第五节多元函数微分学自测题提示与答案

第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物⾯z y x =+ (2)圆锥⾯）(4222z y x =+(3) 椭球⾯）(19164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：??≥-≥0y x y即??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。

证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---=1.求下列函数的偏导数①;,,33yz x z xy y x z -=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(yzx z xy z =求解：[]1211ln()2z xy y x xy -?=??=?[]1211ln()2z xy x y xy -== ③222ln(),,z z z x x y x x y=+?求解：1ln()z x y x x x y=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=+-+++=+++??==??2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x ue u xyz=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z==+=+++???=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++y x f y xy ?-?+=→?)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +??→?+??-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=?→=+?-'==?=?3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y=+=求证: 证明：2xy y z e y e x y-?=?=?Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-?=??-=-?Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---??∴+=+??-=-?+?? = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=?+?-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=+=+??++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z=2．计算下列各式的近似值（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?01.0ln 1.010)2,10()2,10(12?+?+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+34(1,1)1|(0.02)y -+-= 0+005.002.04103.031=?-(3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππ==-=?=则原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。

第五部分 多元函数微分学（1）[选择题]容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。

1．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( )(A) 平行于π。

(B) 在上π。

(C) 垂直于π。

(D) 与π斜交。

答：C2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处 ( )(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组⎩⎨⎧+=+=22v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=∂∂x u( ) (A)v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) vu y- 答：B4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )(A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。

(B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

(C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。

(D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( )(A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )92,91,91(2- 答：A6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全 微分的（ ）。

八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂， 关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分： （1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ： 设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ： 用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ： 将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ： 将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导 方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。

多元函数微分学单元测试题A一、选择题1. 极限24200limy x y x yy x x +→→= （ ）A.等于0；B.不存在；C.等于 12；D.存在且不等于0或12. 2.设),(b a f y '存在，则yy b a f y b a f y ),(),(lim 0--+→= （ ）A.),(b a f y '；B. 0； C . 2),(b a f y '； D.21),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.) ,(lim 00y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.5.函数xy xyz +=arcsin的定义域是 （ ） A.{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；C.{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；D.{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（ ）(A) 220x y +>； （B ）220x y ->； （C ）220x y +<； （D ）220x y -<.7、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是 （ D ） A 、（1，2） B 、（1，-2） C 、（-1，2） D 、（-1，-1） 二、判断题1. 点集E 的内点必属于E. （ ）2. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂. （ ） 3. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处未必连续 （ ）4.二阶混合偏导数与求偏导的次序无关 （ ）5.具有偏导数的函数的驻点必定是极值点. （ ） 6、若(,)(,)xy yx f x y f x y 和都在点00(,)x y 连续，则0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案《高等数学》单元自测题答案第八章多元函数微分学一．填空题1.3ln 3xy y ；2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3131+； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++.二．选择题1.B ；2.D ；3. C ；4.D ；5.A ；6.B ；7. B ；8.A .三.解答题1. 解 22222222222211)221(1y x yx y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=??. 2. 解22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2222111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 222222222222)()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-==. 3. 解设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''--=--=-=??z x z x F F x z zx . 4. 证明 rx z y x x x r =++=??22222, 3222211r x r x r r x r x r -=??-=??, 同理 32221r y r y r -==??, 32221r z r z r -=??, 所以 r r r r rz y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=??+??+??.5. 解 '22'1f xy yf x z -=??, )1(1)1(''22''212'22''12''11'12f x xf xy f x f x xf y f y x z +--++= =''223''11'22'11f xy xyf f x f -+-. 6. 解令=+-==-+=,063,09632'2'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又66''+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy ,在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值;在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值.7. 解设 14),,(222-++=z y x z y x F , 则=n }2,2,2{},,{'''z y x F F F z y x =,}6,4,2{)3,2,1(=n ,切平面方程为0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为332211-=-=-z y x . 8. 解设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xyV z =,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令=-==-=,02,022'2'y V x S x V y S y x得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 33304 22V V V Vz =?=.。

考研数学专题—多元函数自测题（1）一、 选择题 (单选或多选) 1．设()22,,,xyy x f x y f x y x y =则⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）。

42xyAy x- 2244x y B y x- 2244x y C y x+- 2244y x D y x-- 2．若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数，则结论正确的是（ ）。

A 必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂ B (,)f x y D 在内必可微 C (,)f x y D 在内必连续 D A ，B ，C 都不对3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x 00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是 00函数f(x,y)在点(x ,y )连续的（ ）。

A 必要而非充分条件；B 充分而非必要条件；C 充分必要条件；D 既非充分又非必要条件。

4．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的（ ）。

A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 5．设323(,)(1)(1)tan (1,0)y f x y x y x f =-+-=则（ ）。

A 1- B 1 C 2 D 06．设区域{}222(,),0,(a D x y x y a y =+≤≥>0).则xy dxdy =⎰⎰D（ ）.A.0aa-⎰B.0aaxydy xydy -+⎰⎰C 30(cos sin )ad r dr πθθθ-⎰⎰ D.23302cos sin cos sin a ad r dr d r dr πππθθθθθθ-⎰⎰⎰⎰7．222{(,),0}D x y x y R y =+≤≥，下列积分值（ ）为零.A. 2Dyx d σ⎰⎰ B. 2Dxy d σ⎰⎰C. 22()Dx y d +σ⎰⎰ D. ()Dx y d +σ⎰⎰二、 填空题1．函数arcsin y z x =的定义域为 ___.2．若1),1z f z x f x z z x y ===如果当y 时，，则（）和（，）的表达式分别为 ___.3．设由(1,1,1)(1,1,1)(,,)0(,),1,2,F F F x y z z f x y xy∂∂===-=∂∂确定了二元函数且已知(1,1,1)(1,1,1)1,zz yx∂∂==∂∂则___.4．设22(),z f x y f =+且可微，则zx∂∂= ___. 5．交换积分顺序⎰⎰-122),(y ydx y x f dy= ___,6．累次积分211y xdx e dy -⎰⎰= ___.三、计算题1．求函数 )]ln(ln[x y x z -= 的定义域并画出定义域草图。

考研数学二（多元函数微分学）-试卷5(总分：74.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.0解析：解析：当取y=kx k有关，故极限不存在．3.设u=arcsin= ( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将x视为常数，属基本计算．4.（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.存在且不等于0解析：解析：取y=x5.设u=f(r)，而r==( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在． 若用“P→Q”表示可由性质P 退出性质Q ，则有 ( ) （分数：2.00） A.②→③→① √ B.③→②→① C.③→④→① D.③→①→④解析：解析：本题考查如图1．4—17.设函数u=u(x ，y)满足 及u(x ，2x)=x ，u" 1(x ，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则u 11 (x ，2x)=（分数：2.00）A. B. √ C. D.解析：解析：等式u(x ，2x)=x 两边对x 求导得u" 1 +2u" 2 =1，两边再对x 求导得 u" 11 +2u" 12 +2u" 21 +4u"22=0， ① 等式u" 1 (x ，2x)=x 2两边对x 求导得 u" 11 +2u" 12 =2x ， ② 将②式及u" 12 =u" 21 ，u" 11 =u" 22代入①式中得u" 11 (x ，2x)=一x ．8.利用变量替换u=x ，v==z 化成新方程（分数：2.00） A. √ B. C. D.9.若函数，y)u ，则函数G(x ，y)= ( )（分数：2.00） A.x+y B.x —y √C.x 2一y 2(13)(x+y) 210.已知du(x ，y)=[axy 3+cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2+bcos(x+2y)]dy ，则 ( )（分数：2.00） A.a=2，b=一2 B.a=3，b=2 C.a=2，b=2 √ D.a=一2，b=2解析：解析：由du(x ，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy 可知， 3axy 2一2sin(x+2y)=6xy2一bsin(x+2y)． 故得a=2，b=2．11.设u(x ，y)在平面有界闭区域D u(x ，y)的 ( )（分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在D 的边界上 √C.最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上D.最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上解析：解析：令 B 2一AC ＞0，函数u(x ，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D 的内部出现．但是u(x ，y)连续，所以，在平面有界闭区域D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D 的边界上． 12.设函数z=(1+e y)cos x —ye y，则函数z=f(x ，y) ( ) （分数：2.00） A.无极值点 B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 √D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷． 由得驻点为(k π，cosk π一1)，k=0，±1，±2，…， 又z" xx =一(1+e y)cos x ，z" xy =一esin x ，z" yy =e y(cosx —2一y)． (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(k π，0)，从而 A=z" xx (k π，0)=一2，B=z" xy (k π，0)=0，C=z" yy (k π，0)=一1， 于是B 2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，即驻点(k π，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(k π，一2)，此时 A=z"xx(k π，一2)=1+e 一2 ，B=z" xy (k π，一2)=0，C=z" yy (k π，一2)=一e 一2 ， 于是B 2 一AC=(1+e 一2)．e 一2＞0，即驻点(k π，一2)为非极值点． 综上所述，故选(C)．二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f 可微，则由方程f(cx 一az ，cy 一bz)=0确定的函数z=z(x ，y)满足az" x +bz" y = 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C ）解析：解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题． 方程两边求全微分，得f" 1 ．(cdx —adx)+f" 2．(cdy —bdz)=0，即14.设函数z=z(x ，y)由方程sin x+2y —z=e z所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：方程两端对x 求偏导数cos x+015.函数f(x ，y ，z)=一2x 2在x 2一y 2一2z 2=2条件下的极大值是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4） 解析：解析：由拉格朗日乘数法可得．16.函数的定义域 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ z ｜，且z≠0）解析：解析：由一可得．17.设z=esin xy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)）解析：解析：z" x =e sinxy cos xy．y，z" y =e sinxy os xy．x，则dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)．三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。