立方和与立方差公式-课件ppt

第一阶梯例1我们来计算a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算：12x+3y2x-3y 21+2a1-2a32x3+5y22x3-5y2 4-a2-b2b2-a2提示：刚开始使用公式,运算格式可分两步走,第一步先按公式特征写出一个"框架",如12x+3y2x-3y = 2- 2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架"中填数计算;参考答案：12x+3y2x-3y=2x2-3y2=4x2-9y221+2a1-2a =12-2a2=1-4a232x3+5y22x3-5y2=2x32-5y22=4x6-25y44-a2-b2b2-a2=-a2-b2-a2+b2=-a22-b22=a4-b4说明：平方差公式a+ba-b=a2-b2的特征是：1左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;2右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标准的形式,如第4小题;例2计算a+b2和a-b2,可知a+b2=a+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a-b2=a-ba-b=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即a±b2=a2±2ab+b2,这就是说,两数和或差的平方,等于它们的平方和,加上或者减去它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式;利用这两个公式计算1x+52 22-y2 33a+2b2 5 -a+2b2提示：在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b;参考答案：1x+52=x2+2·x·5+52=x2+10x+2522-y2=22-2·2·y+y2=4-4y+y233a+2b2=3a2+2·3a·2b+2b2=9a2+12ab+4b25-a+2b2=-a2+2·-a·2b+2b2=a2-4ab+4b2说明：1、a+b2=a2+2ab+b2与a-b2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式;2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘,即二项式的平方形式,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上这两项相加时或减去这两项相减时这两项乘积的2倍;3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式;4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生a±b2=a2±b2这样的错误;例3计算a+ba2-ab+b2和a-ba2+ab+b2,可知a+ba2-ab+b2=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,a-ba2+ab+b2=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即a±ba2ab+b2=a3±b3,这就是说,两数和或差乘以它们的平方和与它们的积的差或和,等于这两个数的立方和或差,这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算：1x+2x2-2x+4; 23-y9+3y+y2 ;33x-4y9x2+12xy+16y2;53x2-2y29x4+6x2y2+4y4提示：先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算;参考答案：1x+2x2-2x+4=x+2x2-x·2+22=x3+23=x3+823-y9+3y+y2=3-y32+3·y+y2=33-y3=27-y333x-4y9x2+12xy+16y2=3x-4y3x2+3x·4y+4y2=3x3-4y3=27x3-64y353x2-2y29x4+6x2y2+4y4=3x2-2y23x22+3x2·2y2+2y22=3x23-2y23=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆1项数特征：两项乘三项→积为二项,2符号特征：二项的因式若两项都为"+",则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同,二项的因式符号若为"+","-",则三项的因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号相同,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差",主要看乘积中第一个乘式是"两数和",还是"两数差";2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式;第二阶梯1x+3x-3x2+9 2 a+ba-ba2-b23 x-2x+2x4+4x2+164 a-ba2+ab+b2a6+a3b3+b6提示：1小题可两次使用平方差公式；2小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式；3小题先使用平方差公式,再使用立方差公式4小题两次使用立方差公式;参考答案：1x+3x-3x2+9=x2-9x2+9=x22-92=x4-812a+ba-ba2-b2=a2-b2a2-b2=a2-b22=a22-2a2b2+b22=a4-2a2b2+b43x-2x+2x4+4x2+16=x2-4x4+4x2+16=x23-43=x6-644a-ba2+ab+b2a6+a3b3+b6=a3-b3a6+a3b3+b6=a33-b33=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,若有恰当的公式使用可大大简化运算过程;1 a+b+ca-b-c2 a-2b+3ca+2b-3c3 x+2y+z24 2x-3y-4z2提示：12小题可利用平方差公式进行计算；34小题可利用完全平方公式进行计算;参考答案：1a+b+ca-b-c=a+b+ca-b+c=a2-b+c2=a2-b2+2bc+c2=a2-b2-2bc-c22 a-2b+3ca+2b-3c=a-2b-3ca+2b-3c=a2-2b-3c2=a2-4b2-12bc+9c2=a2-4b2-12bc-9c23x+2y+z2=x+2y+z2=x2+2x2y+z+2y+z2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z242x-3y-4z2=2x-3y+4z2=2x2-2·2x·3y+4z+13y+4z2=4x2-4x3y+4z+19y2+24yz+16z2=4x2-12xy-16xz+9 y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时,一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整;适当地添加括号,将有利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如4小题还可添加括号为2x-3y-4z2,但得出的结果均相同;例3利用乘法公式计算：2a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2提示：1小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式2小题类似;参考答案：1解法一：x+1x-1x2+x+1x2-x+1= x2-1x2+12-x2= x2-1x4+2x2+1-x2= x2-1x4+x2+1= x2-1x22+x2-1+12= x23-13= x6-1解法二：= x+1x2-x+1x-1x2+x+1 =x3+1x3-1= x32-12= x6-12解法一：a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2 = a2-b2a2+b22-ab2= a2-b2a4+2a2b2+b4-a2b2 = a2-b2a4+a2b2+b4= a23-b23= a6-b6解法二：a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2= a+ba2-ab+b2a-ba2+ab+b2= a3+b3a3-b3= a32-b32=a6-b6说明：进行整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局,恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算,以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错;第三阶梯例11化简化求值：x+2x2-2x+4+x-1x2+x+1,其中2解方程：2x+12-x+1x-1-3xx-1=0提示：用乘法公式进行化简参考答案：1x+2x2-2x+4+x-1x2+x+1= x3+8+x3-1= 2x3+7当时,22x+12-x+1x-1-3xx-1=0解：4x2+4x+1-x2-1-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明：在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法,应先观察能否运用乘法公式,如果能运用,很多乘法就可直接应用公式写出结果,这充分简化了计算过程;例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值;1a2+b2 2 a2-ab+b2 3 a-b2 4 a3+b3提示：由完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=a+b2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值,再分别代入2,3,4,可求出2,3,4式的值;注意,第4小题应逆用立方和公式;参考答案：1 a2+b2=a+b2-2ab=32-2×-8=9+16=252 a2-ab+b2=a2+b2-ab=25--8=25+8=333 a-b2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×-8=25+16=414 a3+b3=a+ba2-ab+b2=a+ba2+b2-ab=3×25--8=3×33=99说明：灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题技巧;例3若两个连续自然数的平方差是17,求这两个自然数的和提示：设一个自然数为x,另一个自然数为x+1,根据题意,列出方程,求出这两个自然数,进而求出它们的和参考答案：解：设这两个连续自然数是x,x+1根据题意得,x+12 -x2 =17x2+2x+1-x2=172x+1=172x=16x=8∴x+1=8+1=9∴x+x+1=8+9=17答：这两个自然数的和是17;说明：解方程时还可逆用平方差公式x+12-x2 =x+1+xx+1-x=2x+1四、检测题A组选择题1．下列各式能用平方差公式进行计算的是A.a+2-a-2B.-x-yy-xC.D.2x+yx-2y2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式,则m的值为 D.±723．a3-27b3的一个因式是+3ab+9b2+3ab+9b2+b2+b24．若x+y=9,xy=16,则 x2+y2=填空题1、3x+2y= = 9x2-4y22、-1+2a-1-2a =3、+y2=4、x2+x+ =5、9x2- +49y2=3x-7y26、2a+3b4a2-6ab+9b2 =7、 m4-m2+1=m6+18、a2+b2=a+b2-9、a+b2=a-b2+10、p2-q =p6-q3B组1、计算：1x+2x-2x2+42x-y+1x+y-13a+b+c24x+3x-3x2-3x+9x2+3x+95620222、化简求值：3、解方程：4x-32-2x+12=3x+11-3x+9x2答案：A组答案：选择题1、B2、D3、A4、C填空题1、3x-2y2、1-4a23、++y24、5、42xy6、8a3+27b37、m2+18、2ab9、4ab10、p4+p2q+q2B组答案：1、1x4-16 2x2-y2+2y-1 3 a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc 4x6-729 6408042、-393、4、。

精心整理利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+(立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=-(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 【例解：3(2)ab ，号．【例2232)()b -或23()a -解：(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-强化练习1．因式分解下列各式：(1)31x - (2)338ab +(3)66xy -2．把下列各式分解因式： (1)327a +(2)38m -(3)3278x -+(4)3311864p q --(5)3318125x y -(6)3331121627x y c +(1)34xy x +(2)33n n xx y +-(3)2323()a m n a b +-(4)2232(2)y x x y-+24)c +(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(2)(5a-2b 2)(25a 2+4b 4+2ab 2)； （3）（4）课堂练习 1立方和或立方差公式：(1)(x-3)()＝x 3-27；(2)(2x+3)()＝8x 3+27；(3)(x 2+2)()＝x 6+8；(4)(3a-2)()＝27a 3-8 2(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________；(2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)()(41-xy+4y 2)＝__________；(4)()(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是????????????????????????????????????????[???]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是?????????????????????[???]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)；(2)(c+5)(25-5c+c 2)；(3)(2x-5)(4x 2+25+10x)22424222（5）81+（6）827- 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。

2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。

第二阶梯[例1]利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。

参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。

反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。

例1计算:1 2 5 1 2(5x -1y )(25x +?xy +1y )；(2x+ 1)(4x 2 +2x+1)。

两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算 解：(1)原式=33+(2y)3 =27+8y 3 ；(2)原式=(5x)3 -(! y)3 =125x 3 -1 y 3 ；2 8(3)原式=8x 3 +4x 2 +2x +4x 2 +2x +1 =8x 3 +8x 2 +4x +1。

说明：第（1）、（ 2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项 式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“ +T 改成“ -1 ”则利用公式计算；若将第二个因 式中“ +2x ”改成“ -2x ”则利用公式计算；若将第二个因式 中“ +2x ”改成“ +4x ”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x +1)(2x +1)2 =(2x +1)3=(2X )3 +3(2X )21 +3(2)) 12+13 =8 x 3+12x 2 +6x +1。

计算:(X 3 -1)(x 6 +x 3 + 1)(x 9 +1)；(x + 1)(x-1)(x 2 +x +1)(x 2 -X +1)；(X +2y)2(x 2 -2xy +4y 2)2 ； 专题 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 （1）立方和公式 (a + b^a 2 -ab+b 2) =a 3 + b 3 ；（2）立方差公式 (a-b)(a 2 + ab+ b 2) MQ 3 -b 3 ；（3）三数和平方公式 2 2 2 2(a + b+c) =a +b +c +2(ab + bc+ac)；（4）两数和立方公式 . .、3 3 c 2, _ . 2 . 3(a + b) =a +3ab + 3ab +b ；（5）两数差立方公式 , .、3 3 c 2. c ・ 2 . 3 (a — b) =a -3a b+3ab -b 。

立方差公式立方和公式
首先，我们来看立方差公式。

设立方数为n^3，则立方差为(n+1)^3-n^3、我们可以展开这个表达式，得到：
(n+1)^3-n^3=(n+1)(n+1)(n+1)-n^3=(n^2+2n+1)(n+1)-n^3
=(n^3+n^2+2n^2+2n+n+1)-n^3=3n^2+3n+1
所以，立方差公式为3n^2+3n+1
接下来，我们来看立方和公式。

若连续的n个数的立方和为S，则立方和公式为S=(1+2+...+n)^2，即连续n个数的和的平方。

我们可以通过数学归纳法来证明立方和公式。

当n=1时，连续1个数的和为1，所以立方和为1^2=1
假设当n=k时，连续k个数的立方和为k^2：
1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2=k^2
当n=k+1时，连续k+1个数的立方和为：
1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=k^2+(k+1)^3
我们可以展开(k+1)^3，得到：
k^3+3k^2+3k+1
将其与k^2相加，得到：
k^2+(k^3+3k^2+3k+1)=(k+1)^3
所以，根据数学归纳法，立方和公式成立。

综上所述，立方差公式为3n^2+3n+1，立方和公式为
S=(1+2+...+n)^2、这两个公式在数学中有广泛的应用，能够帮助我们计算立方数之间的差值和连续立方数的和。

一、立方和與立方差我們可利用分配律來展開22()()a b a ab b +-+即可得到：22()()a b a ab b +-+= 322223a a b ab a b ab b -++-+= 33a b +因此,得到立方和公式：範例利用公式1展開下列各式：1 2(2)(24)x x x +-+2 22(25)(41025)a b a ab b +-+ 解 1 由2(2)(24)x x x +-+=22(2)(22)x x x +-⋅+,與公式1比較可知,以x 取代a ,以2取代b ,可得2(2)(24)x x x +-+=332x +=38x +;2 22(25)(41025)a b a ab b +-+=22(25)[(2)(2)(5)(5)]a b a a b b +-+=33(2)(5)a b +=338125a b +同樣的,我們可以展開22()()a b a ab b -++並經合併化簡後,而得到立方差公式：其實,只要把公式1中的b 以-b 代入,即可得公式2;範例利用公式2展開下列各式：1 2(21)(421)x x x -++ 2 22()()32964a b a ab b -++ 解 1 2(21)(421)x x x -++=22(21)[(2)(2)11]x x x -+⋅+=33(2)1x -=381x - 2 22()()32964a b a ab b -++=22()[()()]323322a b a a b b -+⋅+ =33()()32a b - =33278-a b類題練習 1 試展開225(5)(25)224b ab b a a -++; 2 試展開2222(3)(2)(24)(39)x y x y x xy y x xy y -+-+++; 3 已知32x =,求2(3)(39)x x x -++的值;二、立方差與立方和的因式分解範例利用立方和或立方差公式,因式分解下列各式：1 31x -2 338a b +3 66x y - 解 1 31x -=331x -=22(1)(11)x x x -+⋅+=2(1)(1)x x x -++2 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-⋅+=22(2)(24)a b a ab b +-+3 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +-=2222()()()()x y x xy y x y x xy y +-+-++類題練習利用立方和或立方差公式,因式分解下列各式： 1 2713+x 2 331258b a - 3 322x x +-4 6664a b -在範例的第3題中,也可以將66x y -寫成2323()()x y -,因此得到： 66x y -=2323()()x y -=22222222()[()()]x y x x y y -++=224224()()x y x x y y -++。

立方差公式和立方和公式
立方差是指一组数据的每个数值与平均值之差的立方的平均值。

立方
和是指一组数据的每个数值的立方的总和。

设一组数据为x1, x2, x3,..., xn，平均值为x̄，则立方差公式可
表示为：
方差 = [(x1 - x̄)^3 + (x2 - x̄)^3 + (x3 - x̄)^3 + ... + (xn - x̄)^3] / n
立方和公式：
立方和公式可以用于计算一组数据的立方和。

它是通过计算每个数据
值的立方并将其求和得到的。

设一组数据为x1, x2, x3,..., xn
立方和 = x1^3 + x2^3 + x3^3 + ... + xn^3
两者之间的关系：
立方差和立方和公式的应用：
立方差和立方和公式在统计学中有广泛的应用。

例如，在概率分布中，可以使用立方差公式来计算数据的方差，帮助分析数据的分布情况。

在回
归分析中，可以使用立方和公式来计算数据的立方和，从而得到回归方程
的系数。

此外，在工程和自然科学领域，立方差和立方和公式也经常被用于分
析数据的变化趋势和总体变化程度。

例如，在工程项目中，可以使用立方
差公式来计算测量误差的方差，从而评估测量结果的可靠性。

在物理实验
中，可以使用立方和公式来计算各种物理量的立方和，从而获得实验结果的总体变化程度。

总之，立方差公式和立方和公式是数学中常用的计算公式，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和变化程度。

通过应用这些公式，我们可以在统计学、工程学和自然科学等领域中进行更深入的数据分析和实验研究。

立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍。

注意：下方文本中出现圆圈不用在意，圆圈为文本制作间隔符号。

（例如：）立方和公式：a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)3项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)推导过程：a³+b³+c³-3abc=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)=(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）3项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^21迭代法：我们知道：0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/22次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。