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一、直线一级倒立摆的仿真(一)直线一级倒立摆的数学建模对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型.图2 直线一级倒立摆模型φ摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
图3 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:把这个等式代入式1中,就得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程:力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向,由于θ=π+φ,cosφ= −cosθ,sinφ= −sin θ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程:设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<〈1，则可以进行近似处理:。
用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:对式9进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：或如果令v = x，则有：把上式代入方程组的第二个方程，得到：整理后得到传递函数：其中设系统状态空间方程为:方程组对解代数方程,得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：设则有：实际系统的模型参数如下:M 小车质量1。
096 Kgm 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0 。
1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0。
2 5mI 摆杆惯量0。
0034 kg＊m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数:摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程:(二)倒立摆的PID调节：经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。
2011级自动化1班 杨辉云 P111813841一级倒立摆的模糊控制一．倒立摆的模型搭建1. 单级倒立摆系统的数学模型对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数fc=0.1。
摆杆θ传送带导轨直线单级倒立摆2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为L （q ，。
.q ）=V （q ，。
q ）—G （q ，。
q ） （1）式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。
dt d x ∂∂L — x ∂∂L + x∂∂D= fi （2）式中：D 是系统耗散能，fc为系统的第i 个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为：V=θθcos x ml ml 32)(21222。
+++x m M （3）一级倒立摆系统的势能为：G=θcos mgl θ （4）一级倒立摆系统的耗散能为：D=221。
x fc（5）一级倒立摆系统的拉格朗日方程为：0=∂∂+∂∂-∂∂θθθDL L dt d (6) F XDX L X L dt d =∂∂+∂∂-∂∂ (7)将（1）到（5）式带入（6）式得到如下：0sin sin sin cos m 3422=-+。
——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8）（M+m ）F x ml ml x fc=++θθθθsin cos 2。
— （9）一级倒立摆系统有四个变量：。
，，，θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得到系统的状态空间模型如下：=。
X ⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000189.000748.01-- 579.20386.00⎥⎥⎥⎥⎦⎤0100+x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8173.007467.00Y= ⎢⎣⎡01 010 ⎥⎦⎤00x二．倒立摆特性分析1. LQR 控制器的设计系统的能控性是控制器设计的前提，所以在设计前进行能控性分析，根据能控性矩阵[B TO =，AB ，B A 2，]B A 3，利用Matlab 中的rank 命令，可以得到r amk （TO ）=4。
倒立摆拉格朗日方程介绍倒立摆是一个经典的动力学系统，在控制理论和机器人控制领域中被广泛研究和应用。
拉格朗日方程是描述这种系统动力学的一种常用方法。
本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日方程及其应用。
倒立摆的定义倒立摆是由一个连杆和一个质量集中在连杆末端的质点组成的系统。
连杆固定在一个支点上，可以绕该支点进行旋转。
连杆的长度、质点质量以及各种外力（例如重力）都会影响倒立摆的运动行为。
摆动方程的推导步骤 1：绘制系统图首先，我们需要绘制出倒立摆的系统图。
图中包括连杆、质点以及外力，如图 1 所示。
步骤 2：确定系统自由度根据系统图，我们可以确定倒立摆的自由度。
在本例中，连杆的旋转角度被选为系统的自由度。
步骤 3：写出动能和势能接下来，我们需要写出系统的动能和势能。
连杆的动能可以表示为其转动惯量和角速度的乘积的平方的一半，而质点的势能则可以表示为其离支点的高度与重力加速度的乘积。
步骤 4：写出拉格朗日方程拉格朗日方程描述了系统的运动方程。
我们将系统的动能和势能相减，并根据连杆的旋转角度对其进行求导，然后运用欧拉-拉格朗日方程得到系统的运动方程。
倒立摆的拉格朗日方程根据以上步骤，倒立摆的拉格朗日方程可以表示为：L=T−V其中，L是系统的拉格朗日函数，T是系统的动能，V是系统的势能。
对于倒立摆的拉格朗日方程，我们可以得到如下表达式：d dt (∂L∂q̇)−∂L∂q=Q其中，q是系统的自由度，q̇是自由度的导数，Q是系统的广义力。
这个方程描述了系统运动的动力学。
倒立摆的应用倒立摆广泛应用于控制理论和机器人控制中。
通过控制倒立摆的力矩或输入力，可以实现倒立摆的平衡或特定轨迹下的运动。
具体应用包括：1.倒立摆控制算法研究：基于拉格朗日方程，可以设计出各种控制算法来控制倒立摆的平衡和运动。
例如，模糊控制、PID 控制、最优控制等方法都可以用于倒立摆的控制研究。
2.机器人姿态控制：倒立摆可以用作机器人姿态控制的模型。
通过控制倒立摆的角度和角速度，可以实现机器人的姿态调整和稳定控制。
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum deviceQuanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种常见的动力学系统，具有广泛的应用。
倒立摆借助控制算法可以实现平衡控制，因此在工业机器人、机械臂、自行车等控制系统中具有重要的意义。
而拉格朗日建模方法是研究动力学系统的常用方法之一，下面将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法。
倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日动力学原理进行的。
拉格朗日原理主要包括两部分：拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程。
其中，拉格朗日第一方程是关于系统广义力的方程，而拉格朗日第二方程是关于系统的广义力的运动方程。
首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标。
对于倒立摆来说，可以选择摆杆的倾斜角度和摆杆的角速度作为广义坐标。
假设摆杆的倾斜角度为θ，摆杆的角速度为ω，那么可以得到广义坐标集合{θ,ω}。
接下来，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。
拉格朗日函数是广义坐标的函数，它描述了系统的动能和势能之间的关系。
倒立摆的拉格朗日函数可以表示为L=T-U，其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。
同时，我们还需要确定系统的动能和势能。
对于倒立摆来说，系统的动能可以表示为T = 1/2 * m * l^2 * ω^2，其中m表示摆杆的质量，l表示摆杆的长度，ω表示摆杆的角速度。
系统的势能可以表示为U = m * g * l * (1 - cosθ)，其中g表示重力加速度，θ表示摆杆的倾斜角度。
通过上述步骤，我们可以得到倒立摆的拉格朗日函数为L = 1/2 * m * l^2 * ω^2 - m * g * l * (1 - cosθ)。
然后，我们可以使用拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程来得到倒立摆的运动方程。
拉格朗日第一方程可以表示为∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') =Q，其中q表示广义坐标集合，q'表示广义坐标的导数，∂表示偏导数，d/dt表示对时间的导数，Q表示系统的广义力。
拉格朗日第二方程可以表示为d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0。
2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。
实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。
行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。
2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。
倒立摆1. 引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。
倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。
在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。
2. 基本原理倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。
倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述：ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ'其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。
3. 数学建模方法为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。
首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。
然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。
对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为：mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ)对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为：ml^2θ'' = u - bθ'将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。
4. 控制策略为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。
常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。
PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。
在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。
模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。
在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。
倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一个经典的力学系统，它由一个固定于垂直支点上并能够绕该支点自由旋转的杆和一个固定在杆上的质点构成。
通过对倒立摆进行建模，可以研究其动力学特性以及控制方法。
本文将介绍一种常用的倒立摆拉格朗日建模方法。
倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日力学原理。
首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标和其相关约束。
对于一个简单的倒立摆，可以选择摆杆与竖直方向的夹角作为广义坐标，记为θ。
同时，倒立摆存在一个约束条件，即摆杆与支点之间的距离为常数L。
接下来，我们需要确定倒立摆的动能和势能函数。
倒立摆的动能函数由摆杆和质点的动能之和构成。
摆杆的动能可以表示为Its(th)+⋯+Its(ph)+⋯+Itgph+⋯+Itgkh+⋯），(0)其中，I表示质量矩阵，ts表示杆的转动惯量，qs表示杆的角速度，g表示重力加速度，kh表示摆杆的质心距离支点的垂直距离。
质点的动能可以表示为(1)其中，ms表示质点的质量，ps表示质点的速度。
倒立摆的势能函数由质点重力势能和杆的重力势能之和构成。
质点的重力势能可以表示为(2)其中，zs表示质点的垂直位置。
杆的重力势能可以表示为(3)其中，zs表示杆的质心位置的垂直距离。
然后，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。
拉格朗日函数可以表示为动能减去势能。
拉格朗日函数可以表示为(4)接下来，我们需要计算拉格朗日方程。
拉格朗日方程描述了系统的运动方程。
其中，q表示广义坐标，L表示拉格朗日函数，t表示时间，λ表示拉格朗日乘子。
最后，我们对拉格朗日方程进行求解，得到倒立摆的运动方程。
根据拉格朗日方程我们可以得到(6)通过求解这个方程，我们可以得到倒立摆的运动方程。
综上所述，倒立摆的拉格朗日建模方法主要包括确定广义坐标和约束、计算动能和势能函数、确定拉格朗日函数、计算拉格朗日方程、求解运动方程。
这种建模方法能够描述倒立摆的动力学特性，并为后续的控制方法提供基础。
总结：本文介绍了倒立摆的拉格朗日建模方法。
3d倒立摆状态方程
3D倒立摆是一个经典的动力学系统，可以用状态方程描述其运动。
倒立摆由一个质点和一个杆组成，质点在杆的末端，杆在一个固定支点上悬挂。
我们可以使用欧拉-拉格朗日方程来描述3D倒立摆的运动。
假设m为质点的质量，l为杆的长度，g为重力加速度，θ1为摆杆与竖直方向的夹角，θ2为摆杆绕自身轴的旋转角度。
首先，我们需要定义一些参考坐标系。
假设x轴水平向右，y轴垂直向上，z轴垂直向内。
然后，我们可以得到以下状态方程：x = l * sin(θ1) * cos(θ2)
y = -l * sin(θ1) * sin(θ2)
z = -l * cos(θ1)
对于角度的变化率，我们有以下方程：
θ1' = ω1
θ2' = ω2
其中，ω1和ω2分别为θ1和θ2对时间的导数。
根据欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到以下方程：
m * l^2 * θ1'' + m * g * l * sin(θ1) = 0
I * θ2'' + m * g * l * cos(θ1) * sin(θ2) = 0
其中，I为质点围绕自身轴的转动惯量。
这两个方程可以描述3D 倒立摆的运动状态。
需要注意的是，这些方程可能比较复杂且难以直接求解。
在实际
应用中，通常会使用数值方法或控制理论来分析和控制3D倒立摆的运动。
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
系统的直流电机采用的是Faulhaber 2338S006型号的无刷直流电机，这种电机不仅具有结构简单、运行可靠的优点，而且还比传统的直流电机具有更快的反应速度。
电机还配有Faulhaber的变速箱，可以提供3.71:1的减速比。
（2）．数据采集模块电控箱内安装了本系统用到的各种电气元件，其中包括了有5针数字I/0接口的数据采集卡、开关电源、电源及功率放大器、指示灯和开关等。
控制信号需要通过电源及功率放大器对控制信号进行处理，然后再输送至小车的直流伺服电机。
（3）．控制平台控制平台主要由以下部分组成：(1)通用PC机；(2)实时控制软件QUARC 控制平台的是倒立摆伺服系统的核心，是实现系统闭环的关键环节。
它通过PC机的USB接口接收数据采集卡传输过来的位移和角度数据，进一步处理得到小车速度和摆杆角速度，同时将输入量根据所设计的控制算法计算出控制量，控制小车的运动，维持倒立摆的平衡。
而控制平台的实时控制软件QUARC可以和MATLAB/Simulink完美联动，操作起来非常的方便。
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
而Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。
在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。
Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink 已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。
同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。
3系统性能参数小车及配重质量M=0.94kg；摆杆质量m=0.230kg；摆杆长L=0.6413m；摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3302m；重力加速度g=9.81N/s2。
2.2一级倒立摆系统的模型建立2.2.1 Lagrange方程建立模型由于倒立摆的多变量、非线性的特点，同时也为了减少实验设计的盲目性，先建立系统的数学模型，然后才进行仿真实验和实时控制。
使用牛顿运动定理来求解这样一个复杂的系统的数学模型，势必会产生大量的微分方程的计算。
并且，在实际系统中，当质点存在约束情况的时候，计算量将会更大。
所以，在本设计中，采用的是Lagrange方程来推导倒立摆系统的系统模型。
Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量——系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。
因此用Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，并将倒立摆的物理模型分解为小车和摆杆的两部分分别进行受力分析。
如图2.5所示。
图2.5直线一级倒立摆分析图Fig 2.5 Linear inverted pendulum analysis chart图2.5中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位置，θ为摆杆与垂直向上方向的夹角。
为了方便在数学上推导和处理问题，可作出如下假设：（1）摆杆在运动中是不变形的刚体；（2）齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象；（3）忽略空气阻力；由 n 个关节部件组成的机械系统，其 Lagrange 方程应为：i q i i i i F q D q V q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂(2-1)其中，q 为系统的广义坐标，表示系统中线位移和角度的变量；T 为倒立摆系统的动能，V 为倒立摆系统的势能，D 为倒立摆系统中的耗散能。
那么，可以根据分析得出，上式中小车和摆杆的各部分能量的表达式为：2021x M T = (2-2)000==D V(2-3))]}cos ([)]sin ({[2121221θθθl dtd l x dt d m I T c +++= (2-4)2121θ b D =(2-5)θcos 1mgl V =(2-6)这里，000,,D V T 分别代表小车的动能，势能及耗散能；111,,D V T 分别代表摆杆的动能，势能及耗散能。
所以，由上面各式，可以得到：)]}cos ([)]sin ({[21212122210θθθl dtd l x dt d m I x M T T T c ++++=+= (2-7)θcos 10mgl V V V =+=(2-8)21021θ b D D D =+=(2-9)当x q i =的时候，即对小车而言：2sin cos )()(θθθθ ml ml x m M xT dt d -++=∂∂ (2-10)0=∂∂x T ，0=∂∂x V ，0=∂∂xD (2-11)而，当θ=i q 的时候，即对摆杆而言：)sin cos ()(θθθθθθ l x x ml I T dt d c +-+=∂∂(2-12)θθθ sin x ml T -=∂∂，θθsin mgl V -=∂∂，θθ b D =∂∂ (2-13)根据上面各式综合，可以得到直线一级倒立摆的系统动力学方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++θθθθθθθsin 0sin 0cos cos 2mgl u x b ml x ml I ml ml m M c (2-14)这里，进行线性化处理。
根据分析可知，在接近平衡位置时，θ与l 相比很小，即θ<<1。
则可进行近似处理：1cos ≈θ，θθ≈sin ，0sin ≈θθ 因此，将(2-14)式简化后得到的动力学方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++θθθmgl u x b x ml I ml ml m M c 0002 (2-15)因为摆体绕支点的转动惯量I 与摆体绕质心转动惯量c I 关系为：2ml I I c +=(2-16)将(2-16)代入到式(2-15)后，可以得到：u x mgl x b x I ml ml m M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+00000000θθθ (2-17)设Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+I ml ml m M ，P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 000，W=⎥⎦⎤⎢⎣⎡mgl 000，Z=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00， 则有：Zu x W x P x Q +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθθ (2-18) 变换(2-18)得到：Zu Q x W Q x P Q x 111---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθθ (2-19)所以，接下来就可以得出系统的状态空间方程。
代入相关数据，可以得到所要用到的直线一级倒立摆系统的状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010θθθθ(2-20)u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001θθθ (2-21)所以，代入小车的实际各项参数值，可以得出小车的状态空间方程。
