2015年高一数学精品优秀同步检测：《函数的概念》(新人教A版必修一)

课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 20例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

1．2函数及其表示1．2.1 函数的概念[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点).3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)一、函数的有关概念f，使对于集合A中的任意的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应结论称f：A―→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 相关概念定义域x的取值范围A值域函数值的集合{}f（x）|x∈A二、两个函数相等的条件1．定义域相同；2．对应关系完全一致．三、区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y.( ) (3)f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2．已知f(x)＝x ＋1，则f(3)＝( ) A ．2 B ．4 C ．±6 D ．10 【解析】 ∵f(x)＝x ＋1， ∴f(3)＝3＋1＝2. 【答案】 A 3．函数f(x)＝11－2x 有定义域是________(用区间表示)．【解析】 由题意，需1－2x ＞0，解得x ＜12.故f(x)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，124．集合{}x |1＜x≤10用区间表示为________． 【解析】 集合{}x |1＜x≤10用区间表示为(1，10]． 【答案】 (1，10]预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)(2014·长沙高一检测)设M ＝x －2≤x≤2，N ＝}y 0≤y ≤2，函数y ＝f(x)的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数y ＝f(x)的图象为( )(2)下列函数中，f(x)与g(x)相等的是( ) A ．f(x)＝x ，g(x)＝(x)2B ．f(x)＝x ，g(x)＝x 2C ．f(x)＝x ＋2，g(x)＝x 2－4x －2D ．f(x)＝x ，g(x)＝3x 3(3)判断下列对应是否为函数． ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x→y＝1x 2；②A ＝N ，B ＝R ，f ：x→y＝±x ； ③A ＝N ，B ＝N *，f ：x→y＝|x －2|；④A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.【解析】 (1)由函数定义可知任意作一条直线x ＝a 与函数图象至多有一个交点，故选项C 错误．由题设定义域中有元素－2，2知选项A 错误．由值域为{}y |0≤y ≤2知选项B 错误． (2)对于A ，f(x)＝x 的定义域为R ，g(x)＝(x)2的定义域为{}x |x≥0，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B ，g(x)＝x 2＝|x|，与f(x)＝x 的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C ，g(x)＝x 2－4x －2＝x ＋2(x≠2)，与f(x)＝x ＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D ，g(x)＝3x 3＝x ，与f(x)＝x 的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数，故选D. 【答案】 (1)D (2)D(3)①因为A ＝R ，B ＝R ，对于A 中的元素x ＝0，在对应关系f ：x→y＝1x 2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．②对于A 中的元素，如x ＝9，y 的值为y ＝±9＝±3，即在对应关系f 之下，B 中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．③对于A 中的元素x ＝2，在对应关系f 的作用下，|2－2|＝0∉B ，从而不能构成函数． ④依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A 中的每一个元素在对应关系f 之下，在B 中都有唯一的元素与之对应，虽然B 中有很多元素在A 中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤： (1)判断A ，B 是否是非空数集；(2)判断A 中任一元素在B 中是否有元素与之对应；(3)判断A 是任一元素在B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤：(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．(1)f(x)＝1x －2；(2)f(x)＝3x ＋2；(3)f(x)＝x ＋1＋12－x.【思路探究】 解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【解】 (1)∵x≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x |x ≠2. (2)∵3x＋2≥0，即x≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥－23.(3)∵要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{}x |x ≥－1且x≠2.1．求解析式给出的函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值集合．已知函数y ＝f(x)：(1)若f(x)为整式，则定义域为R ；(2)若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； (4)若f(x)是由几个部分的数字式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；5．若f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(2014·济宁高一检测)函数y ＝1－x 2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 【解析】 要使函数y ＝1－x2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x≠2， 所以x≤1且x≠－12，故选D.【答案】 Df(2x ＋1)的定义域；(2)已知函数f(2x ＋1)的定义域为[1，3]，求函数f(x)的定义域．【思路探究】 (1)函数f(2x ＋1)的自变量是x ，而非2x ＋1，解不等式1≤2x＋1≤3即可．(2)函数f(2x ＋1)的自变量是x ，本题实质是知1≤x≤3，求2x ＋1的取值范围． 【解】 (1)∵函数f(x)的定义域为[1，3]，即x∈[1，3]，函数f(2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f(x)中x 的范围相同，∴2x ＋1∈[1，3]，∴x ∈[0，1]， 即函数f(2x ＋1)的定义域是[0，1]． (2)∵x∈[1，3]，∴2x ＋1∈[3，7]， 即函数 f(x)的定义域是[3，7]．若已知f(x)的定义域为[a ，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b 求出；若已知f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．已知函数f(x)的定义域为(0，1)，则f(2x)的定义域为__________．【解析】 因为f(x)的定义域为(0，1)，所以要使f(2x)有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f(2x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12已知f(x)＝1＋x (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f[g(3)]的值．【思路探究】 (1)令x ＝2代入f （x ），g （x ）→得出f （2），g （2） (2)求g （3）→求f[g （3）]【解】 (1)∵f(x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13，又∵g(x)＝x 2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.1．f(x)表示自变量为x 的函数，如f(x)＝2x ，而f(a)表示的是当x ＝a 时的函数值，如f(x)＝2x 中f(3)＝2×3＝6.2．求f{f[f(x)]}时，一般要遵循由里到外的原则．在题设条件不变的情况下，求g[f(3)]的值． 【解】 ∵f(3)＝11＋3＝14，∴g[f(3)]＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2＝3316.1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只须两个函数的定义域和对应关系一致即可．2．f(x)是函数符号，f 表示对应关系，“y ＝f (x)”为“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y 等于f 与x 的乘积”．3．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这是求某函数定义域的依据．相等函数判断中的误区下列各组函数相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝|x|＋1和y ＝(x －1)2＋1C ．y ＝2x 和y ＝2x(x≤0)D ．y ＝x 2＋1和y ＝t 2＋1【易错分析】 易失分点一：忽视函数定义域，误认为y ＝x 2－1x －1＝x ＋1，而误选A.易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B. 【防范措施】 1.判断函数相等时，对较为复杂的函数解析式的化简要慎重，注意其等价性，本例对选项A 中第二个函数解析式的化简易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数．2．定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数才相等．【解析】 A 错误，由于函数y ＝x 2－1x －1中要求x －1≠0，即x≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．B 错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．C 错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．D 正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数． 【答案】 D——[类题尝试]————————————————— 下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f(x)＝x ＋1·x －1，g(x)＝（x ＋1）（x －1） B ．f(x)＝(2x －5)2，g(x)＝2x －5 C ．f(x)＝1－x x 2＋1与g(x)＝1＋x x 2＋1D ．f(x)＝（x ）4x 与g(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t t 2【解析】 A 中，f(x)＝x ＋1·x －1的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝（x ＋1）（x －1）的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f(x)＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥52，g(x)＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f(x)＝1－x x 2＋1与g(x)＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不相等．D 中，f(x)＝（x ）4x＝x(x＞0)与g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t t 2＝t(t ＞0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．【答案】 D。

第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2xC ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考某某卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·某某高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值X 围是________．[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的X 围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的X 围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．。

1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念1．对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2( )A.4 B ．3 C 3．已知函数f(x)＝x 2＋|x －2|，则f(1)＝________. 4．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x －2；(2)f(x)＝3x ＋2；(3)f(x)＝x ＋1＋12－x.课堂巩固1．下列两个函数相等的是( )A ．y ＝x 2与y ＝xB ．y ＝4x 4与y ＝|x| C ．y ＝|x|与y ＝3x 3D ．y ＝x 2与y ＝x 2x2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x|x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≥1或x ≤0}D ．{x|0≤x ≤1}3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x>0.若f(x)＝17，则x 等于… ( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．4或－4或－1724．已知两个函数f(x)和g(x)，其定义如下表：5．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为__________．6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.7．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x＋1)的定义域是________．8．求下列函数的定义域：(1)y＝2x－1－7x；(2)y＝(x＋1)0 |x|－x.1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②2．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费，由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为()A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元3.已知a是实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1( )A ．90元B ．80元C ．70元D ．60元 5．对于两种运算：＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b)2，则函数f(x)＝(x ⊗2)－2的解析式为( )A ．f(x)＝4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f(x)＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f(x)＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f(x)＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3,9}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．7个7．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x<2，2x ，x ≥2，若f(x)＝3，则x ＝______.8．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋23)的定义域为__________．9．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？10．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，边坡的倾斜角是45°.(1)试将横断面中水的面积A(m 2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．答案与解析1．2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念课前预习1．B ②不对，如f(x)＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．2．B x ＝6∈(5,10]，故y ＝3. 3．2 f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2.4.解：(1)∵x －2＝0，即x ＝2时，分式1x －2无意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2有意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≥－23}．(3)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x|x ≥－1且x ≠2}．课堂巩固1．B y ＝x 2＝|x|，它与y ＝x 的对应关系不同，与y ＝x 2x＝x(x ≠0)的定义域不同．y＝3x 3＝x ，它与y ＝|x|的对应关系不同．2．D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.3．B 当x ≤0时，由x 2＋1＝17，得x ＝－4；当x>0时，由－2x ＝17，得x ＝－172不合题意．综上可知x ＝－4.4．3 2 1 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 5．{－1,1,3,5,7} ∵x ＝1,2,3,4,5， ∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 6.73 令3x ＋2＝4，得x ＝23，则2x ＋1＝2×23＋1＝73，∴a ＝73. 7．[－1,1] 由函数的对应关系知0≤x ＋1≤2，解得－1≤x ≤1.8．解：(1)要使函数解析式有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，∴0≤x ≤17.∴函数的定义域为{x|0≤x ≤17}．(2)要使函数解析式有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x|－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x<0，∴x<0且x ≠－1. ∴函数的定义域为{x|x<0，且x ≠－1}．课后检测1．C ①的定义域不是M ；④不是函数．2．C ∵m ＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 3．C 在f(x)＝ax 2＋x ＋1中，当a ＝0时，函数是一次函数，定义域和值域都是R . 4．C 当每间住房定价为90元时收入4 500元；当每间住房定价为80元时收入4 800元；当每间住房定价为70元时收入4 900元；当每间住房定价为60元时收入4 800元；当每间住房定价为50元时收入4 500元．5．D ∵＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2＝|x －2|，∴f(x)＝4－x 2|x －2|－2.∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|≠2， ∴x ∈[－2,0)∪(0,2]，f(x)＝－4－x 2x.6．B 由2x 2＋1＝3，得x ＝±1；由2x 2＋1＝9，得x ＝±2.将其一一列出，可组成9个“孪生函数”．7.3 按区间不同分别讨论，x ＋2＝3，x ＝1，这与x ≤－1相矛盾；x 2＝3，x ＝±3， ∵－1<x<2，∴x ＝3；2x ＝3，x ＝1.5，这与x ≥2相矛盾．8．[0，13] 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎨⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]． 9．解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形． 点评：判断一幅图象是不是函数图象，关键是看对给定的定义域内的任意一个x 是否都有唯一确定的函数值y 与之对应．若存在一个x 对应两个或两个以上y 的情况，就不是函数图象．函数图象是数形结合的基础．10．解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h) m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h)]h 2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0＜h ＜1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h(0＜h ＜1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A ＜6.84.故值域为{A|0＜A ＜6.84}．(3)函数图象如下确定． 由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．点评：建立函数解析式的关键是找到自变量、对应关系和函数值．对于实际问题，函数的定义域除了使解析式有意义外，还要考虑到它的实际意义．。

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 D 是含数 1 的有限实数集，f (x ) 是定义在 D 上的函数．若 f (x ) 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1) 的可能取值只能是 ( ) A ． √3B ．√32C ．√33D ． 02. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8123. 定义“函数 y =f (x ) 是 D 上的 a 级类周期函数”如下：函数 y =f (x )，x ∈D ，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有 af (x )=f (x +T ) 恒成立，此时 T 为 f (x ) 的周期．若 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的 a 级类周期函数，且 T =1，当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2x +1，且 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． [56,+∞)B ． [2,+∞)C ． [53,+∞)D ． [10,+∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞) 上单调递增的函数是 ( ) A ． y =cosxB ． y =x 3C ． y =log 12xD ． y =e x +e −x5. 若函数 f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1)=12，f (x +2)=f (x )+f (2)，则 f (5)= ( )A ． 0B ． 1C ． 52D ． 56. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤12x ,x >1，则 f(f (3)) 等于 ( )A ． 15B ． 3C ． 23D ．1397. 已知函数 f (x )={x 2−2ax +2a,x ≤12x −alnx,x >1．若关于 x 的不等式 f (x )≥a 2 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√e] B ． [0,32] C ． [0,2]D ． [0,2√e]8. 函数 f (x )=2x 2+2x x+1是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9. 已知函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则实数 a 的值为 ( ) A ． −12B ． 12C ． −1D ． 110. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AD =DC =2，CB =√2，动点 P 从 A 点出发，按照 A →D →C →B 路径沿边运动，设 P 点运动的路程为 x ，△APB 的面积为 y ，则函数 y =f (x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 记 t =x +y −a(x +2√2xy)，x >0，y >0．已知对任意的 x >0，y >0，恒有 t ≥0，则实数 a 的取值范围为 ．12. 若函数 f (x )=√1−log 2x 的反函数为 f −1(x )，则 f −1(x ) 的值域为 ．13. 已知函数 f (x )={x 2,x ≤0−x 2,x >0，则 f [f (−2)]= ．14. 已知函数 f (x )=sinx +tanx ．项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈(−π2,π2)，且公差 d ≠0，若 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 27)=0，则当 k = 时，f (a k )=0．15. 试写出一个与函数 y =x 2 定义域和值域都相同的函数 ．16. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时，f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 ．三、解答题（共6题）17. 某工厂有一段旧墙长 14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126 m 2 的厂房，工程条件是：（1）建 1 m 新墙的费用为 a 元； （2）修 1 m 旧墙的费用为 a4 元；（3）拆去 1 m 的旧墙，用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为 a2 元． 经讨论有两种方案：①利用旧墙一段 x m (0<x <14) 为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14． 试写出两种方案中总费用关于 x 的函数关系．18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 已知函数 f (x ) 对一切实数 x ，y 都有 f (x +y )=f (x )+f (y )．(1) 求证：f (x ) 是奇函数；(2) 若 f (−3)=a ，试用 a 表示 f (12)．20. 判断函数 f (x )={x 2−2x +3,x >0,0,x =0,−x 2−2x −3,x <0. 的奇偶性．21. 设函数 y =f (x ) 的表达式为 f (x )=x 2+∣x −a ∣，其中 a 为实常数．(1) 判断函数 y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由； (2) 设 a >0，函数 g (x )=f (x )x在区间 (0,a ] 上为严格减函数，求实数 a 的最大值．22. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1)=1，对于任意的 x 1,x 2∈R (x 1≠x 2)，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0．(1) 解关于 x 的不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0；(2) 若 f (x )≤m 2−2am +1 对所有 x ∈[−1,1]，a ∈[−1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】抽象函数2. 【答案】B【解析】当 m =2 时，f (x )=(n −8)x +1，要使其在区间 [12,2] 上单调递减，则 n −8<0⇒n <8，于是 mn <16，则 mn 无最大值．当 m ∈[0,2) 时，f (x ) 的图象开口向下，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≤12，即 2n +m ≤18，又 n ≥0，则 mn ≤m (9−m2)=−12m 2+9m ． 而 g (m )=−12m 2+9m 在 [0,2) 上为增函数，所以 m ∈[0,2) 时，g (m )<g (2)=16，故 m ∈[0,2) 时，mn 无最大值． 当 m >2 时，f (x ) 的图象开口向上，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≥2，即2m +n ≤12，而 2m +n ≥2√2m ⋅n ，所以 mn ≤18，当且仅当 {2m +n =12,2m =n. 即 {m =3,n =6. 时，取“=”，此时满足 m >2． 故 (mn )max =18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性3. 【答案】C【解析】 f (n +1)=af (n )=a (2n +1)≥2(n +1)+1，a ≥1+22n+1 对 n ≥1，n ∈N ∗ 恒成立， 所以 a ≥(1+22n+1)max=1+23=53．【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】 y =cosx 是偶函数，但在 (0,+∞) 不是单调递增，y =x 3 和 y =log 12x 2 不是偶函数，所以只有 y =e x +e −x 满足题意． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性5. 【答案】C【解析】因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (−1)=−f (1)， 又 f (x +2)=f (x )+f (2)，令 x =−1，得 f (1)=f (−1)+f (2)， 于是 f (2)=2f (1)=1；令 x =1，得 f (3)=f (1)+f (2)=32，于是 f (5)=f (3)+f (2)=52． 故选C ．【知识点】函数的奇偶性、抽象函数6. 【答案】D【解析】因为 f (3)=23≤1，所以 f(f (3))=(23)2+1=139．【知识点】分段函数7. 【答案】C【知识点】分段函数、恒成立问题8. 【答案】D【解析】因为 f (x )=2x 2+2x x+1的定义域为 {x∣ x ≠−1}，定义域不关于原点对称，所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数． 【知识点】函数的奇偶性9. 【答案】A【解析】函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，所以当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ， −x <0，即 f (−x )=2x −2−x ， 所以 f (x )=f (−x )，同理当 x <0 时，f (x )=2−x −2x ， 则 −x >0，则 f (−x )=2−x −2x ， 即 f (x )=−f (−x )，综上可知，函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0 为偶函数，当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ，此时 f (x ) 单调递增， 所以由偶函数对称性可知当 x <0 时 f (x ) 单调递减，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则需 ∣2x +1∣≥∣x −a ∣，两边同时平方，移项化简可得3x2+(2a+4)x+1−a2≥0，由二次函数性质，可得Δ=(2a+4)2−4×3×(1−a2)≤0，化简可得(2a+1)2≤0，由平方数性质可知(2a+1)2≥0，所以只能是(2a+1)2=0，解得a=−12．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性、分段函数10. 【答案】A【解析】当x∈[0,2]时，y=f(x)=√2+12，x，y与x成正比，故排除C，D；当x∈(2,4]时，y=f(x)=1+√2，△APB的面积保持不变，排除B．故选A．【知识点】函数图象、函数的表示方法二、填空题（共6题）11. 【答案】{a∣ a≤12}【解析】由t≥0，得x+y≥a(x+2√2xy)．因为x>0，y>0，所以a≤x+2√2xy．因为2√2xy≤x+2y，所以x+2√2xy ≥x+yx+(x+2y)=12，当且仅当x=2y>0时，等号成立，因为a≤12，所以实数a的取值范围是{a∣ a≤12}．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】(0,2]【解析】求原函数定义域即解不等式1−log2x>0．【知识点】函数的值域的概念与求法13. 【答案】−16【解析】f[f(−2)]=f(4)=−16．【知识点】分段函数14. 【答案】14【解析】提示：函数 f (x )=sinx +tanx 为奇函数，a 1+a 27=a 2+a 26=⋯=2a 14=0 时，满足题意．又因为此函数在 (−π2,π2) 上为增函数，所以 k 只能等于 14． 【知识点】函数的奇偶性、等差数列15. 【答案】 y =(x +1)2（答案不唯一）【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 (−5,0)∪(5,+∞)【解析】因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)=0， 又当 x <0 时，−x >0，所以 f (−x )=x 2+4x ． 又 f (x ) 为奇函数，所以 f (−x )=−f (x )， 所以 f (x )=−x 2−4x (x <0)， 所以 f (x )={x 2−4x,x >00,x =0−x 2−4x,x <0①当 x >0 时，由 f (x )>x 得 x 2−4x >x ，解得 x >5； ②当 x =0 时，f (x )>x 无解；③当 x <0 时，由 f (x )>x 得 −x 2−4x >x ，解得 −5<x <0． 综上，不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 (−5,0)∪(5,+∞)． 【知识点】函数的奇偶性、二次不等式的解法三、解答题（共6题）17. 【答案】方案①：修旧墙费用为 x ⋅a4 元，拆旧墙造新墙费用为 (14−x )⋅a2 元，其余建新墙费用为 (2x +2×126x−14)a 元，∴ 总费用 y =7a (x4+36x−1)(0<x <14)．方案②：利用旧墙费用为 14⋅a 4=7a 2（元），建新墙费用为 (2x +252x−14)a （元），总费用 y =2a (x +126x)−212a (x ≥14)．【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1， 所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]， 所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)， 所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）． 因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)， 所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)． (3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数， 所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)．转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R. 即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 由已知 f (x +y )=f (x )+f (y )， 令 y =−x 得 f (0)=f (x )+f (−x )， 令 x =y =0 得 f (0)=2f (0)， 所以 f (0)=0， 所以 f (x )+f (−x )=0， 即 f (−x )=−f (x )， 故 f (x ) 是奇函数．(2) 由（1）知 f (x ) 为奇函数． 所以 f (−3)=−f (3)=a ， 所以 f (3)=−a ．又 f (12)=f (6)+f (6)=2f (3)+2f (3)=4f (3)， 所以 f (12)=−4a ．【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】若 x >0，则 −x <0，f (−x )=−(−x )2−2(−x )−3=−x 2+2x −3=−f (x )； 若 x =0，则 −x =0，f (−x )=f (0)=0=−f (0)；若 x <0，则 −x >0，f (−x )=(−x )2−2(−x )+3=x 2+2x +3=−f (x )． 综上所述 f (−x )={−x 2+2x −3,x >0,0,x =0,x 2+2x +3,x <0.所以 f (−x )=−f (x )，所以 f (x ) 是奇函数．【知识点】函数的奇偶性21. 【答案】(1) 当 a =0 时，y =f (x ) 为偶函数；当 a ≠0 时，y =f (x ) 为非奇非偶函数；(2) a ∈(0,1]．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 因为对于任意 x 1,x 2∈[−1,1]，x 1≠x 2，总有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是递增的奇函数．不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0 变形为不等式 f (x 2−3ax )<−f (2a 2)=f (−2a 2)， 所以 x 2−3ax +2a 2<0⇒(x −2a )(x −a )<0． ①当 a >0 时，不等式解集为 {x∣ a <x <2a }； ②当 a =0 时，不等式解集为 ⌀；③当 a <0 时，不等式解集为 {x∣ 2a <x <a }．(2) 所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是增函数，且 f (x )max =f (1)=1．所以问题转化为 t 2−2αt −1≥f (x )max =f (1)=1 对任意的 α∈[−1,1] 恒成立． 令 g (α)=m 2−2αm +1，α∈[−1,1]，只需 {g (1)=m 2−2m +1≥1,g (−1)=m 2+2m +1≥1, 解得 m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2．所以实数 m 的取值范围为 {m∣ m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2}． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性。

§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是( )2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是( )A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点( )A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为( )A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为( )A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A．k<0或k>4B．0≤k<4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x)等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x )C.1f xD.1f －x2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( ) A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞) 6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (x －a )＋f (x ＋a )(0<a <12)的定义域为( )A ．∅B ．[a,1－a ]C ．[－a,1＋a ]D ．[0,1]13．已知函数(1)求f (－3)，f [f (－3)]；(2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若f (a )＝12，求a 的值．否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C [C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C [值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C [当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A [当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a＝ 3.]5．B [由－1≤x2≤4，得x2≤4，∴－2≤x≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx2＋kx＋1≠0对任意实数x恒成立，当k＝0时，1≠0恒成立，∴k＝0符合题意．当k≠0时，Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4，综上，知0≤k<4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝x －＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12) 解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎨⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4， 又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25. 11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.] 13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5， ∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

第三章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(B)A．(－4,3) B．(－4,2]C．(－∞，2] D．(－∞，3)解析：∵集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|－4<x≤2}，用区间表示为(－4,2]，故选B.2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(B)解析：代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；又f(－1)＝2，∴排除D.3．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值X围是(D)A．a≤2 B．a≥－2C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2，或a≥2.4．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：令3x ＋2＝t ，则3x ＝t －2，故f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2. 5．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( A ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( D )A ．(－∞，3)B ．(3，＋∞)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.7．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( C )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.8．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( C )A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．9．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则a 的值为( C ) A ．0 B ．1或2 C ．1D ．2解析：二次函数y ＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象开口向上，且对称轴为x ＝a ，所以该函数在[0，a ]上为减函数，因此有a ＋2＝3且a 2－2a 2＋a ＋2＝2，得a ＝1.10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A. 11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，故④正确．12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值X 围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2)∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m ≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 1上为增函数．函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值X 围是(0,1]∪[3，＋∞)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≥2，2x ，x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝ 6.解析：∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6， 当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6.14．若函数f (x )＝x(x ＋1)(2x －a )为奇函数，则a ＝2.解析：由题意知x ≠－1且x ≠a2.因为函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故x ≠1，即a2＝1，a ＝2.15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫1，32.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋a －1，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥(3－2a )×1－1，解得1≤a <32.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求f (－1)以及实数m 的值；(2)在给出的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象并写出f (x )的单调区间．解：(1)由已知得f (1)＝1， 又f (x )为奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－1.又由函数表达式可知f (－1)＝1－m ，所以1－m ＝－1，所以m ＝2. (2)y ＝f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1]．y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 18．(12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，某某数a 的取值X 围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值X 围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1， 化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.19．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求：(1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)， 由2≤x 1<x 2≤6可得2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减． 故当x ＝2时，f (x )取得最大值－43；当x ＝6时，f (x )取得最小值－127.20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|，a 为实数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,3]上的最小值和最大值；(2)若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1或x >2，2x 2－x －2，－1≤x ≤2，结合图象可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14 ，3上单调递增， f (x )在[0,3]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫14＝－178， f (x )在[0,3]上的最大值为f (3)＝5. (2)令x 2－ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0， 必有两根x 1＝a －a 2＋82，x 2＝a ＋a 2＋82， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 2＋82≥－1a 4≤2，即可，解得1≤a ≤8.21．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费时，超过部分每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：的值． 解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m . ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②， 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a . ④ ③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1. (1)求m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)若f (x )≤a 3对x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13恒成立，求a 的取值X 围． 解：(1)因为奇函数f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.故有f (0)＝0＋m 02＋n ×0＋1＝0， 解得m ＝0.所以f (x )＝x x 2＋nx ＋1. 由f (－1)＝－f (1)．即－1(－1)2＋n ×(－1)＋1＝－112＋n ×1＋1， 解得n ＝0.所以m ＝n ＝0.(2)证明：由(1)知f (x )＝x x 2＋1，任取－1<x 1<x 2<1. 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1 ＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 22－x 2x 21＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1， 所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝310.由题意可得a 3≥310，解得a ≥910. 故a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫910，＋∞.。

1．2．1函数的概念（教学设计）教学目的：1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程：一、复习回顾，新课引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？观察对应：求平方B B二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；{}A x x f ∈|)(：值域，其中{}A x x f ∈|)(B ；f ：对应法则 ，x A ， y B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 例1：(tb0107701)判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？ （1）x 2+y=1 （2）x+y 2=1 答：（1）是；（2）不是。

新课标高一数学同步测试（4）—第一单元（函数的基本性质）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．下面说法正确的选项 （ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ）A ．1=yB ．21+-=x x yC ．122---=x x yD ．21x y += 3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围（ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-<b4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有 （ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值5．函数px x x y +=||，R x ∈是 （ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与p 有关6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定 7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[ D ．]3,2[-8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ） A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ）A ．)2()2()3(f f f <<B ．)2()3()2(f f f <<C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f << 10．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（ ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .12．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g为偶函数，则)(x f = .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15．（12分）已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 。