2018年人教A版数学必修2-2 第1章 1.1.3 导数的几何意义 学业分层测评

1.1.3 导数的几何意义目标定位 1.了解导函数的概念以及导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念以及导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的思想方法.自 主 预 习1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线 ，此割线的斜率是Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线.于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.即 时 自 测1.思考题(1)曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？提示不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.(2)曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？提示曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点.2.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交答案 B3.若函数f(x)在点A(1，－1)处的导数为－2，则函数在A处的切线方程为________. 解析由题意，函数在点A处的切线斜率k＝－2，则切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.答案2x＋y－1＝04.函数f(x)＝x2的导数f′(x)＝________.解析可利用导数定义求f(x)＝x2在x＝x0处的导数，再把x0换成x即可.答案2x类型一 过曲线上一点的切线方程【例1】 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）3＋3a （x ＋Δx ）－x 3－3axΔx＝0lim x ∆→ 3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3＋3a ΔxΔx ＝0lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎨⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝limΔy Δx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.【训练1】 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程. 解 因为0lim x ∆→ f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝0lim x ∆→ 12＋Δx －12Δx＝0lim x ∆→－12（2＋Δx ）＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.类型二 过曲线外一点的切线方程【例2】 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3，9)的切线方程.解 y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ [2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝0lim x ∆→ (4x ＋2Δx )＝4x .(1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5). (2)由于点P (3，9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25). 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 【训练2】 已知曲线y ＝13x 3＋43，求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，由导数定义可求得切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，即x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 类型三 切点坐标(互动探究)【例3】 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角. [思路探究]探究点一 曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么关系？ 提示 切线的斜率与该点的导数相等.探究点二 切点的坐标满足切线方程吗？是否也满足曲线的方程？ 提示 切点的坐标同时满足切线方程与曲线的方程.解 f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2，4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点.(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点.规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系.【训练3】 已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵f ′(x )＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3).当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，解得a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；当a ＝－5时，切点坐标为(2，3). [课堂小结]1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8D.2解析 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝0lim x ∆→ 2（2＋Δx ）2－8Δx ＝0lim x ∆→ (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 答案 C2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝0lim x ∆→ （0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________.解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3， ∴P (3，30). 答案 (3，30)4.求曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程.解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x 上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的导数.而f ′(－2)＝0lim x ∆→ f （－2＋Δx ）－f （－2）Δx ＝0lim x ∆→ 2－2＋Δx ＋1Δx ＝0lim x ∆→1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.基 础 过 关1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0. 答案 C 2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ). 答案 B3.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A.(0，0) B.(2，4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析 ∵y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x ，∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.答案 D4.已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则a ＝________，b ＝________. 解析 0lim x ∆→ a （1＋Δx ）2－aΔx ＝0lim x ∆→ (a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，所以a ＝1，又3＝a ×12＋b ，所以b ＝2. 答案 1 25.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析 由在M 点的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案 36.求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程.解 由题得y ′＝0lim x ∆→ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －（x ＋Δx －x ）Δx ＝0lim x ∆→ －Δx x （x ＋Δx ）－Δxx ＋Δx ＋xΔx ＝0lim x ∆→ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x （x ＋Δx ）－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x.所以y ′|x ＝4＝－116－14＝－516，所以曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为y ＋74＝ －516(x －4).即5x ＋16y ＋8＝0.7.求过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线. 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝0lim x ∆→ 3（1＋Δx ）2－4（1＋Δx ）＋2－3＋4－2Δx＝0lim x ∆→ (3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1，2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.8.已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程.解 (1) 由⎩⎨⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13).(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋4－（x 2＋4）Δx＝0lim x ∆→ （Δx ）2＋2x ·Δx Δx＝0lim x ∆→ (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6.∴在点(－2，8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3，13)处的切线方程为6x －y －5＝0.能 力 提 升9.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A.1B.12C.－12D.－1解析 ∵y ′|x ＝1＝0lim x ∆→ a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝0lim x ∆→ (2a ＋a Δx )＝2a . ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.答案 A10.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝()A.2B.3C.4D.5解析 易得切点P (5，3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.答案 A11.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则切线方程是________，a ＝________.解析 因为y ＝x ＋1x －1， 所以y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）＋1（x ＋Δx ）－1－x ＋1x －1Δx ＝－2（x －1）2， 所以y ′|x ＝3＝－12，所以切线方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.又因为切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，故－a ＝2，解得a ＝－2.答案 x ＋2y －7＝0 －212.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________. 解析 ∵f ′(x )＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）＋3－（x 2＋2x ＋3）Δx＝0lim x ∆→ （2x ＋2）·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 13.设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.探 究 创 新14.已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1，1).∵f ′(x 0)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）3－x 30Δx＝0lim x ∆→ 3x 20Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝0lim x ∆→[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝3（x －1）＋1，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8).说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.。