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第60课离散型随机变量及其概率分布[最新考纲]1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则下表称为离散型随机变量X的概率分布.①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋p n＝1.3．常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其概率分布为(2)超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝C r M C n－rN－MC n N(r＝0,1,2，…，l)．即其中＋如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的概率分布中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的概率分布由下表给出，则它服从两点分布．()(4)服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是________．(填序号)①一颗是3点，一颗是1点②两颗都是2点③一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点④甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点④[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果．]3．设随机变量X的概率分布如下：14[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝14.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1 n，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________.[依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2.则P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.故X的概率分布为][解] 由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 列表∴P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (η＝2)＝0.3，P (η＝3)＝0.3. 因此η＝|X －1|的概率分布为[规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．若X 是随机变量，则η＝|X 一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出概率分布．[变式训练1] 随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________. 【导学号：62172326】 23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，所以2b ＋b ＝1，则b ＝13，因此a ＋c ＝23.所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝2 3.]通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X的概率分布为[(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出概率分布，其中的关键是第(2)步．2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列与组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用概率分布的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2](2016·天津高考改编)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的概率分布．[解](1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的概率分布为队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布. 【导学号：62172327】[解](1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为6 35.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝C k5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．则P(X＝1)＝C15C33C48＝114，P(X＝2)＝C25C23C48＝37，P(X＝3)＝C35C13C48＝37，P(X＝4)＝C45C03C48＝114.所以随机变量X的概率分布为[给出．具有两个特点：(1)是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布应用的条件：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数ξ的概率分布，其实质是古典概型问题．[变式训练3]端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的概率分布．[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的概率分布为[思想与方法]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[易错与防范]1．对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1,2，…，n )，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的概率分布是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．3．概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．课时分层训练(四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．设随机变量X 的概率分布为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710. 【导学号：62172328】[解] (1)由概率分布的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.2．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．[解](1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为3.(2017·南京模拟)十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布．[解](1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的概率分布为4.盒内有大小相同的9个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.【导学号：62172329】[解](1)P＝1－C 3 7C39＝7 12.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P(ξ＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ的概率分布为：(建议用时：15分钟)1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，求随机变量ξ的概率分布．[解]若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的概率分布是2.300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的概率分布．[解] (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14. (2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为3．x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值；(2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．[解] (1)由题意知P ＝C 1x C 1y C 11C 26C 14＝xy 60≤160⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝320， 当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P(ξ＝1)＝C12C14C12＋C24C12C26C14＝715，P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C14C12C26C14＝310，P(ξ＝3)＝C22C12C26C14＝130.所以红球个数ξ的概率分布为4.PM2.5入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.因此ξ的概率分布为。
第十二章概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差.2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a、b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,x i,…,ξ取每一个值x i(i=1,2,…)的概率P(ξ=x i)=p i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k .C k n p k q n-k =b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:DA.1B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾, ∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241. ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s ++1×2)(t s st++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ②①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。
第十二讲 随机变量及其分布列课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布.1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)第一节 离散型随机变量及其分布列【知识与方法】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0=ξ，表示正面向上，1=ξ，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：为离散型随机变量X 用等式可表示为P(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=ni ip．1.两点分布),1(~P B X若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.【例题与变式】题型一随机变量【例1】判断正误：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.题型二 随机变量的可能取值及试验结果【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，则X 的所有可能取值有哪些？【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b -c |，求随机变量ξ的取值情况．【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X 的所有可能.题型三 分布列及其性质的应用【例1】设随机变量X 的分布列为P (X =i )=ia(i =1,2,3,4)，求：(1)P (X =1或X =2)；(2))2721(<<X P .【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X 的分布列为,5,4,3,2,1,25)(===i k i X P 则)2521(<<X P 等于（ ） A ．152 B ．52 C ．51 D ．151【例3】已知数列{}n a 是等差数列，随机变量X 的分布列如下表：求3a .【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a ．【变式2】（2017春•秦都区月考）设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为（ ）A ．3817 B ．3827 C ．1917 D ．1927 【变式3】（2017春•武陵区月考）若离散型随机变量X 的分布列为：则实数a 的值为_______．【例4】设离散型随机变量X 的分布列为：求：(1)2X +1(2)|X -1|的分布列.【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X -2|=1)=（ ）A.712B.12C.512D.16 题型四 求离散型随机变量的分布列【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．(1)设{}R x c bx x x A ∈<+-=,022，求φ≠A 的概率； (2设随机变量ξ=|b -c |，求ξ的分布列．【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.题型五 两点分布【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列.【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ=0)等于（ ）A ．0B ．13C ．12D ．23题型六 超几何分布【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.(1)求顾客乙中奖的概率；(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【例3】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率．【变式1】(2017·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.【变式2】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的分布列.1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( )A.1B.32±336C.32－336D.32＋3362.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X =0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.233.中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤54.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.363435.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |=1)A.16 B.13 C.12 D.236.设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y =|X -2|，则P (Y 7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)=________.8.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列.9.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.1.实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.2.授课及学员问题总结：第二节 二项分布及其应用【知识与方法】一．条件概率1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质 (1))()()()()(A n AB n A P AB P A B P ==； (2)1)(0≤≤A B P ，当A 事件与B 事件对立时0)(=A B P ，当A 事件与B 事件相等时1)(=A B P ； (3)如果B 与C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P += ； (4))()()()()(B P B A P A P A B P AB P ⋅=⋅=；(5)要注意)(A B P 与)(AB P 的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.在)(A B P 中，事件A 成为样本空间，在)(AB P 中，样本空间则为全体情况. 二．相互独立实验1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )=P (B )，P (A |B )=P (A )． 2．相互独立事件与互斥事件的区别互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．3．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．4．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )=P (A )×P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )=P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )． 三．二项分布1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )n －k，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．【例题与变式】题型一 条件概率【例1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A 与B 互斥，则P (B |A )=0.( ) (2)若事件A 等于事件B ，则P (B |A )=1.( ) (3)P (B |A )与P (A |B )相同．( )【例2】设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【变式1】设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )=13，P (A )=23，则P (B |A )=________.【变式2】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．【例3】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A )．【例5】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【变式3】在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第一次抽取到理科题的概率；(2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率；(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.【变式4】从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )=( )A.18B.14C.25D.12【变式5】将一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是合数”为事件A ，“第二次抛出的是质数”为事件B ，则 )(A B P _______.【变式6】(2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 【变式7】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。
