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数集确界原理

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数集确界原理

数集确界原理

数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。

在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。

首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。

对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。

类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。

上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。

数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。

在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。

在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。

除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。

它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。

这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。

总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。

希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。

数集·确界原理

数集·确界原理

设 2）不成立，则 0 0, 使得 x E ，均有 x M 0 ，与 M 是上确界矛盾.
充分性， 用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 M M 0 ，
x E ， 由 2） ， 使得 x M M ， 与M 是E
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
(a, b) (a, b 为有限数） a, b 、 、 邻域等都是有界数集； 集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明： 对任意的M 0，x M 1 1
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.

高等数学第1章第2节数集·确界原理

高等数学第1章第2节数集·确界原理

§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。

1-02-数集与确界原理

1-02-数集与确界原理
o a
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. .邻域:
数集{ x x − a < δ }称为点a的δ邻域 ,
中的一个数集， 满足： 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数ξ 满足： 的下界） （1）对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ （即ξ 是 S 的下界） ） ； 存在 （2） ） 对任何β>ξ ,存在 x0 ∈ S , 使得 x0 < β （即ξ 是 S 的下界中最大的一个）则称数 ξ 为数集 S 的下 的下界中最大的一个） ， 确界， 确界，记作 ξ = inf S .
∴sup S ≤ max{sup A,sup B} ; 同理又有sup B ≤ sup S. ∴sup S ≥ max{sup A,sup B} ; ∴sup S = max{sup A,sup B} . 从而有x ≤ max{sup A,sup B} , 又: ∀x ∈ A, x ∈ S ⇒ x ≤ sup S ⇒sup A ≤ sup S,
数集S有上界 数集 有上界 ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ S有x ≤ M. 数集S无上界 数集 无上界 ⇔ ∀M ∈ R, ∃x0 ∈ S有x0 > M. 数集S有下界 数集 有下界 数集S无下界 数集 无下界
[ a , b ] , ( a , b ),(a , b 为有限数）是有界数集 为有限数）是有界数集;
+
Β为非空数集 满足: 为非空数集, 例4 设 Α, Β为非空数集,满足: ∀x ∈ A, ∀y ∈ B有 ≤ y x 证明: 有上确界, 有下确界,且 证明:数集 A有上确界 数集 有下确界 且sup A ≤ inf B 有上确界 数集B有下确界 由假设,数集 数集B中任一数 都是数集A的上界 的上界, 证: 由假设 数集 中任一数 y 都是数集 的上界 A中任一数 x 都是 的下界 中任一数 都是B的下界 的下界, 故由确界原理知,数集A有上确界 数集 有下确界 有上确界,数集 有下确界. 故由确界原理知 数集 有上确界 数集B有下确界 确界原理 是数集A的一个上界 的一个上界,而由上确界的定义知 ∀y∈B, y是数集 的一个上界 而由上确界的定义知 是数集A的最小上界, supA 是数集 的最小上界, 故有 supA ≤ y 是数集Β的一个下界, 而此式又表明数 supA 是数集Β的一个下界, 故由下确界的定义证得

数集,确界原理

数集,确界原理
o
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0

a

a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .

x0

S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S

第一章2数集 确界原理

第一章2数集 确界原理

1 2
正无穷大 负无穷大
王利梅 数学分析
设 a ∈ R, δ > 0, 满足绝对值不等式 |x − a| < δ 的全体 x 的集合 称为点 a 的 δ 领域, 记为 U (a, δ ), 或简记为 U (a), 即有 U (a, δ ) = {x | |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ). 点 a 的空心 δ 领域定义为 U 0 (a, δ ) = {x | 0 < |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ) \ {a} = U 0 (a). 点 a 的 δ 右领域为 U+ (a, δ ) = [a, a + δ ) = U+ (a). 点 a 的 δ 左领域定义为 U− (a, δ ) = (a − δ, a] = U− (a). 点 a = {x | x 为区间(0, 1)内的有理数}，试按上, 下确界的定义验 证 sup S = 1, inf S = 0. . 证明. 先证明 sup S = 1. (i) 对 ∀ x ∈ S , 显然有 x ≤ 1. 即 1 是 S 的上界. (ii) 对 ∀ α < 1, 若 α ≤ 0, 则任取 x0 ∈ S , 有 x0 > α; 若 α > 0, 则 由有理数在实数中的稠密性知, 在 (α, 1) 内必有有理数 x0 , 即 ∃ x0 ∈ S 使得 x0 > α. 即 η 是 S 的最小上界. 类似地可验证 inf S = 0. 例：闭区间 [0, 1] 的上, 下确界分别为 1 和 0. 开区间 (0, 1) 的上, 下确界分别为 1 和 0. 正整数集有下确界 1, 而没有上确界.
王利梅
数学分析
王利梅

数集确界原理

数集确界原理§1.2数集确界原理本节主要教学内容：区间与邻域确界及确界原理。

教学方法与设计：重点讲授确界的概念并补充例题对确界原理则以讲授其证明方法为主同时说明确界原理在本课程中的地位和作用。

一、区间与邻域 1、区间：开、闭、半开半闭、有限区间、无限区间（几何表示集合表示） 2、邻域点的δ领域去心领域左、右领域无穷大的领域：二、有界集确界原理 1、有界的概念 1o、设R若则称为有上界（下界）的数集M（L）称为的一个上界（下界）。

2 o、若既有上界又有下界则称为有界集否则称为无界集。

说明：（1）S为有界集。

此时称为的一个界。

（2）S为无界集S无上界或S无下界有。

（3）界：只强调存在不强调大小；若M为S的一个界则比M大的正数皆可作为S的界例：S={12}既有上界（）又有下界于是S有界（）。

S=（a、b）既有上界（）又有下界于是S有界（）。

S=N有下界但无上界。

有上界但无下界。

2、确界的概念最小的上界称为上确界最大的下界称为下确界即：（1）设S为R中的非空数集若满足：（i）; （ii）的最小上界. 则称数为S的上确界记为（supremum上确界的简写）（2）设S为R中的非空数集若满足：（i）；（ii）是的最大下界。

则称数为的下确界记为(infimum下确界的简写)。

上下确界统称确界。

说明：（1）若S存在上、下确界则。

（2）S的上（下）确界可能属于S也可能不属于S若属于则相等。

（3）若S存在上（下）确界则唯一。

（4）最大（小）性的表示：（ii）使。

使例：（1）则。

（2）S=则。

证明：（2）只证。

(i)有即1为的上界；(ii)要证只要所以有。

例：设S有上确界证明：证明：必要性。

由上确界定义,有又故充分性：（i）有即是S的上界；（ii）则。

由上确界的定义有：。

同理可证：。

3、确界原理：（i）设S为非空数集若S上界则S必有上确界；且唯一。

（ii）设S为非空数集若S下界则S必有下确界；且唯一。

证明：只证明（i）思路：1o、根据实数的表示法和上界的性质构造一个实数。

数集确界原理


作业 :
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
1.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
S
确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界, 则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b, 则e为正数且 a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有 a b.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
3.实数集 两个实数的大小关系 • 定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数， 0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y； 若a0 > b0或存在非负整数l , 使得ak bk (k 1,2Ll )而al 1 > bl 1 则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.

数集确界原理

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一般地用归纳法可证明存在 nk ∈ N 及
S k = { x | x ∈ S + , x = n0 .n1 L nk ak +1 L},
则 Sk ≠ ∅ , ∃ xk ∈ S k , xk > n0 .n1 L nk ; ∀x ∈ S ,
1 x < n0 .n1 L nk + k . 10 LL
∀n, ∃ x = a0 .a1 L an bn+1 L ∈ S + , 由 于 x 由 正 规 小 数 表示, 必有 k > 0, 使 bn+ k > 0. 由于
xn+ k = a0 .a1 Lanan+1 Lan+ k ≥ a0 .a1 Lanbn+1 Lbn+ k ,
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因此 an+1 , an+ 2 ,L an+ k 不全为 0, 即η = a0 .a1a2 L
∃ k , 使 a0 .a1a2 L ak = n0 .n1n2 L nk , 而 ak +1 > nk +1 ,
1 此与 ∀x ∈ S ,x < n0 .n1 L nk + k 矛盾. 10
(ii) ∀α < η , 设 α = α 0 .α1 Lα k L . 则 ∃ k , 使 α 0 .α1 Lα k = n0 .n1 L nk， α k +1 < nk +1 . 而
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由定义∃ xk +1 ∈ Sk +1 , xk +1 > n0 .n1 L nk +1 . 则
xk +1 > n0 .n1 L nk +1 ≥ α 0 .α1 Lα k +1 L = α .

数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

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b
2
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
a
b
无限区间
oa
[a,) {x a x}
[a,) {x a x}
oa
x
(,b) {x x b}
ob
x
( , )
x
邻域
定义 1（邻域的定义） 是一实数, 0(读作 delta),称数集
例5 设 S 是 R 中非空有上界的数集 ,
(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x S},则
sup {S a} sup S a;
(ii) 若 b>0, 定义 bS {bx | x S} , 则
sup {bS} b sup S.
证 (i) x a S a, 其中 x S, 必有 x sup S,
定义3
设 S R, S . 若 R 满足 : (i) x S, x ; (ii) , x0 S, x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S.
注1 由定义,下确界是最大的下界.
注2 下确界定义中的 (ii)亦可换成
0, x0 S, x0 .
,
证明
sup S 1，inf S 0.
证 先证 sup S=1.
(i) x S, x 1 1 1 ; n
(ii) 设
1.
若
0，则取
x0
1 1 S, 2
x0
.
若 0, 令 1 0,由阿基米德性, n0 ,
使得
确界. 同样，若S 有下界，则最大的下界称为下 确界.
下界
m2 m1 m
下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足 :
(i) x S, x ; (ii) , x0 S, 使得 x0 , 则称 是 S 的上确界, 记为 sup S.
证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，
且 sup A inf B.
证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任 一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确 界, B 有下确界. 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界, 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
证 设 若 sup A .显然 x B, x 0. 0,
令
M
=
1

,
则由于 sup A , x0 A, x0 M .
于是 因此
y0

1 x0
B,且
y0
.
inf B 0.
反之,若 inf B 0, 则 M 0,
令

1 M
,

x0
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .
例2 设数集
1

A

R
,
B


x
x A.
求证: sup A 的充要条件是 inf B 0.
求证: sup A 的充要条件是 inf B 0.
1 n0
.
取x0

1

1 n0

S,
则
x0
1
.
因此，sup S 1.
再证 inf S 0. (i) x S, x 1 1 0 ;
n
(ii) 0, x0 0 S, x0 .
因此 inf S 0.
虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的
存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集
不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值.
以下确界原理作为公理,不予证明.
确界存在性定理
定理1.1（确界原理）
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
例4 设 A, B 为非空数集. 满足 : x A, y B,有 x y.
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R,若M 1, 取x0 21 M; 若M 1，
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
bx bsup S.
0, 令 0, 则存在
b
x0 S, 使
x0 sup S ,
因此
bx0 b sup S b b sup S .
这就证明了
sup{bS} bsup S.
非正常确界
1. 规定 (i) a R, a ; (ii)若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
aa
bb
a
b
{x a{x ax bx} 称b}为闭称区为间闭, 区记间作, [记a,b作] [a,b]
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
aa
bb
a
b
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
a
于是
x a sup S a.
对于 0, x0 S, 使 x0 sup S , 从而
x0 a S a,
且
x0 a (sup S a) ,
因此
sup(S a) sup S a.
(ii) bx bS, 其中 x S, 必有 x sup S, 于是
注3 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明
比小的数都不是 的 S上界,从而 是最小的上界
界, 即上确界是最小的上界. 注4 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S, x0 .
例3
设
S


x

x 1
1 , n 1, 2, L n

B,
x0

. 于是
y0

1 x0
A, 且
y0
Hale Waihona Puke M.因此 sup A .
作业 P 9 2; 4; 6; 7(1)
数学分析 第一章 实数集与函数
§2 数集 · 确界原理
确界原理本质 上体现了实数的完 备性，是本节学习 的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
§2 数一集区.一间确与区界邻间原域与理:邻域:
一 区间区与间邻区域：间: ：
区{间x a：{x ax bx} b称}为开称区为间开, 区记间作, (记a,作b) (a,b)


a
a
a
x
有时我们仅仅研究点 附近(不包含 点)的情况,需要使用到所谓去心
邻域的概念.
定义 2 去心邻域的定义)称数集
为点 的去心 邻域.

a
a

a x
有界集
定义1
设S R, S . (1) 若 M R, 使得 x S, x M , 则称 M 为 S 的一个上界, 称 S 为有上界的数集. (2) 若 L R, 使得 x S, x L,则称 L 为 S的一个下界, 称 S 为有下界的数集. (3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集. 其充要条件为 : M 0, 使 x S,有 | x | M .
例2
证明数集
S


n2 1 2n3
n

N
+

有界.

证
n N+ ,
n2 1 2n3

n2 2n3

1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
确界
上确界 M
上界
M1
M2
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中
最小的一个具有重要的作用.
最小的上界称为上