单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计(打印版)汇编

课程设计题目单级移动倒立摆建模及串联PID校正学院自动化学院班级电气1003班姓名xxx指导教师刘志立2013 年 1 月16 日课程设计任务书学生姓名： xxx 专业班级： 电气1003班指导教师： 刘志立 工作单位： 自动化学院题 目: 单级移动倒立摆建模及串联PID 校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；2、要求系统输出动态性能满足,5.1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串联PID校正装置。

3、 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。

时间安排：指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录摘要 (1)1单级移动倒立摆系统的建模 (2)1.1倒立摆系统建模 (2)1.2单级移动倒立摆的数学模型的线性化 (3)2绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 (4)2.1绘制Bode图 (4)2.绘制Nyquist图 (5)3单级移动倒立摆系统的串联PID校正 (6)3.1设计PID控制器装置 (6)2.2确定PID参数 (7)4用MATLAB对校正后的系统进行校正分析 (9)4.1绘制校正后系统的bode图 (9)4.2绘制校正后系统的Nyquist图 (10)4.3系统校正后的比较 (11)5心得体会.............................................. . (12)参考文献 (13)本科生课程设计成绩评定表 (14)摘要倒立摆系统是一个典型的非线性多变量强耦合不稳定的非最小相位系统，在航天航空和机电一体化等领域得到了广泛的应用，如在火箭箭身的姿态稳定控制及机器人多自由运动稳定的设计都用到了倒立摆系统。

学号：课程设计单级移动倒立摆建模及串联超前题目校正学院自动化学院专业自动化专业班级自动化0904班姓名小白牙指导教师2012年1月4日课程设计任务书学生姓名： 小白牙 专业班级： 自动化0904班 指导教师： 工作单位： 武汉理工大学题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；2、要求系统输出动态性能满足,1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串连超前校正装置。

3、用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，并说明原因。

时间安排：图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要倒立摆系统作为控制理论研究中一种比较理想的实验手段，以自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论的或方法的典型方案，促进了控制系统新理论的、新思想的发展。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用和开发前景。

平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

AbstractInverted pendulum system in control theory as an idealexperimental tool to automatically control the teaching of theory, experiment and research to build a good experimental platform used to test a theory or method of control typical of programs to promote the new theory of control systems, the development of new of the extensive application of control theory, which produces systematic study of methods and techniques will be precision instruments in the semiconductor processing, robot control, artificial intelligence, missile defense control systems, air docking technology, rocket launchers in the vertical control, satellite flight the attitude control and general industrial applications has extensive use and development prospects. Planar inverted pendulum can be more realistic simulation of the rocket's flight control and stability control walking robotic research.单级移动倒立摆及串联超前校正1.单级移动倒立摆系统建模非线性化数学模型单级移动倒立摆实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，利用数学手段建立系统的输入-输出关系。

单级倒立摆系统的建模与控制器设计摘要：本文主要研究的是单级倒立摆的建模、控制与仿真问题。

倒立摆是一类典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。

由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。

本文首先建立了单级倒立摆的数学模型，对其进行了近似线性化处理，得到了它的状态空间描述，并对系统的开环特性进行了仿真和分析。

然后，基于极点配置方法设计了单级倒立摆系统的控制器。

最后，用Matlab对系统进行了数值仿真，验证了所设计的控制算法的有效性。

1、绪论------------------------------------------------------------- 12、单级倒立摆系统的建模与分析--------------------------------------- 32.1 单级倒立摆系统的建模---------------------------------------- 32.2 单级倒立摆系统的模型分析------------------------------------ 63、单级倒立摆系统的极点配置控制器设计------------------------------ 113.1 单级倒立摆系统控制器设计的目标----------------------------- 113.2 单级倒立摆系统的能控性分析--------------------------------- 113.3 单级倒立摆系统的极点配置控制器设计------------------------- 123.4 闭环系统仿真分析------------------------------------------- 134、PID控制器的设计与分析------------------------------------------ 184.1、PID控制的基本原理----------------------------------------- 184.2、方案设计-------------------------------------------------- 184.3、PID控制设计分析------------------------------------------- 204.4、软件仿真调试结果------------------------------------------ 204.5、与极点控制器结果对比分析---------------------------------- 225、结论------------------------------------------------------------ 23 致谢--------------------------------------------------------------- 24 参考文献----------------------------------------------------------- 251、绪论倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。

整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。

如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。

1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。

这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。

《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1 引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。

其中摆的长度1l =1m ，质量1m = ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =，重力加速度20.98/g m s =。

以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。

控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。

图1 单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。

倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。

在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。

作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。

本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。

/2 模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。

倒立摆模型受力分析如图2所示。

图2 倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：2111222(0sin )2l d N m l dt θθ=++（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）~摆杆垂直方向受力平衡方程：2111122(cos )22l l d H m g m dt θ-=-摆杆转矩平衡方程：22111222sin cos 22d l l J H N dt θθθ=-横杆转矩平衡方程：21222d M Nl J dt θ-=N考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈，其中23ml J =，近似线性化得到，()212222222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧=+⎪⎪-=⎪⎪⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪⎪-=⎪⎩！整理上式可得倒立摆的状态方程：21221114.71524110032M M θθθθθ••••••••⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：12224.64211.05312.3799.474MMθθθθ••⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 取状态变量如下：11213242x x x x x θθθθ•⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233440010000 4.642011.05300010012.37909.474x x x x M x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦3 稳定性和能控性分析稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。

1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆质量 0.0034kg*m*m l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F xM --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222ml ml xm N l x dtd m N -+=+= （2）把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos 2 （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =-θθθθcos sin 2 ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθcos sin 2x ml mgl ml I -=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ2 （7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则， 摆杆角度和小车位移的传递函数为：mgls ml I mls s X s -+=222)()()(φ 将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：()mgls ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml ss qb I ml M m mgl bmgl F s s s s sq q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s sF s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'01000000010010330044x x x x u g ll φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+= Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1- 的秩为n 。

单级倒立摆的数学建模与仿真倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。

由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。

由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。

现对单级倒立摆系统进行数学建模并利用MATLAB 进行仿真。

在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，M ：小车质量 x ：小车位置m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量F ：加在小车上的力l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度θ：摆杆与垂直向上方向的夹角根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为：（2）摆杆重心的运动方程为：（3）小车水平方向上的运动为：22..........(4)x d xF F M d t -=联立上述4个方程，可以得出一阶倒立摆数学模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J m l F m l J m l m l g x J m l M m m l m l F m l M m m m l M m J m l θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=- 2222(sin )..........(2)(cos ).........(3)x y d F m x l d t d F m g m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩由以上得出的一阶倒立摆模型，对一阶倒立摆进行仿真，222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩。

单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。

技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。

课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。

学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。

教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。

在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。

二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。

2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。

3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。

单级倒立摆单级倒立摆评分：_________ SHANGHAI UNIVERSITY课程论文COURSE PAPER 单级倒立摆学院机自学院专业电气工程及其自动化学号12121696 学生姓名王龙康课程现代控制理论打印日期目录一、倒立摆的概述··················3二、单级倒立摆····················4三、倒立摆状态空间描述················5四、使用MATLAB·················· 8（1）状态反馈系统的极点配置··········· 8 （2）状态观测器实现状态反馈极点配置·······10一、倒立摆的概述：倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

课程设计任务书班1005自动化 专业班级： 王建华 学生姓名：自动化学院 工作单位： 陈跃鹏 指导教师：题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正初始条件：要求完成的主要任务: 〔包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求〕1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数〔以u 为输入，为输出〕；2、要求系统输出动态性能满足试设计串连超前校正装置。

3、 用Matlab 对校正后的系统进展仿真分析，比拟校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，并说明原因。

时间安排：任务 时间〔天〕审题、查阅相关资料2 分析、计算 2 编写程序 2 撰写报告 1 论文辩论指导教师签名： 年 月 日图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

系主任〔或责任教师〕签名：年月日目录摘要 (1)1. 一级倒立摆数学模型建立 (2)1.1 一级倒立摆的组成 (2)1.2 应用牛顿力学建立系统数学模型 (2)1.3 数学模型的线性化 (4)2. 校正前系统动态性能分析 (4)2.1 待校正系统阶跃响应曲线 (4)2.2 待校正系统根轨迹分析 (5)3. 串联超前校正设计分析 (6)3.1 系统校正前性能指标要求分析 (6)3.2 校正环节设计分析 (7)3.3 校正后系统动态性能分析 (8)3.4 系统参数的修正 (9)4. SIMULINK仿真设计 (11)4.1 MATLAB及SIMULINK (11)4.2 绘制系统仿真构造图并进展S IMULINK仿真 (11)5. 系统校正前后动态性能比拟 (13)5.1 待校正系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、B ODE图和N YQUIST图 (13)5.2 校正以后系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、B ODE图和N YQUIST图 (13)6. 小结 (14)7. 心得体会 (15)8. 附录倒立摆在MATLAB中自带的倒立摆模型 (16)参考文献 (18)摘要在控制理论开展的过程中，某一理论的正确性及在实际中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个对象。

单级移动倒立摆建模及串联PID校正-课程设计武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书课程设计任务书学生姓名: 专业班级: 自动化0807班指导教师: 刘志立工作单位: 自动化学院题目: 单级移动倒立摆建模及串联PID校正初始条件:图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

2Mkgmkglmgms,,,,1.2,0.3,0.8,10/要求完成的主要任务: (包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求)1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型,传递函数(以u为输入，为输出); ,,%,4.3%,t,1.5s,2、要求系统输出动态性能满足试设计串联PIDs校正装置。

3、用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。

时间安排:任务时间(天)审题、查阅相关资料 2分析、计算 3编写程序 2撰写报告 2论文答辩 1指导教师签名: 年月日系主任(或责任教师)签名: 年月日武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书目录摘要 ...............................................................1 1 单级移动倒立摆系统建模 (2)1.1 倒立摆系统建模 (2)1.2 求倒立摆系统的传递函数 (4)2 绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 (4)2.1 绘制Bode图 (4)2.2 绘制Nyquist图 (6)3 PID控制器设计 (7)3.1 设计PID控制器装置 (7)4 用MATLAB对校正后的系统进行仿真分析 (10)4.1 绘制校正后的系统Bode图 (10)4.2 绘制校正后系统的Nyquist图 (11)4.3 系统校正前后的比较 (11)5 结束语 (12)参考文献 (12)本科生课程设计成绩评定表 (13)武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书摘要倒立摆系统是一个典型的非线性多变量强耦合不稳定的非最小相位系统，在航天航空和机电一体化等领域得到了广泛的应用，如在火箭箭身的姿态稳定控制及机器人多自由运动稳定的设计都用到了倒立摆系统。

《自动控制原理》课程设计之二基于状态空间法单级倒立摆的控制系统设计一、 单级倒立摆介绍倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，是控制理论的典型研究对象。

如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远意义。

单级倒立摆系统的原理图，如图1所示。

假设已知摆的长度为2l ，质量为m ，用铰链安装在质量为M 的小车上。

小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u ，相对参考系差生的位移s 。

若不给小车实施控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是个不稳定的系统。

控制的目的是通过控制力u 的变化，使小车在水平方向上运动，达到设定的位置，并将倒置摆保持在垂直位置上。

已知单级倒立摆的各项数据如下所示：,5.0,1.0,2m l kg m kg M ===g m g kgm I /8.9,025.02==图1 单级倒立摆模型二、 控制系统设计任务1、 查阅文献，建立单级倒立摆的状态空间数学模型。

取状态变量[]T ss x θθ =。

测试系统的开环特性。

2、用Matlab 分析系统能控性，能观性及稳定性。

3、 通过状态反馈配置改变闭环系统极点。

闭环极点自行决定。

采用极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：● 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒● 位移的上升时间小于2秒● 角度的超调量小于20度● 位移的稳态误差小于2%。

4、 假设系统的状态[]T ss x θθ =均无法测量，为实现上述控制方案建立系统的全维观测器，观测器极点自行决定。

采用带有观察器极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为： ● 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒● 位移的上升时间小于2秒● 角度的超调量小于20度● 位移的稳态误差小于2%。

5、 假设系统的状态[]T ss x θθ =中，只用位移s 可以测量，其他状态变量均无法测量，为实现极点配置，建立系统的降维观测器，观测器极点自行决定。

自动控制原理课程设计题目单级移动倒立摆系统建模及性能分析学生姓名学号学院专业指导教师二Ｏ一Ｏ年 5 月15日南京信息工程大学本科生课程设计任务书注：此表由指导教师课程设计工作开始前填写，每位学生两份，一份发给学生，一份交学院留存。

南京信息工程大学本科生学年论文（课程设计）指导教师评阅意见表目录1 系统介绍2 单级倒立摆的数学模型3 系统稳定性分析4 分析相角裕度和截止频率5 系统动态性能分析6 系统仿真7 总结与体会参考文献摘要倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，通过以单级倒立摆为被控对象，来掌握控制系统的数学模型的建立方法和及控制系统的调试方法，掌握MATLAB仿真软件的使用方法。

本次课程设计包含如下几个内容：[1]研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u为输入， 为输出）；[2]用画根轨迹方法对系统进行稳定性分析,用BODE图求出系统的相角裕度和截止频率.[3]用Matlab求系统阶跃响应.1系统介绍单级倒立摆系统的结构示意图如图1所示。

图1 单级倒立摆系统示意图图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

2M kg m kg l m g m s====1,0.2,0.5,10/系统组成的框图如图2所示。

施加外力运动状态摆角θ图2 单级倒立摆系统组成框图系统通过给小车施加外力，使摆杆与小车相互作用，达到平衡，维持不倒。

2 单级倒立摆的数学模型对系统建立数学模型是系统分析、设计的前提，为了简化分析，忽略空气阻力，仅考虑小车与倒立摆之间的摩擦力。

将倒立摆系统看成简单的小车与单级摆组成的系统。

在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移x 。

建立系统的线性数学模型－传递函数（以u为输入，θ为输出）。

设小车瞬时位置为 ，摆心瞬时位置为在水平方向，由牛顿第二定律 即：在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡即:2sin 0,cos 1,θθθθθ≈≈很小时，忽略项 则有：联立求解并进行拉氏变换：则传递函数为3 系统稳定性分析代入参数,M =1kg,m =0.5kg,l =0.5m,用如下程序将传递函数在MATLAB 中表示出来: num=[-1]den=[0.5,0,-7.5] sys=tf(num,den)用MATLAB 显示为:x(sin )x l θ+2222(sin )d x d M m x l u dt dtθ++=2()cos sin M m x ml ml uθθθθ++-=22(sin )cos sin d m x l l mgl dt θθθ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦22cos cos sin cos sin x l l g θθθθθθθ+-=)M m x ml u θ++=（x l g θθ+= 2)(1)()(Mls g M m s u s -+=θ用如下程序将传递函数的根轨迹图在MATLAB中表示出来:num=[-1]den=[0.5,0,-7.5]rlocus(num,den)用MATLAB做出的根轨迹如图3所示:图3 校正前系统根轨迹由于系统在右半平面有极点,因此为非稳定系统.4 分析相角裕度和截止频率利用下列程序MATLAB中画出BODE图,并算出相角裕度和截止频率: num=[-1]den=[0.5,0,-7.5]sys=tf(num,den)[mag,phase,w]=bode(num,den)[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)margin(sys)用MATLAB做出BODE图如图4所示:图4 校正前系统BODE图gm = Inf ,pm = Inf, wcg = NaN ,wcp = NaN其中gm为幅值裕度, pm为相角裕度,wcg为相角交界频率,wcp为截止频率.所画的BODE图没有穿过频率轴,使的没有截止频率和相角裕度.4系统阶跃响应因为求单位阶跃响应要求在闭环条件下,求出闭环传递函数为:利用如下程序在MATLAB中对系统绘制单位阶跃响应:num=[2]den=[-1,0,17]step(num,den)系统单位阶跃响应如图5所示:图5 系统单位阶跃响应因为系统为不稳定系统,所以当它时间趋于无穷时,它的幅值并不趋于输入信号,即不会趋近于1.、5系统动态性能分析（用公式计算各动态指标，根据系统的阶次）5.1延迟时间的计算5.2 上升时间的计算5.3峰值时间的计算5.4 超调量的计算5.5 调节时间的计算5.6 使用MATLAB求系统各动态性能指标num=[0,0,2.7]; %设置分子的系数den=conv([1, 0.8, 0.64],[a, 1]); %设置分母的系数G=tf(num,den);t=0:0.01:30; % 从0到30每隔0.01取一个值c=step(G, t); % 动态响应的幅值赋给变量Cplot(t,c) %绘制二维图形，横坐标取t，纵坐标取c grid % 绘制网格线[y,x,t]=step(num,den,t); %求系统单位阶跃响应maxy=max(y) % 求取响应的最大值ys=y(length(t)) %求取响应的终值pos=(maxy-ys)/ys %求取超调量n=1;while y(n)<0.5*ysn=n+1;endtd=t(n) %求取延迟时间n=1;while y(n)<ysn=n+1;endtr=t(n) %求取上升时间n=1;while y(n)<maxyn=n+1;endtp=t(n) %求取峰值时间L=length(t);while (y(L)>0.95*ys)&(y(L)<1.05*ys)L=L-1;endts=t(L) %求取调节时间title('Unit-Step Response of G(s)朱雷(1)') %设置Matlab 图的标题6系统仿真在MATLAB命令窗口中输入SIMULINK,然后点File→New→Model,在SOURCE 中选择STEP模块,在SINKS中选择SCOP模块,在CONTINUOUS中选择传递函数,双击更改极点和零点,用直线将模块连接后,点击START,双击示波器,即可看到仿真图形.系统MATLAB仿真图形如图6所示;图6 系统MATLAB仿真图形7总结与体会参考文献[1]自动控制原理,胡寿松,科学出版社,2007-7[2] 自动控制原理的MA TLAB实现,黄忠霖,国防工业出版社,2007-2[3] 自动控制原理与设计，美）富兰克林（Franklin G.F.），（美）鲍威尔（Powell J.D.），（美）那诶尼（Naeini A.E.）著，李中华，张雨浓译，人民邮电出版社，2007-11-1[4][5]。