一类四阶微分方程周期边值问题正解的存在性
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一类四阶超线性微分方程组的边值问题
摘
要 ： 究 了一 类 四 阶超 线性 微 分 方程 组 边 值 问题 解 的 存 在 性 以及 多解 性 ． 用 的 方 法 是 经 典 的 变分 技 巧 研 所
和 Ｃａ ｌ ｋ定 理 ． 究 结 果 将 文 献 中单 个 方 程 的 相 关 结 论 推 广 到 方 程 组 的 情 形 ， 且 将 非 线 性 项 为 ３次 增 长 推 广 ｒ 研 并
梁 的稳 定 性 和数 值 方 法 的 研 究 都 更 加 全 面 和 有 益， 并且 在理论 和实 际 中还 有 着 许 多其 它 应 用． 因
而， 近年来 有 大 量 关 于 在 各 种 边 界 条 件 下 的 四阶 方 程边值 问题 解 的研 究 成果 Ｊ 例如 在 文献 ［ ］ ． ２ 和 ［ ］ ， 者 用 Ｃａ ３中 作 ｌ ｋ定 理研 究 了一 类 特 殊 的 四 ｒ
第 ９卷 第 ３ 期 ２１ ０ ０正 ６月
广州 大学 学报 （自然 科学 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｕ ｎｚｏ ｎｖｒｉ （ ａ ’ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ａｇｈ ｕＵ ｉ ｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ Ｇ ｅ ｔ ｍｌ ｅ ｉ
Ｖｏ． Ｎｏ． １９ ３
（） １
中， 大都 是用 四 阶微 分 方 程 边 值 问题 来 描 述 弹 性
梁 平衡状 态 的形变 ． 实 ， 其 问题 的 可解 性对 于 相 应
其 中 ｎ ｂ∈Ｃ Ｒ， ， ， （ Ｒ） Ｆ∈Ｃ （ ， ． Ｒ。Ｒ）
本 文 的基 本假 设是 ： （ ６ ）＞ ，（ ＞０ Ａ）， ｌ （ ０ ｂ ） ．
广州大 学学报 （ 自然科 学版 ）
第ｂ ２ １ —￣２ ａ ］ ｄ ， ２． ＋＋ Ｖ４
（ ）＝（ （ ， ） （ ， ） Ｌ ０Ｌ ｎ ０ Ｌ ）．
一类四阶随机微分方程边值问题正解的存在性
第３ ２卷
第 １期
兰
州
交
通大学学 Nhomakorabea报
Ｖｏ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
２ ０ １ ３年 ２月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｊ ｉ ａ ｏ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
文章编号 ： ｌ Ｏ Ｏ １ — ４ ３ ７ ３ （ ２ Ｏ １ ３ ） Ｏ １ － ０ １ ８ ５ － ０ ４
为以下 四阶边值问题 ｆ “ ’ （ ｆ ） 一ｆ （ ｔ ， （ ￡ ） ， ’ （ ￡ ） ） ， ０ ＜ｔ ＜１ ．
ｍ ａ ｘ 鼢
ｆ ｏ— ｌ ｉ ｍ ｍｉ ｎ ｉ ｎ ｆ
一
，
生
一
ｌ （ ０ ） 一 （ １ ） 一 （ ｏ ） ＝ （ １ ） ：０ ．
２ 个正解的存在性 ， 这里 ，： ｎ×［ Ｏ ， １ ］ ×［ Ｏ ， ＋ｏ ｏ ） ×（ 一。 。 ， ０ ３ 一［ Ｏ ， ＋ｏ 。 ） 是连 续可测 函数．
关键词 ： 边值 问题 ； 正 解； 锥； 随机 不动 点定理 中图分类号 ： Ｏ１ ７ ５ ． ８ 文献 标志码 ： Ａ
在 自然 界 和现实 世界 中 ， 所 谓 的“ 噪 声”和 随机
Ｉ （ 叫 ） ∈Ｓ ） ∈ ． 算子 Ａ ： ×Ｅ— Ｅ称为随机算子 ， 对任意的 ∈Ｅ ， Ａ（ ∞ ， ） 为Ｅ 一 值随机变量 ， 即对 Ｅ中的任意闭 集Ｓ ， 集合 ｛ 叫∈ Ｉ Ａ（ ∞ ， ） ∈Ｓ ｝ ∈三； 随机连续有 界算子 Ａ： × 一 Ｅ称为Ｅ一 值随机半闭 １ － 集压 缩算子 ， 对几乎所有的 ∈０， Ａ（ ， ・ ） 是 上半闭 １ ． 集压缩算子 ， 且对任意的 ∈ ， Ａ（ ・ ， ） ： — Ｅ 是 Ｅ一 值随机算子 ； 设 Ａ是随机算子 ， （ ∞ ） 是 Ｅ一 值随机变量， 若 Ａ（ ｃ ｃ ， ， （ （ ｔ Ｊ ） ） ＝ ） ， 则称 （ ） 是随机方程 ＡＧ ｏ ， ｅ （ ∞ ） ）＝ （ ｃ ｃ ， ） 的随机不动点．
第 １期
兰
州
交
通大学学 Nhomakorabea报
Ｖｏ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
２ ０ １ ３年 ２月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｊ ｉ ａ ｏ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
文章编号 ： ｌ Ｏ Ｏ １ — ４ ３ ７ ３ （ ２ Ｏ １ ３ ） Ｏ １ － ０ １ ８ ５ － ０ ４
为以下 四阶边值问题 ｆ “ ’ （ ｆ ） 一ｆ （ ｔ ， （ ￡ ） ， ’ （ ￡ ） ） ， ０ ＜ｔ ＜１ ．
ｍ ａ ｘ 鼢
ｆ ｏ— ｌ ｉ ｍ ｍｉ ｎ ｉ ｎ ｆ
一
，
生
一
ｌ （ ０ ） 一 （ １ ） 一 （ ｏ ） ＝ （ １ ） ：０ ．
２ 个正解的存在性 ， 这里 ，： ｎ×［ Ｏ ， １ ］ ×［ Ｏ ， ＋ｏ ｏ ） ×（ 一。 。 ， ０ ３ 一［ Ｏ ， ＋ｏ 。 ） 是连 续可测 函数．
关键词 ： 边值 问题 ； 正 解； 锥； 随机 不动 点定理 中图分类号 ： Ｏ１ ７ ５ ． ８ 文献 标志码 ： Ａ
在 自然 界 和现实 世界 中 ， 所 谓 的“ 噪 声”和 随机
Ｉ （ 叫 ） ∈Ｓ ） ∈ ． 算子 Ａ ： ×Ｅ— Ｅ称为随机算子 ， 对任意的 ∈Ｅ ， Ａ（ ∞ ， ） 为Ｅ 一 值随机变量 ， 即对 Ｅ中的任意闭 集Ｓ ， 集合 ｛ 叫∈ Ｉ Ａ（ ∞ ， ） ∈Ｓ ｝ ∈三； 随机连续有 界算子 Ａ： × 一 Ｅ称为Ｅ一 值随机半闭 １ － 集压 缩算子 ， 对几乎所有的 ∈０， Ａ（ ， ・ ） 是 上半闭 １ ． 集压缩算子 ， 且对任意的 ∈ ， Ａ（ ・ ， ） ： — Ｅ 是 Ｅ一 值随机算子 ； 设 Ａ是随机算子 ， （ ∞ ） 是 Ｅ一 值随机变量， 若 Ａ（ ｃ ｃ ， ， （ （ ｔ Ｊ ） ） ＝ ） ， 则称 （ ） 是随机方程 ＡＧ ｏ ， ｅ （ ∞ ） ）＝ （ ｃ ｃ ， ） 的随机不动点．
一类四阶奇异边值问题的多重正解
（ ） 。 Ｌ （） ｉ ） Ｈ２ ｈ ∈ ， ，ｈ（ ｚ ０ ∈ Ｊ， 一 １ ２ 且 在 ，的 任 何 子 区 间 上 不 恒 为 ０ ，Ｖ ｚ ｉ ，， ；
（ ） ， Ｈ３ ＞ ０ 且 为常数 ； ，
（ ）口 Ｊ∈ Ｒ， 三一 ／ ，口 一 ＋ ／ ＜ １ Ｈ４ ， ９ 口三 ４ ／ ＝ ．
一
１ｓ ￣， 一 ｏｓ ￣．证 毕 ． ／ｉ ｎ 毪 ４ｉ ｎ
考虑 线性边 值 问题
ｆ “ （ ）＋ 触 ”ｚ ｕ ｚ （ ）一 姚 （ ）一 ｐ ｘ ， ｚ∈ ｚ （ ）
Ｉ（ 一“１一“ ｏ 一“ １ 一ｏ “ｏ （ ） ） ” ） ”） ， （ （
其 中 户（ ）∈ ｚ （） ，由
口 ｚ “ （ ）＋ 一 彻 一 ２ｚ） “， ， ｚ ∈ Ｊ （ ｇ（ ） （） １
Ｌ ０ （ ）： “ １ （ ）一 口（ ）一 口 １ Ｏ （ ）： （ ）： （ ）一 （ ）一 （ ）一 ０ Ｏ １ Ｏ １
记 Ｊ一 （ ， ） Ｉ： ［ ，１ ， 里 我们假 设 有下列 条 件 Ｏ１， Ｏ ］这 （ ） ｇ： Ｈ１ ｆ， ，× ［ ，＋ ｃ ）— Ｏ Ｏ ｏ ［ ，＋ ｃ ）连续 ； ｏ
三 ＞ 一 ． 三 ＝
设 Ｇ（，）（ ｆｓ 一 １ ２ ，）是下 列线 性边 值 问题 的格林 函数
一
（ ）＋ 雎 （ ）一 ０， （ ）一 （ ）一 ０， ｆ ｆ Ｏ １
则有 以下 引理 引理 １ Ｇ （，）（ ｓ 一 １ ２ 满 足下列 性质 ｆ ，）
（）Ｇ （ ，）＞ ０ ， ｉ ｆｓ ，Ｖ ｔ ｓ∈ Ｊ，
，
０
ｓ
ｔ
１ ．
由 （，） 达 式 知 Ｇ （，）＞ ０ Ｖ ｔｓ Ｊ 且 易 证 ￡ｓ 表 ￡ｓ ， ， ∈ ，
（ ） ， Ｈ３ ＞ ０ 且 为常数 ； ，
（ ）口 Ｊ∈ Ｒ， 三一 ／ ，口 一 ＋ ／ ＜ １ Ｈ４ ， ９ 口三 ４ ／ ＝ ．
一
１ｓ ￣， 一 ｏｓ ￣．证 毕 ． ／ｉ ｎ 毪 ４ｉ ｎ
考虑 线性边 值 问题
ｆ “ （ ）＋ 触 ”ｚ ｕ ｚ （ ）一 姚 （ ）一 ｐ ｘ ， ｚ∈ ｚ （ ）
Ｉ（ 一“１一“ ｏ 一“ １ 一ｏ “ｏ （ ） ） ” ） ”） ， （ （
其 中 户（ ）∈ ｚ （） ，由
口 ｚ “ （ ）＋ 一 彻 一 ２ｚ） “， ， ｚ ∈ Ｊ （ ｇ（ ） （） １
Ｌ ０ （ ）： “ １ （ ）一 口（ ）一 口 １ Ｏ （ ）： （ ）： （ ）一 （ ）一 （ ）一 ０ Ｏ １ Ｏ １
记 Ｊ一 （ ， ） Ｉ： ［ ，１ ， 里 我们假 设 有下列 条 件 Ｏ１， Ｏ ］这 （ ） ｇ： Ｈ１ ｆ， ，× ［ ，＋ ｃ ）— Ｏ Ｏ ｏ ［ ，＋ ｃ ）连续 ； ｏ
三 ＞ 一 ． 三 ＝
设 Ｇ（，）（ ｆｓ 一 １ ２ ，）是下 列线 性边 值 问题 的格林 函数
一
（ ）＋ 雎 （ ）一 ０， （ ）一 （ ）一 ０， ｆ ｆ Ｏ １
则有 以下 引理 引理 １ Ｇ （，）（ ｓ 一 １ ２ 满 足下列 性质 ｆ ，）
（）Ｇ （ ，）＞ ０ ， ｉ ｆｓ ，Ｖ ｔ ｓ∈ Ｊ，
，
０
ｓ
ｔ
１ ．
由 （，） 达 式 知 Ｇ （，）＞ ０ Ｖ ｔｓ Ｊ 且 易 证 ￡ｓ 表 ￡ｓ ， ， ∈ ，
一类四阶方程边值问题正解的存在性与多重行
一类四阶方程边值问题正解的存在性与多重行
张建国;张福伟;刘进生
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2005(022)005
【摘要】本文得到了四阶方程边值问题
u(4)=f(u(x)),u'(0)=u″(0)=u″'(0)=0,ku(1)=u″'(1)相应的Green函数G(x,t).从而将该问题转化为Hammerstein型积分方程,并利用锥拉伸与锥压缩不动点定理,讨论了其正解的存在性与多重性,得到了相应的结论.
【总页数】5页(P864-868)
【作者】张建国;张福伟;刘进生
【作者单位】北方工业大学理学院,北京,100041;太原理工大学理学院,太
原,030024;太原理工大学理学院,太原,030024
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋
2.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋;
3.一类非线性四阶常微分方程边值问题正解的存在性 [J], 张亚莉
4.一类四阶微分方程m点边值问题两个正解存在性 [J], 赵微
5.一类四阶常微分方程非线性边值问题正解的存在性 [J], 赵中姿; 马如云
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四阶奇异非线性微分方程边值问题正解的存在性
第３ ４卷
第 ４期
曲 阜
师
范 大
学
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ． １３ ４ Ｏｃ ．２ ０８ ｔ ０
２０ ０ ８年 １ Ｏ月
Ｊｕｎ ｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏ ｒａ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ
四阶奇异非 线性微分 方程边值 问题正解的存在性
郭 晓 霞 ， 张 克梅
（ 曲阜师范大学数学科学学院，２３ ６ ７ １５，山东省 曲阜 市 ）
Ｃ
Ｇ （０Ｓ ｌｔ，）
≥ 。≤ …
因此 Ｇ （，） ０Ｇ （０ｓ ， ∈［ ， ０ ， ｌ ｓ ＞ ｌｔ，） ｔ ０１— ］ ｓ∈［ ，］ Ｖｔ ０ １ ］ １ ０ １ ． ∈［ ， —０ ，有
摘要 ： 考察一类带有参数 Ａ的四阶奇异非线性微分方程边值问题 ， 利用锥压缩和锥拉伸 Ｋａｎｓ ｓ ｉ ｒ ｏ ｌｉ ｓ ｅ ｋ
不 动点 定理 获得 其正 解的存在性．
关键词 ： 正解； 非线性奇异边值问题； 不动点定理 ； 锥
‘
中 图分 类 号 ： １５８ Ｏ ７．
文献 标识 码 ： Ａ
２ 引理 及 预 备 知 识
考察 赋予 范数 Ｉ ｌ ａ ｌ（） Ｉ Ｉ＝ ｍ ｘ ｔ Ｉ的 Ｂｎｃ 间 ｃ ｏ １ ．令 ｕ ａａｈ空 ［ ，］
。
Ｋ ｃ ，： ０ 露 ］ｔ≥ ｌ０ ０ 寺， ｉ∈ ［１ ≥ ， ） ０ ｌ ＜ ＜ ｊ ｏ］ （ ｌ ， ｌ
易知 为 ｃ ｏ Ｉ 中的锥． ［ ，］ 定 义 一个积 分算 子 ： Ｋ如下 ： Ｋ—
－
Ｊ ＂ Ｏ １ ０
为方便 讨论 ， 我们 做如下 假设 ， 并采 用 以下记 号 ：
（ 。 ０ Ｃ （ ，）［ ， ） Ｈ ） ∈ （０１ ，０∞）和０＜ ＩＧ（， ０ｓｄ ＜∞； ２ｓ ）（）ｓ １ ｓ
第 ４期
曲 阜
师
范 大
学
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ． １３ ４ Ｏｃ ．２ ０８ ｔ ０
２０ ０ ８年 １ Ｏ月
Ｊｕｎ ｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏ ｒａ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ
四阶奇异非 线性微分 方程边值 问题正解的存在性
郭 晓 霞 ， 张 克梅
（ 曲阜师范大学数学科学学院，２３ ６ ７ １５，山东省 曲阜 市 ）
Ｃ
Ｇ （０Ｓ ｌｔ，）
≥ 。≤ …
因此 Ｇ （，） ０Ｇ （０ｓ ， ∈［ ， ０ ， ｌ ｓ ＞ ｌｔ，） ｔ ０１— ］ ｓ∈［ ，］ Ｖｔ ０ １ ］ １ ０ １ ． ∈［ ， —０ ，有
摘要 ： 考察一类带有参数 Ａ的四阶奇异非线性微分方程边值问题 ， 利用锥压缩和锥拉伸 Ｋａｎｓ ｓ ｉ ｒ ｏ ｌｉ ｓ ｅ ｋ
不 动点 定理 获得 其正 解的存在性．
关键词 ： 正解； 非线性奇异边值问题； 不动点定理 ； 锥
‘
中 图分 类 号 ： １５８ Ｏ ７．
文献 标识 码 ： Ａ
２ 引理 及 预 备 知 识
考察 赋予 范数 Ｉ ｌ ａ ｌ（） Ｉ Ｉ＝ ｍ ｘ ｔ Ｉ的 Ｂｎｃ 间 ｃ ｏ １ ．令 ｕ ａａｈ空 ［ ，］
。
Ｋ ｃ ，： ０ 露 ］ｔ≥ ｌ０ ０ 寺， ｉ∈ ［１ ≥ ， ） ０ ｌ ＜ ＜ ｊ ｏ］ （ ｌ ， ｌ
易知 为 ｃ ｏ Ｉ 中的锥． ［ ，］ 定 义 一个积 分算 子 ： Ｋ如下 ： Ｋ—
－
Ｊ ＂ Ｏ １ ０
为方便 讨论 ， 我们 做如下 假设 ， 并采 用 以下记 号 ：
（ 。 ０ Ｃ （ ，）［ ， ） Ｈ ） ∈ （０１ ，０∞）和０＜ ＩＧ（， ０ｓｄ ＜∞； ２ｓ ）（）ｓ １ ｓ
一类高阶边值问题正解的存在唯一性
Ｖ ｏ ． Ｎｏ． １ ３ｌ １
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｊｎ ０ ７ ａ ．２ ０
文章编号 ：００５ ６ （０ ７０ ．０ ４０ １０ ．８２ ２ ０ ｝ １ ３．４ ０
一
类 高 阶边 值 问题 正解 的存 在 唯 一性
邓 义华 ， 彭 白 玉
（ 衡阳师 范学 院 数学系 ， 湖南 衡 阳 ４ １０ ） ２ ０ ８
在唯一 正解 的条 件 ． 为此 ， 虑如 下 ２ 考 ｎ阶方程 的定解 问题 ：
， 、
ｆ 一１“（“（）： 厂 （ ） ， Ｖｔ∈ ［ ，］ （ ） ）ｔ （ ｔ） ０１ ，
、
【 ２ （）： （ ’１ （ ’０ ２ （）：０ ，
ｋ：０ １…， 一１ ，， ， ， ｌ
Ｆ（ ＝ （（） （ ＝ （）ｕ ） ，Ｖ ∈［１ ｕ￡ ／ ￡， ￡ ｌ ￡，（ｄ ） ） ） Ｇ ， ｙ ｙ ￡ ０］ ） ，，
其 中 Ｇ ｔｓ 为相应 问题 的 Ｇｅｎ函数 （ ，） ｒｅ
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第 ３ 卷第 １ ｌ 期
２０ ０ ７年 １ 月
江西师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ＲＮ ＬＯＦＪＡ Ｘ ＲＭＡ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ＵＲ Ｌ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ ＯＵ Ａ Ｉ ＮＧ Ｉ ＮＯ Ｌ ＵＮ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ（ ＡＴ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ ）
Ｐ且 Ｕ ， 义 定
Ｍ（ ， Ｐ Ｕ ； ）：ｉ ｛ ∈ Ｒ Ｉ ｎ ｆ Ｕ≤ Ａ ｝ ｍ（ ， Ｐ ｖ ， ｕ ； ）：ｓｐ ／ Ｒ Ｉ ｖ≤ Ｕ ， ｕ｛ １∈ ， ｕ ｝
ｄ ｕ ； （ ， Ｐ）：Ｉ ｎ ； Ａ； Ｐ）：ｓｐ ｄ Ａ Ａ Ｐ）Ｉｕ ∈ Ｐ， ｕ — Ａｖ ， Ａ（ Ｐ， ｕ ｛ （ ｕ， ； ， Ａ ｝
一类4阶常微分方程系统边值问题正解的存在性
考虑 ４阶常微分 方程 系统边值 问题
“
¨ （）＝ ｔｕ ｔ ，（） Ｕ（） （ ） ，∈（ ， ） ｔ （ ， （） ｔ ，”ｔ ，”ｔ ） ｔ ０ １ ，
（） １
‘ （ ） ／ （ ， （） ， ， （） ，∈（ １ ￡ ＝ ｆ“ ｆ ，（ ） ｕ （） ） ￡ ０，） ’ ｕ０ “ １ （ ）＝ （ ）＝“（ ）＝ （ ）＝ ， ０ １ ０
词： 边值 问题 ；系统 ；正解 ； ｃ ａｄ ｒ Ｓ ｈｕ ｅ 不动 点定理
对非线性 项只要 求其 满足局部 条件 ．
中图分类 号 ： １５ Ｏ ７
献标识码 ： Ａ
文章编 号 ：６ ４—８ ２ （ ０ ０ ０ ０ １ ０ １７ ４ ５ ２ １ ）２－ １４— ４
Ｅｘｓｅ ｃ ｆＰｏ ｉｉｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ Ｃｌ ｓ ｆ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｓｔ ｏ ｕ ｉｎ ｆ ｒ Ａ ａ ｓｏ ｖ
ｔｒ ｏ ｌ ｅ ｄ ｏ ｓ ｔｓｙ ａ ｌｃ ｌｃ ｎ ｉ ｏ ． ｅ ｍ ｎ ｙ ｎ ｅ ｓ ｔ ａｉｆ ｏ ａ ｏ ｄｔ ｎ ｉ Ｋｅ ｒ ｓ：ｂ ｕｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｒ ｂ ｅ ；ｓ ｓｅ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ａｕｅ ｐ ｏ ｌｍ ｙ ｔ ｍｓ；ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌｔｏ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ｎ；Ｓ ｈ ｕ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ｖ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ｉ
Ｆｏ ｔ － ｏ ｄｅ ｙ ｔ ｍ ｓＢｏ ｎ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｓ ｕｒｈ — ｒ ｒ Ｓ ｓｅ ｕ ｄａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌｍ
Ｗ ＡＮＧ Ｊｎ —Ｘｉｎ ｉ － ａ ｇ
（ ｏ ｅｅｏ ｔｅ ａ ｃ ｎ ｎ ｒ ａｉ ｃｅｃ ， ｏｔ ｅｔ ｏｍ ｌ ｎｖｒｔ， ａｚｏ ３０ ０ Ｃ ｉ Ｃ ｌｇ ｆ ｈｍ ｔ ｓ ｄＩｆ ｍ ｔ ｎＳｉ ｅ Ｎ ｒ ｗ ｓ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉｅ ｉ Ｌ ｎｈｕ７ ０ ７ ， ｈｎ ｌ Ｍａ ｉ ａ ｏ ｏ ｎ ｈ ｓｙ ａ）
有序Banach空间一类四阶边值问题正解的存在性
厂 附加一些非紧性澳 ０ 度条件 文献 ［ ２ ］ 使用了如下的 非 紧性 测度 条件 ：
（ Ｐ 。 ） ｆ∈Ｃ ［ Ｊ × Ｐ ， Ｐ ］ ｔ ， ０ ） 毫０ ． 对Ｖ Ｒ＞０ ，
ｆ 在， × Ｐ 上一 一 致连续， 且存在０ ≤Ｌ＝ Ｌ ＜÷， 使
得 对 Ｖｔ ∈， ， Ｄ ｃＰ ， 有 （ ， Ｄ） ）≤如 （ Ｄ） ， 其 中
中的 在 ，×Ｐ 上 的一致 连续性 ， 即把条 件 （ Ｐ ｏ ）改
进为：
（ Ｈ 。 ）对 Ｖ Ｒ ＞０ ，Ｘ Ｐ ） 有界， 且存 在常数 ， Ｊ＝Ｌ Ｒ∈（ ０ ， ） 使得对 Ｖ ∈， ， Ｄ ｃ Ｐ Ｒ ， 有 （ ， （ ，
Ｄ） ）≤ Ｌ （ Ｊ Ｄ ） ．
阶边值 问题 ｆ “ ¨ （ ｔ ）＝ ｔ ， （ ｔ ） ） ， ｔ∈Ｊ ｒ ， 【 ｕ （ ０ ）＝ （ １ ）＝ ” （ Ｏ ）＝Ⅱ （ １ ）＝ 正 解 的存 在性 ， 其 中 ， ｘ Ｐ— Ｐ连 续． 在 一般 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 中四阶边值 问 题解 的存 在 性 只有很 少 的一些 研 究结 果 － ｌ ｊ ， 采 用 的方法 主 要 是拓扑 度及相 关 的不 动 点方 法 ¨ 。 。 与上 下解 的单 调迭代 方法． 本 文利 用凝 聚映射 的不 动 点指 数理 论 讨 论 了方程 （ １ ）正 解 的存在 性． 方程（ １ ）的 正解 是 指 ｕ∈ Ｃ （ ， ， Ｅ ）满 足方程 （ １ ） ， 并且 ｕ （ ｔ ）＞ ０ ， ０＜
用， 故本 文将使用 序条件 代替 （ Ｐ ）和 （ Ｐ ） ．
作者简介 ： 李小龙 （ １ ９ ７ ６ 一） ， 男， 讲师 ， 主要 从事抽象发展方程及其应用的研究
第 ３期
四阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性
内积 为
（ ， ［ “ ， ） （ ） （ ， ） ｄ ， ， ∈ Ｈ “ ） ２一 （ ＋ “ ， ＋ “ ｕ ］ “
相应 的范数记 为 Ｉ １ 根 据 Ｒ ｅｚ Ｊ・ｌ ． ｉｓ 定理 …和 Ｈｊ
收 稿 日期 ：０ ０ １ ０ ２ １ ０ ２
Ｃ ［ ，］ 紧嵌 入知 ， ０ １是 存在 Ｈｊ上 的线 性对 称 紧算 子 Ｋ
（ ，Ｈ一 。（ Ｂ） ） （ 一 （） ｄ“ ∈ Ｋ ： ｊ（— （）， ＋ （ Ａ￡“ ）ｆ， Ｈ． “ ） ［Ｉ ￡“ ） ，］，
因 此 泛 函
（ 一 １ Ｉ （ ，）（￡，］一 Ｆ，出 “ 专 ［ 。 Ｂ）“＋Ａ）“ （ ）一 ） ＋（， “ （ ） “ ￡ “
ｒ 一
由 Ａ（・） Ｂ（・） ｉ 性 知 ， 在 Ｇ≥ １ 使 得 ， 的 车续 存 ，
０ 引 言
我 们 主 要 考 虑 下 面 四 阶 Ｄ ｒ ｈｅ 边 值 问 题 ： ｉ ｃ ｌｔ ｉ
ｆ 一 （ ｆ ） “ Ｂ（） ＋Ａ（） ｆ“一 Ｖ ｚ“ ， ∈ Ｅ ，２ Ｆ（， ） ｆ ｏ１ ，
…
１（ ）一 Ｍ １ “０ （ ）一 Ｕ（）一 “（）一 ０ ｔ０ ｐ １ ，
［ ，］ Ｒ且满 足条件 ： ０ １ ×Ｒ 一
～
其 中 Ａ（）Ｂ（） Ｎ×『 对称 阵 ， ・） ， 是 ＼ 『 Ａ（ 连续 ， Ｂ（・） 连续 可 微且 （ ．， ≥ ｌ ｌ，ｔ ∈Ｅ ，］ Ｆ： Ｂ（）７ ２ ） 。 （， ） ｏ １ ×Ｒ ．
（ 对任意 ∈Ｒ Ｆ（・， 是 可测 函数 ， Ａ） ， ） 对几 乎处处 的 ｔ ０ １ ， ｔ ） 连续可 策 函数 ， ∈［ ，］ Ｆ（，・ 是 且存 在 ａ ∈ Ｃ（ Ｒ一， ） ｂ Ｅ ，］ Ｒ ， 得 Ｒ ， ∈Ｌ （ｏ １ ， ） 使 ｝ ｆ ’ ≤ （ ｏ １６￡ ，ｌＶ ｔｚ ≤ （ Ｆ（， ）｝三ａ １２ ） （） Ｆ（， ）１ ａ ｊ ｝６ ， ｚ ∈ Ｒ ａ ｃ ｔ Ｅ ， ］ ７ ） （） ，．． ∈ ｏ １ ．
（ ， ［ “ ， ） （ ） （ ， ） ｄ ， ， ∈ Ｈ “ ） ２一 （ ＋ “ ， ＋ “ ｕ ］ “
相应 的范数记 为 Ｉ １ 根 据 Ｒ ｅｚ Ｊ・ｌ ． ｉｓ 定理 …和 Ｈｊ
收 稿 日期 ：０ ０ １ ０ ２ １ ０ ２
Ｃ ［ ，］ 紧嵌 入知 ， ０ １是 存在 Ｈｊ上 的线 性对 称 紧算 子 Ｋ
（ ，Ｈ一 。（ Ｂ） ） （ 一 （） ｄ“ ∈ Ｋ ： ｊ（— （）， ＋ （ Ａ￡“ ）ｆ， Ｈ． “ ） ［Ｉ ￡“ ） ，］，
因 此 泛 函
（ 一 １ Ｉ （ ，）（￡，］一 Ｆ，出 “ 专 ［ 。 Ｂ）“＋Ａ）“ （ ）一 ） ＋（， “ （ ） “ ￡ “
ｒ 一
由 Ａ（・） Ｂ（・） ｉ 性 知 ， 在 Ｇ≥ １ 使 得 ， 的 车续 存 ，
０ 引 言
我 们 主 要 考 虑 下 面 四 阶 Ｄ ｒ ｈｅ 边 值 问 题 ： ｉ ｃ ｌｔ ｉ
ｆ 一 （ ｆ ） “ Ｂ（） ＋Ａ（） ｆ“一 Ｖ ｚ“ ， ∈ Ｅ ，２ Ｆ（， ） ｆ ｏ１ ，
…
１（ ）一 Ｍ １ “０ （ ）一 Ｕ（）一 “（）一 ０ ｔ０ ｐ １ ，
［ ，］ Ｒ且满 足条件 ： ０ １ ×Ｒ 一
～
其 中 Ａ（）Ｂ（） Ｎ×『 对称 阵 ， ・） ， 是 ＼ 『 Ａ（ 连续 ， Ｂ（・） 连续 可 微且 （ ．， ≥ ｌ ｌ，ｔ ∈Ｅ ，］ Ｆ： Ｂ（）７ ２ ） 。 （， ） ｏ １ ×Ｒ ．
（ 对任意 ∈Ｒ Ｆ（・， 是 可测 函数 ， Ａ） ， ） 对几 乎处处 的 ｔ ０ １ ， ｔ ） 连续可 策 函数 ， ∈［ ，］ Ｆ（，・ 是 且存 在 ａ ∈ Ｃ（ Ｒ一， ） ｂ Ｅ ，］ Ｒ ， 得 Ｒ ， ∈Ｌ （ｏ １ ， ） 使 ｝ ｆ ’ ≤ （ ｏ １６￡ ，ｌＶ ｔｚ ≤ （ Ｆ（， ）｝三ａ １２ ） （） Ｆ（， ）１ ａ ｊ ｝６ ， ｚ ∈ Ｒ ａ ｃ ｔ Ｅ ， ］ ７ ） （） ，．． ∈ ｏ １ ．
一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性
ＷＡ ＮＧ ｉｊ ｇ Ｃｕ－ｉ ｎ
（ ． ｌ ｇ ｆＳ ｉ ｃｓＣ ｉａ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｉｉ ｇ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ， ｚ ｏ ｉｎ ｓ ， ２ ０ ８Ｃ ｉａ； １ Ｃｏｌ ｅｏ ｃｅ ｅ ， ｈ ｎ ｉｅ ｓｔ ｏ ｎ ｎ ｅ ｎ ｙ Ｍ ｅ ｈ ｏｏ ｙＸｕ ｈ ｕ Ｊａ ｇ ｕ ２ １ ０ ， ｈ ｎ
…
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【 ｅ ｏｄ］ａａｈｃｎａｔ ｎ ａｐ ｇ ｒ ｃ ｌ；ｒ ｎｆ ｃｏ：ｏｎａ ａ ｅ ｒｂ ｍ；ａｕｏ ｆｒ ｔｔｎ Ｋ ｙｗ ｒｓＢ ｎｃ ｏｔｃｏ ｐｉ ｉ ｉ ｅＧｅ ｎｔｎ Ｂｕｄｒ ｖｌ ｏｌ Ｃｐｔ Ｓ ｉｅ ｎａｏ ｒ ｉ ｍ ｎ ｐｎ ｐ ｅ ｕ ｉ ｙ ｕｐ ｅ ｄ ｅ ｉｉ
２１ ０ ２年
第 ３期
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｏ ＯＧ Ｆ Ｒ ＴＯＮ ＣＥ Ｃ Ｅ ＨＮ Ｌ ＹＩ Ｏ ＭＡ Ｉ Ｎ
Ｏ高校 讲坛０
科技信息
一
类分 阶 方 边 题 的 在性 唯 性 数 微分 程 值问 解 存 与 一
王翠菁 １ （． １中国矿业大学理学院 江苏 徐州 ２ １０ ；． ２０８２徐州工业职业技术学院信息管理技术学院 江苏 徐州 ２ １４ ） ２１０
【 ｂｔ ｃ］ｙｕｉ ｈ ａａｈ ｃｎ ａｔｎｍ ｐｉ ｒ ｃ ｌ ，ｅｅｉｅｃ ｎ ｎ ｕｎｓ ｏ ｔ ｅ ｌ ｓｏｔｎｄｆ ｅｆ ｃｏａ Ａ ｓ ａｔＢ ｓ ｇｔ Ｂｎｃ ｏｔｃｏ ａｐｎ ｐｉ ｉｅ ｔ ｘ ｔ ｅａｄ ｕｉ ｅｅｓ ｆ ｈ ｒ ｕｓｉ ｂ ｉ ｏ ｔ ａｔｎｌ ｒ ｎ ｅ ｒ ｉ ｇ ｎｐ ｈ ｓｎ ｑ ｅ ｓｔ ａ ｅ ｒｈ ｒ ｉ
ｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｆ ｏ
．
Ｊｏ（ ￡ （ ） Ｏｔｌ ＋￡ ， ＜＜ ＤＭ ） ｕ ）
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０ 引 言
在 工程 实 际 中 ，广泛 应用 微 分方 程 周期 边值 问题 解 ，数 学工 作 者重 视 正解存 在 性 的重要 意 义［ ４。因 Ｉ】 －
此 ，笔 者研究 了 问题
ｆ（ ： （ “ ） ｔ） ｔ ［ ２］ “ （ ｆ ｔ ０， （） ∈０ ７ ） ， Ｕ ｆ， ， 【 ； 【‘ ） （ ２）ｉ ， ２３ ０ ＝ ｒ （ １ ，） ） ｔ ＝０ ， （
０ ＜ ２ 时， ０ ） ｃ ［ （— ＋）（ －ｉ４Ｔ； ０ ＜ ２ 时， （ ） ｃｓｆ（＋ ～ ）（ｆ ｔ ｒ Ｇ ， ＝ｏ， ｒ ｔｓ／ ４ ｓ －） ≤ ｔ ｒ Ｇ ＝ ｏ［ ￣ ｔ ｓ／ － ｔ ｓｆ ｃ ］２ｋ ｎ ｋ ｔ ｔ ， ， ］２ｋ
ｓ√兀 ｉ ＝）。 南 ０ ｋ １４可 知 Ｇｔ ） ０、 Ｏ ｔ ２ ｎ＿ ＜ ＜／ （ ＞ ， ＜， 兀，且 有 Ｏｉ （ ） Ｃ －ｘ（ ｋｉ４Ｔ ＜ Ｇｆ ＝Ｏ ｆ ／ ＂ ｋ）， ｒ ｎ ， Ｓｋ ２ ｓ ｔ Ｊ ｎ
－
ｔｊ ２ ．Ｓ
ｍ ｘＧｔ ） １２－ｉ４ｌ。 ａ （Ｓ＝／ ４ ｋ） ， （ ｋ ｎ ｔ ｓ
收 稿 日期 ：２ １－ｌ１ ０ Ｉ０ 。４ 修 回 日期 ：２ １－２２ ０ １ －１ ０
作者简介 ：庄 乐￣（９ ０ ，女 ，河 南新 乡人 。助教 ，硕士 ，研 究方向 ：非线性泛 函分析。Ｅｍａｌｚ ｓ９ ００ ＠１３ｃｒ。 １８ 一） － ｉ ｙ １０ －２ ６ ． ｎ ： ｏ
…
一
ｆ （ ＋ ｕ ） ｆｔ （，（） ｋ（，∈０２］ “ ｆ ｋ（ ＝ （ ｆ Ｖ ） ｕ ） ［ ｒ ） ｔ ， ） ｆ ＋ ｔｔ ， ｅ ； ｝（ ０＝ （ ２） ＝ ，） “ （） “ （兀（ ０ １ ｆ 。
…
通 算， 过计 可知问 ３ 于积分 题（等价 ） 方程“） ｆ （ ） （“）（） （】， ［２ ， （＝ Ｇｆ ［ （， ＋ 出ｚ ０ ７ 其中， ， － ， ｖ） 厂 ） ∈ ，ｔ ］ 当
Ａｐｒ ２０１ ． １
一
类 四阶微分 方程 周期边值 问题 正解 的存在性
庄 乐森
（ 乡学院 数 学 系 ，河 南 新 乡 ４ ３ ０ 新 ５ ０ ３）
摘
要 ：讨 论 了一 个周期 边值 问题 ，并在 适 当的 条件 下 ，根 据 锥拉 伸 与锥 压缩 定理得 出 了此 类 问题 正解 存
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒｔ ｅ ｆ ｕ ｔ ｒ ｅ ｅ ｉ ｄ ｃ ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂｌｍ ｓｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｓ ｒ ｃ ： ｅ ｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｏ ｒ ｏ ｄ ｒ ｒｏ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｅ ｗａ ｉ ｃ ｓ ｅ ｖ ｈ ｈ ｐ Ｔｈ ｕ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓｆ ｒｔ ｅｐ ｏ ｌ ｍ ｒ ｉ ｅ ｙ ｕｓｎ ｏ ｅｅ ｐ ｎ ｉ ｎ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ ． ｅ ｓ ｆ ｉ ｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｈ ｒ ｂ ｅ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｂ ｉ ｇ ｃ ｎ ｘ ａ ｓｏ ｎ ｏ ｒ ｓ ｈ ｏ ｙ ｉ ｉ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｅ ｅ ｐ ｎ ｉ ｎ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｅ ｓｔ ｅ ｒ ； ｏ ｉ ｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ； ｅ ｉ ｄ ｃ ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｃ ｎ ｘ ａ ｓｏ ｎ ｏ ｒ ｓ ｈ ｏ ｙ ｐ ｓｔ ｅｓ ｌ ｔｏ ｓ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅｐ ｏ ｌ ｍ ｉ
ｔ ｕ ｔ ｒ ｅ ｆｅ ｅ ｔａ ｏＦｏ ｒ ｈ ０ ｄ ｒＤｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ Ｅｑｕ ｔｏ ａ ｉ ｎｓ
ＺＨＵＡＮＧ ｏ ｓ ｎ Ｙａ ． ｅ
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓＸｉｘａ ｇＵｎｖ ｒｉ ， ｉｘａ ｇ４ ３ ０ ， ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍａｉ ， ｎ ｉｎ ｉｅｓ ｙ Ｘ ｎ ｉ ５ ０ ３ Ｃ ｉａ ｏ Ｍａ ｃ ｔ ｎ
１ 预备 知识 及 引理 பைடு நூலகம்
假设 ０ ＜ｋ＜１ ４，下 面考察 如下 二 阶微分 方程 周期 边值 问题 ／
ｆ （ ＝ （ （， ｆ，∈０２ ］ “ ｆ ｆｔ ｆ Ｖ ） ｔ ［ ｒ ） ， ） （） ，ｔ ；
【“ ０＝ “ ２） ＝０１ “ ） Ｕ’ ７（ ，） （ （ ｔｉ
其 巾 Ｕ、 ｖ ０ ２ｔ。显然 ，问题 （） ∈Ｃ ［， ｒ 】 １与下 述 问题 等价
微 分方 程组 ，同时 ，利用 锥拉伸 与锥 压缩 定理 ，得 到 了问题 （） 解存在 的充分条 件 。 １正
， ． 、 一
正 解 的存在性 问题 ，其 中 ＿∈Ｃ ［， 兀 ｘ Ｘ ， ，并将 四阶微 分方 程周 期边 值 问题 转化 为二 阶周 期边 值 厂 （ ２ ］ Ｒ Ｒ Ｒ） ０
第２ ８卷 第 ２ 期
Ｖｌ ． ８ Ｎ Ｏ． ０ ２ １ ２
新 乡学院学报 ： 自然科 学版
Ｊ ｕ ａ ｆＸｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒｉ ： ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｒ ｌ ｎ ｉｎ ｉ ｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｎ ｏ ｔ Ｓ ｉ
２ １ 年 ４月 ０１
在 的充 分条 件。
关键词 ：锥 拉伸 与锥 压缩 定理 ；正解 ；周期 边值 问题
中 图分 类号 ：Ｏ１ ５８ ７ ．；Ｏ１ ５ １ ７ ．２ 文 献 标 志码 ：Ａ 文 章编 号 ： １７ — ３ ６ ２ ｌ ） ２ ０ ０ — ２ ６４ ３ ２（０ １０— １８０
Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆ ｓｔｖ ｌ ｉ ｎ ｏ ｒ ｏ ｉ ｕｎ ｒ ａ ｕｅＰｒ ｂｌ ｍ ｓ ｉｔ ｎ ｅｏ Ｐｏ ｉｉ ｅＳｏ ｕｔｏ ｓｆ ｒ Ｐｅ ｉ ｄ ｃＢｏ ｄａ ｙ Ｖ ｌ ｏ ｅ