2012年数学一轮复习精品试题第四十九讲 随机事件的概率

第四十九讲 随机事件的概率班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．从12个同类产品中(其中有10个正品，2个次品)，任意抽取3个，下列事件是必然事件的是( ) A ．3个都是正品 B ．至少有一个是次品 C ．3个都是次品D ．至少有一个是正品解析：A 、B 是随机事件，C 是不可能事件． 答案：D2．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③解析：从1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．答案：C3．某城市的空气质量状况如下表所示：空气污染指数T ≤T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市空气质量达到良好或优的概率为( )A.35B.1180C.119D.56解析：良与优是彼此互斥的，故空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35. 答案：A4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：D5．(·青岛质检)同时掷两颗骰子，得到点数和为6的概率是( ) A.512 B.536 C.19 D.518解析：基本事件数是36，而“点数和为6”包含5个基本事件，即(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，所以“点数和为6”概率为536，故选B.答案：B6．设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P (x ，y )，我们记“点P (x ，y )满足条件x 2＋y 2≤16”为事件C ，则C 的概率为( )A.29B.112C.16D.12解析：分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，得到(x ，y )总的可能数有6×6＝36种情况，满足x 2＋y 2≤16的(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，则所求概率为P (C )＝836＝29，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________． 解析：P ＝0.3＋0.5＝0.8. 答案：0.88．为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到需要，则进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率为________．解析：解法一：设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A ，“不到4年达到要求”为事件B ，则“进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A ＋B ，而A 、B 互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) ＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.解法二：设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M ，则M －为“进口汽车恰好5年关税达到要求”，所以P (M )＝1－P (M －)＝1－0.21＝0.79. 答案：0.799．(·浙江模拟)一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个白球，从中摸出1个球，放回后再摸出1个球，则2球恰好颜色不同的概率为________．答案：122510．(·山东济南调研)甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，则甲胜的概率为________．解析：甲胜：取出两个球为同色球，则 P ＝3×24×3＝12. 答案：12三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．国家射击队的队员为在亚运会上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次 (1)射中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．解：记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝P(A 9)＋P(A 10)＝0.32＋0.28＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生． 由互斥事件的概率加法公式得 P(B)＝P(A 8)＋P(A 9)＋P(A 10) ＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B －表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(B －)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.12．某省是高中新课程改革实验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为950，只补考化学的概率为15，只补考生物的概率为1150.随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率． 解：设“不止补考一门”为事件E ，“只补考一门”为事件F ，“只补考物理”为事件A ，则P(A)＝950，“只补考化学”为事件B ，则P(B)＝15，“只补考生物”为事件C ，则P(C)＝1150.这三个事件为互斥事件，所以P(F)＝P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝3050＝0.6. 又因为事件E 和事件F 互为对立事件． 所以P(E)＝1－P(F)＝1－0.6＝0.4.即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.13．(·临沂模拟)将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a 、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数． (1)若点P(a ，b)落在不等式组x>0,y>0,x ＋y ≤4表示的平面区域内的事件记为A ，求事件A 的概率；(2)若点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝m(m 为常数)上，且使此事件的概率最大，求m 的值． 解：(1)基本事件总数为6×6＝36. 当a ＝1时，b ＝1,2,3； 当a ＝2时，b ＝1,2； 当a ＝3时，b ＝1.共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个点落在条件区域内，∴P(A)＝636＝16.(2)当m ＝7时，共有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个点满足条件，此时P ＝636＝16最大．。

课时作业69　随机事件的概率一、选择题1．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为(　D )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为(　C )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下1213列说法正确的是(　A )A ．甲获胜的概率是B ．甲不输的概率是 1612C ．乙输了的概率是 D ．乙不输的概率是 2312解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－－＝，故A 正确；“乙输了”等于“甲121316获胜”，其概率为，故C 不正确；设事件A 为“甲不输”，则A 是16“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝＋＝161223(或设事件A 为“甲不输”，则A 是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－＝)，故B 不正确；同理，“乙不输”的概率为，故D 132356不正确．4．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(　D )A ．15%B ．20%C ．45%D ．65%解析：因为某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%，现在能为A 型病人输血的有O 型和A 型，故能为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.5．(2020·石家庄教学质量检测)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343　432　341　342　234　142　243　331　112342　241　244　431　233　214　344　142　134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为(　C )A. B. 1916C. D. 29518解析：由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为＝，故选C. 418296．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表： 满意情况不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　C )A. B. 71525C. D. 11151315解析：由题意，n ＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝. 3 3004 50011157．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　D )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.8．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为(　C )A. B. 13110C. D. 31023解析：从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，故所求的概率为P ＝，故选C. 3109．已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是(　C )A. B. 31035C. D. 2515解析：函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2<0，又a ∈{－2，0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b为减函数的概率P ＝＝，故选C. 2×25×225二、填空题 10．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋发生B 的概率为. 23解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝＝2613，P (B )＝＝，所以P ()＝1－P (B )＝1－＝，显然A 与互斥，从4623B 2313B 而P (A ＋)＝P (A )＋P ()＝＋＝. B B 13132311．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有6_912人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝14501825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×＝6 1825912(人)．12．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为. 112解析：从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，有n ＝＝36(种)情形，其中一个数是另一个数的3倍的事件有9×82{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3种情形，所以由古典概型的概率计算公式可得其概率是P ＝＝. 336112。

2012届高考数学一轮复习课时作业49随机事件的概率一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对解析：由互斥事件和对立事件的概念可判断．答案：C2．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )A ．合格产品少于9件B ．合格产品多于9件C ．合格产品正好是9件D ．合格产品可能是9件解析：因为产品的合格率为90%，抽出10件产品，则合格产品可能是10×90%＝9件，这是随机的．答案：D3．(2010年湖北高考)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：事件A ，B 中至少有一件发生的概率是1－P (A ·B )＝1－(1－12)×(1－16)＝712. 答案：C4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的并．∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35. 答案：C5．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )A.14B.13C.38D.12解析：共23＝8种情况，符合要求的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3种．∴P ＝38. 答案：C6．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )A.110B.15C.35D.45解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4＝20种，甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6种，概率为620＝310， 乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6种，概率为620＝310， ∴恰有一个被选中的概率为310＋310＝35. 答案：C二、填空题7．[2011·江苏卷] 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析： 一次随机抽取两个数共有1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4，一个数是另一个数的2倍的有2种，故所求概率为13. 答案：138．甲盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，乙盒子中装有5个编号分别为1,2,3,4,5的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两小球编号之积为奇数的概率为________．解析：从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，共有3×5＝15种取法．记取出两小球编号之积为奇数为事件A ，则A 包含2×3＝6个基本事件，故P (A )＝615＝25. 答案：259．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.答案：0.95三、解答题10．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35. (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率P (B )＝1－220＝910. 11．[2011·广东卷] 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n,1,2,3,4,5成绩x n ,70,76,72,70,72(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解：(1)∵x ＝16∑6n ＝1x n＝75， ∴x 6＝6x －∑5n ＝1x n ＝6×75－70－76－72－70－72＝90，s 2＝16∑6 n ＝1 (x n －x )2＝16(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49， ∴s ＝7.(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种：{1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，。

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2012·湖北高考理科·Ｔ8）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）(A)21-π(B)112-π(C)2π(D)1π【解题指南】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选A. 设OA=2, 则扇形OAB 的面积为π.阴影部分的面积为:1111()2[()2]24242πππππ-⨯+---⨯=-,由P 2p ππ-=可知结果. 2.（2012·湖北高考文科·Ｔ10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）(A)112-π (B)1π （C ）21-π （D ）2π【解题指南】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选C. 设OA=2, 则扇形OAB 面积为π.阴影部分的面积为:1111()2[()2]24242πππππ-⨯+---⨯=-,由P 2p ππ-=可知结果.3.（2012·北京高考文科·Ｔ3）与（2012·北京高考理科·Ｔ2）相同设不等式组表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解题指南】分别求出平面区域D 及到原点距离大于2的点所对应区域的面积，作比即可求出概率.【解析】选D.平面区域D 的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分（不含圆弧边界），其面积为4-π，所以所求概率为44π-.4.（2012·辽宁高考文科·Ｔ11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )(A)16 (B)13 (C)23 (D)45【解题指南】设其中一段长为x cm ，则另一段长为(12)x -cm ，其中012x <≤， 利用(12)20x x ->求得x 的取值范围，利用几何概型求得概率.【解析】选C. 设其中一段AC 长为x cm ，则另一段BC 长为(12)x -cm ，其中012x <≤O 2由题意(12)20210x x x ->⇒<<，则点C 的取值长度为8cm ，故概率为82123=. 5.（2012·辽宁高考理科·Ｔ10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ）(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【解题指南】设其中一段长为x cm ，则另一段长为(12)x -cm ，其中012x <≤， 利用(12)32x x -<求得x 的取值范围，利用几何概型求得概率.【解析】选C. 设其中一段AC 长为x cm ，则另一段BC 长为(12)x -cm ，其中012x <≤，由题意(12)3204812x x x x -<⇒<<<≤或，则点C 的取值长度为4+4=8cm ，故概率为82123=. 6.（2012·安徽高考文科·Ｔ10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45【解题指南】先将所有结果一一列出，再根据古典概型即可求出两球颜色为一白一黑的概率.【解析】选B .1个红球，2个白球和3个黑球分别记为112123,,,,,a b b c c c ， 从袋中任取两球有,共15种；满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率等于62155=.二、填空题7. （2012·江苏高考·Ｔ6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .【解题指南】从等比数列的通项公式和等可能事件的概率两方面处理.【解析】这十个数是234567891,3,(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3)---------，所以它小于8的概率等于63105=. 【答案】358.（2012·浙江高考文科·Ｔ12）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为2的概率是___________. 【解题指南】古典概型问题,该两点间的距离为2的事件可列举得出. 【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为142542105C C ==.【答案】259.（2012·新课标全国高考理科·T15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1 000，250），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为【解题指南】由正态分布的意义求得三个元件使用寿命超过1 000小时的概率，然后将部件的使用寿命超过1 000小时的可能情况列出，利用相互独立事件的概率公式求解.【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然()()()12P A P B P C===，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为()AB AB AB C++，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为1111111322222228p⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.【答案】3 8三、解答题10.（2012·江西高考文科·Ｔ18）如图所示，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点.（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率.（2）求这3点与原点O共面的概率.【解题指南】把从6个点中取3个点的情况全部列举出来，然后找出（1）（2）情况中所包含的基本事件的个数，把比值求出来得所求概率.【解析】从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有121122121122,,,A A B A A B A A C A A C ，共4种；y 轴上取2个点的有121B B A ，122B B A ，121B B C ，122B B C ，共4种；z 轴上取2个点的有121C C A ，122C C A ，121C C B ，122C C B ，共4种；所选取的3个点在不同坐标轴上的有111112121122,,,A B C A B C A B C A B C ，211212,A B C A B C ，221A B C 222A B C ，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.（1）选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：111222,A B C A B C ，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 11212010p ==.（2）选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：121122121122121122,,,,,A A B A A B A A C A A C B B A B B A ，121122121122121122,,,,,B B C B B C C C A C C A C C B C C B ，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 22123205p ==.11.（2012·山东高考文科·Ｔ18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【解题指南】（I ）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II ）再放入一张标号为0的绿色卡片，列出基本事件，然后找出这两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2， 红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1， 红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.12.（2012·天津高考文科·Ｔ15）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. （I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率.【解题指南】按抽取的比例计算抽取的学校数目；用列举法、古典概率公式计算概率.【解析】（I ）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.（II ）（1）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为123,,A A A ，2所中学分别记为45,A A ，1所大学记为6A ，则抽取2所学校的所有可能结果为1213141516{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A 23242526{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A ，343536{,},{,},{,}A A A A A A ，4546{,},{,}A A A A ，56{,}A A ，共15种.（2）从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B ）的所有可能结果为121323{,},{,},{,}A A A A A A ，共3种，所以31()155P B ==. 13. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

第十一章 概率网络体系总览考点目标定位1.随机事件的概率、等可能性事件的概率.2.互斥事件有一个发生的概率.3.相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验.复习方略指南概率是新课程中新增加部分的主要内容之一.这一内容是在学习排列、组合等计数知识之后学习的,主要内容为等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率.这一内容从2000年被列入新课程高考的考试大纲.从近五年的高考看,新课程试卷每年都有一道概率解答题,并且命题趋势是:从分值上看,从10分提高到17分,从题目的位置看,位置在逐年后移,从概率在试卷中的分数比与课时比看,在试卷中的分数比(12∶150=1∶12.5)是在数学中课时比(约为11∶330=1∶30)的2.4倍.概率试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如普法考试、串联并联系统、计算机上网、产品合格率等,所以在概率复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.11.1 随机事件的概率巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.2.必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.3.不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.4.事件A 的概率在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P(A).由定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.5.等可能性事件的概率一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P(A)=n m . 6.使用公式P(A)=nm 计算时,确定m 、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.二、点击双基1从数字1,2,3,4,5这五个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率是( )A.51B.52C.53D.54 解析：25231C C +=104=52. 答案：B2.用1,2,3,4这四个数字组成比2 000大,且无重复数字的四位数的概率是( ) A.41 B.21 C.43 D.31 解析：用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数共有A 44=24个.其中大于2 000的数有C 13A 33=18个.所以所求的概率是P=2418=43.故C. 答案：C3.(2005杭州第一次质量检测)有80个数,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两数,则所取的两数和为偶数的概率为( ) A.7939 B.801 C.21 D.8141 解析：P=2802402C C =279803940⨯⨯=7939. 答案：A4.口袋中有红球2个,黑球3个,白球5个,它们只有颜色不同.从中摸出四个,摸出的球中同色的两个为一组,若红色一组得5分,黑色一组得3分,白色一组得1分,则得分总数取得最大值的概率为_________________.解析：要使得分总数取得最大,只有取得两个红球与两个黑球,其概率为P=4102322C C C •=701. 答案：701 5.(2005上海高考)某班有50名学生,其中15人选修A 课程,另外35人选修B 课程,从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是.(结果用分数表示)解析：P=250135115C C C •=495023515⨯⨯⨯=73. 答案:73 诱思·实例点拨【例1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(1)求所选3人都是男生的概率;(2)求所选3人中恰有1名女生的概率;(3)求所选3人中至少有1名女生的概率.剖析:先利用组合知识求出各种结果的种数,再利用等可能事件的概率计算公式计算求解.(3)还可以用间接法,请自己完成.解:(1)所选3人都是男生的概率为3634C C =51. (2)所选3人中恰有1名女生的概率为362421C C C =53. (3)所选3人中至少有1名女生的概率为3614222412C C C C C =54. 讲评:本题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.链接·提示解决等可能事件的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含基本事件数.【例2】 在100件产品中,有95件合格品,5件次品,从中任取2件,计算:(1)2件都是合格品的概率;(2)2件都是次品的概率;(3)1件是合格品、1件是次品的概率.剖析:从100件产品中任取2件可能出现的结果数,就是从100个元素中任取2个的组合数C 2100.由于是任意抽取,这些结果出现的可能性都相等.解:(1)由于在100件产品中有95件合格品,取到2件合格品的组合数,就是从95个元素中任取2个的组合数C 295,记“任取2件都是合格品”为事件A 1,那么事件A 1的概率P(A 1)=2100295C C =990893. 答:2件都是合格品的概率为990893. (2)由于在100件产品中有5件次品,取到2件次品的结果数,就是从5个元素中任取2个的组合数C 25.记“任取2件都是次品”为事件A 2,那么事件A 2的概率P(A 2)=210025C C =4951. 答:2件都是次品的概率为4951. (3)记“任取2件,1件是合格品、1件是次品”为事件A 3.由于在C 2100种结果中,取到1件合格品、1件次品的结果有C 195C 15种,故事件A 3的概率P(A 3)=210015195C C C =19819. 答:1件是合格品、1件是次品的概率为19819. 讲评:利用等可能事件发生的概率公式必须先判断事件的性质,用排列数、组合数表示基本事件总数和有利事件数.【例3】一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球.(1)共有多少种不同结果?(2)摸出2个黑球有多少种不同结果?(3)摸出2个黑球的概率是多少?剖析:本题为等可能事件的概率问题,关键是弄清基本事件数和基本事件总数.解:(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球,共有C 24=6种不同的结果,即由所有结果组成的集合I 含有6个元素,即(白,黑1)、(白,黑2)、(白,黑3)、(黑1,黑2)、(黑1,黑3)、(黑2,黑3). 所以共有6种不同的结果.(2)从3个黑球中摸出2个黑球,共有C 23=3种不同的结果,这些结果组成I 的一个含有3个元素的子集A,所以从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果.(3)由于口袋内4个球大小相等,因此从中摸出2个球的6种结果是等可能的,又在这6种结果中,摸出2个黑球的结果只有3种,因此从中摸出2个黑球的概率为P(A)=63=21. 所以从口袋内摸出2个黑球的概率是21. 讲评:随机抽样的例子,属于摸球问题,即古典概型,广泛存在于生产生活中,均可出现,用等可能事件概率公式P(A)=nm 计算. 分三步完成:(1)判断基本事件的可能性是否相等.(2)求出基本事件空间中,全部基本事件总数n.(3)求出事件A 包含基本事件个数m,从而P(A)=n m .。

11.1随机事件的概率【考纲要求】了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.【基础知识】1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).3.概率的性质：(由定义知,0≤m ≤1,01mn≤≤) ∴ 0()1P A ≤≤; 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.4.等可能性事件：如果一次试验中有n 个可能的结果——称为基本事件，且每个基本事件出现的可能性都相等，即每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件. 5.等可能性事件的概率：在等可能事件中,如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()mP A n=.6.求概率的方法:(1)等可能性事件的概率,步骤:①明确事件A 的意义,确定是否等可能性事件. ②求出一次实验可能出现的结果的总数n;求m,n 时,要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n 和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。

③用等可能性事件概率公式P =nm求出概率值. (2)通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. 【例题精讲】例1 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .[来源:]从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝2 15 .(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，故P(B)＝1－(115＋115)＝1315.[来源:学_科_网]例2 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1,2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.(2)同法一．11.1随机事件的概率强化训练【基础精练】1．先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元的硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是 ( )A.38B.58C.12D.13 2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片 上的数字之和为奇数的概率为 ( )A.13B.12C.23D.343．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是 ( ) A.116 B.316 C.14 D.7164．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2`，3,4. 把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有数字之和能被5整除的概率为 ( ) A.116 B.14 C.38 D.125．已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率是 ( )A.112 B.760 C.625 D.5166．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案都不对7．12件瓷器中，有10件正品，2件次品，从中任意取出3件，有以下事件：①3件都是正品； ②至少有1件是次品； ③3件都是次品； ④至少有1件是正品．其中随机事件是________；必然事件是________；不可能事件是________(填上相应的序号)．8．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．9．在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于7的概率为____________．[来源:学.科.网]10．一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2，…， 10，从中任取一球，求下列事件的概率．(1)A＝{球的标号数不大于3}；(2)B＝{球的标号数是3的倍数}；(3)C＝{球的标号数为素数}．11．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．12．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．[来源:学§科§网](1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y2＜4x的概率．【拓展提高】1、一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}=A ，{第三个球是红球}=B .求在下列条件下事件A 、B 的概率.（1）不返回抽样；（2）返回抽样.2. 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？[来源:]3.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a 、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数. （1）若a+b<4的事件记为A ,求事件A 的概率;（2）若点P （a ,b ）落在直线x +y=m （m 为常数）上,且使此事件的概率最大,求m 的值.【基础精练参考答案】1.A 【解析】：先后抛掷三枚硬币共有如下8种情况，其中两正一反共有3种情况，故所求概率为38.2.C 【解析】：从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝23.3.B 【解析】：据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为27144＝316.4.B 【解析】：把“两个玩具斜向上的面的数字之和能被5整除”记为事件A ，每个玩具斜向上的面的数字之和有4种情况，两个玩具各抛掷一次，斜向上的面的数字之和共有4×4＝16(种)情况，其中能被5整除的有4种情况，举例如下： (1,2,3)，(2,3,4)；(1,2,4)，(1,3,4)；(1,3,4)，(1,2,4)；[来源:] (2,3,4)，(1,2,3)．所以P(A)＝416＝14.[来源:学科网ZXXK]5.B【解析】：y′=ax+b，把x=1代入，得y′|x=1=a+b.a+b=5的有1种；a+b=7的有23C=3种；[来源:]a+b=9的有24C=6种；a+b=11的有23C=3种；a+b=13的有22C=1种；共有216C=120种．∴P=13631712060 ++++=.6.C【解析】：由于甲和乙有可能一人得到的红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．7. ①②④③解析：①②是随机事件，④是必然事件，③是不可能事件．8. 0.225解析：设A、B、C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A、B、C 彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.设D表示军火库爆炸，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所以军火库爆炸的概率为0.225.9. 19解析：两数之和共有如下图所示36种情况.其中和为7的有4种情况，因此所求事件的概率为436＝19.10.解：(1)球的标号数不大于3包括三种情形，即球的标号数分别为1,2,3.P (A )＝P (球的标号数为1)＋P (球的标号数为2)＋ P (球的标号数为3)＝110＋110＋110＝310.(2)球的标号数是3的倍数包括球的标号数为3,6,9三种情况，P (B )＝110＋110＋110＝310.(3)球的标号数为素数包括四种情况，即球的标号为2, 3,5,7，P (C )＝110＋110＋110＋110＝410＝25. 11.解：法一：设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A ，“不到4年达到要求”为事件B ，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A ＋B ，显然A 与B 是互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.法二：设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M ，则M 为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P (M )＝1－P (M )＝1－0.21＝0.79.12.解：(1)每枚骰子出现的点数都有6种情况， 所以基本事件总数为6×6＝36个．记“点P (x ，y )在直线y ＝x －1上”为事件A ，A 有5个基本事件：A ＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}，∴P (A )＝536. (2)记“点P (x ，y )满足y 2＜4x ”为事件B ，则事件B 有17个基本事件： 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1,2； 当x ＝3时，y ＝1,2,3；当x ＝4时，y ＝1,2,3； 当x ＝5时，y ＝1,2,3,4；当x ＝6时，y ＝1,2,3,4. ∴P (B )＝1736. 【拓展提高参考答案】1.解：（1）不返回抽样,P （A ）=310281312A A C C =157, (与顺序有关),或1228310715C C C = (与顺序无关) P （B ）=3102912A A C =51. （2）返回抽样,P （A ）=C 13102（108）2=12548, P （B ）=32121010C ⨯= 51. 2.解：随意贴上的标签等于没贴标签,从10桶油漆中随意取.P （A ）=610122335C C C C =72.。

1．概率和频率(1) 在相同的条件S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称n 次试验中事件 A 出现的次数n A为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 f n(A)＝nn A为事件 A 出现的频率．(2) 对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件B? A( 或 A? B) B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)相等关系若 B? A 且 A? B A＝B并事件若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，A∪ B( 或 A＋ B) (和事件 ) 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 (或和事件 )交事件若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，A∩B(或 AB) (积事件 ) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 )互斥事件若 A∩ B 为不可能事件 (A∩ B＝ ?)，则称事件 A 与事A∩B＝ ? 件 B 互斥对立事件若 A∩ B 为不可能事件， A∪ B 为必然事件，那么称P(A)＋P(B)＝ 1 事件 A 与事件 B 互为对立事件(1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤ 1.(2)必然事件的概率 P(E)＝1.(3)不可能事件的概率 P( F)＝ 0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)．(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则P(A) ＝ 1－ P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√”或“×”)(1) 事件发生频率与概率是相同的．( )(2) 随机事件和随机试验是一回事．( )(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )(5) 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．①至多有一次中靶②两次都中靶③只有一次中靶④两次都不中靶2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]( 单位： cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为 ________．3． (2015 ·北改编湖 )我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 14．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100 件，必有10 件是次品；②做7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．5． (教材改编 ) 袋中装有9 个白球， 2 个红球，从中任取 3 个球，则①恰有 1 个红球和全是白球；②至少有 1 个红球和全是白球；③至少有 1 个红球和至少有 2 个白球；④至少有 1 个白球和至少有 1 个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．题型一事件关系的判断例 1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报纸”，事件 B 为“至少订一种报纸”，事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“不订甲报纸”，事件 E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选2 名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1 名男生和恰有2 名男生；②至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；③至少有 1 名男生和全是女生．题型二随机事件的频率与概率例2 (2015 ·北京 ) 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整商品甲乙丙丁顾客人数100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？思维升华(1) 概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902m优等品频率n(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率命题点 1 互斥事件的概率1，得例 3 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是35 ，得到黄球或绿球的概率也是 5 ，试求得到黑球、黄球到黑球或黄球的概率是和绿球的概率各是多1212少？命题点 2对立事件的概率例 4某商场有奖销售中，购满100元商品得 1 张奖券，多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、 B、C，求：(1) P(A)，P(B)， P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝ 1－ P( A )求解．当题目涉及“ 至多”“ 至少” 型问题时，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～ 10 环的概率如下表所示：命中环数10 环9 环8 环7 环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中 9 环或 10 环的概率；(2)命中不足 8 环的概率．21．用正难则反思想求互斥事件的概率专注·专业·口碑·极致- 5 -物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 .一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数 (人 ) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占 55%.(1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．(将频率视为概率)．．．思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“ 正难则反”思想求解．温馨提醒(1) 要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示 (1) 对统计表的信息不理解，错求 x， y，难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．[方法与技巧 ]1．对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 f n (A)来估计概率 P(A)．2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．[失误与防范 ]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“ 至多,,”“至少,,”“不少于,,”等语句的含义．A 组专项基础训练( 时间： 45 分钟 )则事件 M 与 N 互为对立事件；②若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 A 与 B 为互斥事件；③若事件A 与B 为互斥事件，则事件 A 与 B 互为对立事件；④若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件A∪ B 为必然事件，其中，真命题是________．112 2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为7，都是白子的概率是35，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是________．3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝ { 抽到一等品 } ，事件 B＝ { 抽到二等品 } ，事件 C＝ { 抽到三等品 } ，且已知 P(A)＝ 0.65， P(B)＝ 0.2 ， P(C)＝ 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为__________ ．4．从存放的号码分别为1,2,3 ， , ， 10 的卡片的盒子中，有放回地取100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到次数13 8 5 7 6 13 18 10 11 9则取到号码为奇数的卡片的频率是________．5．对一批产品的长度(单位：毫米 )进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25) 上的为一等品，在区间 [15,20) 和[25,30) 上的为二等品，在区间 [10,15) 和 [30,35) 上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．6．在 200 件产品中，有192 件一级品， 8 件二级品，则下列事件：①在这 200 件产品中任意选出9 件，全部是一级品；②在这 200 件产品中任意选出9 件，全部是二级品；③在这 200 件产品中任意选出9 件，不全是二级品．其中 ________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．7．已知某运每次投命中的概率都40%，采用随机模的方法估运三次投恰有两次命中的概率：先由算器生0 到 9 之取整数的随机数，指定1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数一，代表三次投的果．随机模生了如下20 随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估，运三次投恰有两次命中的概率________．8．若随机事件A，B 互斥， A， B 生的概率均不等于0，且 P(A) ＝2－ a， P(B)＝ 4a－ 5，数 a 的取范是 _____________．9．(2014 ·西 )某保公司利用随机抽方法，投保行抽，本中每的付果如下：付金 (元 ) 0 1 000 2 000 3 000 4 000数 ( ) 500 130 100 150 120(1)若每的投保金均 2 800 元，估付金大于投保金的概率；(2)在本中，主是新司机的占10%，在付金 4 000 元的本中，主是新司机的占20%，估在已投保中，新司机金 4 000 元的概率．10．从某学校的800 名男生中随机抽取50 名量其身高，被学生身高全部介于155 cm 和 195 cm 之，将量果按如下方式分：第一[155,160) ，第二 [160,165) ，⋯，第八 [190,195] ，如是按上述分方法得到的率分布直方的一部分，已知第一与第八人数相同，第六的人数 4.(1)求第七组的频率；(2) 估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上 (含 180 cm)的人数；(3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x， y，事件 E ＝{| x－ y|≤5} ，事件 F ＝ {| x－ y|>15} ，求 P(E∪ F)．B 组专项能力提升( 时间： 25 分钟 )11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A， B，C， D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是 ______________．①A＋ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件；② B＋ C 与 D 是互斥事件，也是对立事件；③ A＋ C 与 B＋ D 是互斥事件，但不是对立事件；④ A 与 B＋ C＋ D 是互斥事件，也是对立事件．12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．13．若 A，B 互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4，P( B)＝1，且 x>0 ，y>0，则 x＋y 的最小值为 ________．x y14.如图， A 地到火车站共有两条路径L1和 L 2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间 /分钟10～ 20 20～30 30～ 40 40～50 50～ 60选择 L 1的人数 6 12 18 12 12选择 L 2的人数0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L 1和 L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．15． (2015 ·西陕 ) 随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415 天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．专注·专业·口碑·极致- 10 -。

2012 届高考数学第一轮基础知识点复习教学设计 : 概率与统计第十二编概率与统计§12.1 随机事件的概率1.以下说法不正确的有 .①某事件发生的频次为P（A） =1.1②不行能事件的概率为0，必定事件的概率为 1③小概率事件就是不行能发生的事件，大体率事件就是必定发生的事件④某事件发生的概率是跟着试验次数的变化而变化的答案①③④2. 给出以下三个命题，此中正确命题有个.①有一大量产品，已知次品率为10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；②做7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，所以正面出现的概率是；③随机事件发生的频次就是这个随机事件发生的概率.答案03.已知某台纺纱机在 1 小时内发生0 次、1 次、2 次断头的概率分别是0.8 ，0.12 ， 0.05 ，则这台纺纱机在 1 小时内断头不超出两次的概率和断头超出两次的概率分别为，.答案4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是, 乙获胜的概率是，则乙不输的概率是.答案5.投掷一粒骰子，察看掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2 点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或 2 点的概率之和为 .答事例 1 盒中仅有 4 只白球 5 只黑球，从中随意拿出一只球 .（ 1）“拿出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（ 2）“拿出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“拿出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解（ 1）“拿出的球是黄球”在题设条件下根本不行能发生，所以它是不行能事件，其概率为0.（2）“拿出的球是白球”是随机事件，它的概率是.（3）“拿出的球是白球或黑球”在题设条件下必定要发生，所以它是必定事件，它的概率是1.例 2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果以下表所示：射击次数击中 10 环次数击中 10 环频次（ 1）计算表中击中10 环的各个频次；（ 2）这位射击运动员射击一次，击中10 环的概率为多少？0.89 解（ 1）击中 10 环的频次挨次为0.8 ，0.95 ，0.88 ，0.93， 0.906.（ 2）这位射击运动员射击一次，击中10 环的概率约是，0.9.例 3（ 14 分）国家射击队的某队员射击一次，命中10 环的概率以下表所示：7～命中环数 10环 9环 8环 7环概率求该射击队员射击一次（1）射中 9 环或 10 环的概率；（2）起码命中 8 环的概率；（3）命中不足 8 环的概率 .解记事件“射击一次，命中环”为 A（∈ N，≤ 10），则事件 A 相互互斥 .2 分（ 1）记“射击一次，射中9 环或 10 环”为事件A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得P（A） =P（ A9） +P（ A10） =0.32+0.28=0.60.5 分（2）设“射击一次，起码命中 8 环”的事件为 B，那么当 A8， A9， A10 之一发生时，事件 B 发生 . 由互斥事件概率的加法公式得P （B） =P（ A8） +P（ A9） +P（ A10）分（ 3）因为事件“射击一次，命中不足8 环”是事件B：“射击一次，起码命中 8 环”的对峙事件：即表示事件“射击一次，命中不足 8 环”，依据对峙事件的概率公式得P （） =1-P （B）分1.在 12 件瓷器中，有 10 件一级品， 2 件二级品，从中任取 3件.(1)“ 3 件都是二级品”是什么事件？（2）“ 3 件都是一级品”是什么事件？（3）“起码有一件是一级品”是什么事件？解（ 1）因为 12 件瓷器中，只有 2 件二级品，拿出 3 件都是二级品是不行能发生的，故是不行能事件.（2）“ 3 件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件 .★精选文档★（ 3）“起码有一件是一级品”是必定事件，因为12 件瓷器中只有 2 件二级品，取三件必有一级品 .2.某公司生产的乒乓球被 08 年北京奥委会指定为乒乓球竞赛专用球 . 日前相关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果以下表所示：抽取球数优等品数优等品频次（1）计算表中乒乓球优等品的频次；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保存到小数点后三位）解（ 1）依照公式 p=，能够计算出表中乒乓球优等品的频次挨次是0.900 ， 0.920 ， 0.970 ， 0.940 ， 0.954 ，0.951.（ 2）由（ 1）知，抽取的球数n 不一样，计算获得的频次值固然不一样，但跟着抽取球数的增加，却都在常数0.950 的邻近摇动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.3. 玻璃球盒中装有各色球12 只，此中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中取 1 球，求：（ 1）红或黑的概率；（ 2）红或黑或白的概率.★精选文档★解方法一记事件 A1：从12 只球中任取 1 球得红球；A2 ：从 12 只球中任取 1 球得黑球；A3 ：从 12 只球中任取 1 球得白球；A4 ：从 12 只球中任取 1 球得绿球，则P （A1） =， P（ A2） =，P（ A3） =， P（ A4）=.依据题意， A1、 A2、 A3、 A4 相互互斥，由互斥事件概率加法公式得（ 1）拿出红球或黑球的概率为P （A1+A2） =P（ A1） +P（ A2） =+=.（ 2）拿出红或黑或白球的概率为P （A1+A2+A3）=P（ A1） +P（ A2）+P（ A3）=++=.方法二（ 1）拿出红球或黑球的对峙事件为拿出白球或绿球，即A1+A2的对峙事件为A3+A4，∴拿出红球或黑球的概率为P （A1+A2） =1-P（ A3+A4） =1-P （A3） -P （A4）=1--==.（2） A1+A2+A3的对峙事件为 A4.P （A1+A2+A3）=1-P （A4） =1-=.一、填空题1. 在一个袋子中装有分别标明数字1， 2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标明的数字外完整同样. 现从中随机取出 2 个小球，则拿出的小球标明的数字之和为 3 或 6 的概率是 .答案2.某参军新兵的打靶练习中，连续射击 2 次，则事件“至罕有 1 次中靶”的互斥事件是（写出一个即可）.答案 2 次都不中靶3.甲:A1 、 A2 是互斥事件；乙： A1、A2 是对峙事件，那么甲是乙的条件 .答案必需不充足4.将一颗质地平均的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2， 3， 4， 5， 6 的正方体玩具）先后投掷 3 次，起码出现一次 6 点向上的概率是.答案5.一个口袋内装有一些大小和形状都同样的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3 ，摸出白球的概率是0.5 ，则摸出黑球的概率是.答案0.26.在第 3、 6、 16 路公共汽车的一个停靠站（假设这个车站只好停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在 5 分钟以内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里，已知 3 路车、6 路车在 5 分钟以内到此车站的概率分别为0.20和 0.60 ，则该乘客在 5 分钟内能乘上所需要的车的概率为.答案 0.807.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打竞赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案8. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是 90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为.答案 50%二、解答题9. 某射手在一次射击训练中，射中10 环、 9 环、 8 环、7 环的概率分别为0.21 、0.23 、0.25 、0.28 ，计算这个射手在一次射击中：（1）射中 10 环或 9 环的概率；（2）不够 7 环的概率 .解（ 1）设“射中10 环”为事件A，“射中 9 环”为事件B，因为 A， B 互斥，则P（A+B） =P（A） +P（B） =0.21+0.23=0.44.（2）设“少于 7 环”为事件 c，则P （c） =1-P （）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率以下：医生人数 012345 人及以上概率求：（ 1）派出医生至多 2 人的概率；（ 2）派出医生起码 2 人的概率 .解记事件 A：“不派出医生” ，事件 B：“派出 1 名医生”，事件 c：“派出 2 名医生”，事件 D：“派出 3 名医生”，事件 E：“派出 4 名医生”，事件 F：“派出许多于 5 名医生” . ∵事件 A， B， c ，D， E， F 相互互斥，且 P（ A）=0.1 ， P（ B） =0.16 ， P（ c） =0.3 ，P（D） =0.2 ，P（ E） =0.2 ， P（ F） =0.04.（1）“派出医生至多 2 人”的概率为P （A+B+c） =P（ A） +P（ B） +P（c）=0.1+0.16+0.3=0.56.（ 2）“派出医生起码 2 人”的概率为P （c+D+E+F）=P（ c）+P（ D） +P（ E） +P（ F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或 1-P （A+B） =1-0.1-0.16=0.74.11.投掷一个平均的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、 3、 4、 5、 6），事件 A 表示“向上一面的数是奇数”，事件 B 表示“向上一面的数不超出 3”，求 P（ A+B） .解方法一因为 A+B的意义是事件 A 发生或事件 B 发生，所以一次试验中只需出现 1、2、3、5 四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的全部可能结果为 6 个，所以（P A+B）==.方法二记事件 c 为“向上一面的数为2”，则 A+B=A+c，且 A 与 c 互斥 .又因为 P（ c） =，P（ A） =，所以 P（A+B） =P（A+c） =P（ A） +P（c）=+=.方法三记事件 D 为“向上一面的数为 4 或 6”，则事件 D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B不发生 . 又事件A+B发生即事件 A 发生或事件 B 发生时，事件 D不发生，所以事件 A+B与事件 D 为对峙事件 .因为 P（D） ==，所以 P（A+B） =1-P（ D） =1-=.12.袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，获得红球的概率为，获得黑球或黄球的概率是，获得黄球或绿球的概率是，试求获得黑球、黄球、绿球的概率各是多少？★精选文档★解分别记获得红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、c、D. 因为 A、 B、c、 D 为互斥事件，依据已知获得解得 .∴获得黑球、黄球、绿球的概率各是，， .2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创11/11。