2011年高考数学总复习系列 新人教版选修2-1

数学·选修2－1(人教A版)
常用逻辑用语
本章知识概述
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正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想．在本章中，同学们在义务教育阶段的基础上，将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流．
学习内容
1．命题及其关系．
(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．
2．简单的逻辑联结词．
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
3．全称量词与存在量词．
(1)通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
在本章学习中，应特别注意以下几个问题：
(1)命题是指明确地给出条件和结论的语句，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件．
(2)对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，能正确地表述相关的数学内容．
(3)对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义．
(4)在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性．避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释．
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人教版高中数学必修2-1知识点第一章常用逻辑用语1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2.“若p ，则q ”：p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3.若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5.若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6.四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7.p 是q 的充要条件：p q⇔p 是q 的充分不必要条件：q p ⇒，p q ≠>p 是q 的必要不充分条件：p q q p ⇒≠>,p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>pq ≠>8.逻辑联结词：(1)用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。

(2)用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。

(3)对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．真假性相反9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10.全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．第二章圆锥曲线与方程1.椭圆定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2.椭圆的几何性质：3.平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4.双曲线的几何性质：5.实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．8.焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．9.抛物线的几何性质：解题注意点：1.“回归定义”是一种重要的解题策略。

第一章 常用逻辑用语第一讲 命题及其关系、充要条件与必要条件 [知识梳理]1．陈述句 真命题 假命题 2．命题的条件 命题的结论3．若q 则p 若p ⌝则q 若q ⌝则p ⌝ （1）逆命题（2）否命题（3）逆否命题 4．（1）真假性 （2）没有关系 5．它的逆否命题为真命题 反证法（1）假设命题的结论不成立 （2）这个假设 （3）从而肯定命题的结论正确 6．充分 必要 充分必要 充要 7．充分不必要 必要不充分8．(1)充分不必要 (2)必要不充分 (3)充要 (4)既不充分也不必要9．(1)充分 充分不必要 (2)必要 必要不充分 (3)充要 既不充分也不必要 [基础闯关]1．B 2．C 3．B 4．2 5．充分不必要 6．充分不必要 [典例精析] 变式训练1．（1）是假命题；（2）是假命题；（3）不是命题，是疑问句；（4）不是命题，是开语句；（5）是真命题. 2.存在一个奇数，它的立方是偶数. 3.若b a ≤，则122-≤ba .4. 解：逆命题为：已知函数)(x f y =在),(+∞-∞上是增函数，R b a ∈,。

若)()()()(b f a f b f a f -+->+，则0>+b a .它是真命题。

证明如下：若0≤+b a ,则b a -≤， )(x f 在),(+∞-∞上是增函数，∴)()(b f a f -≤；同理可证)()(a f b f -≤，两式相加，得)()()()(b f a f b f a f -+-≤+与已知条件)()()()(b f a f b f a f -+->+矛盾。

故所写的逆命题为真命题。

5. (反证法)假设三个方程都有相等的实根，则02=-ac b ，02=-ab c ，02=-bc a ，∴0222=---++bc ac ab c b a ，即0)()()(222=-+-+-a c c b b a 从而c b a ==这与已知条件“c b a ,,为互不相等的实数”矛盾.故题设中三个方程不可能都有等根。

2011高考数学复习必修1第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 }.{B x A x x B A ∈∈=且 }.{B x A x x B A ∈∈=或},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合 },,b a R x <∈记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1．（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．（2）注意∅与{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：集合{()x y y =，中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =的解集，或者理解为曲线y =集合{x y =中的元素是x ，这个集合表示函数y =x 的取值范围；集合{y y =中的元素是y ，这个集合表示函数y =y 的取值范围；集合{y =中的元素只有一个（方程y =（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n -1个真子集，有2n -2个非空真子集。

2011年高考数学总复习系列新人教版选修2-2《2011年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2第一章 导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！一、 基础知识【理解去记】1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

6．【必背】八大常用函数的导数： （1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）； （3）;cos )'(sin x x = (4)x x sin )'(cos -=; (5)a a a x x ln )'(=; (6)x x e e =)'(;7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。

模块复习提升课一 常用逻辑用语,[学生用书P76])1．四种命题及其关系(1)四种命题命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若¬p ，则¬q 逆否命题若¬q ，则¬p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)分类①充要条件：p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ；；p ⇒/q ，q ⇒p ：充分不必要条件② ，q ⇒/p ，p ⇒q 必要不充分条件：③ .p ⇒/q 且，q ⇒/p 既不充分也不必要条件：④ 3．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p 和命题q ，可得p ∧q ，p ∨q ，¬p .(2)命题p ∧q ，p ∨q ，¬p 的真假判断．p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与¬p 必定是一真一假．4．全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题． 全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．(2)存在量词与特称命题． 存在量词用符号“∃”表示．．)0x (p ，M ∈0x ∃特称命题用符号简记为 5．含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，¬p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0) ∀x ∈M ，¬p (x )1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p ，则q ”，则该命题的否命题是“若¬p ，则¬q ”；命题的否定为“若p ，则¬q ”．2．判断p 与q 之间的关系时，要注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a ＝0”是“a ·b ＝0”的充分不必要条件，“a ·b ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件．3．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．四种命题及其关系[学生用书P76]设命题为“若k ＞0，则关于x 的方程x 2－x －k ＝0有实数根”，该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．【解析】 命题的否定：若k ＞0，则关于x 的方程x 2－x －k ＝0没有实数根．假命题； 逆命题：若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有实数根，则k ＞0.假命题； 否命题：若k ≤0，则关于x 的方程x 2－x －k ＝0没有实数根．假命题； 逆否命题：若关于x 的方程x 2－x －k ＝0没有实数根，则k ≤0.真命题． 【答案】 3四种命题的写法及其真假的判断方法(1)四种命题的写法①明确条件和结论：认清命题的条件p 和结论q ，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件．(2)简单命题真假的判断方法①直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证；②间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．并，的逆命题、否命题、逆否命题”1＝－y 且2＝x 则，0＝2)1＋y (＋x －2若“写出命题 判断它们的真假．．真命题，0＝2)1＋y (＋x －2则，1＝－y 且2＝x 逆命题：若解： ．真命题，1－≠y 或2≠x 则，0≠2)1＋y (＋x －2否命题：若 ．真命题，0≠2)1＋y (＋x －2则，1－≠y 或2≠x 逆否命题：若 充分、必要条件的判断及应用[学生用书P77](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 (2)已知集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x ＜a }，则“a ＞5”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ．故选A. 所以，5＞a ⇒/4＞a 且，4＞a ⇒5＞a 而，4＞a ⇔B ⊆A 所以，4}≤x ≤4－|x {＝A ⇒}R ∈x ，4≤|x ||x {＝A )2(“a ＞5”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．【答案】 (1)A (2)A判断充分、必要条件的方法集合法：即看集合A 和B 的包含关系．①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件．②若AB ，则A 是B 的充分不必要条件；③若A B ，则A 是B 的必要不充分条件；④若A ＝B ，则A ，B 互为充要条件；．必要条件的既不充分也不B 是A 则，B ⊇/A 且，B ⊆/A 若⑤ a求正实数，的充分而不必要条件q 是p 若，>02a －1＋x 2－2x ：q ，20>0－x 8－2x ：p 已知 的取值范围．，>10}x 或2－<x |x {＝20>0}－x 8－2x |x {＝A 设解： ，}a ＋>1x 或a －<1x |x {＝>0}2a －1＋x 2－2x |x {＝B 由于p 是q 的充分而不必要条件，可知A B .⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1－a>－2，1＋a≤10，或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1－a≥－2，1＋a<10从而 解得0<a ≤3.故所求正实数a 的取值范围为(0，3]．含有逻辑联结词的命题[学生用书P77](1)命题p ：正数的对数都是负数；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．¬p 为假命题D ．¬q 为假命题 (2)设集合A ＝{x |－2－a ＜x ＜a ，a ＞0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)例如∃x 0>1，log a x 0＞0(a >1)， 所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x>0.综上可知，“p 或q ”是假命题，故选B.(2)若p 为真命题，则－2－a ＜1＜a ，解得a ＞1. 若q 为真命题，则－2－a ＜2＜a ，解得a ＞2. 依题意得p 与q 一真一假，若p 真q 假， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a≤2， 即1＜a ≤2. 若p 假q 真， 则⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，a ＞2，a 不存在． 综上1＜a ≤2.【答案】 (1)B (2)(1，2]判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(1)先确定简单命题p ，q .(2)分别确定简单命题p ，q 的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假．，)0≠d 其中公差(中}n a {：在等差数列q 恒成立；命题x a >log x a 则，>1a ：若p 已知命题1. )(则下面选项中真命题是，)*N ∈q ，p ，n ，m (的充分不必要条件”q a ＋p a ＝n a ＋m a “是”q ＋p ＝n ＋m “ A ．¬p ∧¬q B ．¬p ∨¬q C ．¬p ∨q D ．p ∧q 显然当，上的图象)∞＋，0(在)>1a (x a log ＝y 与)>1a (xa ＝y 如图所示作出函数，p 对于命题B.选析：解．为真命题p 故命题，恒成立x a >log x a ，时>1a 即，图象的上方x a log ＝y 的图象在函数x a ＝y 函数，时>1a的充要”q a ＋p a ＝n a ＋m a “是”q ＋p ＝n ＋m “，时0可知当公差不为，由等差数列的性质，q 对于命题条件，故命题q 为假命题．所以¬p 为假，¬q 为真，所以p ∧q 为假， ¬p ∨q 为假，¬p ∧¬q 为假，¬p ∨¬q 为真．2．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0，且p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数c 的取值范围是________．解析：解不等式c 2＜c ，得0＜c ＜1，即命题p ：0＜c ＜1， 所以命题¬p ：c ≤0或c ≥1.又由(4c )2－4＜0，得－12＜c ＜12，即命题q ：－12＜c ＜12，所以命题¬q ：c ≤－12或c ≥12，由p ∨q 为真，知p 与q 中至少有一个为真， 由p ∧q 为假，知p 与q 中至少有一个为假， 所以p 与q 中一个为真命题，一个为假命题．当p 真q 假时，实数c 的取值范围是12≤c ＜1.当p 假q 真时，实数c 的取值范围是－12＜c ≤0.综上所述，实数c 的取值范围是－12＜c ≤0或12≤c ＜1.答案：⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1 全称命题与特称命题[学生用书P78])(的否定是”1－0x ＝0x ln ，)∞＋，0(∈0x ∃“命题)1( A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 1－0x ≠0x ln ，)∞＋，0(∈0x ∃．C 1－0x ＝0x ln ，)∞＋，0(∉0x ∃．D (2)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.(2)因为∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0是真命题，所以方程x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4＞0，解得a ＞3或a ＜－1.【答案】 (1)A (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)全称命题、特称命题真假判断(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．成)0x (p 使，0x 能找到一个，中M 只要在限定集合，特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真)2(立即可；否则，这一特称命题为假．)(为p ¬则，>1x e )1＋x (总有，>0x ∀：p 已知命题1. 1≤0x e )1＋0x (使得，0≤0x ∃．A 1≤0x e )1＋0x (使得，>00x ∃．B 1≤x e )1＋x (总有，>0x ∀．C 1≤x e )1＋x (总有，0≤x ∀．D 使得，>00x ∃：p ¬的否定是>1x e )1＋x (总有，>0x ∀：p 所以命题，全称命题的否定是特称命题B.选解析： 1.≤0x e )1＋0x ( 则实，)2x (g ＝)1x (f 使得，]2，1－[∈2x ∃，]2，1－[∈1x ∀若，)>0a (2＋ax ＝)x (g ，x 2－2x ＝)x (f 已知函数．2数a 的取值范围是( )⎝⎛⎦⎤0，12．A ⎣⎡⎦⎤12，3．B C ．(0，3] D ．[3，＋∞)＋2，a －2[的值域是2＋ax ＝)x (g ，]3，1－[的值域为x 2－2x ＝)x (f 由函数的性质可得函数D.选解析：所以，]a 2＋2，a －2[⊆]3，1－[所以，)2x (g ＝)1x (f 使得，]2，1－[∈2x ∃，]2，1－[∈1x ∀因为．]a 2 3.≥a 解得⎩⎪⎨⎪⎧2－a≤－1，2＋2a≥3，,[学生用书P147(单独成册)])[A 基础达标])(题是的逆命”>02a 则，>0a 若“命题．1 0≤2a 则，>0a 若．A >0a 则，>02a 若．B>02a 则，0≤a 若．C 0≤2a 则，0≤a 若．D解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．2．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则¬p 为( )A ．x ≠2或y ≠3B ．x ≠2且y ≠3C ．x ＝2或y ≠3D ．x ≠2或y ＝3 解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p ：x ≠2或y ≠3.故选A.3．下列表述错误的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的等价命题是“若b ∈M ，则a ∉M ”的充分不必要条件”>42x “是”>2x “．C D ．对任意的φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数．正确A 故选项，成立π3tan ＋0 tan ＝⎝⎛⎭⎫0＋π3tan ，时π3＝β，0＝α当D.选解析： 对于选项B 、C ，显然正确．．错误D ，是偶函数)φ＋x 2(sin ＝y 函数，时)Z ∈k (π2＋πk ＝φ存在，中D 在 )(的q 是p 则，>1x －1⎝⎛⎭⎫12：q ，<0x 2log ：p 设．4 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 条的充分不必要q 是p 所以，p ⇒/q 但q ⇒p 所以，<1x ⇔>1x －1⎝⎛⎭⎫12：q ；<1x 0<⇔<0x 2log ：p B.选解析：件，故选B.)(则，>02x ，R ∈x ∀：q 命题，0x lg 2>－0x ，R ∈0x ∃：p 已知命题．5 A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题为q 故命题，0＝2x 则，0＝x 令，为真命题p 故命题，1＝10 lg ＝x lg ，8＝2－x ，时10＝x 当C.选解析：假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，¬q 是真命题，进而得到命题p ∧(¬q )是真命题，命题p ∨(¬q )是真命题．故选C.6．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac ＞0”的一个等价命题：________________．解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．答案：若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不均大于0 7．给出下列三个命题：①当m ＝0时，函数f (x )＝mx 2＋2x 是奇函数； ②若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；③已知x ，y 是实数，若x ＋y ≠2，则x ≠1或y ≠1. 其中为真命题的是________(填序号)．解析：①中，当m ＝0时，f (x )＝mx 2＋2x ＝2x 是奇函数，故①是真命题；②中，取a ＝b ＝0，c ＝1，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，故②不是真命题；③的逆否命题为“已知x ，y 是实数，若x ＝1且y ＝1，则x ＋y ＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题．答案：①③8．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0.若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4；q ：(x －2)(3－x )＞0，即2＜x ＜3，所以¬p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，¬q ：x ≤2或x ≥3；而¬p 是¬q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.解得－1≤a ≤6.答案：[－1，6]9．指出下列命题中，p 是q 的什么条件： (1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}； (2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．解：(1)因为{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3} {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a 、b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m>0，m>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m<13，m>0⇔0<m <13.所以p 是q 的充要条件． 10．设有两个命题：p ：关于x 的不等式sin x cos x >m 2＋m2－1的解集是R ；q ：幂函数f (x )＝x 7－3m在(0，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求m 的取值范围． 解：因为“p 且q ”是假命题，所以p ，q 中至少有一个是假命题． 因为“p 或q ”是真命题，所以p ，q 中至少有一个是真命题． 故p 和q 两个命题一真一假．若p 真，则2m 2＋m －2<－1，即2m 2＋m －1<0，所以－1<m <12.若q 真，则7－3m <0，所以m >73.p 真q 假时，－1<m <12；p 假q 真时，m >73.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12∪⎝⎛⎭⎫73，＋∞. [B 能力提升])(是的一个必要不充分条件0＞)x (f 则，)R ∈x (x 4－2x ＝)x (f 设．11 A ．x ＜0 B ．x ＜0或x ＞4 C ．|x －1|＞1D ．|x －2|＞3 x|x {的取值范围应包含集合x 的必要不充分条件中0＞)x (f 故，0＜x 或4＞x 有0＞x 4－2x 由C.选解析：＞4或x ＜0}，验证可知，只有C 选项符合．12．下列选项中叙述错误的是( )的逆否命题为假命题”1＝x 则，0＝2＋x 3－2x 若“命题．A 的充分不必要条件”0＞2＋x 3－2x “是”2＞x “．B C ．若“p ∨q ”为假命题，则“(¬p )∧(¬q )”也为假命题＝1＋0x ＋20x ，R ∈0x ∃：p ¬则，0≠1＋x ＋2x ，R ∈x ∀：p 若命题．D 因此该命题的逆否命题也是假命，是假命题”1＝x 则，0＝2＋x 3－2x 若“命题，A 对于C.选解析：x “因此，2＞x 不能得知0＞2＋x 3－2x 由，反过来，0＞)2－x (·)1－x (＝2＋x 3－2x 可得2＞x 由，B 题；对于所以，均为假命题q ，p 则，为假命题”q ∨p “若，C 的充分不必要条件；对于”0＞2＋x 3－2x “是”2＞综上所，0＝1＋0x ＋20x ，R ∈0x ∃：p ¬则，0≠1＋x ＋2x ，R ∈x ∀：p 命题，D 是真命题；对于”)q ¬(∧)p ¬(“述，选C..2bx －ax ＝)x (f 函数，0＞a 已知．13 ；b 2≤a 证明：，1≤)x (f 都有，R ∈x 若对任意，时0＞b 当)1( .b 2≤a ≤1－b 的充要条件是1≤|)x (f |，]1，0[∈x 证明：对任意，时1＞b 当)2( ，0≥1＋ax －2bx 即，1≤2bx －ax 有R ∈x 此题等价于对所有)1(证明： 0.≤b 4－2a ＝Δ所以，0＞b 因为 .b 2≤a 所以，0＞a 又因为 1.≤2bx －ax ≤1即－，1≤|)x (f |有，]1，0[∈x 必要性：设对所有①)2( 令x ＝1∈[0，1]，则有－1≤a －b ≤1，即b －1≤a ≤b ＋1..12b＋12≤a 2b ≤12b －12所以，1＞b 因为 ．]1，0[∈a2b这说明 1.≤a24b2·b －a22b 即，1≤⎝⎛⎭⎫a 2b f 所以 .b 2≤a ，b 4≤2a 所以 .b 2≤a ≤1－b 有，综上所述 .b 2≤a ≤1－b 充分性：设② 因为b ＞1， 1.＜1b·a 2b ＝a 2b 所以1.＜a24b＝a24b2·b －a 2b ·a ＝⎝⎛⎭⎫a 2b f ＝max )x (f 的最大值为)x (f 时]1，0[∈x 所以当 又因为f (x )的图像是开口向下的抛物线， ＝min )x (f 的最小值)x (f ，时]1，0[∈x 所以当 min{f (0)，f (1)}＝min{0，a －b }≥－1.所以当x ∈[0，1]时，|f (x )|≤1..b 2≤a ≤1－b 的充要条件是1≤|)x (f |有]1，0[∈x 对任意，时1＞b 当，可知①②综合 或<0)x (f ，R ∈x 对任意①若同时满足条件：，2－x 2＝)x (g ，)3＋m ＋x )(m 2－x (m ＝)x (f 已知)选做题(．14g (x )<0；②存在x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解：将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解；②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． <1.x 则，2<0－x2＝)x (g 若 又因为对任意x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0， 所以[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知，m 不可能大于或等于0，因此m <0.当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0.当2m ＝－m －3，即m ＝－1时，f (x )<0的解集为{x |x ≠－1}，满足条件．所以－，12<m 即，<1m 2依题意．3}－m －<x 或m >2x |x {的解集为<0)x (f ，时<0m 1<即－，3－m －>m 2当1<m <0.当2m <－m －3，即m <－1时，f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}．依题意－m －3<1，即m >－4，所以－4<m <－1.因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0.即，>0)x (f ，)4－，∞－(∈x 所以问题转化为存在，2<0－x2＝)x (g ，时)4－，∞－(∈x 因为当，中②f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3，即－m －3<－4，所以m >1，此时无解．．此时无解，0恒小于或等于2)2＋x (＝－)x (f ，时1＝－m 当 当m <－1时，2m <－m －3，即2m <－4，所以m <－2. 综合①②可知满足条件的m 的取值范围是－4<m <－2.二 圆锥曲线与方程,1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆 双曲线 抛物线 定义平面内与两个定点的距离之和等2F ，1F 的)|2F 1F |大于(于常数点的轨迹 ，1F 与两个定点平面内的距离的差的绝对值2F 且大|2F 1F |小于(等于常数于零)的点的轨迹 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹 标准方程 x2a2x2b2＋y2a2或1＝y2b2＋＝1(a >b >0) x2a2＝x2b2－y2a2或1＝y2b2－1(a >0，b >0) px 2＝－2y 或px 2＝2y ＝－2x 或py 2＝2x 或2py (p >0)关系式 2c ＝2b －2a 2c＝2b ＋2a 图形 封闭图形 无限延展，但有渐近线yxab±＝y 或x b a ±＝ 无限延展，没有渐近线，有准线 变量范围 |x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b |x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称性 对称中心为原点 无对称中心两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率e ＝c a ， e ＝ca，且e >1e ＝1且0<e <1决定形状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小2．椭圆的焦点三角形为焦点2F 1PF △则，α＝2PF 1F ∠为焦点且2F ，1F ，)轴上x 不在(上任意一点)>0b >a (1＝y2b2＋x2a2为椭圆P 设三角形(如图)．.α2tan 2b ＝S 焦点三角形的面积)1( (2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c . 3．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两；双曲线x ba±＝y 即，)>0b ，>0a (0＝y2b2－x2a2的渐近线方程为)>0b ，>0a (1＝y2b2－x2a2如双曲线．条渐近线的方程.x a b±＝y 即，)>0b ，>0a (0＝x2b2－y2a2的渐近线方程为)>0b ，>0a (1＝x2b2－y2a2 ．)0≠λ(λ＝y2b2－x2a2它的双曲线方程可设为，时0＝y b ±x a 如果双曲线的渐近线为)2( 4．特殊的两个双曲线＝y2b2－x2a2具有相同渐近线的双曲线系方程为1＝y2b2－x2a2与．双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线)1(k (k ≠0)．(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距．．)2a ＝2x －2y 或(2a ＝2y －2x 等轴双曲线方程一般设为)3( 5．抛物线方程的设法．)0≠a (ay ＝2x 或)0≠a (ax ＝2y 一般可设为，对称轴为坐标轴的抛物线方程，对顶点在原点 6．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论．.p ＋2x ＋1x ＝|AB |，中)>0p (px 2＝2y )1( .p ＋2x －1x ＝－|AB |，中)>0p (px 2＝－2y )2( p ＋2y ＋1y ＝|AB |，中)>0p (py 2＝2x )3( .p ＋2y －1y ＝－|AB |，中)>0p (py 2－＝2x )4(，|2F 1F <|a 2应有，中a 2＝||2F P |－|1F P ||双曲线定义，|2F 1F >|a 2应有，中a 2＝|2F P |＋|1F P |义椭圆的定．1抛物线定义中，定点F 不在定直线l 上．2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．．系数的符号2y ，2x 双曲线看，椭圆看分母的大小，由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时．3 4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．轨迹问题[学生用书P79](1)已知点F (0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程为________．(2)如图所示，椭圆C 0：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆O ：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1、A 2分别为C 0的左、右顶点，圆O 与椭圆C 0相交于A ，B ，C ，D 四点，求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．【解】 (1)设P (x ，y )，则Q (x ，－1)．，FQ →·FP →＝QF →·QP →因为所以(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，，)1－y (2－2x ＝)1＋y (2即 ，y 4＝2x 即 .y 4＝2x 故填.y 4＝2x 的方程为C 的轨迹P 所以动点 ，)1y －，1x (B 则，)1y ，1x (A 设)2( 则，)0，a (2A ，)0，a －(1A 又知 ①，)a ＋x (y1x1＋a ＝y 的方程为1AA 直线 ②，)a －x (－y1x1－a ＝y 的方程为B 2A 直线 ③，)2a －2x (－y21x 21－a2＝2y 得，②×①由 ，上0C 在椭圆)1y ，1x (A 又点 ，1＝y21b2＋x21a 2故 ④.⎝⎛⎭⎫1－x21a 22b ＝21y 从而 ．的轨迹方程M 即为点，)<0y ，a －<x (1＝y2b2－x2a2得，③代入④把求曲线方程的常用方法及特点(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 已知动点M 到定点A (1，0)与到定直线l ：x ＝3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：设M (x ，y )是轨迹上的任意一点，作MN ⊥l 于N ，由|MA |＋|MN |＝4得（x －1）2＋y24.＝3|－x |＋ ；)4－x (12＝－2y 上式化简为，时3≥x 当 .x 4＝2y 上式化简为，时<3x 当 ．其轨迹是两条抛物线段，)<3x (x 4＝2y 和)3≥x )(4－x (12＝－2y 的轨迹方程为M 所以点 圆锥曲线的定义及应用[学生用书P80](1)设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．(2)已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义，知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为求点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到点F (1，0)的距离之和的最小值．显然，A ，P ，F 三点共线时，所求的距离之和取得最小值，且AF 的长为所求的最小值，故最小值为22＋12，即为5.又，|′F P |12＝|MO |所以，的中点′FF ，FP 分别是O ，M 因为．)图略(′PF 连接，是双曲线的右焦点′F 设)2(－|F P (|12＝|′F P |12－|FN |－|MF |＝|MO |－|MN |故，8＝|′F P |－|F P |知且由双曲线的定义，5＝|OF|2－|ON|2＝|FN | 1.＝－5－8×12＝|FN |－)|′F P | 1－)2( 5)1( 】答案【圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程． (2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化． )(的轨迹是M 则动点，12|－y 4＋x |3＝x2＋y25的坐标满足方程M 已知动点 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对.|3x ＋4y －12|5＝x2＋y2写成12|－y 4＋x |3＝x2＋y25把轨迹方程C.选解析： 所以动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．所以动点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．圆锥曲线的方程与几何性质[学生用书P80]，为原点O ，分别是长轴、短轴的一个端点B ，A ，c 的半焦距是)>0b >a (1＝y2b2＋x2a2已知椭圆)1( )(则这一椭圆的离心率是，2c 3的面积是ABO △若12．A 32．B 22．C 33．D )(的焦距等于C 则， 3焦点到渐近线的距离为，2的离心率为)>0b ，>0a (1＝y2b2－x2a2：C 双曲线)2( 2．A 22．B4．C 24．D e故，c 2＝a ，2c 4＝2a 所以，0＝)2c 4－2a )(2c 3＋2a (所以，4c 12＝)2c －2a (2a 即，2c 3＝ab 12)1( 】解析【.12＝c a ＝ ＝bcc＝bc a2＋b2到该渐近线的距离为)0，c (焦点，0＝ay －bx 即，0＝y b －x a 双曲线的一条渐近线方程为)2( 4.＝c 2的焦距为C 则双曲线，2＝c 得2b ＋2a ＝2c ，2＝ca结合，3＝b 故，3 【答案】 (1)A (2)C求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式．这是基本且常用的方法，可以求其他的参数，已知其中的任意两个参数，ca＝e 以及)2c ＝2b ＋2a (2c ＝2b －2a (2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．1.过双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：设直线方程为 y ＝ba(x －c )， 由⎩⎨⎧x2a2－y2b2＝1，y ＝ba （x －c ）得x ＝a2＋c22c ，由a2＋c22c ＝2a ，e ＝ca，解得e ＝2＋3(e ＝2－3舍去)． 答案：2＋32．已知抛物线x 2＝8y 的焦点F 到双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线的距离为455，点P 是抛物线x 2＝8y 上的一动点，P 到双曲线C 的右焦点F 2的距离与到直线y ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为__________．解析：抛物线焦点为F (0，2)，准线为y ＝－2，双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y＝b a x ，依题意可得|－2a|a2＋b2＝455，即a c ＝25，又P 到双曲线C 的右焦点F 2的距离与到直线y ＝－2的距离之和的最小值为3，所以|PF |＋|PF 2|≥|FF 2|＝3，在Rt △FOF 2中，|OF 2|＝32－22＝5，所以c ＝5，所以a ＝2，b ＝1，所以双曲线方程为x24－y 2＝1.答案：x24－y 2＝1直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P81].22离心率为，22的距离之和为2F ，1F 到左右两焦点P 上的点)>0b >a (1＝y2b2＋x2a2已知椭圆 (1)求椭圆的标准方程；的斜率l 求直线，|MB |＝|MA |满足⎝⎛⎭⎫0，37M 轴上一点y 若，两点B ，A 交椭圆于l 的直线2F 过右焦点)2(k 的值．，22＝a 2＝|2F P |＋|1F P )|1( 】解【 ，1＝1－2＝2c －2a ＝2b 所以，1＝2×22＝c 所以，22＝c a ＝e ，2＝a 所以 1.＝2y ＋x22所以椭圆的标准方程为 ，直线斜率显然存在，)0，1(2F 由第一问知)2( ．)2y ，2x (B ，)1y ，1x (A 交点为，)1－x (k ＝y 设直线的方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x22＋y2＝1，联立直线与椭圆的方程 ，0＝2－2k 2＋x 2k 4－2x )2k 2＋1(化简得： ，－2k 1＋2k2＝k 2－)2x ＋1x (k ＝2y ＋1y ，4k21＋2k2＝2x ＋1x 所以 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k21＋2k2，－k 1＋2k2的中点坐标为AB 所以 ①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为，⎝⎛⎭⎫x －2k21＋2k21k ＝－－k 1＋2k2－y 因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程得：37，2k 1＋2k2＝k 1＋2k2＋ ，0＝3＋k 7－2k 32即 .36＝k 或3＝k 解得 ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意．.36，3，0的取值为k 所以斜率直线与圆锥曲线关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“Δ>0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等． .63离心率为，)0，2(的右焦点为)>0b >a (1＝y2b2＋x2a2：C 已知椭圆 (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过原点O ，求证：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求△OAB 面积的最大值．，63离心率为，)0，2(因为椭圆的右焦点为)1(解： ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，e ＝c a ＝63，所以 1.＝b ，3＝a 所以 1.＝2y ＋x23的方程为C 所以椭圆 ，代入椭圆方程，m ＋kx ＝y 的方程为AB 直线，斜率存在时AB 直线，)2y ，2x (B ，)1y ，1x (A 设证明：)2( ，0＝3－2m 3＋kmx 6＋2x )2k 3＋1(消元可得 ，3m2－31＋3k2＝2x 1x ，6km1＋3k2＝－2x ＋1x 所以 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，0.＝OB →·OA →所以 ，0＝2y 1y ＋2x 1x 所以 ，0＝2m ＋6km1＋3k2×km －3m2－31＋3k2)2k ＋1(所以 ．)1＋2k (3＝2m 4所以 所以原点O 到直线的距离为，32＝|m|k2＋1＝d ，2y ＝－1y ，2x ＝1x 由椭圆的对称性可知，斜率不存在时AB 当直线 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，，3＝21y 3＋21x 因为，0＝21y －21x 所以，0＝2y 1y ＋2x 1x 所以，0＝OB →·OA →所以 ，32＝|1y |＝|1x |所以 所以原点O 到直线的距离为，32＝|1x |＝d 综上，点O 到直线AB 的距离为定值．(3)当直线AB 斜率存在时，|2x －1x |1＋k2＝|AB |由弦长公式可得 （1＋k2）（36k2－12m2＋12）（1＋3k2）2＝，2＝3＋126＋29k2·1k2≤3＋129k2＋1k2＋6＝ ，等号成立，时33±＝k 当且仅当 所以|AB |≤2，当直线AB 斜率不存在时，，<23＝|2y －1y |＝|AB | ，32＝32×2×12≤d |AB |12面积＝OAB △所以 .32面积的最大值为OAB △所以 ,[学生用书P149(单独成册)])[A 基础达标])(则焦点坐标为，)4，1(且过点，2ax 2＝y 已知抛物线的方程为．1 )0，1(．A⎝⎛⎭⎫116，0．B ⎝⎛⎭⎫0，116．C )1，0(．D 解析：选C.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a ，所以a ＝2，C.故选.⎝⎛⎭⎫0，116焦点坐标为，y 14＝2x 所以抛物线方程为 )(的说法正确的是1＝y22＋x25与1＝y2k－x23－k 则下列关于二次曲线，0≠k ，<3k 设．2 A ．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B ．有相同的顶点C ．有相同的焦点D ．有相同的离心率.2c ＝3＝2b ＋2a ，轴上的双曲线x 表示实轴在1＝y2k－x23－k 所以，<3k －0<3则，时<3k 0<当C.选：解析 所以两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ， ．轴上的椭圆x 表示焦点在1＝y2－k＋x23－k 所以 .k ＝－2b ，k －3＝2a ，2c ＝3＝2b －2a 所以 与已知椭圆有相同焦点．分别是双曲线2F 、1F ，在第一象限的交点2b ＋2a ＝2y ＋2x 与圆)>0b ，>0a (1＝y2b2－x2a2是双曲线P 设点．3)(则此双曲线的离心率为，|2F P |3＝|1F P |且，的左、右焦点 5．A 102．B1＋3．C 3．D ，2PF ⊥1PF 由题知C.选解析： ⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝2a ，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|＝3|PF2|，则 C.故选1.＋3＝ca得 直线，分别是椭圆的左、右焦点2F 、1F ，轴上方x 且在，上一点400＝2y 25＋2x 16是椭圆P 已知点．4) (的面积是2F 1PF △则，34的斜率为－2PF 324．A 312．B36．C 33．D ．)0，3(2F 、)0，3－(1F ，1＝y242＋x252的标准方程是400＝2y 25＋2x 16椭圆C.选解析： ．)3－x (34＝－y 的方程为2PF 直线 ＝32×6×12＝2F 1PF △S 所以.⎝⎛⎭⎫52，23点的坐标是P 可得⎩⎨⎧16x2＋25y2＝400，y ＝－43（x －3）轴上方和方程组x 在P 由点.36 的垂线与双曲2A 1A 作F 过，2A ，1A 左、右顶点分别是，F 的右焦点是)>0b ，>0a (1＝y2b2－x2a2设双曲线．5)(则该双曲线的渐近线的斜率为，C 2A ⊥B 1A 若．两点C ，B 线交于12±．A 22±．B 1±．C2±．D 不妨设.b2a±＝y 解得，代入双曲线方程c ＝x 将．)0，c (F ，)0，a (2A ，)0，a －(1A 得，由题设C.选解析：所以该，1＝ba 整理得，1＝－－b2a c －a·b2a c ＋a 有，根据题意，－b2a c －a ＝C 2kA ，b2a c ＋a ＝B 1A k 则，)b2a －，c (C ，)b2a ，c (B 双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.6．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，所以F (1，0)，所以c ＝1.又因为椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，所以b ＝3，b 2＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝17．已知点A (4，0)，M 是抛物线y 2＝6x 上的动点，当点M 到A 距离最小时，M 点坐标为________．解析：设M (y216，y 1)，则|MA |2＝(y216－4)2＋y 21＝136y 41－13y 21＋16＝136(y 21－6)2＋15≥15，当且仅当y 21＝6，即y 1＝±6，x 1＝y216＝1时，|MA |取最小值15，此时M (1，±6)．答案：(1，±6)8．椭圆x225＋y216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)(O 为坐标原点)，则|OM →|＝________．解析：设F 1为右焦点，因为|PF →|＝6，所以|PF1→|＝10－6＝4， 又OM →＝12(OP →＋OF →)，所以M 为PF 的中点，所以OM 为△FPF 1的中位线，所以|OM →|＝12|PF1→|＝2.。

数学·选修2－1(人教A版)
圆锥曲线与方程
本章知识概述
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在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．
学习内容
1．圆锥曲线．
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
(4)了解圆锥曲线的简单应用；
(5)理解数形结合的思想．
2．曲线与方程．
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
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答案包括选修2-1 2-2 2-3 4-4极坐标与参数方程4-5 不等式- 7 左整合人教版数学选修2—1第一章常用逻辑用语1．1．命题及其关系1．1．1命题1．1．2 四种命题1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B 5．① 6．逆7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。

以上均为真命题9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b＜0，真命题．证明略11．甲1．1．3 四种命题间的相互关系1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个 5．原命题和逆否命题6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题10．真┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0， =>－3/2＜a＜－l└4a2+8a＜0 所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/21．2 充分条件与必要条件1．2．1 充分条件与必要条件1．A 2．B 3．A 4．(1) ≠> (2) ≠> (3) ≠> (4)≠> 5．充分不必要6．必要不充分 7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件 8．充分条件，理由略9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜010．m≥9 11．是1．2．2 充要条件1．C 2．B 3．D 4．假；真 5．C和D 6．λ+μ=1 7．略 8．a=－39．a≤l 10．略 11．q=－1，证明略1．3 简单的逻辑联结词1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．A 2．C 3．C 4．真 5．①③ 6．必要不充分7．(1)p:2＜3或q:2=3；真 (2)p:1是质数或q:1是合数；假 (3)非p,p:0∈φ；真(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词1．4．1 全称量词1．4．2 存在量词1．D 2．C 3．(1)真 (2)真 4，③5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真7．(1)x，x^2≤0 (2)对x，若6｜x则3｜x (3)正方形都是平行四边形8．(1)全称；假 (2)特称；假 (3)全称；真 (4)全称；假9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假10．(1)存在，只需m＞一4即可 (2)(4，+∞) 11．a≥一21．4．3 含有一个量词的命题的否定1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形 5．假6．所有的三角形内角和都不大于180°7．(1)全称；┑p假 (2)全称；┑p假 (3)全称；┑p真8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假⑵┑p: 所有的质数都是偶数；假 (3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假9．(1)假 (2)真 (3)假 (4)真 10．a≥3 11．(一√2，2)单元练习1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D11．5既是17的约数，又是15的约数：假 12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 14．充要；充要；必要 15．b≥016．既不充分也不必要 17．①③④ 18．a≥319．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假20．充分不必要条件21．令f(x) = x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤－＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．└ f (1)＞0，22．(－3，2]10．a√3/3第一章导数及其应用第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入。