第九章 第一节 随机抽样

随机抽样
1．理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会利用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，
了解分层抽样和系统抽样的方法．
[理 要 点] 一、简单随机抽样
1．简单随机抽样的概念
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回 地抽取n个 个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个 都相等 个体被抽到的机会 单随机抽样． 2．最常用的简单随机抽样方法有两种—— 抽签 法和 随机数 法． ，就把这种抽样方法叫做简
二、系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)先将总体的N个个体 编号 ．
分段间隔k ，对编号进行 分段，当N是整数时，取 (2)确定 n
N k＝ n . (3)在第1段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号l(l≤k)． (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第 2个个体编号 l＋k ，再加k得到第3个个体编号 l＋2k ， 依次进行下去，直到获取整个样本．
第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小
组．
若把本题中“24名学生”改为“1000名学生”仍选取6人 应该如何抽样？
解：因为总体数较大，若法．
第一步：先将1000名学生编号，可以编为0001,0002，„， 1000. 第二步：在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第5 列的数2.
70 x 解析：(1)设在中年人中的抽样人数为x，则 ＝ ， 1400 1600 ∴x＝80. (2)由题可知，四种商品的总数为30＋10＋35＋25＝100，而 在35种婴幼儿奶粉的品牌中抽取了7种，所以抽取的概率为 7 1 1 ＝ ，所以需要抽取的样本容量为100× ＝20，所以样本 35 5 5 容量n为20.
[归纳领悟] 系统抽样的特点： 1．适用于元素个数很多且均衡的总体． 2．各个个体被抽到的机会均等． 3．总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． 4．如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝ N n ，如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从 总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．
第二步：将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条 上，并揉成团，制成号签； 第三步：将24个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅 匀；
第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
随机数法 第一步：将24名学生编号，编号为01,02,03，„，24； 第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方 向读数； 第三步：凡不在01～24中的数或已读过的数，都跳过 去不作记录，依次记录下得数；
解析：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的
间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体 有明显的层次；D是简单随机抽样． 答案：D
3．上海某大学为服务于2010上海世博会，从报名的24
名大三的学生中选6人组成志愿小组，请用抽签法和
随机数法设计抽样方案．
解：抽签法
第一步：将24名志愿者编号，编号为1,2,3，„，24；
[究 疑 点] 三种抽样方法的共同点及联系是什么？ 提示：
类别 共同点 各自特点 相互联系 简单随 从总体中逐个抽 机抽样 取 抽样过 将总体均匀分成 在起始部分抽 程中每 系统 几部分，按事先 样时采用简单 个个体 抽样 确定的规则在各 随机抽样 被抽取 部分抽取 的机会 各层抽样时采 分层 均等 将总体分成几层， 用简单随机抽 抽样 分层进行抽取 样或系统抽样 适用范围 总体中的个 体数较少
解析：从N个个体中抽取M个个体则每个个体被抽到的 M 概率都等于 N .
答案：C
3．(2010· 湖北高考)将参加夏令营的600名学生编号为：001, 002，„，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样 本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营
区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，
总体中的个 体数较多
总体由差异 明显的几部 分组成
[题组自测] 1．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正 ． 确的是 A．要求总体的个数有限 B．从总体中逐个抽取 C．它是一种不放回抽样 D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关 ( )
解析：简单随机抽样除具有A、B、C的三个特点外，还
生中选取的人数应为________．
解析：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10× (0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由直方图 可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010) ＝60人．其中身高在[140,150]内的学生人数为10人，所以从身 18 高在[140,150]范围内抽取的学生人数为 ×10＝3人． 60
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，分层抽样是高考的热点， 题型多为选择、填空题，属容易题，命题多以贴近现实 生活的材料为背景；同时随机抽样与概率问题相结合也 是考查的重点．
对于系统抽样，复习时也要引起重视．
二、考题诊断
1．(2010· 四川高考)一个单位有职工800人，其中具有高级
职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的 200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采 用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上 述各层中依次抽取的人数分别是 ( )
A．12,24,15,9
C．8,15,12,5
B．9,12,12,7
D．8,16,10,6
40 1 解析：抽样比为 ＝ ，因此，从各层依次抽取的人数 800 20 1 1 1 1 为160× ＝8,320× ＝16,200× ＝10,120× ＝6. 20 20 20 20
答案：D
2．(2010· 重庆高考)某单位有职工750人，其中青年职工 350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该
三、分层抽样
1．分层抽样的概念
在抽样时，将总体 分成互不交叉的层，然后 按照一定
的比例 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层
取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种 分层抽样． 2．当总体是由 差异明显的几个部分 组成时，往往选用分
层抽样的方法． 3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是 均等 的．
答案：(1)80
(2)20
[归纳领悟] 进行分层抽样时应注意以下几点： 1．分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定， 总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本 差异要大，且互不重叠； 2．为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被 抽到的可能性相同； 3．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方 法进行抽样； 样本容量 各层样本容量 4．抽样比＝ ＝ . 个体容量 各层个体数量
第三步：从选定的数开始向右读，依次可得
0736,0751，„„直到抽取6人满为止，就得到一个容量 为6的样本．
[归纳领悟] 简单随机抽样须满足的条件与特点： 1．抽取的个体数有限； 2．逐个抽取；
3．是不放回抽取；
4．是等可能抽取； 5．抽签法适于总体中个体数较少的情况，随机数法适用 于总体中个体数较多的情况．
答案：C
2．(2010· 茂名模拟)某学校在校学生2000人，为了迎接
“2010年广州亚运会”，学校举行了“迎亚运”跑 步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项 比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数 登山人数 a x b y c z
1 其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的 . 4 为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式 从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑 步的学生中应抽取 A．15人 C．40人 B．30人 D．45人 ( )
3 解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的 ，高三 4 3 3 年级参加跑步的总人数为 ×2000× ＝450，由分层抽 4 10 1 样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取 ×450 10 ＝45(人)．
答案：D
3．(1)(2010· 上海高考)某社区对居民进行上海世博会知晓 情况的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人 和老年人分别有800人、1600人、1400人．若在老年 人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该 是________．
注意：系统抽样的四个步骤可简记为：编号—分段—
确定起始的个体号—抽取样本.
[题组自测] 1．某市有高中生30000人，其中女生4000人．为调查学生 的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150
的样本，则样本中女生的数量为
A．30 C．20 B．25 D．15
(
)
150 x 解析：设样本中女生的数量为x，则 ＝ ， 30000 4000 ∴x＝20.
(2)(2010· 山东青岛)某大型超市销售的乳类商品有四种：纯 奶，酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼 儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的 品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样
本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数
是7种，则n＝________.
从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( A．26,16,8 C．26,16,9 B．25,17,8 D．24,17,9 )
解析：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按 编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组 抽中的号码是3＋12(k－1)． 103 令3＋12(k－1)≤300得k≤ ， 4 因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25； 103 令300<3＋12(k－1)≤495得 <k≤42， 4 因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17. 结合各选项知．
答案：B
4．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，„，295，