【开学集训 专项汇总】高三理科数学二轮复习—专项训练选择、填空题训练(二)[来源:学优高考网370176]
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高三理科数学限时训练一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.)1. 复数z 满足(2)z z i =+,则z =( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --2. 已知实数a ≠0,函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩,若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为( ) A. 23 B. 23- C. 34 D.34- 3. 曲线y =sin x sin x +cos x -12在点M ⎝⎛⎭⎫π4,0处的切线的斜率为 ( ) A .-12 B. 12 C .-22 D. 224.若,a b 为实数,则“01ab <<”是“1b a<”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 不充分不必要条件5. 一个空间几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的表面积为( )A .48B .32+817C .48+817D .806. 设F 1,F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左,右焦点,点A ,B 在椭圆上.若 F 1A →=5F 2B →,则点A 的坐标是( )A. (0,1)±B. (0,1)C. (0,1)-D. (1,0)±7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出下列三个函数:1()3x f x =,2()43x f x =⨯,385()log 53log 2x f x =⋅⋅,则( ) A . 123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数B . 12(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与3()f x 不为“同形”函数C . 13(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与2()f x 不为“同形”函数D . 23(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与1()f x 不为“同形”函数8. 函数b x A x f +ϕ+ω=)sin()(的图象如图,则)(x f 的解析式和++=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+的值分别为( )A .12sin 21)(+π=x x f , 2006=S B .12sin 21)(+π=x x f , 212007=S C .12sin 21)(+π=x x f , 212006=S D .12sin 21)(+π=x x f , 2007=S 9. 在区间[—1,1]上任取两数a 、b ,则二次方程02=++b ax x 的两根都是正数的概率是( )A.128 B.148C.132D.1810. 已知函数32()(f x x bx cx d b =+++、c 、d 为常数),当(,0)(4,)k ∈-∞+∞U 时,()0f x k -=只有一个实根,当(0,4)k ∈时,()0f x k -=有3个相异实根,现给出下列4个命题:①函数()f x 有2个极值点;②函数()f x 有3个极值点;③()4f x =和()0f x '=有一个相同的实根;④()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根.其中正确命题的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(本大题共有4小题,每题5分,共20分.只要求直接填写结果.)(一)必做题(11—14题)11. 设函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ,对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立,在函数值、)1(-f 、)1(f 、)2(f )5(f 中最小的一个不可能是_____________12. 若5255(1)110ax x bx a x +=++++L ,则b = . 13. 若平面向量i a u r 满足 1(1,2,3,4)i a i ==u r 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==u r u u u r ,则1234a a a a +++u r u u r u u r u u r 可能的值有____________个.14. 定义:函数)(x f y =,D x ∈。
(新课标)高三理科数学二轮复习(全册)名师指导考前提分题型练题型专项集训题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}2.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i3.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c4.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.45.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则S n的最大值为()A.8B.6C.4D.46.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.57.已知直线l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}),则l1与l2不平行的概率为()A.B.C.D.8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个9.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为10.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.511.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()13.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.14.的展开式中的常数项为.(用数字表示)15.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.已知i是虚数单位,是z=1+i的共轭复数,则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.25.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.56.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.7.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()8.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是()A.B.C.D.9.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为()A.B.C.D.10.(2017安徽江南十校联考)质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.11.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1 D.12.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.113.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.14.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.15.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.16.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.参考答案题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.D解析由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.2.B解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.3.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.4.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.5.D解析由题意得(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+14d),即(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0(舍去).所以S n=3n+(-2)=-n2+4n.所以当n=2时,S n=-n2+4n取最大值(S n)max=8-4=4.故选D.6.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+27.A解析由A,B∈{1,2,3,4},则有序数对(A,B)共有16种等可能基本事件,而(A,B)取值为(1,2)时,l1∥l2,故l1与l2不平行的概率为1-8.D解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.9.A解析设P'(x,y).由题意得,t=sin,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=又P'在函数y=sin2x的图象上,则sin2x=,故点P'的横坐标x=+kπ或+kπ(k∈Z),由题意可得s的最小值为10.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.11.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-12.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.13解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=14解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为15解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=616解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x2)d x=思维提升训练1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.C解析=1-i,则=-i,对应复平面内点的坐标为,在第三象限.3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.4.A解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.5.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.6.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,=5,,双曲线的离心率e=7.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.8.D解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cos B=,则B>,故选D.9.C解析函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则(k1,k2∈Z),即(k1,k2∈Z).所以|m-n|=(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=故选C.10.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.11.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.12.C解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,则,∴k OM=,当且仅当t=时等号成立.∴(k OM)max=,故选C.13.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+6=44×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.14.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.15解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=, 令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为16.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,d.又=3,∴d=2.题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.已知集合M={x|(x+2)(x-2)≤0},N={x|-1<x<3},则M∩N=()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2≤x<3}D.{x|-2<x≤2}2.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π4.已知sin θ=,cos θ=,则tan等于()A.B.C.D.55.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.>0B.sin x-sin y>0C.<0D.ln x+ln y>07.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()A.2 017×22 013B.2 017×22 014C.2 017×22 015D.2 016×22 01612.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.(2017天津,理12)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.14.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.16.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.思维提升训练1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-13.已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.15.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为() A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=7.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b8.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.9.(2017河南安阳一模)已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)10.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列11.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x313.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.14.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.15.下边程序框图的输出结果为.16.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)参考答案题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.B解析由已知,得M={x|-2≤x≤2},N={x|-1<x<3},则M∩N={x|-1<x≤2},故选B.2.D解析由已知得z==-1-i.3.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.4.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.C解析由x>y>0,得,即<0,故选项A不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项B不正确;由0<<1,x>y>0,可知,即<0,故选项C正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项D不正确.故选C.7.B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.8.B解析由1≤f(x)≤2,得1≤log2x≤2,解得2≤x≤4.由几何概型可知P=,故选B.9.D解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.故选D.10.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.11.B解析如图,当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).归纳推理,得当第一行2016个数时,最后一行仅一个数,为22016-2×(2016+1).故选B.12.B解析f(x)=+x cos x=3++x cos x,设g(x)=+x cos x,则g(-x)=-g(x),函数g(x)是奇函数,则g(x)的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x≤1时,设-m≤g(x)≤m,则3-m≤f(x)≤3+m, ∴函数f(x)的最大值M=3-m,最小值N=3+m,得M+N=6,故选B.13.4解析∵a,b∈R,且ab>0,=4ab+≥414.y=-2x-1解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.15.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>故所求实数m的取值范围是(,+∞).思维提升训练1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.3.A解析因为a==b,c=2=a,所以b<a<c.4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=7.D解析因为a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cosθ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=39.D解析由已知得,解得k2=3.由消去y,得(b2-a2k2)x2-a2b2=0,则4(b2-a2k2)a2b2>0,即b2>a2k2.因为c2=a2+b2,所以c2>(k2+1)a2.所以e2>k2+1=4,即e>2.故选D.10.D解析由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.因为S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),所以S n+1-S n-2S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),即(S n+1-S n)-2(S n-S n-1)=0(n∈N*,且n≥2),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.11.B解析因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.12.A解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.13.2解析由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=(2×1)×3=2.故答案为2.14解析不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e>1,所以e=15.8解析由程序框图可知,变量的取值情况如下:第一次循环,i=4,s=;第二次循环,i=5,s=;第三次循环,i=8,s=;第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.16.80解析通项公式为T r+1=x5-r2r,令5-r=2,得r=3.则x2的系数为23=80.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.3.(2017全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan x sin·cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.参考答案题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-又x∈[0,π],所以x=(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos因为x∈[0,π],所以x+,从而-1≤cos于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-22.(1)证明由题意知2,化简得2(sin A cos B+sin B cos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)解由(1)知c=,所以cos C==,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解(1)f(x)的定义域为f(x)=4tan x cos x cos=4sin x cos=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=(a n-1),a为常数,且a≠0,a≠1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a=,设b n=,且数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.参考答案题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+d=,∴b n=(2)b n==2,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+=2故T n=3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,得=a,所以数列{a n}是首项为a,公比也为a的等比数列.所以a n=a·a n-1=a n.(2)证明当a=时,a n=,所以b n=因为,所以b n=所以T n=b1+b2+…+b n<+…+因为-<0,所以,即T n<4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)+22n+1,∴T n=+…+(22n+3-8)=5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n,得[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n,因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1)求袋子中白球的个数;(2)求X的分布列和数学期望.3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.参考答案题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解(1)设袋子中有n(n∈N*)个白球,依题意,得,即,化简,得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去).故袋子中有3个白球.(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=则X的分布列为X0123P故E(X)=0+1+2+33.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率为(3)X0.85a a1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=所以X的分布列为X123P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.5.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=;P(X=20)=;P(X=100)=;P(X=-200)=所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为X012P(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.3087.题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A ⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC所成角为60°,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,点G为△ABC的重心,点E在BC1上,且BE=BC1.(1)求证:GE∥平面AA1B1B;(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求P A与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,P A=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱P A上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.6.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.。
题型专项训练2选择填空题组合特训(二 )(时间 :60 分钟满分 :100分 )一、选择题(本大题共8 小题 ,每题8 分,共 64分 )1.已知全集U= R,A= { x|x2-2x< 0}, B= { x|x≥ 1},则A∪ (? U B)= ()A.(0, +∞)B.( -∞,1)C.(-∞,2)D.(0,1)2.椭圆= 1的焦距为2,则m 的值等于()A.5或 -3B.2 或6C.5 或3D3.已知一几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为()A B+ 1C D4.已知x,y知足拘束条件则z=3x+y 的取值范围为 ()A.[6,10]B.( -2,10]C.(6,10]D.[ -2,10)5.(2017浙江宁波十校联考)已知 a,b∈R ,则“|a|+|b|> 1”是“b<- 1”的 ()A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充足必需条件D.既不充足也不用要条件6.已知函数2f(x)=x + cos x,f'(x) 是函数 f(x)的导函数 ,则 f'(x)的图象大概是 ()7.已知随机量ξ +η=8,若ξ ~B(10,0.4),E( η),D(η)分是 ()A.4和 2.4B.2和 2.4C.6 和 2.4D.4 和 5.68.如所示,在直三棱柱ABC-A 1B1C1中 ,AB=AA 1= 2,∠ABC= 90°,点 E,F 分是棱 AB,BB 1的中点,当二面角 C1-AA 1-B45° ,直 EF 和 BC 1所成的角 ()A.45 °B.60 °C.90 °D.120 °二、填空 (本大共 6 小 ,每小 6 分 ,共 36 分 )9.“斐波那契”数列由十三世意大利数学家斐波那契.数列中的一系列数字常被人称之奇特数 .详细数列 :1,1,2,3,5,8,即⋯,从数列的第三开始 ,每个数字等于前两个相数字之和 .已知数列 { a n} “斐波那契”数列 ,S n数列 { a n} 的前 n 和 , S7=.10.复数z= (1+2i)(3 -i),此中i虚数位, z的部是,|z|=.11.若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+⋯+a10(x-1)10, a0=,a5=.12.△ABC中 , 内角 A,B,C 的分a,b,c, 且 bsin A=a cos B,b= 3,sin C= 2sin A, a+c=,△ABC 面.13.(2017浙江杭州高中学模)若向量a,b足 |a|=| 2a+b|= 2, a 在 b 方向上投影的最大是,此a与b角.14.某科室派出 4 名调研员到 3 个学校调研该校高三复习备考现况,要求每个学校起码一名,则不一样的分派方案种数为.参照答案题型专项训练 2选择填空题组合特训 (二 )1.C分析由题意得 ,会合 A= { x|x2-2x< 0} = { x|0<x< 2}, B= { x|x≥ 1},因此 ? U B= { x|x< 1}, 因此 A∪( ? U B)= { x|x< 2}, 应选 C.2.B分析假定椭圆的焦点在 x 轴上 ,则 m>4,由焦距 2c= 2,c=,则 c2=m- 4,解得 m=6,当椭2圆的焦点在 y 轴上时 ,即 0<m< 4,由焦距 2c= 2,c= ,则 c = 4-m,解得 m=2,故 m 的值为 2 或 6,应选B.3.C分析察看三视图可知 ,几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体,此中圆锥的底面半径为 1,高为 1.三棱锥的底面是两直角边分别为1,2 的直角三角形 ,高为 1.则几何体的体积V=×π×12×1+×1×2×1=. 应选 C.4.B分析由拘束条件作出可行域如图,化目标函数为y=- 3x+z ,由图可知 ,当直线 y=- 3x+z 过点 A 时 ,z 取最大值 ,由得 A(4,- 2),此时 z max= 3×4-2= 10;当直线 y=- 3x+z 过点 B 时 ,z 取最小值 ,由解得 B(0,-2),故 z=- 2.综上 ,z=3x+y 的取值范围为 (- 2,10] .5.B分析当a= 2,b= 0时,知足|a|+|b|> 1,但b<- 1不可立,即充足性不可立;若 b<- 1,则 |b|> 1,则 |a|+|b|> 1 恒成立 ,即必需性成立 .则“|a|+|b|> 1”是“b<- 1”的必需不充足条件,应选 B .26.A分析因为f(x)=x + cos x,∴f'(x)=x- sin x,∴f'(-x)=-f' (x),故 f'(x)为奇函数 ,其图象对于原点对称,清除 B,D;又当x= 时 ,f'- sin-1< 0,清除C,只有 A 合适 ,应选 A .7.A分析∵ξ~B(10,0.4),∴E(ξ)= 10×0.4= 4,D(ξ)= 10×0.4×0.6=2.4,∵η=8-ξ,∴E(η)=E (8-ξ)=4,D( η)=D (8-ξ)= 2.4,应选 A .8.B分析如图,因为三棱柱ABC-A 1B1 C1是直三棱柱 ,∴AA1⊥平面 A1B1C1,则 A1C1⊥ AA 1,A1B1⊥ AA1,∴∠ B1A1C1为二面角C1-AA1-B 的平面角 ,等于 45°,∵A1B1=AB= 2,∴B1C1=BC= 2,以 B 为原点 ,分别以 BC,BA,BB 1所在直线为x,y,z 轴成立空间直角坐标系,则 B(0,0,0), E(0,1,0), C1(2,0,2),F(0,0,1),∴= (2,0,2), = (0,-1,1),∴cos<>= ,∴的夹角为 60°,即直线 EF 和 BC1所成的角为 60°,应选 B.9.33分析由题意 S7= 1+1+ 2+ 3+ 5+ 8+ 13= 33.10.55分析 z= (1+2i)(3 -i)= 5+ 5i.故实部为 5,模为 5.11.0251分析当 x= 1 时,可得 a0= 0,x10-x5= [(x-1)+ 1]10-[(x-1)+ 1] 5,因此 a5== 251.12.3分析由bsin A=a cos B及正弦定理,得sin Bsin A= sin Acos B,∵A 为三角形的内角,∴s in A≠0,∴s in B= cos B,即 tan B= ,又 B 为三角形的内角,∴B= ;由 sin C= 2sin A 及正弦定理 ,得 c=2a,①22222∵b= 3,cos B= ,∴由 b =a+c-2accos B,得 9=a +c -ac,②联立①②解得 a= ,c= 2,∴a+c= 3.面积 S=acsin B=× 2.13.-分析∵|2a+b|= 2,|a|= 2,∴|b|2+ 4a·b+ 16= 4,设 a,b 的夹角为θ,则 |b|2+ 8|b|cos θ+12= 0.∴c os θ=-.∴a在 b 方向上投影为|a|cosθ=--.∵≥2,当且仅当|b|= 时等号成立,∴|a|cos θ≤-.因此 a 在b 方向上投影最大值是-,cos θ=-,θ=.14.36分析分两步达成:第一步将 4 名调研员按2,1,1分红三组,其分法有种;第二步将= 36种,故填36.分好的三组分派到三个学校,其分法有种,因此不一样的分派方案种数为。
2008年二轮复习填空题专项训练题汇集一.1在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于2n2若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为 2或03已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素,则a 的取值范围9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或 ;4若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是0a >且0b ≤ 5若函数()12l o g 22++=x ax y 的值域为R ,则a 的范围为___ []0,1_______5若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ,则a 的范围为__ (1,)+∞________6如图,平面内有三个向量、OB 、OC ,其中与与OB 的夹角为120°,OA 与的夹角为30°,且|OA |=||=1,||=32,若=λOA +μ(λ,μ∈R ),则λ+μ的值为 6 .7若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间,则a 的取值范围为__ a<0 ____________.8已知)(324)(32R x x ax x x f ∈-+=在区间[-1,1]上是增函数。
求实数a 的值组成的集合A=}{11/≤≤-a a9已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ,则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是3a+2_____。
10如右图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆,它落在扇形外正方形内的概率为44π-。
(用分数表示)11已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5,则k 的取值范围是[-6,2] 12在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若AM=2,则)(+∙的最小值是_-2_________。
综合练习题(二)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.已知全集U ={x ∈N |0≤x ≤5},∁U A ={1,2,5},则集合A 等于( D ) A .{0,1,2} B .{2,3,4} C .{3,4}D .{0,3,4}【解析】 因为全集U ={x ∈N |0≤x ≤5}, ∁U A ={1,2,5},由补集的定义可知集合A ={0,3,4}.故选D.2.已知复数z 满足(2+i)z =|4-3i|(i 为虚数单位),则z =( B ) A .2+i B .2-i C .1+2iD .1-2i【解析】 由(2+i)z =|4-3i|=42+(-3)2=5, 得z =52+i =5(2-i )(2+i )(2-i )=5(2-i )22+12=2-i ,故选B. 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7+a 8+a 9>0a 7+a 10<0”的( C )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n , 则“S n 的最大值是S 8”⇔a 8>0,a 9<0.则“⎩⎪⎨⎪⎧a 7+a 8+a 9>0a 7+a 10<0”⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 8+a 9<0.∴“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7+a 8+a 9>0a 7+a 10<0”的充要条件.故选C.4.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙.研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v (单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v =a +log 2Q10(其中a 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位,若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,其耗氧量至少需要( )个单位.( C )A .70B .60C .80D .75【解析】 由题意可得0=a +log 22010,解得a =-1,∴v =-1+log 2Q10,∴-1+log 2Q10≥2,解得Q ≥80,故选C.5.已知数列{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,前n 项和为S n ,满足2a 4=a 3+5,则S 9=( C )A .35B .40C .45D .50【解析】 ∵2a 4=a 3+5,∴2(a 5-d )=a 5-2d +5, ∴a 5=5,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=5×9=45,故选C.6.某四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是边长为2的正方形,正视图和俯视图都是等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为( A )A .83B .8C .43D .4【解析】 由三视图还原原几何体如图,该几何体是四棱锥P -ABCD , 底面ABCD 为正方形,边长为2, 侧棱PA ⊥底面ABCD ,PA =2, 则该四棱锥的体积V =13×2×2×2=83.故选A .7.已知在边长为3的等边△ABC 中,AP →=12AC →+13AB →,则CP →在CB →上的投影为( C )A .154B .-54C .54D .152【解析】 CP →=AP →-AC →=12AC →+13AB →-AC →=13AB →-12AC →,∴CP →·CB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-12AC →·(AB →-AC →)=13AB →2-56AB →·AC →+12AC →2 =13×9-56×3×3×12+12×9=154, ∴CP →在CB →上的投影为CP →·CB →|CB →|=1543=54.故选C.8.已知椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a -xb=1交于A ,B 两点,焦点F (0,-c ),其中c为半焦距,若△ABF 是直角三角形,则该椭圆的离心率为( A )A .5-12B .3-12 C.3+14D .5+14【解析】 椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a -xb =1交于A ,B 两点,焦点F (0,-c ),其中c 为半焦距,若△ABF 是直角三角形,不妨设A (0,a ),B (-b ,0),则BA →·BF →=0,解得b 2=ac ,即a 2-c 2=ac ,即e 2+e -1=0,e ∈(0,1),故e =5-12.故选A . 9.下列只有一个是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x +1(a ≠0)的导函数的图象,则f (-1)=( A )A .-13B .13C .73D .-13或73【解析】 因为f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x +1(a ≠0),所以f ′(x )=x 2+2ax +(a 2-1),Δ=4a 2-4(a 2-1)=4>0,开口向上,故导函数图象开口向上,与x 轴有2个交点, 对称轴是x =-a ,结合选项(3)符合, 由f ′(0)=a 2-1=0且-a >0得a =-1, 故f (-1)=-13-1+1=-13.故选A .10.关于函数f (x )=sin|x |+|sin x |有下述四个结论: ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递增 ③f (x )在[-π,π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A .①②④ B .②④ C .①④D .①③【解析】 f (-x )=sin|-x |+|sin(-x )|=sin|x |+|sin x |=f (x )则函数f (x )是偶函数,故①正确,当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π时,sin|x |=sin x ,|sin x |=sin x , 则f (x )=sin x +sin x =2sin x 为减函数,故②错误,当0≤x ≤π时,f (x )=sin|x |+|sin x |=sin x +sin x =2sin x ,由f (x )=0得2sin x =0得x =0或x =π,由f (x )是偶函数,得在[-π,0)上还有一个零点x =-π,即函数f (x )在[-π,π]有3个零点,故③错误,当sin|x |=1,|sin x |=1时,f (x )取得最大值2, 故④正确,故正确是①④,故选C. 11.设a =3π,b =π3,c =33,则( C ) A .b >a >c B .c >a >b C .a >b >cD .b >c >a【解析】 考查幂函数y =x 3在(0,+∞)是单调增函数, 且π>3,∴π3>33,∴b >c ; 由y =3x 在R 上递增,可得3π>33, 由a =3π,b =π3,可得ln a =πln 3,ln b =3ln π, 考虑f (x )=ln x x 的导数f ′(x )=1-ln xx2, 由x >e 可得f ′(x )<0,即f (x )递减, 可得f (3)>f (π),即有ln 33>ln ππ,即为πln 3>3ln π,即有3π>π3,则a >b >c ,故选C.12.已知F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点和右焦点,过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ,B 两点,△AF 1F 2的内切圆半径为r 1,△BF 1F 2的内切圆半径为r 2,若r 1=2r 2,则直线l 的斜率为( D )A .1B . 2C .2D .2 2【解析】 记△AF 1F 2的内切圆圆心为C , 边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E , 易见C 、E 横坐标相等,则|AM |=|AN |,|F 1M |=|F 1E |,|F 2N |=|F 2E |, 由|AF 1|-|AF 2|=2a ,即|AM |+|MF 1|-(|AN |+|NF 2|)=2a , 得|MF 1|-|NF 2|=2a ,即|F 1E |-|F 2E |=2a , 记C 的横坐标为x 0,则E (x 0,0), 于是x 0+c -(c -x 0)=2a ,得x 0=a ,同样内心D 的横坐标也为a ,则有CD ⊥x 轴, 设直线的倾斜角为θ,则∠OF 2D =θ2,∠CF 2O =90°-θ2,在△CEF 2中,tan ∠CF 2O =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°-θ2=r 1|EF 2|,在△DEF 2中,tan ∠DF 2O =tan θ2=r 2|EF 2|, 由r 1=2r 2,可得2tan θ2=tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°-θ2=1tanθ2,解得tan θ2=22,则直线的斜率为tan θ=2tanθ21-tan 2θ2=21-12=22,故选D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡相应位置上.13.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤3x -y ≤0x +2≥0,则z =x -2y 的最大值为__2__.【解析】 由z =x -2y 得y =12x -12z ,作出x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤3x -y ≤0x +2≥0对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线y =12x -12z ,由图形可知当直线经过点B 时, 直线y =12x -12z 的截距最小,此时z 最大,由⎩⎪⎨⎪⎧x =-2x -y =0,得B (-2,-2).代入目标函数z =x -2y ,得z =-2-2×(-2)=2, 故答案为2.14.已知f (x )是定义域为R 的奇函数,满足f (1+x )=f (1-x ),若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=__2__.【解析】 根据题意,f (x )是定义域为R 的奇函数, 则f (-x )=-f (x ),又由f (x )满足f (1+x )=f (1-x ),则f (-x )=f (2+x ),则有f (x +2)=-f (x ), 变形可得:f (x +4)=f (x ), 即函数f (x )为周期为4的周期函数;又由f (x )是定义域为R 的奇函数,则f (0)=0,则f (2)=-f (0)=0,f (3)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0, 则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+0+(-2)+0=0,则有f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]×504+f (2 017)+f (2 018)=f (1)+f (2)=2;故答案为2.15.已知sin α=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=__-3【解析】 已知sin α=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3,则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π3-π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3,整理得:12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3,故:32cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3, 解得:tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=-35, 则:tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-π6 =tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3-tan π61+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3tan π6=-233,故答案为-233. 16.设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上,且球的体积是4010π3,AB =AC =AA 1,∠BAC =120°,则此直三棱柱的高是__22__.【解析】 设AB =AC =AA 1=2m . ∵∠BAC =120°,∴∠ACB =30°,于是2msin 30°=2r (r 是△ABC 外接圆的半径),r =2m .又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半, ∴球的半径为(2m )2+m 2=5m . ∴球的体积为43π×(5m )3=4010π3,解得m = 2.于是直三棱柱的高是AA 1=2m =2 2. 故答案为2 2.三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)设a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边.已知a cos B =b cos A +c ,(1)证明:△ABC 是直角三角形;(2)若D 是AC 边上一点,且CD =3,BD =5,BC =6,求△ABD 的面积. 【解析】 (1)由正弦定理a cos B =b cos A +c 化为:sin A cos B =sin B cos A +sin C , ∴sin A cos B -sin B cos A =sin C , ∴sin(A -B )=sin C ,∵A -B ∈(-π,π),C ∈(0,π), ∴A -B =C 或A -B =π-C (舍) ∴A =B +C ,∴A =π2.即△ABC 是直角三角形.(2)在△BCD 中,CD =3,BD =5,BC =6,由余弦定理得cos C =CD 2+BC 2-BD 22CD ×BC =59.∴sin C =2149.∴AC =BC ×cos C =103,∴AD =AC -CD =13,又AB =BC ×sin C =4143.∴S △ABD =12AB ×AD =2149.18.(本小题满分12分)(理)某工厂A ,B 两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,A ,B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和2p -1(0.5≤p ≤1).(1)从A ,B 生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%,求p 的最小值p 0;(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值. 已知A ,B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元,若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线的挽回损失较多?(文)(2021·金安区模拟)某5G 手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量,质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件,其检测结果:(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率.(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品的出厂价的2倍,已知每件配件的生产成本为5元,根据环保要求需要处理费用为3元,厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元,求二等品每件的出厂的最低价.【解析】 (理)(1)P =1-(1-p )(1-(2p -1))=1-2(1-p )2. 令1-2(1-p )2≥0.995,解得p ≥0.95. 故p 的最小值p 0=0.95.(2)由(1)可知A ,B 生产线上的产品合格率分别为0.95,0.9. 即A ,B 生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1.故从A 生产线抽检的1 000件产品中不合格产品大约为1 000×0.05=50件, 故挽回损失50×5=250元,从B 生产线上抽检1 000件产品,不合格产品大约为1 000×0.1=100, 可挽回损失100×3=300元, ∴从B 生产线挽回的损失较多.(文)(1)由数表知,甲车间生产出配件的正品的频率是55+33100=0.88. 所以甲车间生产配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件的正品的频率是65+27100=0.92.所以,乙车间生产的配件的正品的概率估计为0.92.(2)设二等品每件的出厂价为a 元,则一等品每件的出厂价为2a 元. 由题意知:1200[120(2a -5)+60(a -5)-20×8]≥21.7,整理得32a -5.3≥21.7,所以a ≥18,所以二等品每件的出厂的最低价为18元.19.(本小题满分12分)如图所示,△ABC 是等边三角形,DE ∥AC ,DF ∥BC ,面ACDE ⊥面ABC ,AC =CD =AD =DE =2DF =2.(1)求证:EF ⊥BC ; (2)求四面体FABC 的体积.【解析】 (1)证明:∵DE ∥AC ,DF ∥BC , 又△ABC 是等边三角形, ∴∠EDF =∠ACB =60°, 又AC =DE =BC =2DF =2, 在△EDF 中,由余弦定理可得,EF =22+12-2×1×2×cos 60°=3,∴EF 2+DF 2=DE 2,故EF ⊥DF , 又DF ∥BC ,∴EF ⊥BC . (2)取AC 的中点O ,连接DO ,由AD =DC ,得DO ⊥AC ,又平面ACDE ⊥平面ABC ,且平面ACDE ∩平面ABC =AC ,∴DO ⊥平面ABC ,且求得DO =22-12= 3.由DE ∥AC ,DF ∥BC ,且DE ∩DF =D ,可得平面DEF ∥平面ABC ,则F 与D 到底面ABC 的距离相等,则四面体FABC 的体积V =13×12×2×2×32×3=1. 20.(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0),过C 的焦点F 的直线l 1与抛物线交于A 、B 两点,当l 1⊥x 轴时,|AB |=4.(1)求抛物线C 的方程;(2)如图,过点F 的另一条直线l 与C 交于M 、N 两点,设l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,若k 1+k 2=0(k 1>0),且3S △AMF =S △BMN ,求直线l 1的方程.【解析】 (1)根据题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0, 当l 1⊥x 轴时,直线l 1的方程为x =p2, 联立⎩⎪⎨⎪⎧x =p 2y 2=2px,解得y =±p ,所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,-p , 所以|AB |=2p =4,解得p =2,进而可得抛物线的方程为y 2=4x .(2)由(1)可知F (1,0),设直线l 1的方程为y =k 1(x -1),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1(x -1)y 2=4x, 得k 21x 2-(2k 21+4)x +k 21=0,所以Δ=(2k 21+4)2-4k 41=16k 21+16>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以x 1+x 2=2k 21+4k 21,x 1x 2=1,① 因为k 1+k 2=0,所以k 1=-k 2,因为直线l 2与抛物线交于点M ,N ,所以A 与N 关于x 轴对称,M 与B 关于x 轴对称, 因为3S △AMF =S △BMN ,S △AMF =S △BNF ,所以3S △AMF =S △AMF +S △BFM ,所以2S △AMF =S △BFM ,所以2|AF |=|BF |,由抛物线定义可得|AF |=x 1+1,|BF |=x 2+1,所以2x 1+2=x 2+1,即x 2=2x 1+1,代入①得(2x 1+1)x 1=1,解得x 1=12或-1(舍去), 所以x 2=2x 1+1=2×12+1=2, 所以x 1+x 2=2k 21+4k 21=2+12=52, 解得k 21=8,即k 1=22,所以直线l 1的方程为y =22(x -1).21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x (a ∈R ).(1)若a =-1,求函数f (x )的单调区间;(2)若函数g (x )=f (x )+1e x -x a ,且g (x )≥0在x ∈(1,+∞)时恒成立,求实数a 的最小值.【解析】 (1)a =-1时,f (x )=-ln x +x ,函数f (x )的定义域是(0,+∞),则f ′(x )=-1x +1=x -1x, 令f ′(x )>0,解得:x >1,令f ′(x )<0,解得:0<x <1,故f (x )的单调减区间为(0,1),f (x )的单调增区间为(1,+∞).(2)由g (x )≥0,可得e -x -(-x )≥x a -a ln x ,即e -x -(-x )≥eln xa -a ln x ①,令h (t )=e t -t ,由h ′(t )=e t -1得,当t <0时,h (t )递减,当t >0时,h (t )递增,所以①即为h (-x )≥h (a ln x ),由于求实数a 的最小值,考虑化为a <0,所以-x ≤a ln x ,即a ≥-xln x ,令l (x )=-xln x ,则l ′(x )=-ln x -1(ln x )2, 令l ′(x )>0,解得:0<x <e ,令l ′(x )<0,解得:x >e ,故l (x )在(0,e)递增,在(e ,+∞)递减,故可得l (x )的最大值为-e ,所以a 的最小值为-e.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,按所做的第一题计分22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x +y -4=0,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =cos t y =2sin t(t 为参数).以O 点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)设射线θ=α(ρ≥0,0≤α<2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ,N ,求4|OM |2+1|ON |2的最小值.【解析】 (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ,x 2+y 2=ρ2,可得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0,即有ρ=4cos θ+sin θ; 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =cos t y =2sin t(t 为参数), 可得sin 2t +cos 2t =y 22+x 2=1, 则ρ2cos 2θ+12ρ2sin 2θ=1, 即为ρ2=22cos 2θ+sin 2θ=21+cos 2θ. (2)设M (ρ1,α),N (ρ2,α),其中0≤α<3π4或7π4<α<2π, 则4|OM |2+1|ON |2=(cos α+sin α)24+1+cos 2α2 =1+2sin αcos α4+3+cos 2α4 =1+sin 2α+cos 2α4=1+24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4,由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π4=-1即α=5π8时,4|OM |2+1|ON |2取得最小值1-24.23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]已知函数f (x )=|x |.(1)求不等式3f (x -1)-f (x +1)>2的解集;(2)若不等式f (x -a )+f (x +2)≤f (x +3)的解集包含[-2,-1],求a 的取值范围.【解析】 (1)∵f (x )=|x |,∴3f (x -1)-f (x +1)>2,即3|x -1|-|x +1|>2,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1,-3(x -1)+x +1>2①,或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1,-3(x -1)-x -1>2②,或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,3(x -1)-x -1>2③. 解①得x ≤-1,解②得-1<x <0,解③得x >3,综合可得x <0或x >3,所以原不等式的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).(2)f (x -a )+f (x +2)≤f (x +3),即|x -a |+|x +2|≤|x +3|.因为不等式f (x -a )+f (x +2)≤f (x +3)的解集包含[-2,-1],所以,|x -a |+|x +2|≤|x +3|对于x ∈[-2,-1]恒成立.因为x ∈[-2,-1],所以,x +2≥0,x +3≥0,所以|x -a |+|x +2|≤|x +3|等价于|x -a |+x +2≤x +3,即|x -a |≤1恒成立,所以a -1≤x ≤a +1在[-2,-1]上恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-2-1≤a +1,解得-2≤a ≤-1, 即实数a 的取值范围为[-2,-1].。
高考理科数学第二轮复习综合测试本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.定义差集A-B={x|x ∈A,且x ∉B},现有三个集合A 、B 、C 分别用圆表示,则集合C-(A-B )可表示下列图中阴影部分的为 ( )2.复数1cos 45sin 45z i =-的共轭复数是 ( )A .i 2121+BCD .i +13.已知m,n 是两条不重合的直线,,,αβγ是三个两两不重合的平面,给出下列命题:①若m ∥β,n ∥β且m ,n ,αα⊂⊂则α∥β; ②若n,m αβ=∥n ,则m ∥α且m ∥β;③若m ,α⊥m ∥β则αβ⊥; ④若α∥β,且m,n,γαγβ==则m ∥n .其中的正确的命题是( )A .①②B .③④C .①③D .②④4.圆心在抛物线24x y =上的动圆过点(0,1),且与定直线l 相切,则直线l 的方程为( )A .1x =B . 116x =C .116y =-D . 1y =-5.若sin(cos ),cos(sin )a x b x ππ==,且3,12x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,则( )A .221a b +=B .a b <C .a b >D .a b =6.设函数()ln(f x x x =+,则对于任意的实数a 和b ,0a b +<是()()0f a f b +< 的 ( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分且必要条件D .既不充分又不必要条件7.若函数1()2ax f x x +=+(a 为常数),在()2,2-内为增函数,则实数a 的取值范围是( )A .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.已知点P 是椭圆C :22184x y +=上的动点,12,F F 分别为左、右焦点,O 是坐标原点,则12PF PF PO-的取值范围为 ( )A .⎡⎢⎣⎦B .[]0,2C .12⎛ ⎝⎦D .⎡⎣9.已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ,经过该棱锥A —BCD 的中截面为M ,则O到平面M 的距离为 ( )A .4aBCD10.在平面直角坐标系中,x 轴的正半轴上有4个点,y 轴的正半轴上有5个点,这9个点任意两点连线,则所有连线段的交点落入第一象限的个数最多是 ( ) A .30 B .60 C .120 D .24011.在算式“4×□+1×△=30”的两个□、△中,分别填入两个正整数,使它们的倒数之和最小,则这两个数构成的数对(□, △)应为 ( ) A .(4, 14) B .(6, 6) C .(3, 18) D .(5, 10)12.某种电热器的水箱盛水200升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时按匀加速度自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升),当水箱内的水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水量为65升,则该电热器一次至多可供 ( ) A .3人洗浴 B .4人洗浴 C .5人洗浴 D .6人洗浴第Ⅱ卷(非选择题 共90分)B二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中的横线上.13.如右图是由三个相同的正方形相接,在ABC ∆中, 锐角α=∠ACB ,则=αtan _______. 14.若,x y R ∈,且2186xyxy==,则_____.x y += 15.有4个不等式:2<<3<<.其中不正确的个数是___ ___.16.若连续且不恒等于的零的函数()f x 满足'()()0f x f x +=,试写出一个符合题意的函数()______.f x =三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数()sin()cos f x x x ϕ=+的图像关于原点(0,0)O 对称,试求函数()f x 的解析式.18.(本小题满分12分)某次有奖竞猜活动中,主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题, 并且宣布:观众答对问题A 可获奖金a 元,答对问题B 可获奖金2a 元;先答哪个题由观众自由选择;只有第1个问题答对,才能再答第2个问题,否则中止答题。
选择填空专项练习(理科)一、选择题(每题5分,共50分)1.若集合},01|{>+=x x A },2|{2x x x B <=则=⋃B A (B )A. }21|{<<-x xB. }1|{->x xC. }20|{<<x xD. }10|{<<x x2、若cos isin z θθ=+(i 为虚数单位),则使21z =-的θ值可能是( D )A .6πB .4π C .3π D .2π 3、已知命题p :11242x #,命题q :x +1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-52,-2,则下列说法正确的是 A .p 是q 的充要条件 B .p 是q 的充分不必要条件C .p 是q 的必要不充分条件D .p 是q 的既不充分也不必要条件4、关于平面向量,,a b c .有下列三个命题:①若a b =a c ,则=b c .②若(1)(26)k ==-,,,a b ,∥a b ,则3k =-.③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60.其中正确的式子有(A )A .1个B .2个C .3个D .4个5.如图,是我市甲乙两地五月上旬日平均气温的统计图,则甲乙两地这十天的日平均气温的平均数x 甲,x 乙和日平均气温的标准差s 甲,s 乙的大小关系应为(A ) A. x 甲=x 乙,s 甲s >乙 B. x 甲=x 乙,s 甲s <乙 C. x 甲>x 乙,s 甲s <乙 D. x 甲>x 乙,s 甲s >乙6. 如图,是一个空间几何体的主视图(正视图)、左视图、俯视图,如果图中直角三角形的直角边长均为1,那么这个几何体的侧面积为 ( ) A. 21+ B. 22+ C. 221+ D. 222+7.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足22712220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则311b b 等于( )A.16B.8C.4D.28.设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF的斜率为,那么|PF|=( )A9、函数y=2x -x 2的图像大致是( )10、某程序框图如图所示,现输入如下四个函数:2()f x x =1()f x x =,()x f x e =,()sin f x x =,则可以输出的函数是( )A 2()f x x = B1()f x x = C ()e x f x = D ()sin f x x = 二、填空题11. 10(ax -的展开式中4x 项的系数为 210, 则实数a 的值为________. 12.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于475 13. 在极坐标系中,直线l 的方程为sin 3r ?则点(2,π/6)到直线l 的距离为 2.14.设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ,若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是 .15.下面有5个命题:①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈.③在同一坐标系中,函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数.其中,真命题的编号是__①④____(写出所有真命题的编号)。
考前特训选择填空题限时训练(一) (满分:80分, 测试时间:50分钟)(见学生用书P 198)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i 是虚数单位,则复数z =7-i3+i =( )A .2+iB .2-iC .-2+iD .-2-i解析:z =7-i 3+i =(7-i )(3-i )(3+i )(3-i )=21-7i -3i -110=2-i.答案:B2.已知条件p :log 2(x -1)<1;条件q :|x -2|<1,则p 是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件 解析:log 2(x -1)<1⇒0<x -1<2⇒1<x <3;|x -2|<1⇒-1<x -2<1⇒1<x <3.选C.答案:C3.a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则化简cos(a π-θ)的结果是( )A .cos θB .-cos θC .sin θD .-sin θ解析:由程序框图知,a =2,i =1;a =-1,i =2;a =12,i =3;a =2,i =4,…,直到i =2 014,故a =2,cos(a π-θ)=cos(2π-θ)=cos θ,选A. 答案:A4.在长为5 cm 的线段AB 上任取一点C ,以AC ,BC 为邻边作一矩形,则矩形面积小于4 cm 2的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析:设AC =x ,则x (5-x )<4,解得x <1或x >4,又0≤x ≤5,所以0≤x <1或4<x ≤5,于是所求的概率为25,选B.答案:B5.在△ABC 中,AB =3,AC =2,BD →=12BC →,则AD →·BD →=( ) A .-52 B.52 C .-54 D.54解析:由BD →=12BC →得D 是BC 的中点, 所以AD →=12(AB →+AC →). AD →·BD →=12(AB →+AC →)·12BC →=12(AB →+AC →)·12(AC →-AB →)=14(AC →2-AB→2)=-54,选C.答案:C6.甲、乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决了胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次不同视为不同情形)共有( )A .10种B .15种C .20种D .30种解析:两人比赛局数为3局、4局或5局.当局数为3时,情况为甲或乙连赢3局,共2种;当局数为4时,若甲胜,则甲第4局胜,且前3局胜2局,有C 23=3种情况,同理乙胜也有3种情况,共6种;当局数为5时,前四局甲 、乙各胜两局,最后一局赢的人获胜,有2C 24=12种情况.故总共有20种情况,选C.答案:C7.设函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1x n ,其中n 是集合{1,2,3}的非空真子集的个数,则f (x )的展开式中常数项是( )A .-52 B .-160 C .160 D .20解析:n =23-2=6,所以f (x )=⎝⎛⎭⎪⎫2x -1x 6,其展开式通项是 C r 6(2x )6-r ⎝⎛⎭⎪⎫-1x r =(-1)r ·26-r C r 6(x )6-2r, 故r =3时,通项是常数项(-1)3C 36·23=-160,选B.答案:B8.如图是函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -5π6在一个周期内的图象,则阴影部分的面积是( )A.34B.54C.32D.32-34解析:函数的周期T =π,π6+π2=2π3.阴影部分面积为:∫2π3π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -5π6d x -∫π60cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -5π6dx=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -5π62π3π6-12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -5π6π60=54.选B. 答案:B9.如图,在由x =0,y =0,x =π2及y =cos x 围成区域内任取一点,则该点落在x =0,y =sin x 及y =cos x 围成的区域内(阴影部分)的概率为( )A .1-22 B.2-1 C.2-12 D .3-2 2 解析:由x =0,y =0,x =π2及y =cos x 所围成区域的区域面积S =∫π20cos xdx =sin x ⎪⎪⎪π20=sin π2=1,由x =0,y =sin x 及y =cos x 所围成的区域面积 S =∫π40(cos x -sin x)dx =(sin x +cos x)π40 =22+22-1=2-1,∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率 P =2-11=2-1. 答案:B10.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-3)=f (5)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,且导函数y =f ′(x )的图象如图所示.则不等式f (x )<1的解集是( )A .(-3,0)B .(-3,5)C .(0,5)D .(-∞,-3)∪(5,+∞)解析:依题意得,当x >0时,f ′(x )>0,f (x )是增函数;当x <0时,f ′(x )<0,f (x )是减函数.又f (-3)=f (5)=1,因此不等式f (x )<1的解集是(-3,5),选B. 答案:B11.设双曲线的方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),若双曲线的渐近线被圆M :x 2+y 2-10x =0所截的两条弦长之和为6,则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.43D.52解析:由已知得双曲线的渐近线方程为y =±ab x ,即ax ±by =0.圆x 2+y 2-10x =0可化为(x -5)2+y 2=25,故圆心M (5,0),半径r =5.由双曲线及圆的对称性可知,双曲线的两条渐近线被圆M 所截的两条弦长相等,故其中一条渐近线被圆所截弦长为3,所以圆心M 到直线ax +by =0的距离d =|a ×5+b ×0|a 2+b 2=52-32=4,即5|a |=4a 2+b 2,整理得9a 2=16b 2,故a =43b ,所以c =a 2+b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫43b 2+b 2=5b 3,故e =c a =53b 43b=54.答案:A12.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若对任意的x ∈[a ,b ],都有|f (x )-g (x )|≤k (k >0),则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“k 度和谐函数”,[a ,b ]称为“k 度密切区间”,若函数f (x )=lnx 与g (x )=mx -1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e (e 为自然对数的底数)上是“e 度和谐函数”,则m 的取值范围是( )A .[-e -1,1]B .[-1,1+e]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e -e ,1+e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e +1-e ,1+e 解析:设h (x )=f (x )-g (x )=ln x -mx -1x =-m +1x +ln x , h ′(x )=-1x 2+1x =x -1x 2,故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,1时,h ′(x )<0,函数h (x )单调递减;当x ∈[1,e]时,h ′(x )≥0,函数h (x )单调递增.所以函数h (x )的最小值为h (1)=-m +1;而h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-m +e -1,h (e)=-m +1e +1,显然e -1>1e +1,所以h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >h (e),故函数h (x )的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-m +e -1.故函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上的值域为 [-m +1,-m +e -1].由题意,|h (x )|≤e, 即-e ≤h (x )≤e ,所以⎩⎪⎨⎪⎧-m +1≥-e ,-m +e -1≤e ,解得-1≤m ≤1+e.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知(x +1)2+(y +1)2+(z -1)2=4,则x +2y +3z 的最大值是______.解析:由柯西不等式得,x +2y +3z =(x +1)+2(y +1)+3(z -1)≤(12+22+32)[(x +1)2+(y +1)2+(z -1)2]=214,等号当且仅当x +1=y +12=z -13>0,且(x +1)2+(y +1)2+(z -1)2=4,即x =14-77,y =214-77,z =314+77时成立,故所求的最大值为214.答案:21414.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是______.解析:几何体是一个半球和一个圆台的组合体,体积为V =12·43π·43+13π·3(22+2·4+42)=212π3.答案:212π315.执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为______.解析:该程序框图运行2次,故输出的T =1+∫10xdx +∫10x 2dx=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫x22+x 3310=116.答案:11616.设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),定义一种向量积a ⊗b =(a 1,a 2)⊗(b 1,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2).已知m =⎝ ⎛⎭⎪⎫2,12,n =⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0,点P (x ,y )在y =sin x 的图象上运动,点Q 在y =f (x )的图象上运动,且满足OQ→= m ⊗OP→+n (其中O 为坐标原点),则y =f (x )的最大值为__________________________________________________________.解析:设Q (x ,y ),P (x ′,y ′).则由OQ→=m ⊗OP →+n , 得(x ,y )=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′,12sin x ′+⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0,∴⎩⎨⎧x =2x ′+π3,y =12sin x ′,消去x ′得y =f (x )的解析式为 y =12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π6,x ∈R ,易得y =f (x )的最大值为12. 答案:12。
选择、填空题训练(二)
【选题明细表】
知识点、方法题号
集合与常用逻辑用语1、2
平面向量9、14
不等式11、16
函数4、10、15 三角函数与解三角形6、8
数列7、13
立体几何5、12
解析几何3、17
一、选择题
1.(2013浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)设
P={x|2x>1},Q={x|log2x>1},则( A )
(A)P∪Q=P (B)P∪Q=Q
(C)P∩Q Q (D)P∩Q Q
解析:P={x|2x>1}={x|x>0},
Q={x|log2x>1}={x|x>2},
所以Q P,P∪Q=P,P∩Q=Q,故选A.
2.(2013浙江省金华十校高三模拟)“a=2”是“直线y=-ax+2与y=x-1垂直”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
解析:a=2时,直线方程分别为y=-2x+2和y=x-1,
此时两直线斜率之积为-1,
所以两直线垂直;
若直线y=-ax+2与y=x-1垂直,
则有-a³=-1,
所以a=±2.
所以“a=2”是“直线y=-ax+2与y=x-1垂直”的充分不必要条件.故选A.
3.已知椭圆+=1(a>b>0),A(4,0)为长轴的一个端点,弦BC过椭圆的
中心O,且²=0,|-|=2|-|,则其焦距为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意,可知||=||=||,
且a=4,
又|-|=2|-|,
所以||=2||.
故||=||.
又²=0,所以⊥.
故△OAC为等腰直角三角形,||=||=2.
不妨设点C在第一象限,
则点C的坐标为(2,2),
代入椭圆方程,得+=1,
解得b2=.
所以c2=a2-b2=42-=,c=.
故其焦距为2c=.
故选C.
4.(2013浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)等于( C )
(A) (B)- (C) (D)-
解析:因为f(x)==1+,
所以f(a)=1+=,
所以=-,
f(-a)=1-=1-(-)=,
故选C.
5.(2014宁波高三十校联考)设m,n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题正确的是( B )
(A)m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n
(B)m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n
(C)m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β
(D)m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
解析:对于选项A,m与n可能平行也可能异面、相交,对于选项C,平面α与β可能平行,也可能相交不垂直,对于选项D,只有m与n是相交直线时才有α∥β,故选B.
6.(2013杭州模拟)函数y=sin(x+)+cos(-x)的最大值为( C )
(A)(B) (C) (D)
解析:因为y=sin(x+)+cos(-x)=cos x+cos x+sin x=cos x+sin
x,所以函数的最大值为===.
7.(2013淮北市高三二模)已知数列{a n}是等差数列,a n>0.若2lg a2=lg a1+lg a4,则的值是( B )
(A)(B)1或
(C)(D)1或
解析:设数列{a n}的首项为a1,公差为d.
由2lg a 2=lg a1+lg a4知=a1a4,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),
解得d=0或d=a1.
当d=0时,=1,
当d=a1时,a n=na1,
于是==.
故选B.
8.(2013潍坊模拟)在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b=2,B=,且sin 2A+sin(A-C)=sin B,则△ABC的面积等于( C ) (A)2 (B) (C) (D)2
解析:∵sin 2A=sin B-sin(A-C),
∴2sin Acos A=sin(A+C)-sin(A-C),
∴2sin Acos A=2cos Asin C.
∵△ABC是锐角三角形,∴cos A≠0,
∴sin A=sin C,即A=C=B=,
∴S △ABC=³2³2³=.
9.△ABC中,∠B=60°,AB=3,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,设
=x+(x∈R),则||等于( B )
(A) (B)2(C)3 (D)无法确定
解析:如图,过点D作DE∥BC,
DF∥AB,
则四边形DEBF为菱形.
且=+,
又=x+,
所以=.
由于==,AB=3,
所以AE=1,
于是BF=DF=2.
△BFD中由余弦定理知|BD|=2.
故选B.
10.已知R上的增函数f(x)=1+x-+-+…+,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,圆x2+y2=b-a的面积的最小值是( A )
(A)π (B)2π(C)3π(D)4π
解析:因f(x)为R上的增函数,且f(0)=1>0,
f(-1)=(1-1)+(--)+…+(--)<0,
∴函数f(x)的唯一零点在[-1,0]内,
函数F(x)=f(x+4)的唯一零点在[-5,-4]内.
由题意可知,b-a的最小值为1,
∴圆x2+y2=b-a的面积的最小值为π.
故选A.
二、填空题
11.(2013豫东、豫北十所名校联考)如果实数x,y满足条件
那么目标函数z=2x-y的最小值为.
解析:作不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,
易知当直线z=2x-y经过点A时,z有最小值.
由
解得A(-2,-1),
所以z min=2³(-2)-(-1)
=-3.
答案:-3
12.(2013聊城模拟)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.
解析:由三视图可知该几何体是放倒的三棱柱,三棱柱的高为,三角形的两直角边分别为1,,所以三棱柱的体积为³1³³=1.
答案:1
13.(2013海南模拟)已知数列{a n}的首项a1=1,其前n项和S n=n2²a n(n ∈N*),则a9= .
解析:由S n=n2²a n可知,
当n≥2时有S n-1=(n-1)2a n-1,
两式相减可得a n=n2a n-(n-1)2a n-1,于是=,
于是a9=²²…²²a1=³³³³…³³1=.
答案:
14.(2013温岭中学模拟)在△ABC中,若BC=4,cos B=,则²的最小值为.
解析:在△ABC中,设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,
²=²(+)=c2+4c³(-)=c2-c=(c-)2-≥-,故当c=时,取最小值-.
答案:-
15.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .
解析:若a>1,有a2=4,a-1=m,
此时a=2,m=,
此时g(x)=-为减函数,不合题意.
若0<a<1,有a-1=4,a2=m,
故a=,m=,检验知符合题意.
答案:
16.(2013浙江嘉兴模拟)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为.
解析:由x2+ax-2>0可得a>-x,令g(x)=-x,
则函数g(x)在[1,5]上单调递减,所以g(x)在[1,5]的最小值
g(x)min=g(5)=-,
因此当不等式有解时,a的取值范围是a>-.
答案:a>-
17.(2013抚顺模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c(c>0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线y2=(a+c)x与椭圆交于B、C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率是.
解析:由于四边形ABFC是菱形,所以BC与AF垂直,
且经过AF的中点(,0),
因此B、C两点的横坐标均为, 又因为抛物线过B、C两点,
可求得B(,b),
而B点也在椭圆上,
故+=1,
整理得4c2-8ac+3a2=0,
即4e2-8e+3=0,
解得e=,e=(舍去).
答案:。