分位数回归的方法及其的应用50页PPT

贝叶斯分位数回归方法是一种结合了贝叶斯理论与分位数回归的统计分析方法。

它允许我们在给定分位数水平下，估计自变量和因变量之间的关系，同时提供了对模型参数的不确定性度量。

这种方法的提出，为我们提供了一种新的视角来处理回归问题，特别是在处理具有异方差性、非对称分布或异常值的数据时，显示出其独特的优势。

首先，我们需要了解分位数回归的基本概念。

分位数回归是一种描述自变量和因变量的分位数之间线性关系的回归方法。

与传统的均值回归不同，分位数回归关注因变量的条件分位数，而不是条件均值。

这样，它可以提供更丰富的信息，比如因变量在不同分位数水平下的变化情况。

此外，分位数回归对模型中的随机误差项不需做任何分布的假定，这使得整个回归模型具有更强的稳健性。

贝叶斯方法的引入，为分位数回归提供了新的估计参数的方式。

在贝叶斯框架下，参数被视为随机变量，而不是固定的未知量。

我们通过为先验分布和似然函数指定概率模型，然后使用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。

这种方法允许我们利用先验信息，并在新的数据出现时更新我们的信念。

在贝叶斯分位数回归中，一个关键步骤是假设分位数回归模型的误差项服从非对称拉普拉斯分布。

这是因为分位数回归的损失函数与非对称拉普拉斯分布的密度函数具有紧密的联系。

通过假设误差项服从非对称拉普拉斯分布，我们可以写出似然函数，并在特定的分位数水平下极大化似然函数。

这样，分位数回归的参数估计值就可以通过优化得到。

贝叶斯分位数回归方法的优点在于，它结合了分位数回归的稳健性和贝叶斯方法的灵活性。

通过利用先验信息，贝叶斯分位数回归可以在数据稀疏或存在异常值的情况下提供更准确的估计。

此外，由于参数被视为随机变量，我们可以得到参数的不确定性度量，这对于决策制定和模型验证非常有用。

然而，贝叶斯分位数回归方法也存在一些挑战。

首先，选择合适的先验分布可能是一个难题，因为不同的先验分布可能会导致不同的后验推断。

其次，计算后验分布通常需要高维积分，这在计算上可能是昂贵的。

分位数回归及应用简介分位数回归（Quantile Regression）是一种预测模型，与传统的最小二乘法回归（OLS regression）不同，它不仅可以估计数据的均值，还可以估计数据分布的其他分位数。

这种方法在处理不同分位数下的潜在差异时非常有用，因为它可以提供理解和预测在不同条件下的数据变化情况。

最小二乘法回归通过最小化预测值与实际值的平方差，给出一个数据分布的均值估计。

然而，由于数据的分布可能是非对称的，存在异常值或极端值，使用最小二乘法回归的均值估计可能不准确。

在这种情况下，分位数回归是一种更好的方法，因为它可以估计多个分位数，包括中位数（50%分位数）和极值（例如90%或95%分位数）。

分位数回归可以通过最小化损失函数来估计模型参数，常用的损失函数是加权绝对值损失函数。

这个损失函数对应的优化问题可以使用线性规划或非线性规划的方法求解。

通过计算不同分位数的估计结果，可以获得数据分布的详细信息。

分位数回归有一些应用的优势。

首先，它可以提供更全面的数据估计，对于非对称或含有异常值的数据分布具有更好的预测能力。

其次，分位数估计结果可以用来比较不同分位数处的特征变量对因变量的影响程度。

例如，在收入预测模型中，分位数回归可以帮助我们比较高收入人群和低收入人群对某个特征变量的影响程度。

此外，分位数回归还可以用于分析不同条件下的潜在差异，例如预测某个特征变量在不同行业、不同地区或不同时间段的变化情况。

分位数回归的应用非常广泛。

在经济学领域，它常被用于研究收入分布、贫富差距以及社会流动性等问题。

它还可以用于金融学中的风险评估和资产定价分析，其中分位数回归可以帮助我们理解极端事件的风险程度。

此外，分位数回归还可以在医学和社会科学领域中，用于研究不同群体或个体的特征与某个健康指标或社会指标的关系。

尽管分位数回归有许多优点，但也存在一些限制。

首先，分位数回归对于数据分布的假设较少，因此可以适用于各种类型的数据。

目錄一、為什麼需要分位數回歸二、總體分位數三、樣本分位數四、分位數回歸の估計方法五、分位數回歸模型の估計六、R軟件操作分位數回歸一、為什麼需要分位數回歸？1、一般の回歸模型著重考察x對yの條件期望E(y|x)の影響，如果y|x不是對稱分布，則E(y|x)難以反映條件分布の全貌。

如果能夠估計條件分布y|xの若幹重要の條件分位數，比如中位數等，能夠更加全面の描述被解釋變量條件分布の全貌，而不是僅僅分析被解釋變量の條件期望（均值）。

不同分位數下の回歸系數估計量常常不同，即解釋變量對不同水平被解釋變量の影響不同。

2、使用OLS 進行“均值回歸”，由於最小化の目標函數為殘差平方和，容易受極端值影響。

“分位數回歸”，使用殘差絕對值の加權平均作為最小化の目標函數，不易受極端值影響。

而且，分位數回歸對誤差項並不要求很強の假設條件，因此對於非正態分布而言，分位數回歸系數估計量則更加穩健。

二、總體分位數假設Y為連續型隨機變量，其累積分布函數為F y(·)。

Yの“總體q 分位數”，記為y q，滿足以下定義式：q = P (Y≤y q)= F y(y q)總體q分位數正好將總體分布分為兩部分，其中小於或等於y qの概率為q，而大於y qの概率為(1-q )。

如果q =1/ 2，則為中位數，正好將總體分為兩個相等の部分。

如果Fy(·)嚴格單調遞增，則有y q=F y-1 (q)對於回歸模型，記條件分布y | x の累積分布函數為F y | x (·)。

條件分布y | x の總體q分位數，記為y q，滿足以下定義式：q= F y | x (y q)假設F y | x (·)嚴格單調遞增，則有y q=F y | x-1(q)由於條件累積分布函數F y | x (·)依賴於x ，故條件分布y | xの總體q分位數y q也依賴於x，記為y q (x)，稱為“條件分位數函數”。

對於線性回歸模型，如果擾動項滿足同方差の假定，或擾動項の異方差形式為乘積形式，則y q (x)是xの線性函數。

2、不同分位点拟合曲线的比较# 散点图attach(engel) # 打开engel数据集，直接运行其中的列名，就可以调用相应列plot(income,foodexp,cex=0.25,type="n", # 画图，说明①xlab="Household Income", ylab="Food Expenditure")points(income,foodexp,cex=0.5,col="blue") # 添加点，点的大小为0.5abline( rq(foodexp ~ income, tau=0.5), col="blue" ) # 画中位数回归的拟合直线，颜色蓝abline( lm(foodexp ~ income), lty = 2, col="red" ) # 画普通最小二乘法拟合直线，颜色红taus = c(0.05, 0.1, 0.25, 0.75, 0.9, 0.95)for(i in 1:length(taus)){ # 绘制不同分位点下的拟合直线，颜色为灰色abline( rq(foodexp ~ income, tau=taus[i]), col="gray" )}detach(engel)3、穷人和富人的消费分布比较# 比较穷人（收入在10%分位点的那个人）和富人（收入在90%分位点的那个人）的估计结果# rq函数中，tau不在[0,1]时，表示按最细的分位点划分方式得到分位点序列z = rq(foodexp ~ income, tau=-1)z$sol # 这里包含了每个分位点下的系数估计结果x.poor = quantile(income, 0.1) # 10%分位点的收入x.rich = quantile(income, 0.9) # 90%分位点的收入ps = z$sol[1,] # 每个分位点的tau值qs.poor = c( c(1,x.poor) %*% z$sol[4:5,] ) # 10%分位点的收入的消费估计值qs.rich = c( c(1,x.rich) %*% z$sol[4:5,] ) # 90%分位点的收入的消费估计值windows(, 10,5)par(mfrow=c(1,2)) # 把绘图区域划分为一行两列plot(c(ps,ps),c(qs.poor,qs.rich),type="n", # type=”n”表示初始化图形区域，但不画图xlab=expression(tau), ylab="quantile")plot(stepfun(ps,c(qs.poor[1],qs.poor)), do.points=F,add=T)plot(stepfun(ps,c(qs.poor[1],qs.rich)), do.points=F,add=T, col.hor="gray", col.vert="gray")ps.wts = ( c(0,diff(ps)) + c(diff(ps),0) )/2ap = akj(qs.poor, z=qs.poor, p=ps.wts)ar = akj(qs.rich, z=qs.rich, p=ps.wts)plot(c(qs.poor,qs.rich), c(ap$dens, ar$dens),type="n", xlab="Food Expenditure", ylab="Density")lines(qs.rich,ar$dens,col="gray")lines(qs.poor,ap$dens,col="black")legend("topright", c("poor","rich"), lty=c(1,1),col=c("black","gray"))上图表示收入（income）为10%分位点处（poor，穷人）和90%分位点处（rich，富人）的食品支出的比较。