《平方差公式》PPT课件 湘教版

解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
例3 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25.
例4 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋ x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的
面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝ a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
当堂练习
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
(2) (a−b)(b−a) ; (不能) (3) (a+2b)(2b+a); (不能) (4) (a−b)(a+b) ; ( 能 ) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能)
(a+b)(a−b)
=
a2−b2
几何验证平方差公式
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a-b (a+b)(a-b)
a
b
b a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
a
a2
a
a a2-b2
b
b
a
百度文库1 2
(a+b)(a-b)
a
1 2
(a+b)(a-b)
b
b
a
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x－2)=x2－2; 不对 改正：x2－4
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4. 不对 改正方法1：原式=－[(3a+2)(3a－2)] =－(9a2－4) =－9a2+4; 改正方法2：原式=(－2－3a)(－2+3a) =(－2)2－(3a)2 =4－9a2.
用自己的 语言叙述 你的发现.
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 =(2m)2－12
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2 =(5y)2－z2
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么 规律？
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
知识要点
平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形:
(a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2
平方差公式 相同为a
适当交换
(a+b)(a-b) = a2-b2
合理加括号 相反为b 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等．
练一练：口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__. (2)(a－b)(b+a)= ___a_2_－__b_2 __. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b_2_－__a_2__.
(a+b)(a-b)
a
=
a2-b2
b
b
三 平方差公式的运用
自主探究 想一想： （1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899 7×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请 用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？ (a+b)(a−b)=a2−b2
讲授新课
一 平方差公式的认识 合作探究 算一算：看谁算得又快又准.
①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1 =x2 － 12 ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4 =m2－22
（x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15.
导入新课
情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正 方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说： “我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米， 继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?” 张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好 吧．”回到家中，他把这事和 邻居们－讲，大家都说：“张 老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗?
典例精析 例2 计算: (1) 103×97; 解: 103×97 =(100+3)(100－3) = 1002－32
=10000 – 9 =9991；
(2) 118×122. 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) = 1202－22 =14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
3.已知a=7202,b=721×719；则（ B ）
A.a=b
B.a>b
C.a<b
D.a≤b
4.97×103=(100－3)×( 100+3)=(1002－32). 5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是__x_=_4__.
6.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
7.利用平方差公式计算： （1）51×49； （2）13.2×12.8； （3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
解：(1)原式=(50+1)(50-1) =502－12 =2500-1=2499；
(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96.
（2）(3+2a)(－3+2a)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32 =4a2－9；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5). 解：原式=(－5+6x)(－5－6x) =(－5)2－(6x)2 =25－36x2.
第2章
七年级数学下（XJ） 教学课件
整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
复习巩固 多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
课堂小结
内容
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
注意
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过变形才可以应用
注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b?
练一练 利用平方差公式计算： (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
二 平方差公式的几何验证 合作探究 将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪 下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能 表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1x －3 a
a1
0.3x 1
a2－b2 12－x2 (－3)2－a2 a2－12 ( 0.3x)2－12
典例精析 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．