【高二数学期末试题】吉林省长春市2013-2014学年高二上学期期末调研测试数学理试题

学校 姓名 联考证号2013-2014学年高二上学期期末联考数学（理）试题注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题5分,共60分) 1. 已知}3,2,1{=A ,}43,1{，=B ,则A ∩=B A.}1{B.}3,1{C.}3{D.}3,2,1{2. 直线012=+-y x 与直线012=++y ax 的垂直,则=aA.1B.1-C. 4D.4-3. 已知两个不同的平面βα、和两条不重合的直线n m 、,有下列四个命题:(1)若m //n ,α⊥m ,则α⊥n ; (2)若α⊥m ,β⊥m ,则α//β; (3)若α⊥m ,β⊂m ,则βα⊥; (4)若m //α,n //α,则m //n . 其中正确命题的个数是 A.1个B.2个C.3个D.4个4. 到两坐标轴距离之和为6的点的轨迹方程是A.0=+y xB.6||=+y xC.6=±y xD.6||||=+y x5. 程序框图如右图所示,其输出的结果是A.67B.66C.65D.646. “1=k ”是“直线0=+-k y x 与圆122=+y x 相交”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知3cos 5α=,则cos2α的值为A.2425-B.725-C.725D.24258. 若PQ 是圆922=+y x 的弦,PQ 的中点是)2,1(M ,则直线PQ 的方程是 A.032=-+y x B.052=-+y x C.042=+-y x D.02=-y x 9. 正方体1111D C B A ABCD -中,下列四个判断: (1)C B AD 11⊥ (2)AC ∥平面11BC A (3)1BC ⊥平面CD B A 11 (4)直线1CD 与1BC 相交. 其中判断错误．．的序号是 A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)10.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.1 B.2C.31 D.3211.已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆07922=--+x y x 相切,则=p A.21B.1C.2D.4 12. 已知函数24)(x x f --=,则函数x x f x g -=)()(的零点个数为 A. 0 B.1 C.2 D.3二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 在区间]2,3[-上随机取一个数,x 则1||≤x 的概率是___________.14. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x,则=)]1([f f ___________.15. 已知双曲线)0(13222>=-a y ax 的渐近线方程为,3x y ±=则该双曲线的离心率为___________.16. 已知球的表面积为π3,则其内接正方体的棱长为_________.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分10分)命题:p 函数xa y )22(+=是增函数. 命题,:R x q ∈∀222+-≤x x a 成立，若q p ∧为真命题,求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c .(1) 若31cos =A , 求)3sin(π+A 的值; (2) 若2=c ,3π=C ,且ABC △的面积3=S ,求b a +的值.19. (本小题满分12分)如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为2的 正方形,CD PD BC PB ⊥⊥,,且2=PA ,E 为PD 中点. (1) 求证:⊥PA 平面ABCD ; (2) 求二面角D AC E --的余弦值.20. (本小题满分12分)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且225,5153==S a . (1) 求数列}{n a 的通项公式; (2) 设,221n a n a b n +=+求数列}{n b 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)已知圆心在x 轴上的圆C 关于直线012:=+-y x l 对称,且与y 轴相切. (1) 求圆C 的方程;(2) 若圆C 与圆:)0(0542222>=-+--+a a y x y x 外切,求a 的值; (3) 过原点的直线与圆C 相交于B A 、两点,若3||=AB ,求直线的方程.22. (本小题满分12分)已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线y x 242-=的焦点是它的一个焦点,又点)2,1(A 在该椭圆上. (1) 求椭圆E 的方程;(2) 若斜率为2直线与椭圆E 交于不同的两点C B 、,当ABC ∆的面积为2时,求直线的方程.高二数学（理科B类）双向细目表。

吉林市田家炳高级中学2022-2023学年上学期高二年级期末考试数学学科试卷(满分:150分考试时间:120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列{}n a 是等比数列，且22a =，3564a a =，则公比q =（）AB ．2或2-C ．2-D2.已知直线()13210：＝+++mx m y l ，直线()()22220l m x m y +++﹣＝:，且12l l //，则m 的值为（）A ．2﹣B ．1﹣C ．-2或-1D ．23.已知直线30-+=x m 和圆22650+-+=x y x 相交，则实数m 的取值范围为（）A.(),3∞-- B.()3,1- C.[]3,1- D.()1,∞+4.在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，N n +∈，则n a =（）A ．21n a n =+B ．21n n a n =+C ．12n n a n+=D ．221n n a n +=+5．已知12F F 、为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F M F ∠= ，则椭圆的离心率为（）A ．12B．2CD6.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为（）A.B.C.2D.37.已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．[)2,∞+B ．()1,2C ．()2,∞+D ．(]1,28.在直角坐标系内，已知()3,3A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆C 上存在点P ，使得90MPN ∠= ，其中点(,0)-M m 、(,0)N m ，则m 的最大值()A.7B.6C.5D.4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3B.过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-C.经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D.已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322k -≤≤10.设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7＜S 8，S 8＝S 9＞S 10，则下列结论正确的是（）A ．d ＜0B ．a 9＝0C ．S 11＞S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值11.下列结论正确的是（）A.若圆1C ：222310x y x y ++++=，圆2C ：224320x y x y ++++=，则圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程是12x =-B.圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离都等于1C.曲线1C ：2220x y x ++=与曲线2C ：22480x y x y m +--+=恰有三条公切线，则m ＝3D.若实数x ，y 满足2220x y x ++=，则1y x -12.双曲线C 的方程为2212y x -=，左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点A ，B ，使得190F AB ∠=︒，则（）A.21AF =+ B.点A 的横坐标为153C.直线AB 的斜率为3+52或32+- D.1ABF 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的上、下焦点分别为1(0,4)F ，2(0,4)F -，P 是双曲线上一点且126PF PF -=，则双曲线的标准方程为_________.14.过点(1,2)P 且与⊙C ：226430x y x y ++--=相切的直线方程为_______________15.已知数列{}n a 满足134a =，121n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和100S =______．16.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，P 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为1212π,,3e e F PF ∠=，且2e ∈，则1e 的最小值为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，91027,40S S =-=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上，点A(1,6)、点B(1,0)均在圆C 上.（1）求圆C 的方程；（2）由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形PACB 面积的最小值．19.（12分）已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.20.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6324,21==+n n S S a a .数列{}n b 的前n 项和n T 满足*1122,2,且+=+=∈n n b T b n N (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设=nn n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n H .21.（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A 、B （A 在第一象限），与x 轴的交点为P ．如图（1）若AF BF+=5，求l 的方程；（2）若4133=AB ，求PA PB22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>四边形面积为(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点F 为E 的右焦点，()2,0A -，直线l 交E 于P ，Q （均不与点A 重合）两点，直线,,l AP AQ 的斜率分别为12k k k ，，，若1230kk kk ++=，求△FPQ 的周长.吉林市田家炳高级中学2022-2023学年上学期高二年级期末考试数学学科试卷(满分:150分考试时间:120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列{}n a 是等比数列，且22a =，3564a a =，则公比q =（）AB ．2或2-C ．2-D【答案】B【详解】因为等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q-=⋅所以21a a q =⋅,231a a q =⋅，231a a q =⋅又因为22a =，3564a a =即()()12431111264a q a q a q a q q a q q =⎧⎨⋅=⋅⋅=⎩所以2q =±.故选：B2.已知直线()13210l mx m y +++：＝，直线()()22220l m x m y +++﹣＝:，且12l l //，则m 的值为（）A ．2﹣B ．1﹣C ．-2或-1D ．2【答案】C3.已知直线30-+=x m 和圆22650+-+=x y x 相交，则实数m 的取值范围为（）A.(),3∞-- B.()3,1- C.[]3,1- D.()1,∞+【答案】B 【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.【详解】圆22650+-+=x y x 可化为22(3)4x y -+=，圆心为(3,0)，半径为2圆心到直线的距离3313m d m+==+由直线与圆相交可知12m +<，解得31m -<<所以实数m 的取值范围为()3,1-故选：B4.在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，N n +∈，则n a =（）A ．21n a n =+B ．21n n a n =+C ．12n n a n+=D ．221n n a n +=+【答案】A 【分析】对122n n n a a a +=+变形可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a =为首项，公差为12的等差数列，即可得解.【详解】在{}n a 中，11a =，由122n n n a a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a =为首项，公差为12的等差数列，所以1111(1)22n n n a +=+-⋅=，所以21n a n =+，故选：A.5．已知12F F 、为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠= ，则椭圆的离心率为（）A ．12BCD．25．C【分析】在直角21MF F 中，由12tan F MF ∠得到,,a b c 的等量关系，结合222a b c =+计算即可得到离心率.【详解】由已知1260F MF ∠= ，得2130MF F ∠=，则21tan 3MF F ∠=,又在椭圆中通径的长度为21M b F a=，12 2F F c =，故212112M tan 2b F a MF F F F c ∠==即22122222a c a c ac c a e e -=-=-解得e 故选：C6.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得.【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为=1x -,如图:过点P 作准线=1x -的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x =代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=.故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.7.．已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．[)2,∞+B ．()1,2C ．()2,∞+D ．(]1,2【答案】A【解析】根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求得结果.【详解】己知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的右焦点为F ，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴3b a ≥22224a b e a +=≥，∴2≥e .故选：A.8.在直角坐标系内，已知()3,3A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆C 上存在点P ，使得90MPN ∠= ，其中点(,0)-M m 、(,0)N m ，则m 的最大值为A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B 【解析】【详解】由题意，33A ∴（，）是C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，∴圆上不相同的两点为B 244433D A BA DA BD ⊥∴ （，，），（，），（，），的中点为圆心34C （，），半径为1，C \e 的方程为22341x y -+-=（）（）．过P M N ，，的圆的方程为222x y m +=，∴两圆外切时，m 的最大值为16=，故选B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3B.过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-C.经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D.已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B 选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C 选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D 选项计算出端点值后，由线段MN 与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A 选项，直线方程变形为(25)2370x y m x y +-+-+=，令2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y ==，即原直线必过定点(1,3)，A 正确；B 选项，当直线l 过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l 的方程为320x y -=，B 不正确；C 选项，当π2θ=时，tan θ无意义，故C 不正确；D 选项，直线10kx y k ---=经过定点(1,1)-，当直线经过M 时，斜率为1(1)1312k --==---，当直线经过N 点时，斜率为2(1)3312k --==-，由于线段MN 与y 轴相交，故实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥，D 不正确.故选：BCD.10.设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7＜S 8，S 8＝S 9＞S 10，则下列结论正确的是（）A ．d ＜0B ．a 9＝0C ．S 11＞S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值11.下列结论正确的是（）A.若圆1C ：222310x y x y ++++=，圆2C ：224320x y x y ++++=，则圆1C 与圆2C的公共弦所在直线的方程是12x =-B.圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离都等于1C.曲线1C ：2220x y x ++=与曲线2C ：22480x y x y m +--+=恰有三条公切线，则m ＝3D.若实数x ，y 满足2220x y x ++=，则1y x -【答案】ABD 【解析】【分析】将两圆的方程相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程，进而判断选项A ；根据直线与圆心的距离与半径的大小关系即可判断选项B ；根据两圆的的位置关系即可判断选项C ；结合圆上动点到定直线距离的最值即可判断选项D.【详解】对于A ，显然两圆相交，且两方程相减可得：210x +=，也即12x =-，故选项A 正确；对于B ，圆224x y +=的圆心到直线l ：0x y -=的距离112d r ===，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离都等于1，故选项B 正确；对于C ，曲线1C ：2220x y x ++=可化为22(1)1x y ++=，曲线2C ：22480x y x y m +--+=可化为22(2)+(4)20x y m --=-，若曲线2C 表示圆，则有20m <，因为曲线1C ：2220x y x ++=与曲线2C ：22480x y x y m +--+=恰有三条公切线，所以两圆相外切，则1251C C ==+，解得：4m =，满足20m <，故选项C 错误；对于D，当直线kx y k 0--=与圆2220x y x ++=相切时，圆心()–1,0C 到该直线的距离d r =，即211k =+，可得231k =，解得33k =，所以33133y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -最大值为33，最小值为33-故选：ABD12.双曲线C 的方程为2212y x -=，左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点A ，B ，使得190F AB ∠=︒，则（）A.251AF =+ B.点A 的横坐标为153C.直线AB 的斜率为3+52或352+- D.1ABF 51【答案】BCD 【解析】【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出1AF 、2AF ，即可判断A ，再由等面积法求出A y ，代入双曲线方程求出A x ，即可判断B ，再求出直线的斜率，即可判断C ，利用等面积法求出内切圆的半径，即可判断D ；【详解】解：如图所示，由题意知12122221212=2=2=23+=AF AF a F F c AF AF F F ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得12=5+1=51AF AF ⎧⎪⎨-⎪⎩，故A不正确；在12Rt AF F △中，由等面积法知12121122A AF AF F F y =，解得3A y =，代入双曲线方程得225123A Ay x =+=，又因为点A在双曲右支上，故3A x =，故B 正确；由图知121213tan 2AF AF k AF F AF =∠===，132AB AFk k +=-=-，由对称性可知，若点A在第四象限，则32AB k =，故C 正确；1ABF 的内切圆半径()1112r AF AB BF =+-()122111112)122AF AF BF BF =++-=+--=-，故D正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的上、下焦点分别为1(0,4)F ，2(0,4)F -，P 是双曲线上一点且126PF PF -=，则双曲线的标准方程为___________【解析】【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到3a =，得到27b =，求出双曲线方程.【详解】由题意得：双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为22221y xa b-=，1226PF PF a -==，故3a =，又4c =，故2221697b c a =-=-=，故双曲线的标准方程为：22197y x -=.14.过点(1,2)P 且与⊙C ：226430x y x y ++--=相切的直线方程为_______________【答案】x=115.已知数列{}n a 满足134a =，121n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和100S =______．16.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为1212π,,3e e F PF ∠=，且2e ∈，则1e 的最小值为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，91027,40S S =-=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）设{}n a 公差为d ，由91027,40S S =-=-得，1198927210910402a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，……….2分解得152a d =⎧⎨=-⎩，................4分∴52(1)72n a n n =--=-；................5分（2）由2n n n b a =+得722nn b n =-+，∴1212(12)(1)5(2)22622122n n n n n n n T S n n n ++--=+=⨯+⨯-+-=-++--.............10分18．（12分）已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上，点A(1,6)、点B(1,0)均在圆C 上.（1）求圆C 的方程；（2）由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形PACB 面积的最小值．【答案】【解析】（1）圆C 的方程为()()22139x y -+-=.求出圆心给3分，求出圆的方程给6分（2）由（1）得，圆C 的圆心为()1,3C ，半径=3r，PACB S PA r r =⋅=，所以当PC 最小时，PACB S 最小..............8分()1,3C 到直线40x y ++=的距离为=............10分所以PC的最小值为，所以四边形PACB3=.............12分19.（12分）已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分3线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.【详解】（1）由题可知，1PF PQ=则122212422PF PF PQ PF QF F F +=+==>=............3分由椭圆定义知P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，且长轴长为4的椭圆，............4分∴21a c ==，，∴2223b ac =-=∴P 的轨迹方程为C ：22143x y +=...........6分（2）设1122,,()()M x y N x y ，,∵M N ，都在椭圆22+143x y=上，∴2211+143x y =，2222+143x y =，相减可得12121212()()()()+043x x x x y y y y -+-+=，又MN 中点为()1,1，∴12122,2x x y y +=+=，∴121234y y x x -=--，即直线l 的斜率为34-，......................9分∴直线l 的方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=,...........11分因为点()1,1在椭圆内，所以直线3470x y +-=与椭圆相交于两点，满足条件.故直线l 的方程为3470x y +-=.......................12分（或者联立方程组后用Δ说明）20.（12分）20.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6324,21==+n n S S a a .数列{}n b 的前n 项和n T 满足*1122,2,且+=+=∈n n b T b n N (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设=nn n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n H .【详解】（1）设等差数列的公差为d ，依题意，()*6324,21n n S S a a n ==+∈N ，则2121a a =+所以()111161543321a d a d a d a ⎧+=+⎨+=+⎩，解得1a 1,d 2==，...............2分所以21n a n =-...............4分因为122,+=+n n b T 所以-122,=+n n b T 则13,2+=≥n nb n b ...............6分又211226,2=+==b b b 则*13,+=∈n nb n N b ，...............7分所以数列{}n b 是以2为首项，以3为公比的等比数列所以123-= n n b ...............8分（2）错位相减法H n =（2n-2）3^n+2.............12分21.（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．如图（1）若AF BF+=5，求l 的方程；（2）若4133=AB ，求PA PB【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+．（1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1272+=x x ．..............2分由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．..............4分从而()121792--=t ，得138=-t ．所以l 的方程为31328=-y x ．..............6分（2）由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．y y t =-122因为||3AB =．所以t =-32..............9分可解得,y y ==-1231..............11分PA PB=31.....................12分22（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点F 为E 的右焦点，()2,0A -，直线l 交E 于P ，Q （均不与点A 重合）两点，直线,,l AP AQ 的斜率分别为12k k k ，，，若1230kk kk ++=，求△FPQ 的周长【详解】（1）因为椭圆的离心率为1212=，故2b a =，因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为1222a b ⨯⨯=所以=ab2,a b ==，故椭圆方程为：22143x y +=....................4分（2）设直线:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2223484120k x kmx m +++-=，故()()22222264434412144481920k m k m m k ∆=-+-=-+>，整理得到22340m k -+>，21212224128,3434m kmx x x x k k--=+=++，.............7分因为1112y k x =+，2222y k x =+，故12121212122222y y kx m kx m k k x x x x +++=+=+++++，故()()()()()()()12211212223322kx m x kx m x k k k kx x +++++++=+++.()()121212122(2)4324kx x k m x x mkx x x x ++++=++++故()2221222241282(2)43434334128243434m km k k m m k k k k k km kmk k --⨯++⨯+++++=+--+⨯+++22()(2)041616m k m k m km k --==-+，.............10分故m k =或2m k =，此时均满足0∆>.若2m k =，则直线:2l y kx k =+，此时直线恒过()2,0-，与题设矛盾，若m k =，则直线:l y kx k =+，此时直线恒过()1,0-，而()1,0-为椭圆的左焦点，设为1F ，故PFQ 的周长为11428PF FQ PQ PF FQ PF QF ++=+++=⨯=..............12分。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

白城市2013—2014年第一学期期末考试高二文科数学（试卷二）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，答题时间为120 分钟。

考生作答时，选择题答案和非选择题答案写在答题纸上。

考试结束后，将答题纸交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、所在学校准确填写，条形码贴在制定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选择题答案字体工整、清楚。

第Ⅰ卷 (共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

) 1. 函数232+-=x x y 的定义域是（ ）A. []21，B. ),2[]1,(+∞⋃-∞C. )21(，D.),2()1,(+∞⋃-∞ 2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或1203.已知等差数列}{n a 的公差为2，若3a 是1a 与4a 的等比中项， 则2a =（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-4.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5B.5或8C.5或3D.205.如果命题(¬p)∨(¬q)是假命题，则在下列各结论中：①命题p ∧q 是真命题； ②命题p ∧q 是假命题；③命题p ∨q 是真命题；④命题p ∨q 是假命题. 正确的为( )A.①③B.②④C.②③D.①④装订线学校 班级 姓名 考号6.设12)(:23+++=mx x x x f p 在），（∞+∞-内单调递增；34:≥m q .则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( )A.14B.12C.2D.48.在等比数列}{n a 中，已知81131=a a a ，则82a a 等于（ ） A ．16B ．12C ．6D ．49.已知变量y x 、满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，且目标函数为y x z +=，则z 的最大值是（ ）A. 1B.2C. -1D. -210.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为32，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为( )A ．x y 21±= B ．x y 2±= C ．x y 4±= D ．x y 41±= 11.若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于( ) A.2B.3C.6D.912．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=， 则B cos ＝（ ） A.14 B.34 C.12 D.12-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是__ _ 14.在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 15．在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ______ 16.曲线12-=x xy 在点(1，1)处的切线方程为_______ _．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. （本题满分10分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列}{n b 中的543 b b b 、、，求数列}{n b 的通项公式.18. （本题满分12分）在ABC ∆中，设角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知163cos ,3,8===A cm c cm b .（Ⅰ）求a 的值，并判定ABC ∆的形状； （Ⅱ）求ABC ∆的面积。

2022-2023学年吉林省长春市农安县高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）{}n a 6819,27a a =={}n a A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】利用，直接计算公差即可.862d a a =-【详解】等差数列中，，设公差为d ，则，即.{}n a 6819,27a a ==86227198d a a =-=-=4d =故选：C.2．已知直线与直线相互平行，则实数m 的值是1:(2)310l m x y ---=2:(2)10l mx m y +++=（ ）A ．B ．1C ．D ．64-1-【答案】A【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.【详解】，()11:(2)310,2,3l m x y n m ---=∴=--()22:(2)10,,2,l mx m y n m m +++=∴=+()()12//,223,n n m m m ∴-+=-解之：经检验4,1m =-4m =-故选：A.3．如图，空间四边形中，，，，且，，则等OABC OA a = OB b = OC c = 2OM MA =BN NC =MN于（ ）A ．B ．221332a b c ++ 111222a b c +-C ．D ．211322a b c-++ 121232a b c -+【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可.OA OB OC MN【详解】由题意知，MN MA AC CN =++()1132OA OC OA CB =+-+()2132OA OC OB OC=-++-211322OA OB OC=-++211322=-++ a b c故选：C.4．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若()222210x y a b a b +=>>1F x P 2F ，则椭圆的离心率为（ ）1260F PF ∠=A B C ．D ．1213【答案】B【分析】作出图形，设，可得，可将和均用表示，即可计算1PF t=22PF t=2a 2c t 出该椭圆的离心率.【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：()20c c >设，轴，，，()10PF t t =>1PF x⊥ 1260F PF ∠= 2130PF F ∴∠=，，22PF t∴=2由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.1223a PF PF t=+=22c e a ==故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）A ．63里B ．126里C ．192里D ．228里【答案】C【分析】由题意知，每天走的路程构成一个公比为等比数列，已知和求首项，代入公式即可得到.12【详解】由已知，设等比数列首项为，前n 项和为， 公比为,，1a n S 12q =6378S =则，等比数列首项.()616116111632378113212a a q a S q⎛⎫- ⎪-⎝⎭====--1192a =故选：C.6．椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则的面积为221259x y +=1F 2F P 12PF PF ⊥12F PF △A ．B ．912C ．D ．108【答案】A【分析】先设出|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用椭圆的定义求得n+m 的值，平方后求得mn 和m 2+n 2的关系，代入△F 1PF 2的勾股定理中求得mn 的值，即可求出△F 1PF 2的面积．【详解】由椭圆定义知，又，所以，从而1210PF PF +=12PF PF ⊥()2212425964PF PF +=⨯-=得，所以的面积为，1218PF PF ⋅=12F PF 9故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．7．已知等差数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 111153S S S =-611a a =A ．B ．C ．D ．925891087【答案】A【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得n 11611S a =()1156113S S a a -=+到方程，计算可得；【详解】解：由，有()()()11161111611561161111611,322a a a a S a S S a a a a ++==-=++==+ ，得．()66111133a a a =+61192a a =故选：A8．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，M 为C 上一点，若，则的面积2:8C y x =||8MF =MOF△为（ ）A ．B ．C ．8D．【答案】A【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面M M 积.【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，28y x =0(2)F ，2x =-由抛物线焦半径公式知，2862M M M pMF x x x =+=+=⇒=将代入，可得，6x =28y x=y =±所以的面积为MOF △11||222y OF =⨯= 故选：A ．二、多选题9．设等差数列的前项和为．若，，则（ ）{}n a n n S 30S =46a =A ．B ．23n S n n =-2392-=n n nS C ．D ．36n a n =-2n a n=【答案】BC【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式n 【详解】解：设等差数列的公差为，{}n a d因为，，30S =46a =所以，解得，113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩133a d =-⎧⎨=⎩所以，1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=故选：BC10．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为45°()1,3A -()2,0B -B ．已知点，点在轴上，则的最小值为()3,1A ()2,3B P y PA PB+C ．直线与直线220x y --=2410x y -+=D ．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值()3,4A -()3,2B ()1,0P l AB l 范围是(][),11,-∞-⋃+∞【答案】AC【分析】由斜率公式，两点间距离公式，平行线间的距离公式进行分析计算验证即可．【详解】对于A 选项，，直线的倾斜角为135°，故A 选项错误；()03121AB k --==---对于B 选项，点关于y 轴的对称点为，则AC 即为的最小值，为()2,3B ()2,3C -PA PB+B 选项正确；=对于C 选项，将化为，与平行，则两条直线间的距离为220x y --=2440x y --=2410x y -+=，故C 选项错误；d ==对于D 选项，，，如图所示，40131AP k -==---20131BP k -==-又因为直线l 与线段AB 有公共点，所以直线的斜率k 满足或，故D 选项正确.l 1k ≤-1k ≥故选：AC 11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则数列前5项的和最大211n a n =-+{}n a B ．设是等差数列的前项和，若，则n S {}n a n 4815S S=816522S S =C ．已知，则使得成等比数列的充要条件为55a c =+=-,,a b c 1b =D ．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022{}n a 10110a <101110120a a +>0n S <n 【答案】AB【分析】对A ，可以采用临界法得到和的最大值；对B ，运用等差数列的和的性质易判断；对C ，等比中项的个数一般是2个；对D ，可以采用基本量法计算即可.【详解】A ：由通项公式知：数列是严格递减数列，又1234560...a a a a a a >>>>>>>所以数列前5项的和最大，A 对；{}n a B ：在等差数列中，成等差，{}n a 4841281612,,,S S S S S S S ---48481,5,5S S S S =∴=又，84412841241242()8412S S S S S S S S S S -=+-⇒=-⇒=12884161241641642()14822S S S S S S S S S S S -=-+-⇒=-⇒=B对；8165,22S S ∴=C ：成等比数列，所以不是充要条件，C 错；,,a b c 2,1,b ac b ∴=∴==±D ：为等差数列, ，{}n a 10110a <10111012101110120,0a a a a +>∴<<，所以D 错，1202210111012202220222022022a a a aS ++∴=⨯=⨯>故选：AB12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过C ()220y px p =>O 225x y +=A B4AB =l 的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）C F C M N A ．若直线，则l 8MN =B ．的最小值为2MF NF+3+C ．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为MF y ⎛⎝M 32D ．若点，则周长的最小值为()2,2G GFM △3【答案】BCD【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，,M N m =16MN =进而判断选项A 错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B ；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C ；过作垂直于准M M 'y 1M G GH 线，垂足为，结合的周长H GFM △3MG MF GF MG MM ++=+=而判断选项D 即可.【详解】由题意得点在抛物线上，()1,22:2C y px =所以，解得，所以，则，222p =2p =2:4C y x =()1,0F 设直线，与联立得，:1l x my =+24y x =2440y my --=设，，所以，，()11,M x y ()22,N x y124y y m +=124y y =-所以，()2241MN y m =-==+当时，，A 项错误；m 16MN =1212121221111111x x MF NF x x x x x x +++=+=+++++，()()()212221212444144316m y y m m y y m y y +++===++++则，()2112233NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当，B 项正确；1MF =1NF =+如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，M M 'y 1M 取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，MF D D y 1D 则，是梯形的中位线，1MM OF ∥1DD 1OFMM 由抛物线的定义可得，111MM MM M M MF =-='-'所以，1111222OF MM MF MFDD ++-===所以以为直径的圆与轴相切，MF y 所以点为圆与轴的切点，所以点⎛⎝y D 又为的中点，所以点，D MF M 又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C 项正确；M M 32过作垂直于准线，垂足为，G GH H所以的周长为GFM △3MG MF GF MG MM ++=+=当且仅当点的坐标为时取等号，D 项正确.M ()1,2故选：BCD.三、填空题13．设数列的通项为，则____________．{}n a ()*27n a n n N =-∈1215a a a +++=【答案】153【详解】试题分析：，为等差数列，，公差，由()*27n a n n N =-∈ ∴{}n a 15a =-得，，270n a n =-<72n <12151234151532a a a a a a a a S S ∴+++=---+++=- .所以答案应填：．15143215(5)223(5)215322⨯⨯⎡⎤=⨯-+⨯-⨯-+⨯=⎢⎥⎣⎦153【解析】1、等差数列；2、求数列的前项和．n 【思路点睛】由数列的通项为可知为等差数列，先求出首项和公差，欲{}n a ()*27n a n n N =-∈n a 求的值需先判断数列中哪些项为负项，哪些为正项，由得，1215a a a +++ {}n a 270n a n =-<，72n <可知数列的前三项为负项，从而去掉绝对值，再用等差数列的前项和公式求和.本题主要考查{}n a n 等差数列的前项和公式的应用，去绝对值是求和的关键，属于基础题.n 14．已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是229x y +=1250x y c -+=c ________．【答案】26±【分析】转化为原点到直线的距离为即得解.1250x y c -+=22=【详解】因为圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，229x y +=1250x y c -+=所以原点到直线 的距离为，1250x y c -+=1312r -=-=，2=解得，26c =±故答案为：.26±15．过点作直线与抛物线相交于A ，B 两点，若点P 是线段的中点，则直线()2,1P 24y x =AB 的方程是____________．AB 【答案】230x y --=【分析】设，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线()()1122,,,A x y B x y 12x x ≠()2,1P 的斜率，再通过点斜式可得直线方程.AB 【详解】设，，()()1122,,,A x y B x y 12120x x y y ≠+≠，，两式作差可得，21122244y x y x ⎧=∴⎨=⎩()()()1212124y y y y x x -+=-即，1212124y y x x y y -=-+点P 是线段的中点，，且，AB 12124,2x x y y +=+=1212AB y y k x x -=-，2AB k ∴=直线的方程是，即.经检验满足题意，∴AB ()122y x -=-230x y --=故答案为：.230x y --=16．如图所示，在棱长为1的正方体中，P ，Q 分别是线段，上的点，满1111ABCD A B C D -1CC BD 足平面，则与平面所成角的范围是__________．PQ ∥11AC D PQ 11BDD B 【答案】(,63ππ【分析】以为原点，为轴、轴、为轴建立空间直角坐标系，设D 1,,DA DC DD x y z ，且，其中，求得向量和平面的一个(0,1,),(,,0)P t Q a b DQ DB λ= 01λ≤<(,1,)PQ λλλ=--11AC D 法向量，结合向量的夹角公式，求得的范围，即可求解.ACsin θ【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，D DA x DC y 1DD z 则，可得，11(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)A C D 11(1,0,1),(1,1,1)AD AC =-=-设平面的法向量为，则，11AC D (,,)n x y z =1100n AD x z n AC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 令，可得，所以，1x =0,1y z ==(1,0,1)n =易得不重合，设，其中，且，1,P C (0,1,),(,,0)P t Q a b [),[0,1],0,1a b t ∈∈,01DQ DB λλ=≤≤所以，所以，，(,,0)(,,0)a b λλ=(,,0)Q λλ(,1,)PQ t λλ=--因为平面，所以，可得，所以，，//PQ 11AC D 0PQ n t λ⋅=-= t λ=(,1,)PQ λλλ=--[)0,1λ∈因为平面，所以的一个法向量为，AC ⊥11BDD B 11BDD B (1,1,0)AC =- 设与平面所成的角为，PQ 11BDD B θ则，sin cos ,1PQ θλ==≤< 当，可得，因为，所以13λ=()max sin θ==[0,]θπ∈3πθ=当，可得，因为，所以，1λ=()max 1sin 2θ==[0,]θπ∈6πθ=所以与平面所成的角的范围是为.PQ 11BDD B (,63]ππ故答案为：(,63]ππ四、解答题17．已知抛物线的焦点F 到准线的距离为2．()220y px p =>(1)点P在抛物线上，且，求点P 的坐标；5PF =(2)直线交抛物线于A ，B 两点，求．2y x =-AB【答案】(1)或()4,4()4,4-(2)【分析】（1）先根据焦点到准线的距离求出，设，进而利用焦半径公式可得点P 的坐p ()00,P x y 标；（2）联立直线和抛物线方程，然后利用弦长公式求.AB【详解】（1）由已知，抛物线的焦点F 到准线的距离为2，()220y px p =>则，2p =则抛物线方程为，24y x =设，则，()00,P x y 00152pPF x x =+=+=04x ∴=将代入得，，()04,P y 24y x =2016y =04y ∴=±所以点P 的坐标为或()4,4()4,4-（2）联立，消去得，224y x y x =-⎧⎨=⎩y 2840x x -+=AB ∴==18．已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.{}n a {}n b 23b=39b =11a b =144a b =(1)求、的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前项和.n n n c a b =+{}n c n n S 【答案】(1)，21n a n =-13n n b -=(2)2312n n S n -=+【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到；由32b q b ={}n b n b 114,a a 可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得；14113a a d -={}n a n a （2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得.n c n S 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，；{}n b q 323b q b ==2123n n n b b q --∴==又，，设等差数列的公差为，则，111a b ==14427a b =={}n a d 141213a a d -==.()12121n a n n ∴=+-=-（2）由（1）得：；()1213n n c n -=-+()()()()112121321133n n n n S a a a b b b n -∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+.212113312132n n n n n +---=⋅+=+-19．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，ABCD CD MCD C 的点．D （1）证明：平面平面；AMD ⊥BMC （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．M ABC -MAB MCD【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）方法一：先证平面CMD ,得,再证，由线面垂直的判定定理BC ⊥BC DM ⊥CM DM ⊥可得DM ⊥平面BMC ，即可根据面面垂直的判定定理证出；（2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向M MAB MCD 量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．MAB MCD 【详解】（1）［方法一］：【最优解】判定定理由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故⊂BC ⊥DM .因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以DM ⊥CM .CD又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .⋂⊂［方法二］：判定定理由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为，平面ABCD ,所以平面AD CD ⊥AD ⊂AD ⊥，而平面，所以，因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所MCD CM ⊂MCD AD ⊥CM CD以DM ⊥CM .又，所以，平面，而平面，所以平面平AD DM D = CM ⊥AMD CM ⊂BMC AMD ⊥面．BMC［方法三］：向量法建立直角坐标系，如图2，设，(0,,)M a b ()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,D A B C 所以，()()2,0,0,0,,DA DM a b ==设平面的一个法向量为，所以，即，AMD ()111,,m x y z = =0=0n DA n DM ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩ 1112=0+=0x ay bz ⎧⎨⎩取平面的一个法向量，AMD (0,,)m b a =-同理可得，平面的一个法向量，因为点在以为圆心，半径为的圆上，BMC (0,,2)n b a =-M ()0,1,01所以，，即，而，所以平面平面．()2211a b -+=2220a b a +-=2220b a n a m +⋅=-= AMD ⊥BMC （2）［方法一］：【通性通法】向量法以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .DA当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量,则(),,n x y z =即，可取.=0=0n AM n AB ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩ 2++=02=0x y z y -⎧⎨⎩()1,0,2n = 是平面MCD 的一个法向量,因此，DAcos ,DA D DAn An n ⋅〈〉==sin ,n DA =〉〈 所以面MAB 与面MCD ［方法二］：几何法（作平行线找公共棱）如图3，当点M 与圆心O 连线时，三棱锥体积最大．过点M 作MO DC ⊥M ABC -，易证为所求二面角的平面角．在中，,,EFDC ED DC FC DC ⊥⊥∥BFC ∠Rt BCF △MAB 与面MCD sin BC BFC BF ∠==［方法三］：【最优解】面积射影法设平面与平面所成二面角的平面角为．MAB MCDθ由题可得在平面上的射影图形正好是．MAB △MCD △MCD △取和的中点分别为N 和O ，则可得，AB CD 1OM =MN =MAB 与面MCD cos MCD MAB S S θ==△△sin θ=［方法四］：定义法如图4，可知平面与平面的交线l 过点M ，可以证明．分别取的中MABMCD ,l AB l CD ∥∥,CD AB 点O ，E ，联结，可证得直线平面，于是平面，所以,,OE MO ME CD ⊥OME l ⊥OME ，故是面与面所成二面角的平面角．,l MO l ME ⊥⊥OME ∠MAB MCD在中，，则，所以，即面与面OME △,1,2MO OE MO OE ⊥==ME =sin OME ∠=MABMCD 【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解；方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样；方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁． （2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法；方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方式；方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解；方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出．20．已知数列的前项和为.{}n a n 2230n S n n =-（1）求出的通项公式；{}n a （2）求数列前n 项和最小时n 的取值n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】（1）；（2）当或时，数列前n 项和取得最小值.432n a n =-14n =15n =n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据，分别讨论，两种情况，根据与的关系即可求出结2230n S n n =-1n =2n ≥n S n a 果；（2）根据等差数列前项和的函数特征，即可得出结果.n 【详解】（1）因为，2230n S n n =-所以当时，；1n =2112130128a S ==⨯-⨯=-当时，；2n ≥221=230)2(1)30(1)432n n n a S S n n n n n -⎡⎤=------=-⎣⎦（显然是，也满足，1n =432n a n =-所以；432n a n =-(2) 因为，2230230n S n n n n n -==-所以数列为等差数列，其前n 项和n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ()()2228230298412929224n n n T n n n n n -+-⎛⎫==-=-=--⎪⎝⎭又，所以当或时，取得最小值.*n ∈N 14n =15n =n T 21．已知数列的前n 项和为，．{}n a n S 21n n S a =-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 2log n n n a b a ⋅={}n b nT【答案】(1)；12n n a -=(2)1122n n n T -+=-【分析】（1）当时，由得是等比数列，再由等比数列通项求解即2n ≥1122n n n n n a S S a a --=-=-{}n a 可；（2）先求出，再由错位相减法求和即可.112n n n b --=【详解】（1）因为，所以，所以21n n S a =-()*11212,n n S a n n --=-≥∈N ，()*11222,n n n n n a S S a a n n --=-=-≥∈N 所以，当时，，，()*122,n n a a n n -=≥∈N 1n =11121aS a ==-11a =所以数列是首项，公比的等比数列，所以；{}n a 11a =2q =12n n a -=（2）由得，所以，2log n nn a b a ⋅=12211log log 2122n n n n n n a n b a ----===2101211222n n n T --=++++ ，231101221222222n n n n n T ---=+++++ 两式相减，得，，所以.211111122222n n n n T --=+++- 11111122112212n n nn n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-=--1122n n n T -+=-22．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.l ,A B O OAB 【答案】(1)2212x y +=【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.22,a b （2）结合弦长公式求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.OAB OAB 【详解】（1）由焦距为2，得，所以①.1c =221a b =+由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得，12⎫⎪⎭2231124a b +=424310b b --=解得，（舍去）.21b =214b =-所以，2212a b =+=所以椭圆的标准方程为.2212x y +=（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，l y x m =+2222x y +=消去，得.y 2234220x mx m ++-=所以，解得.()()22216241830m m m ∆=--=->(m ∈设，，则，.()11,A x y ()22,B x y 1243xx m +=-()212213m x x -===原点到直线的距离O l d所以1122OABS AB d=⋅=△()2232m m +-≤=当且仅当，即时取等号.223m m =-m =所以.OAB 【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积有关的问题，关键点有三点：一个是弦长，一个是面积，一个是最值或取值范围.弦长的求法主要结合根与系数关系，面积还要结合点到直线的距离公式，求面积的最值或取值范围，可考虑基本不等式、二次函数的性质等知识来进行求解.。

2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x +3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知α,β是两个平面，l,m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊥α,l ⊥m ，则l ⊥α B. 若m//β,n//β，则m//n C. 若m//α,l ⊥α，则l ⊥mD. 若α//β,m//α，则m//β3.已知两直线l 1:3x +4y−14=0,l 2:(a−2)x +4y +a =0，若l 1//l 2，则l 1与l 2间的距离为( )A. 95B. 125C. 175D. 1954.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )A. 712B. 12C. 512D. 135.在平行四边形ABCD 中，点E,F,G 分别满足DE =EC ,BC =2BG ,AF =2FE ，则FG =( )A. 23AB−16ADB. 23AB +16ADC. 16AB−23ADD. 16AB +23AD6.已知圆M 经过P (1,1),Q (2,−2)两点，且圆心M 在直线l:x−y +1=0，则圆M 的标准方程是( )A. (x−2)2+(y−3)2=5 B. (x−3)2+(y−4)2=13C. (x +3)2+(y +2)2=25D. (x +3)2+(y−2)2=257.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥BC,AB =BC =AA 1=2,P 为线段A 1B 1的中点，Q 为线段C 1P 上一点，则▵BCQ 面积的取值范围为( )A. [2,6] B. [2,5] C. [ 3,5] D. [ 2,5]8.已知点A,B是圆C:(x−2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线l:x+y=0上动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB =0，下列说法正确的是( )A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B. PA长的最小值为2−1C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点(32,−12)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

2013-2014学年度下学期期末考试高二数学理试题【新课标】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B A （ ）A 、}0{B 、}4,0{C 、}4,2{D 、}4,2,0{2、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数2)(ni m -为纯虚数的概率为（ ）A 、61B 、41C 、31D 、121 3、已知两不共线向量a=（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），则下列说法不正确的是（ ）A 、1==b aB 、())(b a b a-⊥+C 、a 与b的夹角为βα-D 、a 在b a+方向上的射影与b 在b a +方向上的射影相等4、已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则α2tan 的值为 （ ） A 、54 B 、724- C 、 725- D 、924-5、在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）C ．3± 6、某班级有70名学生，其中有30名男生和40名女生， 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是 （ ） A 、这种抽样方法是一种分层抽样 B 、这种抽样方法是一种系统抽样C 、这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D 、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数7、给定命题p ：函数)42sin(π+=x y 和函数)432cos(π-=x y 的图象关于原点对称；命题q ：当)(,2Z k k x ∈+=ππ时，函数)2cos 2(sin 2x x y +=取得极小值．下列说法正确的是（ ）A 、q p ∨是假命题B 、q p ∧⌝是假命题C 、q p ∧是真命题D 、q p ∨⌝是真命题 8、函数()4x ex f -=π的部分图象大致是（ ）9、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A 、1311B 、2113C 、813D 、13810、半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是正四面体的顶点， 则A 与B 两点间的球面距离为（ ）A 、)33arccos(- B 、)36arccos(- C 、)31arccos(-D 、)41arccos(-11、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0),()()0x f x xf x '∈-∞+<时成立（其中()()f x f x '是的导函数），若)2(2f a =，)3(log )3(log 77f b =，)81(log )81(log 22f c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、c a b >>B 、c b a >>C 、a b c >>D 、a c b >>12、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2AD ，设θ=∠DAB ，） 2，0（πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则 （ ）A 、随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 为定值第9题图B 、随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 为定值C 、随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 也增大D 、随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 也减小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

长春市2013～2014学年度第一学期期末调研测试高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分. 考试时间为100分钟. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、班级、考号填写清楚. 2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 在ABC ∆中，45,60,1B C AB === ，则其最短边的长为A.3B. 2C. 12D.22. 已知:23p x -≤，1:05x q x +-≤，则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的底面ABC 中，1CA CB ==，90BCA ∠=，12AA =，点M 是11B A 的中点，则异面直线M C 1与C B 1所成角的余弦值为A.B.C.D. 4. 设数列}{n a 为等差数列，若120151331=+++a a a a ，则=8a A. 60 B. 30 C. 20 D. 155. 中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是A. 2218145x y +=B. 221819x y += C. 1728122=+y x D. 1368122=+y x 6. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若30,202010==S S ，则=30SA. 35B. 40C. 45D. 607. 经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为A.B. C. 2D.8. 已知0a >，0b >，则ab ba 211++的最小值是A. 2B.C. 4D. 59. ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C b a co s 2=，则A B C ∆的形状一定为 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，截面11D AB 与平面ABCD 相交于直线l ，则点1B 到直线l 的距离为A.B. C. D. 11. 抛物线x y 92=与直线0832=--y x 交于B A ,两点，则线段AB 中点的坐标为A. 11327(,)84-B. 11327(,)84 C. 11327(,)84-- D. 11327(,)84- 12. 设过点),(y x P 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴相交于B A ,两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若,2=且1=⋅，则点P 的轨迹方程为 A. 22331(0,0)2y x x y -=>> B. 22331(0,0)2y x x y +=>> C. 22331(0,0)2x y x y -=>> D. 22331(0,0)2x y x y +=>>第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为________________.14. 给出命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则p ⌝为_____________.15. 已知F 是抛物线x y 42=的焦点，过F 点且斜率为1的直线交抛物线于B A ,两点，若FB FA >，则=FBFA________________. 16. 已知数列}{n a 中，)3(32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n ，则n a =____________. 三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，24,4432=+=a a a（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列}{nna b 的前n 项和n T .18.（本小题满分10分） 如图，如果你在海边沿着海岸线直线前行，请设计一种测量海中两个小岛A,B 之间距离的方法.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形， BC AB AD AB ⊥⊥,，侧棱⊥SA 底面ABCD ， 点O 为侧棱SC 的中点，且1,2====AD BC AB SA . （Ⅰ）求证：SB OD ⊥；（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成锐二面角的余弦值.ABDCSO A20.（本小题满分12分）如图，已知直线2:-=kx y l 与抛物线)0(2:2>-=p py x C 交于B A ,两点，O 为坐标原点，且)12,4(--=+. （Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程； （Ⅱ）抛物线上一点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.21.（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，点F E ,是x 轴上的两个定点，3==OF EO ，G 为坐标平面上的动点，4=GF ，H 是GE 的中点，点P 在线段FG 上，且0=⋅EG HP . （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与点P 的轨迹有两个不同的交点B A ,，且0>⋅，求实数k 的取值范围.长春市2013～2014学年度第一学期期末调研测试高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大共12小题，每小题4分，共48分) 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. B 12. D 简答与提示：1. A 因为角B 最小，由正弦定理sin sin 3c b B C ==. 2. B 根据条件可求得51:,51:<≤-≤≤-x q x p ，易知p 是q 的必要不充分条件. 3. D 以点C 为坐标原点，以1,,CC CB CA 所在直线分别作为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则可确定)2,21,21(),2,0,0(),2,1,0(11M C B ，于是)0,21,21(),2,1,0(11==M C CB ，设所求角为θ，则1010cos ==M C CB θ. 4. B 由等差数列的性质，81331512a a a a a =+=+，所以由条件可得30,120488==a a . 5. C 由已知可有，62,182==c a . 故72,3,9222=-===c a b c a .6. A 根据等比数列的性质，设n S 为其前n 项和，当0n S ≠时，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等比数列即可求解.7. C 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线x aby =平行，故有,3=a b 进而3222=-aa c ，可解得,42=e 于是离心率2=e . 8. C 根据基本不等式，可有422,211≥+≥+abab ab b a . 9. B 由,cos cos B c C b a +=代入条件可得，C b B c cos cos =，再根据正弦定理代换可有，,tan tan C B =于是C B =.10. D 因为l ∥11D B ，所以点1B 到直线l 的距离是l 与11D B 之间距离，因为11D AB ∆是等腰三角形，设点O 是11D B 的中点，则⊥OA 11D B ，所以OA 为所求，26=OA .（本题也可用空间向量求解）11. B 将所给直线方程与抛物线方程联立有⎩⎨⎧==--xy y x 908322，由此可整理得：06411342=+-x x ，设),(),,(2211y x N y x M ，则411321=+x x ，故线段MN 中点的横坐标为8113221=+x x ，将其再代入直线方程即可得所求中点的坐标为)427,8113(.12. D 由2=，可得)3,0(),0,23(y B x A ，所以),(),3,23(y x OQ y xAB -=-=，代入1=⋅可求得点P 的轨迹方程.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．214．01,2>+-∈∀x x R x15．223+16． ]13)1(73[4111⨯-+⨯=--n n n a 简答与提示：13. 2 根据线性规划的知识易求解. 14. 01,2>+-∈∀x x R x .15. 223+，设),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，求得2231+=x ，2232-=x ，故由抛物线的定义可得2231121+=++=x x FB FA . 16. ]13)1(73[4111⨯-+⨯=--n n n a ，由2132--+=n n n a a a 得 )(3211---+=+n n n n a a a a ，以及)3(3211-----=-n n n n a a a a ，所以，22121373)(---⨯=⋅+=+n n n n a a a a ①13)1()1()3(312121⨯-=-⋅-=----n n n n a a a a ②，由①②联立求得通项公式. 三、解答题(本大题共5小题，满分56分)17．（本小题满分10分） （Ⅰ）由已知⎩⎨⎧=+=244432a a a ，解得⎩⎨⎧==221q a ，所以n n a 2=(5分)（Ⅱ）根据条件易得，n n n n na b n b 2,==(7分)于是+++=32232221n T …n n2+=n T 21 ++322221…1221++-+n n nn ，以上二式相减，可得， 3221212121++=n T +…1221+-+n n n 12211+--=n n n ，所以n n n T 222+-=.(10分)18．（本小题满分10分）如图，设C ,D 是两个观测点，C 到D 的距离为m ，在C 处测出γα=∠=∠BCD ACB ,，在D 处测出β=∠ADB ，θ=∠ADC ，据正弦定理，在BCD ∆中，)sin(sin βθγγ++=mBD，可求得)sin(sin βθγγ++=m BD ，(4分) 同理，在ACD ∆中，可求得)sin()sin(θγαγα+++=m AD(8分) 在ADB ∆中，由余弦定理可得：βcos 222BD AD BD AD AB ⋅-+=(10分)19．（本小题满分12分）建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件可有： )2,0,0(),0,0,1(),0,2,2(),0,2,0(),0,0,0(S D C B A 于是)1,1,1(O(2分)（Ⅰ）因为)2,2,0(),1,1,0(-==SB DO ，所以0=⋅，故SB OD ⊥(6分)（Ⅱ）由已知，)0,0,1(=是平面SAB 的一个法向量，可设平面SCD 的法向量为),,(c b a =，由)2,0,1(),0,2,1(-==，可得⎩⎨⎧=+-=+0202c a b a ，根据这个方程组，可取)1,1,2(-=n(8分)设所求二面角的平面角为θ，则36cos ==n AD θ， 故所求二面角的余弦值为36.(12分)19．（本小题满分12分） （Ⅰ）由⎩⎨⎧-=-=pyx kx y 222得0422=-+p pkx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有424)(,22212121--=-+=+-=+pk x x k y y pk x x ，因为)12,4(--=+OB OA ，所以⎩⎨⎧-=---=-1242422pk pk ，解得⎩⎨⎧==21k p 所以直线l 的方程为22-=x y ，抛物线C 的方程为y x 22-=. (6分) （Ⅱ）由⎩⎨⎧-=-=yx kx y 222，得0442=-+x x ，于是1041212=-+=x x k AB ，(8分)设)2,(2t t P -，)222,222(+---∈t ，于是当点P 到直线l 的距离d 最大时，所求三角形面积最大，这里4)2(2155522222-+=-+=t t t d (10分)C由)222,222(+---∈t ，可得当2-=t 时，554max =d ， 此时)2,2(--P ，故ABP ∆面积的最大值为28.(12分)20．（本小题满分12分）（1）因为0=⋅EG HP ，所以EG HP ⊥，又H 为GE 中点，故PG PE =，于是 4==+=+GF PF PG PF PE ，所以点P 的轨迹是以F E ,为焦点的椭圆，3,2==c a ，122=-=c a b ，故点P 的轨迹方程为1422=+y x (6分)（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x kx y 整理得01216)41(22=+++kx x k ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有1x 221224112,4116kx x k k x +=+-=+①，且0)34(162>-=∆k ，(8分) 若0>⋅OB OA ，则02121>+y y x x ，即0)2)(2(2121>+++kx kx x x ，整理得04)(2)1(21212>++++x x k x x k ，再将①代入可有： 04411624112)1(222>++-++kk k k ，整理得042<-k ， (10分) 又因为0>∆，故4432<<k ，所以232-<<-k 或223<<k .(12分)。

2013—2014学年上学期期终考试试卷2012级数学试卷一、填空题：（每题3分，共24分）1. 过点（1,3）且与直线1y -=x 平行的直线方程是2. 过圆4x 22=+y 上一点)1,3(-P 的切线方程是3. 点A(-2，1)到直线0243:=--y x l 的距离为4. 已知直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是5. 平行于同一平面两条直线的位置关系为6. 在60°的二面角βα--m 的面α内有一点A 到面β的距离为3,A 在β上的射影为A ′,则A ′到面α的距离为7. 用一个平面截半径为25cm 的球,截面面积是π492cm ,则球心到截面的距离为 8.抛掷两颗骰子，则“两颗骰子点数相同”的概率为二、选择题（每题3分，共30分）1．若直线0=++c by ax 通过第一、三、四象限，则 （ ） A. 0,0>>bc ab B. 0,0<>bc ab C. 0,0><bc ab D. 0,0<<bc ab2. 若直线02x =++ay 和02x 3=-y 互相垂直，则a 等于 （ ）A. 23-B. 32- C. 32 D. 233. 方程04222=++-+m y x y x 表示一个圆，则 （ ） A. 5≤m B. 5m < C. 51<mD. 51≤m4. 空间中与同一条直线都垂直的两条直线的位置关系是 （ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都可能5．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上的射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 （ ）A ．31 B.322 C.22 D.326. 长方体一个顶点上的三条棱长分别是a ,b ,c ，那么长方体的全面积是( ) A. ca bc ab ++ B. 222c b a ++ C. abc 2 D. )(2ca bc ab ++7．已知两球的球面面积比为4︰9 ,则两个球的体积比为 （ ） A. 2︰3 B. 4︰9 C. 8︰27 D. 4︰278.一副扑克牌有黑、红、梅、方各13张,大小王各1张,从中任取一张，则不同取法的种数是 （ ） A. 4 B. 54 C. 413 D. 1349．由1，2，3，4，5五个数字组成 个没有重复数字的三位数偶数（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 4810．某校对全校3000名学生的肺活量进行调查，准备抽取500名学生作为调查对象，则上面所述问题中的总体是 （ ） A.3000名学生 B.3000名学生的肺活量 C.500名学生 D.500名学生的肺活量 三、计算题：（共24分）1．已知点()5,3A 是圆0808422=---+y x y x 的一条弦的中点，求这条弦所在直线方程.（8分）2．求圆2x 22=+y 上的点到直线03=--y x 的最长距离。