹的长度为：84343883MB HB MH ++=++=+ 故答案为： （1） 1123 （2） 883+【点睛】关键点睛：本题考查求多面体的表面积和求动点轨迹的长度问题，解答本题的关键是先证明AB ⊥平面M BH ，得出点N 的轨迹是线段,,MB HB MH ，从而求解，属于中档题.五、解答题17．在①π6x =是函数()f x 图象的一条对称轴，②π12是函数()f x 的一个零点，③函数()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为π2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数()()π12sin cos 0262f x x x ωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，______，求()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；单调递减区间为ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】先化简函数()f x 的解析式. 若选①根据对称轴方程以及02ω<<，求出ω的值；若选②根据函数的零点和条件02ω<<，求出ω的值；若选③根据条件得出周期，从而求出出ω的，值. 然后再求()f x 的单调递减区间，结合条件得出答案. 【详解】解：()π1ππ12sin cos 2sin cos cos sin sin 62662f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 2x x x ωωω=+-12cos 222x x ωω=- πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．①若π6x =-是函数()f x 图象的一条对称轴， 则ππππ362k ω--=+，Z k ∈，即π2ππ33k ω-=+，Z k ∈， 得32k ω=--，Z k ∈，又02ω<<，当1k =-时，1ω=，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②若π12是函数()f x 的一个零点， 则ππ2π126k ω⨯-=，即πππ66k ω=+，Z k ∈， 得61k ω=+，Z k ∈又02ω<<，∴当0k =时，1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ③若()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为π2， 则2ππ2T ω==，故1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，Z k ∈， 得π5πππ36k x k +≤≤+，Z k ∈，令0k =，得π5π36x ≤≤．令1k =-，得2ππ36k -≤≤-． 又ππ22x -≤≤， 所以()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减区间为ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在[]85,95内的概率；（3）假设竞赛成绩服从正态分布()2,N μσ，已知样本数据的方差为121，用平均分x作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．参考数据：()0.6827P μσξμσ-<+≈≤，()220.9545P μσξμσ-<+≈≤，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈．【答案】（1）0.035a =；平均分为71分；（2）57；（3）0.84135． 【分析】（1）由频率和为1得0.035a =，根据公式计算平均数即可；（2）成绩在[)75,85，[]85,95内的频率分别为0.25，0.1，可得成绩在[)75,85内的有5人，成绩在[]85,95内的有2人，即可求相应概率； （3）根据正态分布概率公式即可求解.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，()0.0050.2520.01101a +⨯++⨯=，解得0.035a =． 这组样本数据的平均数为500.05600.25700.35800.25900.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；（2）自频率分布直方图可知，成绩在[)75,85，[]85,95内的频率分别为0.25，0.1． 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，成绩在[)75,85内的有5人，成绩在[]85,95内的有2人．记事件A 这3人至少有1人成绩在[]85,95内则()211255523757+==C C C C P A C ； （3）由题意知，样本方差2121s =，故11σ==，所以竞赛成绩()2~71,11Y N该校竞赛的及格率()()()1601160820.841352P P Y P Y =>=--<<=． 19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足21444n n S a n +=--，且1112a b =+=，44a b =． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若从数列{}n a 中去掉数列{}n b 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，求123100c c c c +++⋅⋅⋅+．【答案】（1）证明见解析；（2）11302．【分析】（1）由递推公式，将n 换成1n -，与原式作差，化简，求出1a ，结合等差数列的定义可证明.（2）先求出,n n a b 的通项公式，求出数列{}n a 的前100项中，与{}n b 重合的项，然后再求和即可.【详解】（1）证明：∵21444n n S a n +=--，∴当2n ≥时，2144n n S a n -=-，所以22n n 1n 4a a a 4+=--， ∴()2212n n a a +=+，又0na >，所以12n n a a +=+．当1n =时，21248S a =-，即21248a a =-， 又12a =，∴24a =，212a a -=适合上式， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列． （2）由（1）可知2n a n =，设{}n b 的公比为q ， 又448b a ==，1111b a =-=，∴38q =，∴2q ，∴12n n b -=．∴11b =，212b a ==，324b a ==，448b a ==，5816b a ==，61632b a ==，73264b a ==，864128b a ==，9128256b a ==．∴()()123100123107238c c c c a a a a b b b +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()7212107221411302212-+=-=-．【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系证明数列为等差数列，数列求和问题，解答本题的关键是应用1111n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩时，注意n 的范围，以及求和时根据条件123100c c c c +++⋅⋅⋅+()()123107238a a a a b b b =+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，属于中档题.20．如图，四边形CDEF 为正方形，//AB CD ，22AB BC CD ==，点Q 为BF 的中点．（1）求证：//BD 平面CEQ ；（2）若30BAC ∠=︒，AC BF ⊥，求平面CEQ 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（25【分析】（1）由正方形、中位线的性质易得//OQ BD ，根据线面平行的判定可证//BD 平面CEQ .（2）由线面垂直的判定及性质证明AC 、BC 、CF 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =标注相关点的坐标，求面CEQ 、面ABCD 的法向量，应用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）连接DF ，交CE 于点O ，连接QO ， ∵四边形CDEF 为正方形， ∴O 为DF 中点，又Q 为BF 中点．∴//OQ BD ，而OQ ⊂平面CEQ ，BD ⊄平面CEQ ， ∴//BD 平面CEQ ．（2）∵2AB BC =，30BAC ∠=︒，在ABC 中，由sin sin30AB BCACB =∠︒，得sin 1ACB ∠=，则90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥．∵AC BF ⊥，BF BC B ⋂=，∴AC ⊥平面BCF ，而CF ⊂面BCF ，有AC CF ⊥． ∵CD CF ⊥，ACCD C =，∴CF ⊥平面ABCD ，而BC ⊂面ABCD ，有CF BC ⊥.以C 为原点，以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则1BC CD ==，3AC ，则()3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1F∴()3,1,0BA =-，()0,1,0CB =，()0,0,1CF =，而131,1222CE CD CF BA CF ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1110,,222CQ CB CF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 设面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，则00n CE n CQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3102211022x y z y z -+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2y =，则()23,2,2n =-，由CF ⊥面ABCD 知：CF 是面ABCD 的一个法向量， 设面CEQ 与面ABCD 所成锐二面角的平面角为θ，则115cos 525n CF n CFθ⋅===⋅． 【点睛】关键点点睛：第二问，首先证明线段两两垂直，再构建以它们为数轴的空间直角坐标系，并标注点坐标，求平面的法向量，最后利用空间向量的夹角坐标表示求二面角的余弦值.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C上，以1PF 为直径的圆22149:416E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭过焦点2F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的右顶点为A ，与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（M ，N 与A 点不重合），且满足AM AN ⊥，点Q 为MN 中点，求直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围．【答案】（1）2214xy+=；（2）30,8⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）由已知条件求得,,a b c，可得椭圆C的方程．（2）设直线AM的方程为()2y k x=-，与椭圆的方程联立消元，得出根与系数的关系，表示出直线MN与AQ的斜率之积，可求得其取值范围．【详解】解：（1）在圆E的方程中，令0y=，得23x=，解得3x=±，所以，1F，2F的坐标分别为()3,0-，()3,0．∵10,4E⎛⎫⎪⎝⎭，又因为212OE F P=，2//OE F P，所以点P的坐标为13,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以，127122442a PF PF=+=⨯+=，得2a=，1b=，即椭圆C的方程为2214xy+=．（2）右顶点为()2,0A，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM的方程为()2y k x=-，由MN与x轴不垂直，故1k≠±．由()222,14y k xxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()222214161640k x k x k+-+-=，设()11,M x y，()22,N x y，又点()2,0A，则由根与系数的关系可得：212164214kxk-=+，得2128214kxk-=+，()1124214ky k xk-=-=+，∵AM AN ⊥，∴直线AN 的方程为()12y x k=--， 用1k -替换k 可得：222824k x k-=+，2244k y k =+， ∴点Q 坐标为()()()()()2222226130,144144k k k k k k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++++⎝⎭， ∴直线AQ 的斜率()()()()()()()2222124222611443130222144k k k k k k k kk k k k -++-==++++，直线MN 的斜率()222122222122445414828241414k ky y k k k k k k x x k k k +-++===-----++，∴()212422215152822821k k k k k k k ==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵20k >且21k ≠，∴222214k k ++>=， ∴22153028821k k <<⎛⎫++ ⎪⎝⎭．即1230,8k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围是30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式. 22．已知函数()e ln xf x x a x =-，R a ∈．（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线过原点，求a 的值；（2）在（1）条件下，若()()()21ln 1f x b x a x ≥-++恒成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）e a =；（2）5e 2b ≤．【分析】（1）求出切线方程，然后利用切线过点()0,0可得答案；（2）将不等式变形为()2e 2eln 1e 0x x x b x ----≥，令()()2e 2eln 1e x m x x x b x =----，()()()2e 1e 21x h x x b x x=+---，()()22e 2e 2x x x b x ϕ=++-，然后可得()()min 15e 2h x h b ''==-，然后分5e 2b ≤、5e 2b >两种情况讨论即可. 【详解】（1）∵()f x 的定义域为()0,∞+．()()1e x a f x x x'=+-， ∴()12e f a '=-，又()1e f =，∴切线方程为()()e 2e 1y a x -=--．由切线过点()0,0，得()e 2e a -=--，即e a =．（2）由（1）知e a =，∴由()()()21ln 1f x b x a x ≥-++，得()2e 2eln 1e 0x x x b x ----≥（） 令()()2e 2eln 1e x m x x x b x =----，易知()10m =， 则()()()2e 1e 21xm x x b x x '=+---，且()10m '=， 令()()()2e 1e 21x h x x b x x =+---，则()()22e 2e 2x h x x b x'=++-． 令()()22e 2e 2x x x b xϕ=++-，则()()34e 3e x x x x ϕ'=+-在()0,∞+上是增函数， 且()01ϕ'=当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，()h x '是减函数，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()h x '是增函数，∴()()min 15e 2h x h b ''==-．①当5e 20b -≥即5e 2b ≤时，()()10h x h ''≥≥． 则()m x '单调递增．又()10m '=， 当()0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增， ∴()()10m x m ≥=，（）式恒成立．②当5e 2b >时，()10h '<， 又x →+∞时，()h x '→+∞，∴存在01x >，使()00h x '=，∴当()01,x x ∈时，有()0h x '<，即()m x '单调递减，∴()()10m x m ''<=，此时()m x 单调递减，故当()01,x x ∈时，()()10m x m <=，（）式不成立． 综上，可知5e 2b ≤． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对函数多次求导，然后来判断原函数的单调性，结合其函数值来证明不等式.。

2021-2022年高三上学期教学质量监测数学（文）试题含答案一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.若集合，，则 ( )A. B. C. D.2.在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为( )A. B. C. D.3.设，则“”是“”的 ( )A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为 ( )A． B． C． D．实用文档实用文档 5.已知变量满足约束条件01x y x y≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,则的最大值( )A ．1B ．3C ．4D ．86.如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127.若直线与平行，则与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．8.在面积为的内部任取一点，则面积大于的概率为( )A ．B ．C ．D ．9.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ( )A. 1B.C.D.10.已知数列满*312ln ln ln ln 32....()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅=∈-,则( )A ．B ．C ．D ．11.某四面体的三视图如图，则该四面体四个面中最大的面积是( )A. B． C. D．12.已知函数2=-=+-存在实数使的图像与的图像无f x x axg x b a x(),()ln(1),公共点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_________.14.已知等差数列中，，则15.已知球的表面积为，长方体的八个顶点都在球的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于实用文档16.给定方程：下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则正确命题的序号是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数2()2cos(2)2.3f x x xπ=+(1)求函数的最小正周期和最大值；(2)设的三内角分别是,若,且,求的值.18.(本小题满分12分)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与(1)用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．实用文档实用文档19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,平面底面， 为的中点，12,1,2PA PD BC AD ==== 是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.20. (本小题满分12分)定圆动圆过点且与圆相切,记圆心的轨迹为 (1)求轨迹的方程；(2)设点在上运动，与关于原点对称，且,当的面积最小时，求直线的方程.21.(本小题满分12分)函数2()ln ,(),f x x g x x x m ==--(1)若函数，求函数的极值；(2)若2()()(2)x f x g x x x e +<--在恒成立，求实数的取值范围.请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲实用文档如图，四边形是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点,连接并延长交于点．(1)求证：是的中点；(2)求线段的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线参数方程为(为参数)，直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)求曲线上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设函数()1().f x x x a a R =-+-∈(1) 当时，求不等式的解集；(2)若对恒成立，求的取值范围.河北省“五个一名校联盟”xx 高三教学质量监测实用文档文科数学（答案）一、选择题：CBADB DBDCC DB二、填空题： 13．25 14. 12 15. 50 16．②③④三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．217.(1)()2cos(2)2cos 2,3f x x x x π=++=-解： 函数的最小正周期，函数的最大值为1. .........5分 (2)1()cos 2,()cos ,22C f x x f C =-∴=-=-可得 .........7分(0,),sin C C π∈∴=，由余弦定理可得：22212cos 912137,2AB AC BC AC BC C AB =+-⨯⨯⨯=+-⨯⨯⨯=∴= 10分由正弦定理可得：3sin sin BC C A AB ⨯=== .........12分 18.解：（1）高三（1）班学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.1 4.78⨯+⨯+⨯++=, 故用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值为 4.7． .........6分（2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：（4.3，4.5）、（4.3，4.6）、（4.3，4.7）、（4.3，4.8）、（4.4，4.6）、（4.4，4.7）、（4.4，4.8）、（4.5，4.7）、（4.5，4.8），（4.6，4.8），共有10个，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为12分19.证明：（1）连接，交于，连接，且，即，∴四边形为平行四边形，且为中点，又因为点是棱的中点，∴，则平面. (6)分（2），证明出⊥平面,所以到平面的距离为. .......9分所以111111.323224P DQM M PDQ PDQV V S CD QD PQ CD--∆==== ......12分20.解：(1)在圆内，圆内切于圆,点的轨迹为椭圆，且轨迹的方程为 .........4分实用文档实用文档 4(11OA OC =2(14)(14k k ++≤当且仅当，即时等号成立，此时面积最小值是21.解：（I ），定义域(21)(1)(0,),(),x x F x x+-'+∞=- 由得, 由得,在递增,在递减,没有极小值. .........4分 （II ）由2()()(2)x f x g x x x e +<--在恒成立，整理得在恒成立,设, 则, ............6分时,,且11,1,0,()0x x e e e h x x x'><∴->∴>, .........7分实用文档 时,,设211(),()0,x x u x e u x e x x'=-=+> 在递增,又011()20,(1)10,(,1)22u e u e x =-<=->∴∃∈使得 时,,时,, 时,,时,.函数在递增,递减,递增, .............9分 又000000001()(2)ln (2)2,x h x x e x x x x x =-+-=-- 00000022(0,1),2,()12121,x h x x x x x ∈∴-<-∴=--<--<- ，时，， ..............11分,即的取值范围是 ............12分22.解：(1) 由以为圆心为半径作圆，而为正方形，为圆的切线， 依据切割线定理，得2,2EA EF EC =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分另外圆以为直径，是圆的切线，同样依据切割线定理得2,4EB EF EC =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分故AE=EB ，故E 是AB 中点 ..........5分精品文档实用文档 (2)∵∠BEF=∠CEB ，∠ABC=∠EFB ∴△FEB ∽△BEC ，得，∵ABCD 是边长为的正方形，所以 .........10分 23.解：（1）曲线的方程为，直线的方程为. 5分（2）在上任取一点≤ ∴当时，，此时这个点的坐标为 10分24.解:(Ⅰ)等价于 或 或，解得：或．故不等式的解集为或． 5分 (Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-,所以,由题意得：， 解得或． 10分(2)> 39450 9A1A 騚33645 836D 荭L25608 6408 搈{€•3|30073 7579 畹27310 6AAE 檮22036 5614 嘔- (3)。

山东省2021年高三数学高考二模试题卷一第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数的实部与虚部的和为7，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（ ） A ．4小时B ．7小时C ．6小时D ．14小时4．是成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列中，，，若，则（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）AB ．1CD ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ）{}220Bx x x =∈--≤Z {}0,1A B =BA ={}1,1-{}1,2{}1,1,2-{}1,2-(3i)(32i)()z a a =-+∈R a 1022-33x y >⎧⎨>⎩69x y x y +>⎧⎨⋅>⎩()2234x f x x x -=+-()()2log 3f a f >a ()(),28,-∞+∞()0,2()()0,28,+∞()8,+∞{}n a 11a =()111n n n n a a a n a ++*-=⋅∈N 110m a =m =()()π8sin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π()f x ,243πm ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π23m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦55π,π64⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,π8π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,a b c 0⋅=a b ()()0-⋅-≤a c b c +-a b c11111ABC A B C D -M 1DD NABCDA ．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆B ．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为C ．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线D ．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线10．将男、女共位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（ ） A ．位女同学分到同一组的概率为B ．男生甲和女生乙分到甲组的概率为C ．有且只有位女同学分到同一组的概率为D ．位男同学不同时分到甲组的概率为 11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的表达式为．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（ ）A ．B ．是偶函数C ．D ．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数 12．关于函数，下列判断正确的是（ ） A ．是的极大值点B ．函数有且只有1个零点MN ABCD π4N 4MN=MN P 2πN 1BB DC N 1D N AB π3N44841353143323543435()coshxf x a a=cosh 2x xe x e -+=sinh 2x xe x e --=cosh cosh cosh sinh s )inh (x y x y x y --=sinh cosh y x x =()cosh sinh x x '=PAB △A 0m =()2ln f x x x =+2x =()f x yf xxC ．存在正实数，使得恒成立D ．对任意两个正实数，，且，若，则第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．的展开式中的系数是________．14．如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为_______．15．已知函数，则关于的方程的实根的个数是_______．16．已知圆，，动圆与圆、都相切，则动圆的圆心轨迹的方程为_____________；直线与曲线仅有三个公共点，依次为、、，则的最大值为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知为等差数列的前项和，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（12分）在①；②；③的面积．这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且______，______，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）已知四棱锥中，四边形ABCD 为等腰梯形，，，，△ADE 为等边k ()f x kx >1x 2x 21x x >()()12f x f x =124x x +>()6x y z +-23xyzABCD 1AD=BD =AB AC⊥AC =CD 2πcos ,11()21,||1x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩x 2()3()20f x f x -+=()221:31C x y ++=()222:381C x y -+=C 1C 2C C E l E P Q R PRn S {}n a n 63219S S =1121a ={}n a 11n n n b aa +=⋅{}nb n n T π2A C =+5415cos c a A -=ABC △3S =ABC △A B C a b c 3b =c E ABCD -AB DC∥2AD DC ==4AB =三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足 ()，且使平面ADF 与平面BCE．若存在，求出的值，否则请说明理由．20．（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①记E ()为随机变量的数学期望．若，运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域；②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值．参考数据：，，．21．（12分）已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C 的左、右焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P ．若，且点Q满足，求面积的最小值．EFEB λ=01λ<≤λ*()n n ∈N n (k k*∈N 2k ≥k k k k k 1k +()01p p <<(k k*∈N 2k ≥1ξ2ξξξ12()()E E ξξ=p k ()p f k =141p e-=-k ln 20.6931≈ln3 1.0986≈ln5 1.6094≈2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F 1F 12,l l 1l 2,,A B l 1x =11AF F B λ=QAQB λ=1PQF △22．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．数 学答 案 第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】由不等式，解得，所以，又由且，所以，即，由补集的概念及运算，可得，故选D ．2．【答案】C 【解析】，所以复数的实部与虚部分别为，， 于是，解得，故选C ．3．【答案】C【解析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案： 方案一：甲､乙两泵同时开放→甲泵开放 方案二：甲､乙两泵同时开放→乙泵开放如果用方案一注水，可设甲､乙两泵同时开放的时间为x 个小时，由题意得方程，解得(小时)； 如果用方案二注水，可设甲､乙两泵同时注水的时间为y 个小时，2()x f x e ax x =--1a=()y f x =(1,(1))f ()()F x f x x =+1x 2x 212(ln(2))x x a <22(2)(1)0xx x x --=-+≤12x -≤≤{}1,0,1,2B =-{}0,1A B ={}0,A a =1a ={}0,1A ={}1,2B A =-2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i za a a a a =-+=+--=++-z 36a +29a -36297a a ++-=2a =111(10)1181515x x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭6x =则，解得(小时)，所以选方案一注水，可得甲､乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时，故选C ． 4．【答案】A【解析】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立， 故选A ． 5．【答案】C 【解析】∵，∴的图象关于直线对称， ∵和都在上是减函数，在上是增函数，∴在上为减函数，在上为增函数．又，∴，即或，解得或，故选C ．6．【答案】C【解析】， 所以为以为首项，公差的等差数列， 所以，所以， 由，所以，故选C ．7．【答案】B【解析】由题意可得，求得，令，求得，111(10)1181518y y ⎛⎫++-=⎪⎝⎭602693y ==10x =52y =()()()()22224344434xx f x x x x x f x ---=+---=+-=()f x 2x =23x y -=24y x x =-(),2-∞()2,+∞()f x (),2-∞()2,+∞()()2log 3f a f >2log 2321a ->-=2log 1a <2log 3a >02a <<8a >111111n n n n n na a a a a a +++-=-=⋅1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11d =11(1)1n n n a =+-⨯=1n a n=1110ma m ==10m =2ππω=2ω=πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z π5πππ,1212k x k k -≤≤+∈Z由，求得， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是，故选B ． 8．【答案】B 【解析】由题意知，，又， ∵，∴，∴，∴，即的最大值为1，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD 【解析】如图：对于A ，根据正方体的性质可知，平面，所以为与平面所成的角，所以，所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故A 正确；对于B ，在直角三角形中，，取的中点，ππ3π2π22π,232k x k k +≤-≤+∈Z 5π11πππ,1212k x k k +≤≤+∈Z ()f x ,243πm ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π23m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π5π5π3125π64212m m m ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎪⎩m 55π,π64⎡⎤⎢⎥⎣⎦2221===a b c 0⋅=a b ()()20-⋅-=⋅-⋅-⋅+≤a c b c a b a cc b c 21⋅+⋅≥⋅+=a c b ca cb ()2222221110211+-=+++⋅-⋅+⋅≤+++-⨯=a b c a b c a b a c b c 1+-≤a b c +-a bcMD ⊥ABCD MND ∠MN ABCD π4MND∠=1114222DN DM DD ===⨯=N D 2MDN DN===MD E因为为的中点，所以，且， 因为，所以，即点在过点且与垂直的平面内，又，所以点为半径的圆，其面积为，故B 不正确；对于C ，连接，因为平面，所以，所以点到直线的距离为，所以点到点的距离等于点到定直线的距离，又不在直线上，所以点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，故C 正确； 对于D ，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，因为与所成的角为，所以， 所以，整理得，所以点的轨迹为双曲线，故D 正确，故选ACD ． 10．【答案】AB【解析】位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为，A 选项，位女同学分到同一组的不同分法只有种，其概率为，对； B 选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为，其概率为，对； C 选项，有且只有位女同学分到同一组种，则有且只有位女同学分到同一组的概率为，错； D 选项，位男同学同时分到甲组只有种，其概率为， 则位男同学不同时分到甲组的概率为，错， P MN PE DN∥12PEDN ==DN ED ⊥PE ED ⊥P E 1DD PE=P 2π3π⋅=NB 1BB ⊥ABCD 1BB NB ⊥N1BB NB N B N CD B CD N B CD D 1,,DA DC DD ,,x y z (4,0,0)A (4,4,0)B 1(0,0,4)D (,,0)N x y (0,4,0)AB 1(,,4)D N x y =-1D N AB π31π|cos,|cos3AB D N <>=1|2=22311616y x -=N 84484C C 70⋅=42217035=2464C C 15⋅=1537014=33144C 32C 2⋅⋅=332167035=41170416917070-=故选AB ． 11．【答案】ACD【解析】，A 正确；，记，则，为奇函数，即是奇函数，B 错误；，即，C 正确；对于D ，因为轴，因此若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则，由，解得，D 正确，故选ACD ． 12．【答案】BD【解析】A ：函数的定义域为，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A 错误；B ：，， 所以函数在上单调递减，又，，所以函数有且只有1个零点，故B 正确；C ：若，即，则． 令，则． cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅()2cosh x y x yx y e e --++==-22sinh c 4osh x xy x x e e --==22()4x xe e h x --=22()()4x xe e h x h x ---==-()h x sinh cosh y x x =()22x x x x e e e e --+-'=()cosh sinh x x '=AB x ⊥0PAk =02m Am P e k e --==0m =()f x 0,()22212x f x x x x-'=-+=()0,2x ∈0fx()f x ()2,x ∈+∞0fx()f x 2x=()f x ()2ln y f x x x x x =-=+-22221210x x y x x x-+'=-+-=-<0,()112ln1110f -=+-=>()221ln 22ln 210f -=+-=-<yf xx ()f x kx >2ln x kx x +>22ln xk x x<+()22ln x gx x x=+()34ln x x xg x x-+-'=令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C 错；D ：因为在上单调递减，在上单调递增，∴是的极小值点．∵对任意两个正实数，，且，若，则．令，则， 由，得，∴， 即，即，解得，，所以．故要证，需证，需证，需证．∵，则，∴证． 令，，，所以在上是增函数．因为时，，则，所以在上是增函数．()4ln hx x x x =-+-()ln h x x '=-()0,1∈x ()0h x '>()h x ()1,∈+∞x ()0h x '<()h x ()()130hx h ≤=-<0g x()22ln x g x x x=+0,k ()f x kx >()f x ()0,22,2x=()f x 1x 2x 21x x >()()12f x f x =1202x x <<<()211x t t x =>21x tx =()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+211222ln ln x x x x -=-()2121212ln x x xx x x -=()11121ln t x t x tx -=⋅()121ln t x t t -=()2121ln t t x tx t t-==21222ln t x x t t-+=124x x +>1240x x +->22240ln t t t -->2224ln 0ln t t t t t-->211x tx =>ln 0t t >2224ln 0t t t -->()()2224ln 1Ht t t t t =-->()()44ln 41H t t t t '=-->()()()414401t H t t tt-''=-=>>()H t '1,1t→()0H t '→()0H t '>()H t 1,因为时，，则，所以，∴，故D 正确，故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】，所以，的展开通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项可以为，其中且、，令，解得，因此，的展开式中的系数是，故答案为．14．【答案】【解析】设，在中，由正弦定理得，即，整理得．由余弦定理得， 因为，所以． 在中，1t →()0H t →()0H t >2224ln 0ln t t tt t-->124x x +>60-()()66x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦()6x y z +-()616C rrr r A x y z -+=⋅⋅-()ry z -()()1C C 1kkk r k k r k k k r r B y z y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅()6x y z +-()61,16C C 1kr kr r k k r k r T x y z --++=⋅⋅⋅-06k r ≤≤≤k r ∈N 6123r r k k -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩53r k =⎧⎨=⎩()6x y z +-23xyz()35365C C 160⋅-=-60-3ADB θ∠=ABD △sin sin AB BD BADθ=∠3sin sin AB BAD θ=∠sin 3AB BAD θ⋅∠=222112cos cos 33AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-AB AC ⊥π2BAD DAC ∠=+∠ACD △由余弦定理得（其中），所以当时，，故答案为．15．【答案】5 【解析】由，知或，∴由函数解析式，知：当时，有，解得，满足；当时，若且，有； 若，解得，满足，∴综上知：方程一共有5个根，故答案为5．16．【答案】或， 【解析】已知圆，，则圆内含于圆，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为．设动圆的半径为，分以下两种情况讨论： ①圆与圆外切，与圆内切，由题意可得，，此时，圆的圆心轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，，，则，此时，轨迹的方程为； ②圆与圆、都内切，且，22222cos 12sin CD AD AC AD AC DAC AB BAD =+-⋅⋅∠=+-⋅∠25258sin()33θθθϕ=-=-+tan ϕ=sin()1θϕ+=min CD=32()3()20f x f x -+=()2f x =()1f x =()f x ()2f x =212x -=x =||1x >()1f x =πcos12x=11x -≤≤0x =211x -=x =||1x >2212516x y +=221167x y +=152()221:31C x y ++=()222:381C x y -+=1C 2C 1C ()13,0C -11r =2C ()23,0C 29r =C r C 1C 2C 1219CC r CC r⎧=+⎪⎨=-⎪⎩121106CC CC CC ∴+=>=C E 1C 2C 1210a =15a ∴=13c=14b ==E 2212516x y +=C 1C 2C 12r r r <<由题意可得，，此时，圆的圆心轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，，，，此时，轨迹的方程为， 综上所述，轨迹的方程为或． 由于直线与曲线仅有三个公共点，则直线与椭圆相切．①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，可设直线的方程为，联立，解得，此时； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去并整理得，，可得，设点、，联立， 消去并整理得，()()()()22222222250425162516160025161440010Δk m m k k m k =-⨯-+=+-=+>， 由韦达定理得，，1219CC r CC r ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩12186CC CC CC ∴+=>=C E 1C 2C 228a =24a ∴=23c=2b ==E 221167x y +=E 2212516x y +=221167x y +=l E l 221167x y +=l l 4x=±l 4x =22412516x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩4125x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩245PQ =l l y kx m =+221167y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()222167321670kx kmx m +++-=()()()222222221324167167781670Δk m m k k m =-⨯-⨯+=⨯+-=22167m k =+()11,P x y ()22,R x y 2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()22225165025160k x kmx m +++-=122502516kmx x k +=-+()212225162516m x x k -=+12PR x ∴=-=()2222212011201209251625162511kkkkk+====++-++，，当且仅当时，取得最大值．故答案为或，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）等差数列的前项和，得，因为，所以，等差数列的公差，所以，．（2）由（1）可知，．18．【答案】答案见解析．【解析】解：方案一：选条件①②．因为，，所以，由正弦定理得．因为，所以．120152592PR∴≤=-k=PR1522212516x y+=221167x y+=15221na n=-21nnTn=+{}na n()12nnn a aS+=()()1636332121211163329212a aS aa aS a+===+1121a=3263a={}na321163212321121a ad--===-()()11112121121na a n d n n=+-=+-=-()()1111212122121nbn n n n⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121 nnTn n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5415cosc a A-=3b=545cosc a b A-=5sin4sin5sin cosC A B A-=()sin sin sin cos cos sinC A B A B A B=+=+5cos sin4sinB A A=因为，所以，． 因为，，所以， 所以，所以．因为，所以，在中，由正弦定理得．方案二：选条件①③． 因为，，所以． 因为，，所以． 在中，由正弦定理得，所以，即．因为，所以，，所以，所以．又，所以， 所以，所以．sin 0A >cos 45B=3sin 5B ==π2AC =+πA B C ++=π22B C =-π3cos 2cos sin 25CB B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭21cos 21sin 25C C -==()0,πC∈sin C =ABC△3sin 53sin 5b Cc B===1sin 32Sab C ==3b =sin 2a C =π2A C =+πA B C ++=π22B C =-ABC △π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭3sin cos 2cos 2C CC=3sin 24cos2C C =π0π20πA C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩π02C <<02πC <<sin 20C >cos20C >22sin 2cos 21C C +=3cos 25C =21cos 21sin25C C -==sin 5C =在中，由正弦定理得方案三：选条件②③． 因为，，所以，由正弦定理得，因为，所以．因为，所以，． 因为，所以．（ⅰ） 在中，由余弦定理得，所以．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得或．19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．【解析】（1）取的中点，连接，，， 四边形是平行四边形，，为等边三角形，，是直角三角形，， 平面平面，平面，平面平面，平面，平面，．（2）F 为EB 中点即可满足条件．取的中点，连接，则，取的中点，连接，平面平面，平面，所以平面，，，如图建立空间直角坐标系，ABC △3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b CcBCC =====⎛⎫- ⎪⎝⎭5415cos c aA -=3b=545cos c a b A -=5sin 4sin 5sin cos C A B A -=()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+5cos sin 4sin B A A =sin0A >cos 45B =3sin 5B ==1sin 32Sac B ==10ac =ABC △2222cos b a c ac B =+-2225a c +=c =c =12λ=ADF BCE 13AB G DG 12BG AB CD ==BG CD ∥∴BCDG 2DG BC AG AD ====ADG ∴△12DG AB =ABD ∴△AD BD ∴⊥ADE ⊥ABCD BD ⊂ABCD AD =ADE ABCD BD ∴⊥ADE AE ⊂ADE AE BD ∴⊥AD H EH EH AD ⊥AD H EH ADE ⊥ABCD EH ⊂EAD EH⊥ABCD EH =BD =D xyz -则，，，，， 则，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为．由，得，取； 由，得，取，于是，，解得或（舍去），所以存在使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）①（且）；②8．【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，则．（2）①根据题意，可知，的可能值为1，，则，，()0,0,0D()2,0,0A ()0,B ()C-(E ()2,0,0DA=()1,CB=(EB =-(),EF EB λλ==-()1DF λ=-ADF 111(,,)x y z =m BCE 222(,,)x y z =n0DF DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ())11111020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩()0,12λλ=-，m 00CB EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 2222200x x ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩()=n |cos ,|⋅〈〉===⋅m n m n m n1=2λ13λ=-12λ=ADFBCE 13310111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭*k ∈N 2k≥A ()3121322335A A C C 31A 0P A +==()1E k ξ=2ξ1k +()()211kPp ξ==-()()2111kPk p ξ=+=--所以，由，得，所以（且）．②由于，则，所以，即， 设，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减，，， 所以的最大值为8．21．【答案】（1）；（2）6．【解析】（1）由题意，得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）可得，若直线的斜率为0，则的方程为与直线无交点，不满足条件；设直线，若，则则不满足，所以，设，，，()()()()()()2111111kkkE p k p k k p ξ=-++--=+--()()12EE ξξ=()11k k k k p =+--111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭*k ∈N 2k≥141p e-=-()421k Ek keξ-=+-41k kkek -+-<ln 04kk->()ln 4x f x x =-()11444x f x x x-'=-=0x >()0,4x ∈()0f x '>()f x ()0,4()4,x ∈+∞()0f x '<()f x ()4,+∞()ln823n 2208l f =-=->()99ln 92ln 30494f =-=-<k 22143x y +=222221149141b e a a b⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩24a =23b =22143x y +=()11,0F -1l 2l 1x =-1x =1:1l x my =-0m =1λ=QA QB λ=0m ≠()11,A x y ()22,B x y ()00,Q x y由，得， ，，因为，即，则，，所以，解得，于是，直线的方程为， 联立，解得，所以．所以，当且仅当时，．22．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，，则，所以，又，所以切线方程为，即．（2）由题意得，则．因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，．令，则．①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增，2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩()2234690m y my +--=122634m y y m +=+122934y y m =-+11AF F B QA QBλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩12y y λ-=()1020y y y y λ-=-101220y y y y y y λ-=-=-1201223y y y y y m==-+1F Q =2l 11xy m=--111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩(1,2)P m-1PF =()12113111362PQFm S FQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭△1m =±()1min6PQF S =△(3)1y e x =-+1a=2()x f x e x x=--()21x f x e x '=--(1)3k f e ='=-(1)2f e =-(3)(1)2y e x e =--+-(3)1y e x =-+2()x F x e ax =-()2x F x e ax '=-()F x 1x 2x ()0F x '=1x 2x ()2x h x e ax =-()2x h x e a '=-0a ≤()0h x '>()h x R ()h x R 0a>()0h x '=ln(2)x a =(,ln(2))∈-∞x a ()0h x '<()h x (,ln(2))a -∞(ln(2),)x a ∈+∞()0h x '>()h x (ln(2),)a +∞因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以．令，则，所以函数在上单调递增．由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以．因为，所以，又，函数在上单调递减，所以，即．又，所以，因此．2021年山东省高三数学高考二模试题卷二第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，均为的子集，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．中，A ，B ，C 是的内角，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．实数x 、y 满足，则的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．5()0h x =1x 2x min()(ln(2))22ln(2)0h x h a a a a ==-<2e a >12x x <1ln(2)x a <2ln(2)1x a >>(0)10h =>1(0,ln(2))x a ∈24()()(2ln(2))44ln(2)xxa G x h x h a x e ax a a e =--=--+24()440xx a G x e a a e '=+-≥=()G x R 2ln(2)x a >()2(ln(2))0G x G a >=()()222ln(2)h x h a x >-1x 2x ()h x 12h x h x ()()122ln(2)hx h a x >-2ln(2)x a >22ln(2)ln(2)a x a -<1ln(2)x a <()h x (,ln(2))a -∞122ln(2)x a x <-122ln(2)x x a +<12x x +>2ln(2)a <212(ln(2))x x a <N R MN⊆RMN =R ∅M N Rz 12i 2z⋅=z=1212-1i 2-1i 2ABC △ABC △π3A =1cos 2A =22326x y x +=22x y +72925．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在中，，，点满足，，则的长为（ ）A ．B ．C ．D ．67．设等差数列的前n 项和为，且，()()320152015120191a a -+-1=-，则下列结论正确的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，8．在探索系数，，，对函数图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正四棱锥底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（）A ．B ．正四棱锥的外接球半径为C ．正四棱锥的内切球半径为D ．由正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱10．一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，(即，，三点分别在三角形三边或顶点上)，则两三角形面积比的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）()4,3A l 22231x y l ⎡⎣(33⎡-⎢⎣⎦33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ABC △9AC =60A ∠=︒D 2CD DB =AD =BC {}n a n S ()()3661201911a a -+-=20202020S =20156a a <20202020S =20156a a >20202020S =-20156a a ≤20202020S =-20156a a ≥A ωϕb ()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>A ωϕb ()sin f x x =()π2sin 213g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π36121624SBCDE -A SBE -AS CD ⊥S BCDE -2a S BCDE -12a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭S BCDE -A SBE -ABC PQR P Q R ABC PRQABCS S △△14151617()2222:10,0x y C a b a b-=>>A B 1F 2F 122F F c =a b c P C B PA PB 1k 2kA ．当轴时，B ．双曲线的离心率C ．为定值D ．若为的内心，满足，则12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ≥kx b +和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）A ．在内单调递增B ．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为C ．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D ．和之间存在唯一的“隔离直线”第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式的常数项是________．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是______． 15．已知三棱锥，，，，则以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：的内角的对边分别为，若，______，求和．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件，若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件．．（1）求当时，销售量；当时，销售量；（2）试写出当广告费为千元时，销售量；2PF x ⊥1230PF F ∠=︒152e +=12k k 152+I 12PF F △()1212IPF IPF IF F S S xS x =+∈R △△△51x -=k b ()F x ()G x ()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x ()()2f x x x =∈R ()()10g x x x=<()2ln h x e x =e ()()()m x f x g x =-3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x ()g x b 4-()f x ()g x k []4,1-()f x ()h x 2y ex e =-()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A BCD -5AB AD BC CD ====8BD =3AC =C 22ABD 5m =22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-sinsin 2B C b a B +=sin cos(π)6a Bb A =-ABC △,,A B C ,,a bc 22a b c +=A C a b n ()1n -2nb ()*n ∈N 1n =1a 2n=2a n n a（3）当，时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M ，N 分别为，的中点． （1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份123456不“礼让行人”驾驶员人数120 105 100 85 90 80（1）请根据表中所给前个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起天内需完成罚款缴纳，记录月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为，若服从正态分布，求该月没能在天内缴纳人数．参考公式：，． ，，．21．（12分）已知函数，．（1）若对任意给定的，总存在唯一一个，使得成立，求实数的取值范围； （2）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，当轴时，（为坐标原点）． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10a =4000b =ABCDEF ABCD 22AB CD ==60ABC∠=︒ACFE 2FB=EF AB MN ∥FCB AF FCB MAB MAC 476x y 5yˆˆˆybx a =+56155XX()~8,9X N 14()()()112211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx=-()0.6826P Z μσμσ-<<+=()220.9544P Z μσμσ-<<+=()330.9974P Z μσμσ-<<+=()32231f x ax ax =-+()()3042a g x x a =-+<051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦151,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()10f x g x =a 051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1,2)i x i =()()()120f x f x g x ==a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>A B D (1,0)F C P Q P x PQ x ⊥//OP AD O C AP BQ M BP AQ N MFN ∠数 学答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．1．【答案】C 【解析】用图示法表示题意，如下图，故，故选C ．2．【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C ． 3．【答案】C 【解析】若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，因为，所以，所以“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充分必要条件，故选C ．4．【答案】B 【解析】由题意得，，因此，令，的对称轴为，开口向下，则在区间单调递增，所以当时，取得最大值4，故的最大值为，故选B ．5．【答案】C 【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离应小于等于半径， ，即，解得，故选C ． 6．【答案】A 【解析】因为，所以，设，则，得，即，因为，故解得，即，所以，故选A ． 7．【答案】A 【解析】令，知在定义域内为递增函数，∴由题意知，即，又，知，关于原点对称，∴，而，故选A ．8．【答案】B 【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD 【解析】如图所示：A 选项：取中点连接，正三棱锥中，，，又，所以平面，则，又，所以，故A 正确； B 选项：设底面中心为，球心为半径为，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在上，所以， 因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，所以， M N N=R 112=2i1z ⋅=11i 2i 2z ==-π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =223302y x x =-≥02x ∴≤≤()222211933222x y x x x +=-=--+()()219322x fx --+=()f x 3x=()f x []0,22x =22x y +22x y +4l l ()34y k x -=-340kx y k -+-=22231x y ()2,3()2,3340kx y k -+-=11≤2k -≤k ≤≤2CD DB =1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+AB x =222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441379cos609999x x =+⨯⨯︒+⨯2291260x x +-=0x >6x =6AB =BC===3()2019f x x x =+()f x 6201511a a ->-20156a a <()()0f x f x 61a -20151a -620152a a +=20201202012020620151010()1010()2020S a a a a a a =++=+=+=π34422A 12A =BE H ,AH SHA SBE -AH BE ⊥SH BE ⊥AHSH H =BE ⊥SAH BE AS ⊥//BE CD AS CD ⊥1O O R 1O S OS OB R ==112OB O S ==由，得，解得，故B 正确； C 选项：设内切球半径为，易求得侧面面积为， 由等体积法得，解得，故C 错；D 选项：取中点，连接，，，则和分别是和的二面角的平面角，由， ，故与互补，所以共面， 又因为，则为平行四边形，故，故正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确，故选ABD ． 10．【答案】AB 【解析】如图，有两种方式：（1）左图中为中点，设的直角边长，为的直角边长为，，在中，由正弦定理得，所以， 所以， 所以，所以． （2）右图中，在中，由正弦定理得，所以，()22211OB O B O S OS =+-2222222R a a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2R a =r 221π3sin 234Sa a =⋅=2221211343233a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅()624a r -=SE F AF DF BF BFD ∠BFA ∠D SE B --A SE B --()22222223321cos 2332a a aBF DF BD BFD BF DF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭2222222331cos 2332a a a AF BF BA AFD AF BF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎛⎫⎪⎝⎭BFD ∠BFA ∠ASDE AS AE ED SD ===ASDE ////AS ED BC S BCDE -A SBE-R AB ABC △a PQR △x PQC α∠=QBR △πsin sin 4QR QB α=sin πsin4x QB α=()sin 2cos 2cos sin πsin 4x a CQ QB x x αααα=+=+=+()1π2cos sin 2sin 4x a ααα==⎛⎫++ ⎪⎝⎭214PRQ ABCS x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△QBR △ππsin sin 44QR QBα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 4πsin 4x QB α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，所以，所以，综上：最小值为，最大值显然为1，故选AB ．11．【答案】BCD 【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴，如图，对于A ，当轴时，点P 为，，显然，即选项A 错误；对于B ，，， ∴，解得（负值舍去），即选项B 正确；对于C ，设，则，，所以，由点在双曲线上可得， 代入，故C 正确； 对于D ，设圆I 的半径为r ，，， 即，由双曲线的定义知，，即，故选项D 正确，故选BCD ． 12．【答案】ABD 【解析】对于A ，， ，， 当时，，单调递增，，在内单调递增，A 正确；对于B 、C ，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即()πsin 4cos 2cos sin πsin 4x a CQ QB x x αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=+=+()1tan 22cos sin x a ϕαα===+215PRQ ABC S x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△152b ac =2PF x ⊥2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭221212||1tan ||222b PF ac a PF F F F c ac ∠====1230PF F ∠≠︒222ac a b c ==-∴1ce a=>210e e --=e =(,)P x y 1y k x a =+2y k x a =-21222+y y y k k x a x a x a =⋅=--(,)P x y 22222x a y a b-=22222212222222111212y b y b c k k x a a y a a ⎛====-=-= -⎝⎭1212IPF IPF IF F S xS S =+△△△212111||||||222r PF r PF x r F F ∴⋅=⋅+⋅⋅⋅1212||||||PF PF x F F =+12||||2PF PF a -=22a x c ∴=⋅1a x c e ===()()()21m x f x g x x x=-=-()212m x x x '∴=+()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x ''>()m x '∴()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝()m x∴x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x y kx b =+21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩(),0x ∈-∞22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩。

2021年高三上学期教学质量监测（段考）数学（理）含答案欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 设集合，，则为（）A. B. C. D.2. 已知，是虚数单位，且，则的值是（）A. B. C. D.3. “和都不是偶数”的否定形式是（）A. 和至少有一个是偶数B. 和至多有一个是偶数C. 是偶数，不是偶数D. 和都是偶数4. 若，且，则为（）5. 执行右边的流程框图，若输入的是6，则输出的的值是（）A. B. C. D.6. 若，，则的大小关系是（）A. B.C. D.7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位8. 已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数的单调递增区间是（ ） A. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B. 5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈ C. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈D. 7[2,2]()1212k k k Z ππππ++∈ 9. 锐角三角形中，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，若对任意不相等的两个正数都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.11. 设，，且，，，则 的值（ ）A. 一定大于零B. 一定小于零C. 小于或等于零D. 正负均有可能 12. 已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求出12340244025()()()()()20132013201320132013f f f f f +++++的值为（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4个小题，每道题5分 ，共20分）13. 若锐角满足(1)(1)4αβ++=，则 . 14. 已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最大值是 . 15. 函数321()1(,)3f x x ax bx a b R =+-+∈在区间上是减函数，则的最小值是 .16. 设函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩，()sin 22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在使得成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知1sin cos1sin cos ()1sin cos1sin cos fθθθθθθθθθ-+--=+---+（1）化简；（2）求使的最小正角.18.（本小题满分12分）在锐角三角形中，角的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，，求的值.19.（本小题满分12分）已知函数，（其中且），记.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的的集合.20.（本小题满分12分）如图所示，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段.该曲线段是函数2sin()(0,0)3y A x Aπωω=+>>在时的图象，且图象最高点是.赛道的中间部分是长千米的直线跑道，且∥.赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧. （1）求的值和的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且.求当矩形面积取最大值时的取值.21. （本小题满分12分）已知函数在处取极值.（1）求函数的解析式；（2）当满足什么条件时，在区间为增函数；（3）若是函数图象上一个动点，直线与函数图象切于点，求直线的斜率的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，是的切线，为切点．（1）求证：∥；（2）若半径是，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相等单位长度.已知直线经过点，倾斜角．（2）设直线与圆相交于两点，求点到、两点的距离之积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）解不等式.xx 第一学期高中教学质量监测（段考）一、 单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1-6. B A A D B B 7-12. C C A A B D二、填空题（本大题共4个小题，每道题5分 ，共20分） 13. 14. 15. 2 16.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 解:(1) (1cos )sin (1cos )sin ()(1cos )sin (1cos )sin f θθθθθθθθθ+---=+--+-22222cos 2sin cos 2sin 2sin cos 2222222sin 2sin cos 2cos 2sin cos222222θθθθθθθθθθθθ--=+--………………………………3’ 2cos (cos sin )2sin (sin cos )2222222sin (sin cos )2cos (cos sin )222222θθθθθθθθθθθθ--=+--…………………………………5’ 高三年级数学科试题（理科）答案22cos sin cos sin 122222sin sincossin cossin cos 222222θθθθθθθθθθθ+=--=-=-=-…………………8’ (2)由得……………………………………………………………………………10’ 故所求的最小正角……………………………………………………………12’ 18.（本小题满分12分） 解：（1）222211cos 2tan sin sin (1)(1)22221cos cos 2A A A A A A-+=+=++………3’原式11253(1)12613-=+=+………………………………………………………….6’ （2）11sin 22ABC S bc A ===△…………………………………………………………………………………8’又，，22223618=54b c b c ∴=+-+，即：………………………………………………10’解，得…………………………………………………12’ 19. （本小题满分12分） 解:(1)由题意故的定义域为：…………………………………………………………3’ 显然的定义域关于原点对称()()()log (1)log (1)()()()a a h x f x g x x x g x f x h x -=---=--+=-=-故是定义域上的奇函数…………………………………………………………6’ （2）由得……………………………………………………………8’ 由得于是，解得：…………………………………………11’故所求的的集合是………………………………………………12’ 20. （本小题满分12分） 解：（1）由已知条件得：…………………………………………………………………2’ 故曲线段的解析式为…………………………………3’ 当时，，又从而……………………………………………………5’ （2）由（1）知，易知， 矩形草坪的面积6sin (6cos 6sin )S θθθ=-………………………………8’2116(sin cos sin )6(sin 2(1cos 2))22θθθθθ=-=--………9’……………………………………………10’ ，，即时，取最大值………………………12’ 21. （本小题满分12分） 解：（1）…………………………………………………………1’由已知，即2(1)0(1)21a b b a b-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩函数的解析式为……………………………………………3’（2）由（1）得，令，解得……………4’故在上是增函数………………………………………………………5’ 又在上为增函数121121m m m m ≥-⎧⎪∴+≤⎨⎪+>⎩解得……………………………………………………7’ 即当时，函数在为增函数…………………………8’ （3）直线与图象切于点故斜率200222220004448()(1)1(1)x k f x x x x --'===++++………………………………9’ 令，则，2211848()42k t t t =-=--………………………10’ 当时，，当时，…………………………………11’故直线斜率的取值范围是………………………………………………12’ 22. （本小题满分10分） 解：连接（1）是两切线 ，又是的直径，∥………………………………………………………………………5’ （2），212AD OC AB OD∴==⨯=…………………………………………………10’23. （本小题满分10分）解：（1）直线的参数方程为1112xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）………………………4’（2）因为都在直线上，所以可设它们所对应参数分别是由直线参数几何意义知：圆的直角坐标方程是：直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，整理得：因为是圆与直线的两交点，故是的解从而故……………………………………………………………10’24. （本小题满分10分）解：（1）3(1) ()21(12)3(2)xf x x xx≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩又当时，，若要使恒成立，只需的取值范围是…………………………………………………………5’（2）当时，，解得：当时，，解得：当时，，此时无解综上所述，不等式的解集是……………………………10’。

2021届山东省高三开学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}ln 1A x x =<，{}24120B x x x =--≥，则()R A C B ⋃=（ ） A ．(),6-∞ B ．()2,6-C ．(]0,6D ．()0,e【答案】B【解析】分别解出集合A ,集合B 以及集合B 的补集，然后对集合A 和集合B 的补集取并集即可. 【详解】集合{}{}{}ln 1=ln ln 0A x x x x e x x e =<<=<<，{}()(){}{24120=620|2B x x x x x x x x =--≥-+≥=≤-或}6x ≥，{}|26R C B x x =-<<，则()R A C B ⋃={}()|26=2,6x x -<<-故选：B 【点睛】本题考查集合的并集补集运算，考查对数不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．3i2+ B ．1i2+ C ．13i 2-D ．13i2+ 【答案】D【解析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312(2)(1)2z i iz i i i +++++===-. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3．马林·梅森(MarinMersenne ，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对21p -作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如21p -(其中p 是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）A ．511B ．16C ．922D ．122【答案】A【解析】可知不超过40的素数有12个，梅森素数有3个，求出随机取两个数的种数，求出至少有一个为梅森素数的种数，即可得出概率. 【详解】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个， 其中梅森素数有3，7，37共3个，则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有21266C =种， 其中至少有一个为梅森素数有11239330C C C +=种， 所以至少有一个为梅森素数的概率是3056611P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型概率的求解，属于基础题.4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布()2453,99N ，估计这些考生成绩落在(]552,651的人数约为（ ）(附：()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=)A ．36014B ．72027C ．108041D ．168222【答案】B【解析】由题可求出()3545520.6827P Z <≤=，()2556510.9545P Z <≤=，即可由此求出()552651P Z <≤，进而求出成绩落在(]552,651的人数. 【详解】()2453,99ZN ，453,99μσ∴==，()3545520.6827P Z ∴<≤=，()2556510.9545P Z <≤=， ()()()2556513545525526512P Z P Z P Z <≤-<≤∴<≤=0.95450.68270.13592-==，这些考生成绩落在(]552,651的人数约为5300000.135972027⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（ ） A ．100项 B ．101项C ．102项D ．103项【答案】B【解析】先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数. 【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1， 所以按从小到大的顺序排成一列可得109n a n =-，由1091009n a n =-≤，得101.8n ≤，故此数列的项数为101. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养.6．已知ABC 中，4AB =，AC =8BC =，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP AQ ⋅的最大值是（ ） A ．72B ．4C ．492D ．23【答案】C【解析】由题意2BQ CP =-，,60,30AB AC ABC ACB ⊥∠=∠=，故()()AC CP AP AQ AB BQ =+⋅⋅+，展开可得关于CP 的一元二次函数，配方，即可求得AP AQ ⋅的最大值. 【详解】ABC 中，4AB =，AC =8BC =，222,,60,30AB AC BC AB AC ABC ACB ∴+=∴⊥∠=∠=.由题意2BQ CP =-，()()AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP Q A B AP Q ∴=+⋅+=⋅++⋅⋅⋅+⋅ 02cos30cos602cos180AC CP CP AB CP CP =+-++- 23124222CP CP CP =⨯+⨯⨯- 22749214222CP CP CP ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∴当72CP =时， AP AQ ⋅取得最大值，最大值为492. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.7．已知直线y kx b =+恒在函数()ln 4y x =+的图象的上方，则bk的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．(],3-∞C ．(),3-∞D ．[)3,+∞【答案】A【解析】由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定bk的取值范围. 【详解】 很明显0k >，否则k 0<时，函数y kx b =+单调递减，且x →+∞时y →-∞， 而()ln 4y x =+当x →+∞时y →+∞，不合题意，0k =时函数y kx b =+为常函数，而()ln 4y x =+当x →+∞时y →+∞，不合题意， 当0k >时，构造函数()()()ln 4H x kx b x =+-+， 由题意可知()0H x >恒成立，注意到：()14144kx k H x k x x +-=-='++， 据此可得，函数在区间14,4k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上的单调递减，在区间14,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则：()min 1414ln 0H x H k b k k ⎛⎫=-=-++> ⎪⎝⎭，故14ln b k k >-+-，ln 14b k k k +>-， 构造函数()ln 14k g k k+=-，则()2ln kg k k ='，还是()g k 在1k =处取得极值，结合题意可知：()13b g k>=，即bk 的取值范围是(3,)+∞.故选：A . 【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】动直线0mx y +=过定点()0,0A ，动直线30x my m --+=过定点()3,1B --，且此两条直线垂直，因此点P 在以AB 为直径的圆上，||AB =设∠ABP＝θ，则||,||PA PB θθ==，θ∈[0，2π]，代入PA 中利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】动直线0mx y +=过定点()0,0A ，动直线30x my m --+= 即()310x m y +-+=过定点()3,1B --，且此两条直线垂直．∴点P 在以AB 为直径的圆上，||AB ==，设∠ABP ＝θ，则||,||PA PB θθ==，θ∈[0，2π]|||o 3s PA PB πθθθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，∵θ∈[0，2π]，∴θ+3π∈[3π，56π]，∴sin （θ+3π）∈[12，1]， ∴210sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈[10，210]， 故选：D ．【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、多选题9．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤B 2ab <C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+【答案】CD【解析】根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解. 【详解】 A 22a b ab +≤=知4ab ≤，因为0ab >，所以114ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故A 选项错误； B 22a bab +≤=，当且仅当2a b ==时等号成立，故B 选项错误； C 选项，111112212a b a b ab+≥⋅=≥⨯=，当且仅当2a b ==时等号成立，故C 正确；D 选项，由222()82a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以22118a b ≤+正确，故选：CD 【点睛】本题主要考查了均值不等式，重要不等式的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.10．将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为奇函数B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点D ．若()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为5【答案】BCD【解析】利用题目已知条件，求出ω，再结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】∵()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭∴()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，且(0)1g =-， ∴()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，即14k ω=-为奇数，∴()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭，故B 对. 由上得，当5ω=时，5()sin(5)cos52g x x x π=-=-，25T π=,由图像可知()g x 在()0,π上有4个极值点,故C 对，∵()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以π052T πω-≤=,解得：05ω<≤，又∵14k ω=-， ∴ω的最大值为5，故D 对 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.11．已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条 【答案】BD【解析】设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m=， 联立225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221691602560m y my -++=.则()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确； 对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32263AB a ==<，C 选项错误； 对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠； 当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122160169m y y m +=--，122256169y y m =-， 由弦长公式可得()()22221212122961114169m AB m y y m y y y y m +=+⋅-=+⋅+-=-()226161611169m m +==-，解得374m =±或5168m =±. 故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，3AB =，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别是线段BC ，1B C 上的动点(不含端点)，且1EC DCB C BC=，则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．四面体A BDE -的体积是定值C ．异面直线1B C 与1AAD ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】ACD【解析】说明四边形11BCC B 是矩形，然后证明ED ∥1BB ∥1AA ，推出//ED 平面1ACC ，判断A ；设ED m =，然后求解四面体A BDE -的体积可判断B ；说明异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠，然后求解三角形，判断C ；利用空间向量求解二面角A EC D --的余弦值 【详解】解：对于A ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以ED ∥1BB ∥1AA ， 所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，所以BC == 因为ED ∥1BB ，所以1DE DC BB BC =，所以1DE BC DC BB ⋅==，所以BD =，所以1233(1)22ABDm S =⨯⨯=-，四面体A BDE -的体积为2113(1)322m m m m ⨯-=-，所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误；对于C ，因为1BB ∥1AA ，所以异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC中，12,B B BC =11tan 2BC BB C BB ∠==，所以C 正确； 对于D ，如图，以A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，所以1(0,2,0),(3,0,2)AC AB ==，设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，则3z =-，所以(2,0,3)n =-， 同理可求得平面1BB C 的一个法向量为(2,3,0)m =， 所以二面角A EC D --的余弦值为4131313=⨯，所以D 正确，故选：ACD【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中档题三、填空题13．高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种. 【答案】9【解析】分三类考虑，语文安排在第二节, 语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加即可. 【详解】第一类：语文安排在第二节,若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节; 若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节; 若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节; 第二类：语文安排在第三节，若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节; 若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节; 若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节; 第三类：语文安排在第四节，若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节; 若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节; 若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节; 所以共有9种方案. 故答案为：9. 【点睛】本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题. 14．已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______. 【答案】714π3【解析】由题意可采用割补法，构造长宽高分别x ，y ，z 的长方体，其面对角线分别为51013，，解出x ，y ，z ,求长方体的体对角线即可. 【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为51013，，，则四面体A BCD -的外接球即为此长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别x ，y ，z ，外接球半径为R 则2222225,10,13x y y z x z +=+=+=， 所以2222225,10,13x y y z x z +=+=+=,则222214(2)x y z R ++==，解得2R =，所以3433V R π==.π 【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.15．已知数列{}n a 满足()sin1cos cos 1n a n n =-，{}n a 的前n 项的和记为n S ，则6030S S =______. 【答案】3【解析】利用两角差的正弦公式化简得出()tan 1tan n a n n =--+，可求得n S ，进而可计算得出6030S S 的值. 【详解】()()()()()()sin 1sin cos 1cos sin 1sin1cos cos 1cos cos 1cos cos 1n n n n n n n a n n n n n n ⎡⎤-----⎣⎦===---()()tan tan 1tan 1tan n n n n =--=--+，()()()()tan 0tan1tan1tan 2tan 2tan 3tan 1tan n S n n ⎡⎤∴=-++-++-+++--+⎣⎦tan n =，因此，6030tan 6033tan 303S S ===. 故答案为：3. 【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切1，31(单位：cm)，则三个圆之间空隙部分的面积为______2cm.【答案】(10π3-【解析】由已知可得AB=2BC=,4AC cm=,得到=2Bπ∠，,63A Cππ∠=∠=，求出ABCS，A中的小扇形的面积，B中的小扇形的面积，C中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.【详解】如图，A的半径为)1cm, B的半径为)1cm, C的半径为(3cm,11AB∴=+=,132cmBC=+=,134AC cm=+-=, 222=2AB BC AC Bπ∴+∠=，,又2AC BC=,可得,63A Cππ∠=∠=,)2112cm22ABCS BC AB=⋅=⨯⨯=，A中的小扇形的面积为()2211)cm26π⨯⨯=，B中的小扇形的面积为()22121)cm222π⨯⨯=，C中的小扇形的面积为(()221(32cm23ππ⨯⨯-=，则三个圆之间空隙部分的面积为((()210π2223cm26π+----=故答案为：(10π3-【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =. 【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出； （2）根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.18．在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B-++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）π3B =；（2【解析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得2316ac b =-，利用基本不等式可求出b 的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积. 【详解】（1）选①，由正弦定理得sinsin B A =∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<， ∴ππ66B -=，∴π3B =.选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵()0,πB ∈，∴π3B =. 选③，∵()()sin sin πsin A B C C +=-=， 由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，∴222a cb ac +-=，∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∵()0,πB ∈，∴π3B =. （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-，∴221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 32S ac B ==. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.19．如图，在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥平面FBDH .（1）求线段DM 的长度；（2）求二面角H AM F --的余弦值. 【答案】（1）1；（23. 【解析】（1）以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0M t ，由已知得AM BD ⊥，利用0AM BD ⋅=可求得线段DM 的长度.（2）分别求平面HAM 和平面AMF 的法向量，利用二面角的向量公式进行计算即可. 【详解】以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，易知1AD =. 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ， （1）设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--，10AM BD t ⋅=-=，解得1t =，所以线段DM 的长度为1.（2）设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =，则1100200x y n AM x z n AH ⎧-+=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩，可取()12,2,1n =，同理，设()2,,n u v w =是平面AMF 的一个法向量， 则220000u v n AM u w n MF ⎧-+=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，可取()21,1,1n =-.则1212123cos ,n n n n n n ⋅==，显然二面角H AM F --为锐二面角， 所以二面角H AM F --的余弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.20．2020年1月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表： 日期（1月） 23日 24日 25日 26日 27日 28日29日人数（人） 611213466101196由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）.（1）根据散点图判断y a bx =+与x y c d =⋅（c ，d 均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y 与封城后的天数x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT 肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望. 参考数据：yw71i ii x y =∑71iii x w =∑0.541062.141.54 2535 50.12 3.47其中lg i i w y =，7117i i w w ==∑，参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线w u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii u w nuwunuβ==-=-∑∑，w u αβ=-.【答案】（1）选择xy c d =⋅，y 关于x 的回归方程为0.253.4710x y =⨯；（2）期望为693人.【解析】（1）利用散点图中点的分布可知选择模型xy c d =⋅较为合适，在等式两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，令lg y w =，结合表格中的数据以及最小二乘法公式求得lg d 和lg c 的值，进而可得出回归模型的解析式；（2）计算得出()1000,0.693X B ~，再利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值. 【详解】（1）由散点图可知选择x y c d =⋅，由x y c d =⋅两边同时取常用对数得lg lg lg y c d x =+⋅， 设lg y w =，lg lg w c d x ∴=+⋅.计算4x =， 1.54w =，721140i i x ==∑， 7172221750.1274 1.547ˆlg 0.2514074287i ii i i x w xwdx x==--⨯⨯====-⨯-∑∑，把样本中心点()4,1.54代入lg lg w c d x =+⋅得lg 0.54c =.0.540.25w x ∴=+，y ∴关于x 的回归方程为0.253.4710xy =⨯；（2）这1000份样本中检测呈阳性的份数为X ， 则每份检测出阳性的概率0.70.990.693P =⨯=，由题意可知()1000,0.693X B ~，()10000.693693E X ∴=⨯=（人）， 故这1000份样本中检测呈阳性份数的期望为693人. 【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，同时也考查了利用二项分布的期望公式计算随机变量的数学期望，考查计算能力，属于中等题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）根据已知条件写出,,a b c 的等量关系式进行求解即可.（2）讨论当直线的斜率不存在时不满足题意，当斜率存在时，设:l y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，用A ，B 坐标表示PA PB k k ⋅，将韦达定理代入整理即可得到直线过的定点. 【详解】（1）由椭圆过点()2,1P 得22411a b+=，椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点，可得b c =，又22222=2a b c a b -=，，即22211b b+=，解得a =b =22163x y +=. （2）证明：①当直线l 斜率不存在时， 设直线:l x m =，(),m A m y ，(),m B m y -，11122m m PA PBy y k k m m ---⋅=⋅=--，即()2222=11136m m m y ⎛⎫--=--⨯ ⎪⎝⎭，解得2m =或6m =，直线不过点()2,1P ,故2m =(舍)，6m a =>=故不满足.②当直线l 斜率存在时，设:l y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22163y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x ktx t +++-=.()228630k t ∆=-+>，122421kt x x k -+=+，21222621t x x k -=+ ① 则()()12121212121211112224PA PB y y y y y y k k x x x x x x -++--⋅=⋅==---++， ∴()()()22121212230k x x tk k x x t t -+-+++--=，将①代入上式可得22128230k kt t t +++-=， ∴()()2130k t tk t +-⋅++=，若210k t +-=，12t k =-，()1221y kx k k x =+-=-+,直线l 经过P 点与已知矛盾，若630k t ++=，36t k =--，()248561k k ∆=-++存在k 使得>0∆成立. ∴直线l 的方程为()63y k x =--， 故直线l 过定点()6,3-. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线恒过定点问题以及韦达定理和斜率公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()ln 1f x x mx =++，()()1xg x x e =⋅-.（1）若()f x 的最大值是0，求函数()f x 的图象在x e =处的切线方程； （2）若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）111y x e ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（2）(],0-∞. 【解析】（1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案.（2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域()0,∞+，()1f x m x'=+， 若0m ≥，()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值； 若0m <，10,x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增； 1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减；所以1x m =-时()f x 取得最大值1ln 0m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1m =-. ()11f e e'=-，()2f e e =-.函数()f x 的图象在x e =处的切线方程111y x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）原式子恒成立，即ln 11xx m e x++≤-在()0,∞+恒成立， 设()ln 1xx x e x ϕ+=-，()22ln x x e xx x ϕ+'=，设()2ln xQ x x e x =+，()()2120xQ x x x e x'=++>， 所以()Q x 在其定义域内单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10Q >， 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x e x ⋅+=，所以0000ln x x x e x -⋅=， 两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-，易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =， 所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000000ln 1111xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-=， 于是m 的取值范围是(],0-∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题.。