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2021-2022年高三数学第七次模拟考试试题理考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．（1）复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：（A）（2）已知集合{()|lg}{()|}====，，，，若，则实数的取值范围是（）A x y y xB x y x a（A）（B）（C）（D）解析：（D）（3）已知是两不重合的平面，直线，直线，则“相交”是“直线异面”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：（B）（4）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的值是（）（A）（B）（C）（C）解析：（C）（5）已知函数（为常数，，）在处取得最大值，则函数是（）（A）奇函数且它的图象关于点对称（B）偶函数且它的图象关于点对称（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）偶函数且它的图象关于点对称解析：（B）（6）设单位向量的夹角为，，，则在方向上的投影为（）（A ） （B ） （C ） （D ） 解析：（B ）（7）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为的 等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何 体的体积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 解析：（A ）（8）已知，则的值为（ ）（A ） （B ） （C ）或 （D ）或 解析：（D ）（9）已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 解析：（D ）（10）已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 解析：（C ）（11）过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，俯视图侧视图正视图若，且，则抛物线的方程为（）（A）（B）（C）（D）解析：（A）（12）已知函数满足，且，则函数（）（A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值，又有极小值（D）既无极大值，也无极小值解析：（B）. 因为，即，所以，其中为常数，又因为，所以，，，当时，，当时，，所以函数在时取得极小值，无极大值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．（13）在中，角所对边分别为，且，，面积，则.解析：（14）已知10770x yx yxy-+⎧⎪--⎪⎨⎪⎪⎩表示的平面区域为，若为真命题，则实数的取值范围是 . 解析：（15）某单位员工按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为. 解析：（16）设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”. 现给出下列函数：①； ②； ③；④是定义在实数集上的奇函数，且对一切均有.其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）. 解析：①③④. 对于①，取即可；对于②，因为时，，所以不存在，使对一切实数均成立； 对于③，因为222||2||1|()|||25(1)42x x f x x x x x ==-+-+，取即可；对于④，由于为奇函数，故，令得，故，即，所以，取即可.三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．（17）（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. （Ⅰ）求等比数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为，求证：.解析：（Ⅰ）设数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，所以，解得或，因为，所以，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）证明：因为，所以，所以121111()2()()222n n T n =⨯+⨯++⨯，23+111111()2()()2222n n T n =⨯+⨯++⨯，相减得1211111[1()]111111122()()()()()1(2)()1222222212n n n n n n T n n n +++-=+++-⨯=-⨯=-+⨯-. 因此.（18）（本小题满分12分）如图，直角三角形中，，，，为线段上一点，且，沿边上的中线将折起到的位置. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当平面平面时，求二面角的余弦值.BEA解析：由已知得，.（Ⅰ）证明：取中点，连接，因为，且，所以，所以. 又因为，为的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以.平面平面，，平面，所以平面，所以两两垂直.以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，设平面的法向量为，则，不妨令，得. 又平面的一个法向量为，所以，即二面角的余弦值为.（19）（本小题满分12分）某厂每日生产一种大型产品件，每件产品的投入成本为元. 产品质量为一等品的概率为；二等品的概率为. 每件一等品的出厂价为元，每件二等品的出厂价为元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产件产品还会带来元的损失.（Ⅰ）求在连续生产的天中，恰有一天生产的件产品都为一等品的概率； （Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品件中有件为一等品，求另件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润（元）的分布列和期望.解析：（Ⅰ）一天中件都为一等品的概率为. 设连续生产的天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件，则.（Ⅱ）件中有一等品的概率为，则件中有件为一等品，另件也为一等品的概率为.（Ⅲ）的可能取值为160001400012000500030006000-，，，，，. 则；12(14000)C 0.50.40.4P ξ==⨯⨯=；； 12(5000)C 0.50.10.1P ξ==⨯⨯=；12(3000)0.10.40.08P C ξ==⨯⨯=；.故的分布列为Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=()160000.25140000.4120000.1650000.130000.08(6000)0.0112200 .（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，为抛物线：上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值.解析：（Ⅰ）因为，所以，则椭圆方程为，即.设，则MQ=||.当时，有最大值为. 解得，则.所以椭圆的方程是.（Ⅱ）设曲线：上的点，因为，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程得2234t t t t t∆=-+-=-++.(16)4(116)(44)16(161)t x t x t(116)16440+-+-=，则有322442设，则，.所以12|||BC x x =-==.设点到直线的距离为，则. 所以的面积211||22S BC d =⋅== .当时，等号成立，经检验此时，满足题意. 综上，面积的最大值为. （21）（本小题满分12分）已知，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）设（其中为的导函数），判断在上的单调性； （Ⅱ）若无零点，试确定正数的取值范围.解析：（Ⅰ）因为，则，21()(1)()(1)(2e 1)4xg x x f x x '=+=+-，所以1222111()[e (3)1](2e 1)(2e 1)0444x x g x x -'=+->->->，所以在上单调递增.（Ⅱ）由知11()()[()]11a F x af x g x x x a''=-=-++， 由（Ⅰ）知在上单调递增，且，可知当时，， 则有唯一零点，设此零点为.易知时，，单调递增；时，，单调递减， 故max ()()ln(1)()4F x F t t af t ==+-+，其中.令，则221()()()()()()()1[()][()]f x g x f x g x f x g x G x x g x g x '''-'=-=+， 易知在上恒成立，所以，在上单调递增，且.①当时，，由在上单调递增知，则max ()()()(0)0F x F t G t G ==>=，由在上单调递增，，所以，故在上有零点，不符合题意；②当时，，由的单调性知，则max ()()()(0)0F x F t G t G ====，此时有一个零点，不符合题意；③当时，，由的单调性知，则max ()()()(0)0F x F t G t G ==<=，此时没有零点.综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的倍和倍后得到曲线，求曲线的参数方程；（Ⅱ）若分别为曲线与直线的两个动点，求的最小值以及此时点的坐标.解析：（Ⅰ）在曲线上任取一点，设点的坐标为，则点在曲线上，满足，所以曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（Ⅱ）直线的直角坐标方程为：，设点，点到直线的距离为|4sin()8|d πθ+-==，当，即点的直角坐标为时，取得最小值.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数满足，证明：.解析：（Ⅰ）因为|3||2||(3)(2)|5x x x x --+--+=，所以，解得，故.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，所以311311919(3)()(33)(26)3444a b a a b b a b a b a b +=⨯+⨯+=⨯+++=， 当且仅当，即时等号成立. 所以.38616 96D8 雘u20925 51BD 冽27622 6BE6 毦30748 781C 砜22626 5862 塢Q39593 9AA9 骩'21371 537B 卻31641 7B99 箙Te20116 4E94 五36999 9087 邇。
北京市昌平区高三仿真模拟数学文科试卷7一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若2∈{1，a，a2-a}，则a=(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) x∀∈R，20x>(B) x∀∈R，2310x x++>(C) x∃∈R，lg0x>(D) x∃∈R，122x=3．已知a>0且a≠1，函数logay x=，xy a=在同一坐标系中的图象可能是(A) (B) (C) (D)4．已知数列{}na中，135a=，111(2)nna na-=-≥，则2011a=(A)12-(B)23-(C)35(D)52关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。
遇到这样既不成等差又不成等比的数列，求2011a=，只能是周期性。
5．如图所示，已知2AB BC=，OA a=，OB b=，OC c=，则下列等式中成立的是(A)3122c b a=-(B) 2c b a=-(C) 2c a b=-(D)3122c a b=-这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。
讲评时可再选一填空题进行复练。
BCOxyO π2π1-16．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。
最好采用排除法。
考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。
7．已知x ，y 的取值如下表：x0 1 3 4 y从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a = (A)(B)(C)(D) 0本题就是考查回归方程过定点(,)x y 。
8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 (A) (0,3)(B) (0,3](C) (0,4)(D) [0,4]考查意图：考查学生对函数概念的理解。
中学2021届高三数学下学期七调试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，那么A B =〔〕A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 应选C ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为〔 〕 A. 110 B. 110-C.310D. 310-【答案】A 【解析】【分析】化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，.【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.应选：A.【点睛】此题主要考察了复数的运算法那么，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法那么，准确化简是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题.3.有一散点图如下图，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，以下说法正确的选项是〔 〕A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱 【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，应选A.【点睛】该题考察的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．假设POQ ∆为直角三角形，那么PQ =〔 〕 A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.那么易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =在POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 应选C【点睛】此题主要考察双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均一样的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，那么〔 〕A. 12E E ξξ<，12D D ξξ<B. 12E E ξξ=，12D D ξξ>C. 12E E ξξ=，12D D ξξ<D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.应选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.某算法的程序框图如下图，那么该算法的功能是〔 〕A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和【答案】A【解析】【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】由中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2021，步长为2，故循环一共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，应选A．【点睛】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52【答案】C 【解析】 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．【详解】由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如下图：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，应选C ． 【点睛】此题主要考察三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，假设B 点的纵坐标为513-，且满足34AOBS =，那么1sin3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值是( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513【答案】C 【解析】 【分析】由AOBS，可得()sin 2αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sinsin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.【详解】由()1sin 2AOBSOA OB αβ=-=，得()sin αβ-=根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.11112sinsin sin sin sin cos 222222636213cos ααααππππααβββ-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=+=++=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 应选C.【点睛】此题主要考察了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.函数()()sin 0x f x x ωωω=>，假设集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，那么实数ω的取值范围是〔 〕 A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f 〔x 〕的解析式，作出f 〔x 〕的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f 〔x 〕在〔0，+∞〕上的交点坐标，那么π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】f 〔x 〕=2sin 〔ωx﹣3π〕， 作出f 〔x 〕的函数图象如下图：令2sin 〔ωx﹣3π〕=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或者ωx﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或者x=32πω+2k πω，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f 〔x 〕在〔0，+∞〕上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 那么x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f 〔x 〕=﹣1在〔0，π〕上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 应选B ．【点睛】此题考察了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题． 10.抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，那么ABC ∆的重心坐标为〔 〕A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D.14,127⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 那么1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，那么12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，应选C. 【点睛】此题主要考察理解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的才能有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点〔点M 与A 、1C 不重合〕，那么以下结论正确的个数为〔 〕①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③假设1A DM 的面积为S ，那么23,233S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；④假设1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，那么存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④.【详解】连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的断定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OAC D AC =,即11126323OA C D OM AC ⋅===,所以1A DM 的最小面积为1111623222233A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=, 所以假设1A DM 的面积为S ,那么2323S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 应选:C【点睛】此题考察面面垂直的判断,考察线面垂直的判断,考察空间中线面关系的判断,考察空间想象才能.12.函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，那么〔 〕 A. a b = B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.【详解】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得01x e x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e---==+-=+--=-，故1a b ==-，应选：A.【点睛】此题主要考察利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题〔一共4题，每一小题5分〕13.二项式2nx ⎛- ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，那么3x 的系数为__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，应选C.【点睛】该题考察的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学教师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞，上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．教师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据四位同学的答复，不妨假设其中的任何三个同学答复正确，然后推出另一位同学的答复是否正确来分析，表达了反证法的思想. 【详解】假如甲、乙两个同学答复正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的答复也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，所以应该是甲、乙两个同学有一个答复错误， 此时丙正确，那么乙就是错误的. 故答案为乙.【点睛】此题利用函数的性质考察逻辑推理才能和反证法思想，考察数形结合思想的运用. 15.ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，那么3m n +的值是__________.【答案】45【解析】 【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．【详解】因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 【点睛】此题考察了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题．16.ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，假设2A B =，那么2c bb a+的取值范围为__________．【答案】()2,4【解析】 由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，那么22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B BBB B B===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B+=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，那么1cos 12B <<，换元可令cos t B =，那么2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故此题应填()2,4．三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=〔p 为常数〕.〔1〕假设1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； 〔2〕是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由. 【答案】〔Ⅰ〕p=1；〔Ⅱ〕存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由求得a 2，a 4，再由-a 1，21a 2，a 4成等差数列列式求p 的值； 〔Ⅱ〕假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．【详解】〔Ⅰ〕由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，那么p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1；〔Ⅱ〕假设存在p ，使得{a n }为等比数列，那么2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，那么2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 【点睛】此题考察数列递推式，考察等差数列与等比数列的性质，是中档题． 18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.〔1〕求证：//BF 平面ADE ； 〔2〕G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕14.【解析】 【分析】〔1〕根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的断定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的断定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；〔2〕根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，那么AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】〔1〕证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .〔2〕解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，那么AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如下图的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =，那么A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以3)OB OA AB OA DC =+=+=， 由1(3,,0)2G ，所以(3,2,3)BE =--，10,,32BG ⎛= ⎝， 设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么32301302m BE x y z m BG y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，3z =3)m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||49363m n m n m n ⋅<>===⋅++，即二面角B EG D --的余弦值为14.【点睛】该题考察的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的断定，面面平行的断定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=. 〔1〕假设(2,0)A ，求椭圆的HY 方程；〔2〕设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？假设存在，求出其斜率；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕存在满足条件的直线，斜率130210k =-±. 【解析】 【分析】〔1〕由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的HY 方程;〔2〕由〔1〕可得22b c =．222212x yc c+=，P 的坐标为()00,x y那么()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，那么1122,33x c y c =-=，利用两点间的间隔 公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】〔1〕易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b =故椭圆的HY 方程为：22142x y +=〔2〕由得22b c =,222a c =设椭圆的HY 方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，那么1122,33x c y c =-=圆的半径r ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-由相切可知1121kx kc y r k --=+,所以22233531k c kc cc k ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=+ 即2202010k k +-=，解得130210k =-±故存在满足条件的直线．【点睛】此题中考察了椭圆与圆的HY 方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的间隔 公式、中点坐标公式等根底知识与根本技能方法，考察了推理才能和计算才能，属于难题．20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进展，每人必须在1分钟内完成，否那么派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，那么该团队进入下一关，否那么淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间是的频率分布直方图.〔1〕假设甲解开密码锁所需时间是的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；〔2〕假设以解开密码锁所需时间是位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间是位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为，各人是否解开密码锁互相HY. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜测：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望到达最小，不需要说明理由.【答案】〔1〕0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7〔2〕①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【解析】 【分析】〔1〕根据甲解开密码锁所需时间是的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在11分钟内解开密码锁的频率. 〔2〕①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法. ②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.【详解】〔1〕甲解开密码锁所需时间是的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；〔2〕由〔1〕知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁互相HY ；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 那么()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， 〔下面是理由，给教师和学生参考〕设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；那么()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，假设交换前两个人的派出顺序，那么变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 假设保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序， ∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序那么期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值〔教学期望〕到达最小.【点睛】本小题主要考察随机变量分布列和数学期望的求法，考察频率分布直方图频率、中位数有关计算，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题. 21.函数()()ln,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.()1讨论()f x的单调性；()2当()f x存在三个不同的零点时，务实数a的取值范围.【答案】(1) 当14a≥时，()f x在()0,∞+上单调递减；当14a<<时，()f x在10,2a⎛⎪⎝⎭和12a⎛⎫++∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2)14a<<【解析】【分析】〔1〕根据()4f x fx⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a=，得到()4ln2x af x axx=-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；〔2〕根据〔1〕中所求单调性，否认14a≥的情况；在14a<<时，首先求得2x=为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,xa⎛⎫⎪⎝⎭中存在一个零点x；根据()04f x fx⎛⎫+=⎪⎝⎭，可确定另一个零点4x，从而可知14a<<满足题意.【详解】〔1〕由()424ln ln024x b a xbf x f axx x x x⎛⎫+=-++-+=⎪⎝⎭，得4b a=那么()4ln2x af x axx=-+，()222144(0)a ax x af x a xx x x-+-'=--=>假设21160a∆=-≤时，即14a≥时，()f x在()0,∞+单调递减假设21160a∆=->，即14a<<时，()24h x ax x a=-+-有两个零点零点为：1x=>，2x=>又()24h x ax x a=-+-开口向下当10x x<<时，()0h x<，()0f x'<，()f x单调递减当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增 当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减 综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在10,2a ⎛ ⎪⎝⎭和12a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增〔2〕由〔1〕知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点；当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x <<()f x 在()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >= ()4ln 2x af x ax x=-+23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a-+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x【点睛】此题考察讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是可以选取适宜的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩〔t 为参数，0a >〕.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭〔1〕设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的间隔 的最大值； 〔2〕假设曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕〔2〕(0,. 【解析】 【分析】〔1〕将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的间隔 公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的间隔 的最大值； 〔2〕由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>恒成立，利用辅助角公式，只需4<，即可求得a 的取值范围.【详解】〔1〕由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin )2ρθρθ-=-,)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ， 那么P 到直线l 的间隔d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l 的间隔的最大值为.〔2〕因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>〔其中2tan aϕ=〕恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,.【点睛】该题考察的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线间隔 的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.a ，b ，c 均为正实数，求证： 〔1〕()2()4a b ab cabc ++≥；〔2〕假设3a b c ++=≤【答案】证明过程详见解析 【解析】 【分析】⑴将求证的不等式进展化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立 1231222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证()()24a b ab cabc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220ac ac a c b bc +-++-≥， 即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由，上式显然成立， 故不等式()()24a b ab cabc ++≥成立．(2)因为,,a b c 均为正实数， 1231222a a +++≤=，当且仅当12a +=时，取等号， 1231222b b +++≤=当且仅当12b +=时 ，取等号，123222c c +++≤=当且仅当12c +=时，取等号，62a b c d+++≤=+≤1a b c ===时，取等号．【点睛】此题考察了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用根本不等式、对要证明的不等式进展化简等方法来求证，关键是要灵敏运用根本不等式等方法求证结果．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2019届高三数学下学期第七次模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,选C.2. 设复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】D【解析】,虚部为1,选D.3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地。
”请问第三天走了（）A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里【答案】B【解析】由题意得等比数列， ,求4. 在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】B【解析】 ,选B.5. 已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】所以 ,选B.6. 在下列命题中，属于真命题的是（）A. 直线都平行于平面，则B. 设是直二面角，若直线，则C. 若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线，（且），则在内或与平行D. 设是异面直线，若与平面平行，则与相交【答案】C【解析】直线都平行于平面，则可平行,可异面,可相交; 设是直二面角，若直线，则或 ; 直线在平面内的射影是一个点,所以,又,所以在内或与平行;是异面直线，若与平面平行，则与相交或 ,因此选C.7. 已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线下方的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】概率是 ,选A.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8. 若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A. -270B. 270C. -90D. 90【答案】C【解析】在的展开式中,令,可得展开式的各项系数绝对值之和为,.故展开式的通项公式为令,求得,故展开式中常数项为.因此，本题正确答案是: .点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.(3)各项系数和，各项系数绝对值的和，常用赋值法处理.9. 若分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右准线上，且满足，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】由得四边形为平行四边形,由得OP为角平分线,因此四边形为菱形，所以，因此，选C.10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】循环依次为直至结束循环，输出，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】, 且，所以函数为单调递减的奇函数，因此即，选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内12. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时与时，矛盾，因此当时，，设，则,因此为单调减函数，从而,,,,,选D.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为__________．【答案】4【解析】试题分析：满足约束条件的平面区域如图，由，得，由，.....................当且仅当时，上式等号成立.所以的最小值为考点：简单线性规划的应用14. 如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】几何体为一个三棱锥，如图，高为，底面为边长为2正三角形，因此外接球的半径等于，表面积为15. 已知，，，则__________．【答案】【解析】所以16. 元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有__________种不同取法．（用数字作答）【答案】1680【解析】点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，其中，若的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）锐角三角形中，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得，即得，根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求的取值范围. 试题解析：（1），最小正周期为，∴，令，即，∴的单调递增区间为.（2）∵，∴，整理得：，，，∵锐角三角形，∴且，∴，∴，∴.18. 一个盒子里装有大小均匀的8个小球，其中有红色球4个，编号分别为1,2,3,4；白色球4个，编号分别为2,3,4,5. 从盒子中任取4个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.（1）求取出的4个小球中，含有编号为4的小球的概率；（2）在取出的4个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列和期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题为古典概型，需先算出8个球取出4个的所以情况，在求4个球中含编号为4的基本事件数，可分类含一个编号为4的球，或含2个编号为4的球（互斥事件）概率可求；（2）由题意先分析出（取出4个编号最大的值）的可能取值，再分别求出对应的概率（互斥事件），可列出分布列。
2023年高考数学模拟试题(七)参考答案 一㊁选择题1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C图17.B 提示:对于A :如图1,连接D C 1,交D 1C 于点O ,连接B 1O ,O N ,显然O 为D C 1的中点,又M ,N 分别为B B 1,C D 的中点,所以O N ʊC C 1且O N =12C C 1,B 1M ʊC C 1且B 1M =12C C 1,所以O N B 1M ,所以四边形O NM B 1为平行四边形,所以O B 1ʊMN ,又MN ⊄平面C B 1D 1,O B 1⊂平面C B 1D 1,所以MN ʊ平面C B 1D 1,故A 正确;图2对于B :如图2,连接B N ,则四边形A B N D 为三棱锥A 1 MN D 1在平面A B C D 上的正投影,因为S 梯形A B N D =12ˑ1+2ˑ2=3,故B 错误;对图3于C :如图3,取B C 的中点E ,连接A E ,E B 1,A B 1,显然әA B E ɸәB C N ,所以øA E B =øB N C ,又øN B C +øB N C =90ʎ,所以øN B C +øA E B =90ʎ,所以A E ʅB N ,由正方体A BCD A 1B 1C 1D 1,可得B B 1ʅ平面A B C D ,AE ⊂平面A B C D ,所以B B 1ʅA E ,又B B 1,B N ⊂平面MN B ,B B 1ɘB N =B ,所以A E ʅ平面MN B ,又A E ⊂平面A E B 1,所以平面A E B 1ʅ平面MN B ,故C 正图4确;对于D :如图4,若F 为棱A B 的中点,则MN =12+22+12=6,F N =2,F M =12+12=2,所以MN2=F N2+F M 2,即øM F N =90ʎ,即әF MN ,әMN B 均为直角三角形,且MN 是公共斜边,由直角三角形的性质可知MN 为三棱锥M N F B 的外接球的直径,故外接球的半径为R =12MN =62,所以三棱锥M N F B 的外接球的表面积S =4πR 2=6π,故D 正确㊂8.C 9.D10.D 提示:将f (x )=c o s (ωx +φ)的图像向左平移π3个单位长度,得到函数g (x )=c o s ωx +ωπ3+φ的图像,又函数g (x )为奇函数,故g (x )=-g (-x ),又函数g (x )的图像关于x =-π4对称,所以g (x )=g -π2-x,所以g -π2-x=-g (x ),所以函数g (x )的周期为π,所以ω=2πT =2,又函数g (x )为奇函数,所以2π3+φ=k π+π2,所以φ=k π-π6,又φ<π2,所以φ=-π6,所以f x =c o s 2x -π6,令2k π-πɤ2x -π6ɤ2k π,得k π-5π12ɤx ɤk π+π12,k ɪZ ,所以函数f x =c o s 2x -π6的单调递增区间为k π-5π12,k π+π12(k ɪZ ),当k =0时,函数f x =c o s 2x -π6的单调递增区间为-5π12,π12,当k =1时,函数f x =c o s 2x -π6 的单调递增区间为7π12,13π12 ,因为2π3,π ⊆7π12,13π12,所以函数f x =c o s 2x -π6 在区间2π3,π上为增函数,故A 正确;因为函数f x=c o s 2x -π6关于直线x =π12对称,所以f 12 =f π6-12 ,又函数f (x )在区间-5π12,π12上是增函数,所以f π6-12 >f (0),即f 12 >f (0),故C 正确;f π2=c o s π-π6 =-c o s π6=-32,故B 正确;因为π3>1,所以-π3<-1,结合函数f x=c o s 2x -π6在区间-5π12,π12上是增函数,可得f-π3<f (-1),又f -π3=-f (0),所以-f (0)<f (-1),即f (-1)+f (0)>0,故D 错误㊂11.C 提示:因为O 为F 1F 2的中点,则S әO P F 1=S әO P F 2=2S әO P Q ,即S әO P Q S әO P F 1=P QP F 1=12,所以P Q =12P F 1,所以Q 为线段P F 1的中点,由题图可知,直线O P 的方程为y =ba x ,因为P F 2ʅO P ,所以直线P F 2的方程为y =-abx -c,联立y =b ax ,y =-ab x -c,解得x =a 2c,y =a bc,即P 的坐标为a 2c ,a b c,因为点F 1-c ,0,所以点Q 的坐标为-b 22c ,a b 2c,又点Q 在直线y =-b a x上,则有a b 2c =b a ㊃b22c ,即b =a ,因此该双曲线的渐近线方程为y =ʃx ㊂12.D 提示:由f (x )+g '(x )=1,f (x )-g'(4-x )=1,得g '(x )=-g '(4-x ),则g (x )+C 1=g (4-x )+C 2(C 1与C 2为常数),令x =2,则g (2)+C 1=g (2)+C 2,所以C 1=C 2,则g (x )=g (4-x ),故g (x )的图像关于直线x =2对称,故②正确;因为g (x )为偶函数,则g (x )=g (-x ),g'(x )=-g'(-x ),则g '(x )为奇函数,故g '(x )=-g'(4-x )=g '(x -4),即g '(x +4)=g'(x ),则g '(x )是以4为周期的周期函数,由g '(x )=-g'(4-x ),令x =2,则g '(2)=-g'(2),即g '(2)=0,故g '(2022)=g '(2)=0,故①正确;由g '(x )=-g '(4-x ),令x =1,则g '(1)=-g'(3),即g '(1)+g '(3)=0,令x =0,则g '(0)=-g '(4)=0,即g '(4)=0,故g '(1)+g '(2)+g '(3)+g'(4)=0,则g '(4k +1)+g '(4k +2)+g'(4k +3)+g'(4k +4)=0(k ɪN ),由f (x )+g '(x )=1,即f (x )=1-g '(x ),得ð2022k =1f (k )=ð2022k =11-g '(k ) =2022-ð2022k =1g'(k )=2022-g '(1)+g '(2) =2022-g '(1),由于无法得出g '(1)的值,故③错误;ð2023k =1f (k )=ð2023k =11-g '(k )=2023-ð2023k =1g '(k )=2023-[g '(1)+g '(2)+g'(3)]=2023,故④正确㊂二、填空题13.91014.x =0㊂答案不唯一,y =33x -1也满足㊂15.[1,3) 提示:由题意知可设P (-2,m ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知点A 处的斜率不为0,设点A 处的切线方程为y -y 1=k (x -x 1),联立y -y 1=k x -x 1 ,y 2=4x ,消去x得y 2-4k y +4y 1k-4x 1=0,由Δ=0得k =2y 1,所以A 处的切线方程为2x -y 1y +2x 1=0,因为切线过点P -2,m ,所以-4-y 1m +2x 1=0,同理可得点B 处的切线方程为-4-y 2m +2x 2=0,所以直线A B 的方程为-4-y m +2x =0,则直线A B 过定点N (2,0),由题意MH ʅA B ,即MH ʅHN ,故点H 的轨迹是以MN 为直径的圆,又点H 与点M 不重合,故点H 的轨迹是以MN 为直径的圆去掉点M ,其方程为(x -3)2+y 2=1(x ʂ4),又点F (1,0)在圆外,故F H 的最小值为F N =1,F H 的最大值为F M =3,故F H 的取值范围为[1,3)㊂16.[4e ,+ɕ) 提示:由已知得a >0,(a x -4)l n x <2l n a -a x l n 2⇒a x l n (2x )<2(l n a +2l n x )⇒a x l n (2x )2<l n (a x 2)⇒l n (2x )2x <l n (a x 2)a x2㊂令f (x )=l n xx ,所以f (2x )<f (a x 2),求导得f '(x )=1-l n x x2,所以f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减,且当0<x <1时f (x )<0;当x >1时,f (x )>0㊂因为x ɪ12е,12,所以2x ɪ1е,1,所以f (2x )<0,由f (2x )<f (a x 2)及f (x )=l n x x 的图像可知,2x <a x 2恒成立,即a >2x 成立,而2xɪ(4,4e ),所以a ȡ4е㊂三、解答题17.(1)由s i n A +s i n C2=s i n 2B +3s i n A s i n C ,得s i n 2A +2s i n A s i n C +s i n 2C=s i n 2B +3s i n A s i nC ,即s i n 2A +s i n 2C -s i n 2B =s i n A s i nC ,由正弦定理得a 2+c 2-b 2=a c ,由余弦定理得c o s B =a 2+c 2-b 22a c=a c 2a c =12,又因为B ɪ0,π,所以B =π3㊂(2)已知6a =2b +3c ,由正弦定理得6s i n A =2s i n B +3s i n C ,所以6s i n A =2s i n π3+3s i n π3+A,展开整理化简得s i n A -π6=13㊂又因为A ɪ0,2π3,所以A -π6ɪ-π6,π2㊂所以c o s A -π6 =1-132=223㊂所以s i n A =s i n A -π6+π6 =s i n A -π6 c o s π6+c o s A -π6 s i nπ6=13ˑ32+223ˑ12=22+36㊂18.(1)延长B A ,C D 相交于点E ,连接S E ,则S E 为平面S C D 与平面S B A 的交线l ㊂由平面S A B ʅ平面A B C D ,B A ʅA D ,A D ⊂平面ABCD ,且平面S A B ɘ平面A B C D =A B ,所以A D ʅ平面S A B ㊂又A DʊB C ,所以B C ʅ平面S A B ㊂因为S E ⊂平面S A B ,所以B C ʅS E ,所以B C ʅl ㊂(2)由(1)知S A ʅA B ,A D ʅA B ,SA ʅA D ,以A 为坐标原点,A D ,AB ,A S 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐图5标系A -x y z ,如图5所示,可得A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D 12,0,0,S (0,0,1),则B D ң=12,-1,0 ㊂设S Q ң=λS C (其中0<λ<1),则Q (λ,λ,1-λ),所以B Q ң=(λ,λ-1,1-λ)㊂设平面Q B D 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃B D ң=12x -y =0,n ㊃B Q ң=λx +λ-1 y +1-λz =0,令x =2,得y =1,z =1-3λ1-λ,所以n =2,1,1-3λ1-λ ㊂因为S A ʅ平面B D C ,所以平面B D C 的一个法向量为m =0,0,1㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=1-3λ1-λ5+1-3λ1-λ2㊃1=66,解得λ=12㊂所以存在Q 为S C 的中点时,使得二面角Q B D C 的余弦值为66㊂19.(1)根据表格数据可得, x =15(6+6.2+6.4+6.6+6.8)=6.4, y=15(50+45+45+40+35)=43,所以^b =ði =1nx i yi-n x yði =1nx2i-nx 2=1369-5ˑ6.4ˑ43205.2-5ˑ6.42=-17.5,^a = y -^b x=43-(-17.5)ˑ6.4=155,故经验回归方程为^y =-17.5x +155㊂(2)由题意知η的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,由于顾客人数很多,可近似认为η服从二项分布,即η~B 8,12,P (η=k )=C k812k128-k=C k828,其中k ɪ{0,1,2,3,4,5,6,7,8}㊂故P (η=0)=C 0828=1256;P (η=1)=C 1828=132;P (η=2)=C 2828=764;P (η=3)=C 3828=732;P (η=4)=C 4828=35128;P (η=5)=C 5828=732;P (η=6)=C 6828=764;P (η=7)=C 7828=132;P (η=8)=C 8828=1256㊂所以η的分布列为表1:表1η12345678P1256132764732351287327641321256故E (η)=8ˑ12=4㊂20.(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0,则Dx 0-22,y 02,所以k A C ㊃k O D =y 0x 0+2㊃y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14㊂因为A C =5,所以点C 在圆(x +2)2+y 2=5上,又点C 在椭圆x 24+y 2=1上,所以点C x 0,y 0满足(x +2)2+y 2=5,x 24+y 2=1,消去y 整理得34x 2+4x =0,解得x 0=0,或x 0=-163<-2(舍去),又点C 在x 轴上方,所以C 0,1,所以直线A C 的斜率为12,故直线O D 的斜率为-12,所以直线A C 与直线O D 关于y 轴对称㊂设直线A C 的倾斜角θ,则c o s øP O M =c o s 2π2-θ=-co s 2θ=s i n 2θ-c o s 2θ=s i n 2θ-c o s 2θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n 2θ-1t a n 2θ+1=-35㊂(2)由题意知,直线MN 的斜率存在㊂设直线MN 的斜率为k ,k >0,则直线MN :y =k x ,直线P Q :y =-14kx ㊂设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立y =k x ,x 24+y 2=1,消去y 整理得x 2=44k 2+1,所以MN2=1+k 2164k 2+1㊂同理P Q2=1+116k2114k2+1=416k 2+14k 2+1㊂所以|MN |2㊃|P Q |2=16(4k 2+4)(16k 2+1)(4k 2+1)2ɤ164k 2+4+16k 2+1224k 2+12=100㊂所以MN ㊃P Q ɤ10,当且仅当4k 2+4=16k 2+1,即k =12时,等号成立,所以P Q ㊃MN 的最大值为10㊂21.(1)当a =1时,f'(x )=(x +1)㊃(e x-1),令f '(x )>0,解得x >0或x <-1;令f '(x )<0,解得-1<x <0㊂故f (x )在区间(-ɕ,-1),(0,+ɕ)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减㊂所以f (x )的极大值是f (-1)=e -22e,极小值是f (0)=0㊂(2)求导得f '(x )=(x +1)(e x-a ),当x ɪ[0,2]时,e xɪ[1,e 2],且f (2)=2e 2-4a ,f (0)=0,对任意的x 1,x 2ɪ[0,2],恒有f (x 1)-f (x 2)ɤa +2e 2等价于f (x )m a x-f (x )m i n ɤa +2e 2㊂若a ɤ1,则e x-a ȡ0,故f '(x )ȡ0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递增,故f(x)m a x -f(x)m i n=f(2)-f(0)=2e2-4aɤa+ 2e2,解得0ɤaɤ1㊂若aȡe2,则e x-aɤ0,故f'(x)ɤ0,所以f(x)在区间[0,2]上单调递减,故f(x)m a x -f(x)m i n=f(0)-f(2)=4a-2e2ɤa+ 2e2,解得e2ɤaɤ43e2㊂若1<a<e2,由f'(x)=(x+1)㊃(e x-a)>0,解得l n a<xɤ2,故f(x)在区间(l n a,2]上单调递增;由f'(x)=(x+1)㊃(e x-a)<0,解得0ɤx<l n a,故f(x)在区间[0,l n a)上单调递减㊂所以f(x)m i n=f(l n a)= -12a(l n a)2,f(x)m a x=f(2)或f(0)㊂又f(2)-f(0)=2e2-4a,当1<aɤe22时,f(2)-f(0)ȡ0,故f(x)m a x-f(x)m i n= f(2)-f(l n a)=2e2-4a+12a(l n a)2ɤa+2e2,解得0<aɤe10,又1<aɤe22,故1<aɤe22㊂当e22<a<e2时,f(2)-f(0)<0,故f(x)m a x-f(x)m i n=f(0)-f(l n a)=12a㊃(l n a)2ɤa+2e2,令h(a)=12a(l n a)2-a -2e2,则h'(a)=12(l n a)2+l n a-1,又l n aɪ(2-l n2,2),故h'(a)>0,即h(a)在区间e22,e2上单调递增,又h(e2)=-e2< 0,则12a(l n a)2ɤa+2e2恒成立㊂综上可得,0ɤaɤ43e2㊂22.(1)由M的参数方程可得(x-1)2+ (y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y=3,所以ρ2-2ρc o sθ-2ρs i nθ=3㊂由题设知,直线l1:y=t a nα㊃x,故直线l1的极坐标方程为θ=αρɪR㊂又l2ʅl1,所以直线l2的极坐标方程为θ=α+π2,ρɪR,αɪ0,π2㊂(2)记ρ1=O A,ρ2=O B,ρ3= O C,ρ4=O D,联立直线l1与曲线M的极坐标方程得ρ2-2ρc o sα+s i nα-3=0,所以ρ1+ρ3=2c o sα+s i nα,ρ1ρ3=-3㊂同理联立直线l2与曲线M的极坐标方程得ρ2+ρ4=2(c o sα-s i nα),ρ2ρ4=-3㊂所以|A B|2+|B C|2+|C D|2+|D A|2 =2(ρ21+ρ22+ρ23+ρ24)=2{[(ρ1+ρ3)2-2ρ1ρ3]+[(ρ2+ρ4)2-2ρ2ρ4]}=2ˑ20=40㊂23.(1)由f(1)=1得a+b+c=1,因为3(a+b+c)=[(a)2+(b)2+(c)2](12 +12+12)=3,由柯西不等式得3= (a)2+(b)2+(c)212+12+12ȡ(a+b+c)2,当且仅当a=b=c=13时,等号成立,所以a+b+cɤ3㊂(2)由f xȡ2a x+b得a x2+ b-2a x+c-bȡ0,由题意知, a>0,Δ=(b-2a)2-4a c-bɤ0,则b2ɤ4a c-4a2,所以b2a2+c2ɤ4a c-4a2a2+c2=4ca-41+c2a2=4c a-1ca-12+2ca-1+2㊂因为4a c-4a2=4a c-aȡb2ȡ0,又a >0,所以cȡa,则c a-1ȡ0㊂令t=c a-1,则tȡ0,设g t=4tt2+2t+2tȡ0,当t=0时,g t=0;当t>0时,g t=4t+2t+2ɤ42t㊃2t+2=22-2,当且仅当t=2时,等号成立,所以b2a2+c2的最大值为22-2㊂(责任编辑王福华)。
2020-2021学年最新⾼考总复习数学（理）⾼三第七次模拟试题及答案解析最新级⾼三第七次模拟考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试⽤时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．注意事项：１. 第Ⅰ卷每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的⽆效．２. 第Ⅱ卷必须⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使⽤涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案⽆效．第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合要求的．1、已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B =I ( ) A ．{|01}x x << B ．{|0}x x >C ．{|1}x x >D ．{|1}x x <2. 复数=-+i i123（） A ．i 2521+ B ．i 2521- C ．i 2521+- D ．i 521--3. 某⼏何体的三视图如图所⽰，其俯视图是由⼀个半圆与其直径组成的图形，则此⼏何体的体积是（） A ．20π3 B ．6πC ．10π3 D ．16π3 4.设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（）①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到⼀个偶函数的图象；④()f x 的最⼩正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B .②④ C. ①③④D .③5. 甲⼄两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所⽰，1x ，2x 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A ．1212,x x s s >< B ． 1212,x x s s == C ．1212,x x s s =6.函数cos ln xy x=的图象是（） 3275538712455698210⼄甲7.若在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最⼩值时的常数项为（） A ．1352- B ． 135- C ．1352 D ．1358．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ?，若边1MF 的中点在双曲线上，则此双曲线的离⼼率是 ( )A ．423+ B.31- C.312+ D.31+ 9.已知实数y x ,满⾜??≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（）A ． ]31,1[- B.)1,21[-C.]31,21[-D. ),21[+∞- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()() 0.30.333a f =?，()()log 3log 3b f ππ=?，3311log log 99c f ?=，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是（）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第II 卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题5分，共25分． 11．若等⽐数列}{n a 的⾸项是32，且dx x a )21(414+?=，则公⽐等于． 12．执⾏右边的程序框图，输出的结果是．13．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o，点E 为线段CD 上的任意⼀点，则AE BD ?u u u r u u u r的最⼤值为．14. 已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(1x f -,且有，8)()(11=?--b f a f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最⼩值为．15. 给出下列四个命题：①命题“2,13x R x x ?∈+>”的否定是“2,13x R x x ?∈+≤”；② “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；④关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是.三、解答题：本⼤题共6⼩题，共75分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤． 16（本题满分12分）已知函数n m x f ?=)(,且(sin cos ,3cos )m x x x ωωω=+u r, (cos sin ,2sin )n x x x ωωω=-r ,其中0>ω,若函数)(x f 相邻两对称轴的距离⼤于等于2π.（1）求ω的取值范围；（2）在锐⾓三⾓形ABC ?中，c b a ,,分别是⾓C B A ,,的对边，当ω最⼤时，1)(=A f ，且3=a ，求b +c 的取值范围．17（本题满分12分）为增强市民的节能环保意识,某市⾯向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直⽅图如图所⽰,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直⽅图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的⼈数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采⽤分层抽样的⽅法抽取20名参加中⼼⼴场的宣传活动,再从这20名中采⽤简单随机抽样⽅法选取3名志愿者担任主要负责⼈.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的⼈数为X ,求X 的分布列及数学期望. 18（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底⾯ABCD 是菱形，ο60=∠ABC ，2==PC AB ,2==PD PA ．（I ）求证：ABCD PAD 平⾯平⾯⊥；（II ）求⼆⾯⾓A PC B --的余弦值．19. （本题满分12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，111()12n n n f n a a a n=++++++…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<． 20（本题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离⼼率为21，长轴12A A ,短轴12B B ,四边形1122A B A B 的⾯积为43．（1）求椭圆的⽅程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于P Q 、,直线12,A P A Q M 与交于12AQ A P N 与交于．(i) 证明：MN x ⊥轴，并求直线MN 的⽅程；（ii ）证明：以MN 为直径的圆过右焦点F ．21（本题满分14分）已知函数()()ln 1x f x x +=．（1）当0x >时，求证： ()22f x x >+；（2）当10x x >-≠且时，()11kxf x x+<+恒成⽴，求实数k 的值．三、解答题16、解析：（1）x x x x n m x f ωωωωcos sin 32sin cos)(22+-=?= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x ……………………2分22π≥T Θπ≥∴T 10≤<∴ω…………………………4分（2）当ω最⼤时，即1=ω，此时)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分1)(=A f Θ1)62sin(2=+∴πA 3π=∴A …………………………7分由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πC c B b A a B b sin 2=∴,C c sin 2=B C b c sin 2sin 2+=+∴B C B B sin 3cos 3sin 2)32sin(2+=+-=π)6sin(32π+=B …………………………9分B在锐⾓三⾓形ABC ?中,<<<<2020ππC B 即<-<<<232020πππB B 得26ππ<<B …………10分3263πππ<+<∴B 1)6sin(23≤+<∴πB 32)6sin(323≤+<∴πB c b +∴的取值范围为]32,3(…………………………12分17、解:(I)∵⼩矩形的⾯积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x ………………2分500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的⼈数为150500506.0=??(⼈). …………4分(II)⽤分层抽样的⽅法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的⼈有12名, “年龄不低于35岁”的⼈有8名. ……………………6分故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , ………………10分故X 所以5739529512850?+?+?+?=EX 18、解：（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO 0,60PA PD ABCD ABC =∠=为菱形， ,ABC ACD ??都是正三⾓形,PO AD CO AD ⊥⊥------------2分 POC ∠是⼆⾯⾓P AD C --的平⾯⾓21,PA PD AD AC CD PO =====∴=Q 222PC PO OC PO OC =+∴⊥，090AOD ∠= 所以，PAD ABCD ⊥⾯平⾯-------------------5分（2）建系 {,,}OC OD OP u u u r u u u r u u u r,所以 ()())()0,1,0,0,1,0,,0,0,1A D C P - ()()(0,2,0,1,0CP BC AD CA ====-u u u r u u u r u u u r u u u r设平⾯APC 的法向量为()1,,n x y z =u r()1301,3,330x z n x y ?-+=??=-?--=??u r……………………8分设平⾯BPC 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2301,0,320x z n y ?-+=??=?=??u ur ,-------------------------------------------10分设⼆⾯⾓A PC B --的⼤⼩为θ，1227cos |cos ,|27n n θ=<>==u r u u r -----12分（3）111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++ (111)1n n n n<+++=1442443项………………………………9分由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++ 故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分综上可知7()112f n ≤<……………………12分 20、解（1）22133,24b b e a =∴==Q 即11224323A B A B S ab ==------------------------------------2分2,3a b ==，椭圆⽅程为22143x y +=----------------------3分同理可得:4N x =,MN x ⊥轴，直线MN 的⽅程为4x =………………10分 (ii)1212664, ,4,22y y M N x x ?++()()()()121212123636992233y y y y FM FN x x my my ?=+=+++++u u u u r u u u r()212221212222229363634999639393434369909182736y y m m m m y y m y y m m m m m m -?+=+=+--+++++++?=-=--++………………12分 FM FN ⊥,以MN 为直径的圆过定点F .……………………13分21、解：（1）0x >， ()()22ln 122x f x x x x >?+>++--------------1分()()()()()()222214ln 1'021212x x g x x g x x x x x x =+-∴=-=>+++++-------3分 ()g x 递增，所以()()00g x g >=，所以()2ln 12xx x +>+-------------------4分（2）当10x -<<不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++->+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，因为110,011,11x x x -<<<+<∴>+ 若1212k k ≤≤即，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h <=()h x ↓，()()00h x h >=----------------------------------------------7分若21k >，存在()01,0x ∈-，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()0,0x x ∈，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h <=这与()()21ln 1x x x kx ++->⽭盾-------------9分当0x >不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++-<+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，10,11,011x x x >+>∴<<+若1212k k ≥≥即，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=，所以不等式成⽴---------------------------12分若21k <，存在()00,x ∈+∞，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()00,x x ∈，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h >=这与()()21ln 1x x x kx ++-<⽭盾综上所述：()()111110,;0,1212kx kx x f x k x f x k x x ++-<<<≥>2k =----------------------14分。
〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题七及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集R U =，集合}03|{},0)1)(2(|{<≤-=>-+=x x B x x x A ，则)(B C A U 为(A)}02|{≥-<x x x 或(B) }12|{>-<x x x 或(C)}03|{≥-<x x x 或(D) }13|{>-<x x x 或 2. 已知R a ∈，且iia -+-1为实数，则a 等于 (A) 1 (B) 1- (C)2 (D)2-3.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(D)83 4. 命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是(A)若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 (B)若11<<-x ，则12<x (C)若11-<>x x ，或，则12>x (D)若11-≤≥x x ，或，则12≥x5.当x y 、满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)5 6. 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为(A)π23(B) π32(C)6π(D)34π俯视图7.对变量,x y 有观测数据(,)(1,2,,10)i i x y i =，得散点图1；对变量,u v 有观测数据(,)(1,2,,10)i i u v i =，得散点图2. 由这两个散点图可以判断.（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关8. 如图，是一个计算1922221++++ 的程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的(A)i 19≥ (B) i 20≥ (C)i 19≤(D)i 20≤9. 已知函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 是R 上的偶函数，则ϕ的值为(A)6π (B) 3π (C) 32π (D) 65π 10.已知ABC ∆的三边长为c b a 、、，满足直线0=++c by ax 与圆122=+y x 相离，则ABC ∆是(A )锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 以上情况都有可能 11.已知集合}),()(|)({R x x f x f x f M ∈=-=，}),()(|)({R x x f x f x f N ∈-=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f P ∈+=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f Q ∈+-=-=，若R x x x f ∈-=,)1()(3，则(A)M x f ∈)( (B) N x f ∈)( (C)P x f ∈)( (D)Q x f ∈)(12.王先生购买了一步手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）网络 月租费 本地话费 长途话费甲：联通130 12元0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.(A) 300秒 (B) 400秒(C) 500秒(D) 600秒二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则=λ． 14．ΔABC 中，3=a ，2=b ， 45=∠B ，则A ∠= .15.考察下列三个命题，是否需要在“”处添加一个条件，才能构成真命题（其中m l ,为直线，βα,为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“”划掉.①αα//_____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂②αα//_____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫③αβαβ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥l l _____// 16. 若从点O 所做的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2，与点N 1，N 2，则面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆⋅=⋅.若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ ，OR 上分别有点P 1，P 2，Q 1，Q 2，R 1，R 2，则能推导出的结论是. 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知函数.cos 2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8,AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积． 19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率.20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线. （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解+析+式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值． 22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ． 参考答案一．选择题：AACDD CCBAC DB1. 详细分析： A.{|12}A x x x =><-或;{|03}U C B x x x =≥<-或，得{|02}U A C B x x x =≥<-或.2. 详细分析：A.2()(1)111122a i a i i a ai i i -+-++---==+--，∴1a =. 3. 详细分析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为323⨯=，其体积1432233V =⨯⨯⨯=.4. 详细分析：D.“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，易知应选D.5. 详细分析：D.如图，易求点B 的坐标为（2，3），所以当2,3x y ==时t 取最大值5.6. 详细分析：C. 最大球为正方体的内切球，则内切球的半径为12，341()326V ππ=⋅=.7. 详细分析：C.由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C. 8. 详细分析：B.当1922221++++ 时，19=i ，而1i i =+，此时20i =，输出S 为1922221++++ . 9. 详细分析：A .)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f =132(sin(2)cos(2))2x x φφ+++ =2sin(2)3x πφ++；∵()f x 为偶函数，∴()32k k Z ππφπ+=+∈，又∵0φπ<<，∴6πφ=.10. 详细分析：C. 根据题意，圆心（0，0）到直线0=++c by ax 的距离1d =>，∴222c a b >+，故选C.11. 详细分析：D. ()f x M ∈，则函数()f x 关于y 轴对称；()f x N ∈，则函数()f x 关于原点对称；()f x P ∈，则函数()f x 关于直线1x =对称；()f x Q ∈，则函数()f x 关于(1,0)中心对称；3()(1),f x x x R =-∈关于（1，0）中心对称，故选D.12. 详细分析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 二．填空题：13.2；14.3π或32π；15.α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）；16. 体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.13. 详细分析：2.a b λ+=（ ）322++λλ，，a b λ+与向量(47)c =--，共线，则0)4()32()7()2(=-⋅+--⋅+λλ，解得=λ 2.14. 详细分析：3π或32π. 45sin 2sin 3sin sin =⇒=A Bb A a 23sin =⇒A ，A∠=3π或32π. 15. 详细分析：α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.根据线面平行和线面垂直的判定定理，3个位置依次填α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）. 16. 详细分析：根据结论11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆⋅=⋅可类比得到，在空间中有体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.三．解答题17. （本小题满分12分）已知函数.cos 2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 解：（Ⅰ）x x x x f 2cos 2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 6sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ--------------1分12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx --------------------------------------3分ππωπ===22||2T ----------------------5分 Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ,Z k k x k ∈+≤≤+-∴,63ππππ，函数)(x f 的递增区间是Z k k k ∈++-∴],6,3[ππππ--------------------7分（Ⅱ）由()2f x ≥ 得2sin(2)126x π++≥，21)62sin(≥+∴πx πππππ6526262+≤+≤+∴k x k )(Z k ∈----------------------------9分)(3Z k k x k ∈+≤≤∴πππ ，2)(≥∴x f 的x 的取值范围是},3|{Z k k x k x ∈+≤≤πππ----------------12分18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8,AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．证明：（Ⅰ）AB =54，BD =8, AD =4,则AB 2 =BD 2+AD 2.∴BD ⊥AD .------------------------------------------2分设AD 的中点为E ，连接AE ，因为PAD ∆是等边三角形，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，-----------------------4分 BD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥BD .E PE AD =⋂，∴BD ⊥平面PAD BD ⊂平面BDM ，∴平面MBD ⊥平面PAD .-------- ------------------6分解（Ⅱ）3223==AD PE ，-------------------8分 ABCD S 梯形==+∆∆BCD ABD S S ABD ABD ABD S S S ∆∆∆=+2321 =2484432123=⋅⋅=⋅⋅⋅DB AD .---------------------------------------------10分 316322431=⋅⋅=-ABCD P V ---------------------------------------------12分19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率.解：（Ⅰ）分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b 全部可能的基本结果有：（-1，-2），（-1，-1），（-1,1），（-1，2），(-1，3)，(1，-2)，（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，1),，（3，2)，（3，3）.共20个基本结果.-------------------------------------------------------------------------------3分函数14)(2+-=bx ax x f 的对称轴abx 2=，要使函数)(x f 在),1[+∞上是增函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>120ab a ，------------------------------------------------------------------4分于是满足条件的基本结果为：（1，-2），（1，-1），（2，-2），（2，-1），（2，1），（3，-2），（3，-1），（3，1）共8个.函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率52208==P .-----------6分 （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 所表示的区域如图OAB ∆所示，从区域内取点且函数)(x f y =在),1[+∞上是增函数需满足的条件⎪⎩⎪⎨⎧≤>>200x y y x 如图阴影部分OAC ∆所示.----------------------------- ---------------------9分解⎪⎩⎪⎨⎧==+28x y y x 得C （ ）38,316.--------------------------- ------------------------------------10分函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率OABOACS S P ∆∆=31838==------------------12分 20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线. （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解+析+式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）根据题意，)1()1(),1()1(''g f g f ==；--------------------------------------------------------------2分4)1(,4)(''==g x x g ，又∵a x x f +=2'3)(，----------------------------------------------------------------------3分∴41(3)1(''==+=）g a f ，∴1=a ；21)1(=+=a f ，∴2)1(2)1(==+=g b g ，得0=b .---5分∴函数)(x f 与)(x g 的解+析+式为：x x x f +=3)(，22)(x x g =-----------------------6分（Ⅱ）232)()()(mx x x x g m x f x F -+=⋅-=；143)(2'+-=mx x x F -----------7分 ∵函数)(x F 在区间]3,21[上是减函数，∴0143)(2'≤+-=mx x x F 在区间]3,21[上恒成立.-----------8分⎪⎩⎪⎨⎧≤≤0)3(0)21('F F ‘----------------------------------------------------------------------------------10分=⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯-⨯≤+⨯-⨯013433012144132m m 37≥⇒m . 实数m 的取值范围是),37[+∞∈m ----------------------------------------------12分 21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21λλ==求21λλ+的值．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ；∵241x y =y x 42=⇒的焦点坐标为（0，1），∴1=b .------------------------------------------2分⇒==552a c e 5412222=-=aa a c ，得5=a .-----------------------------4分 ∴所求的椭圆的方程为1522=+y x .---------------------5分 （Ⅱ）因为点），（02F 在椭圆内部，且直线与y 轴相交，所以直线l 不与x 轴垂直，斜率一定存在.设l ：)2(-=x k y -----------------------------------------------------6分则052020)51(15)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k k x y x x k y --------------- ① 设),0(),,(),,(02211y M y x B y x A由①得2221222151520;5120kk x x k k x x +-=+=+，----------------------------------8分 1MA AF λ=即1101111,)(2,)MA x y y AF x y λλ=-==--（得110111,)(2,)x y y x y λ-=--（，111(2)x x λ=-即1112x x λ=-，同理2222x x λ=-----------9分 12λλ+=112x x -+222x x -=121212122()242()x x x x x x x x +--++= ---------12分22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.---------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n n n a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------6分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n n b a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =.---------------------------------------8分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=；得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.---------------------------------------------10分 n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅------------① 2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅---------------------②① - ② 得 213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+--------------------------------------------11分=(21)21n n n -+⋅+-. 所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------14分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 1112n t +-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.-----------------8分。
航天高级中学2021届高三数学上学期第七次模拟试卷理〔扫描版〕七模理科数学参考答案第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B ABBBDCBDBCB【解析】7．1011=0+11p S =+==，，k =2，2<5？是；14123133p S =+==+=，，k =3，3<5？是；413336+362p S =+===，，k =4，4<5？是；31864102105p S =+==+=，，k =5，5<5？否，∴85S =，应选C ． 8．求得交点()A k k ，，(2)B k k -，，(00)C ，，∴2A z k =，B z k =-，0C z =，∵0k ＞， ∴max 212z k ==，∴6k =，∴min 6z k =-=-，应选B ．9．在空间四边形ABCD 中，取AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，那么60BOD ∠=︒，R =OA =OB =OC =OD =2，V =323π，应选D ．10．F (1，0)，准线为x =-1，设准线与x 轴的交点为H ，在△AHF 中，HF =2，AFH PAF ∠=∠60=︒，又AP =PF ，那么△PAF 为等边三角形，PF =AF =4，应选B ．11．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln 1y x y ax ==-，，直线21y ax =-过定点(01)-，，设直线21y ax =-与1y 的切点为00(ln )x x ，，由于11y x'=，所以切线斜率0000ln 1111x a x a x x +====，∴，，当(01)a ∈，时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点，应选C ．12．由()()()()f x g x f x g x ''<得2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，即()()x f x y a g x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得152a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或者12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2xf xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭*N 即1()2nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭*N ，其前n 项和为111221631126412nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-，整理得11264n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得6n =，应选B ．第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕【解析】13．由17n +=，得n =6，应用二项式定理，得展开式的常数项为4422561C ()15T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．由，得1111212222f ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是511122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 15．由2y x =，得0)y x =≥，那么面积为1312320212111()d 33333A S S x x x x x Ω⎛⎫==-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，，于是概率为13A S S Ω=． 16．由函数32115()33212f x x x x =-+-，得2()3f x x x '=-+，那么()21f x x ''=-，令()0f x ''=，得12x =，代回原函数，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故对称中心为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18．〔本小题满分是12分〕 〔Ⅰ〕证明：连接AC ，∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为BD 的中点，∴AC ∩BD =E ，∴E 为AC 的中点． 又∵F 为PC 的中点，∴EF 是△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ． 又∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ．…………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕解：如图1，连接AM 和DM ，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，且PD ⊥BD ，又∵AD ⊥BD ，PD BD D =，∴AD ⊥平面PDB ，图1又∵MD ⊂平面PDB ， ∴AD ⊥MD ， 又∵AD ⊥BD ，∴∠MDB 是二面角M AD B --的平面角，∴∠MDB =45°．…………………………〔8分〕 在△PDB 中，∵PD ⊥BD ，PD =BD ，∠MDB =45°，∴M 是PB 的中点，∴2λ=．…………………………………………………………〔12分〕 19．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………〔2分〕 〔Ⅱ〕901+804+70660650240190==7120x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+甲，902+803+705605503402100==7020x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+乙，∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………〔6分〕〔III 〕ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为14，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为14，4381(0)4256P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 3121327(1)2C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22221122131327(2)2+C C 4444128P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 221221133(3)2C C 44464P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(4)4256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴ξ的分布列为：……………………………………………………………………………………〔11分〕8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………〔12分〕20．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕在12AF F △中，由1260F AF ∠=︒，12AF AF a ==， 得12AF F △是等边三角形，那么2a c =，于是椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由12c e a ==，得2a c =，那么b =，于是椭圆C ：2222143x y c c +=．又由右焦点2(0)F c ，及斜率tan 451k =︒=，得直线l y x c =-：．联立，得2223412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，，消去y ，得227880x cx c --=． 运用韦达定理，得212128877x x c x x c +==-，．…………………………………………〔8分〕设1122()()M x y N x y ，，，，且1(0)F c -，， 那么111122()()MF NF c x y c x y ⋅=------，，21212121212()()()()()()22c x c x y y c x c x x c x c x x c =+++=+++--=+222162277c c c =-+=-，而112MF NF ⋅=-，即2227c -=-，于是27c c ==，所求椭圆C 的方程为2212821x y +=．……………………………………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕解：函数()f x 的单调递减区间为(1)-∞-，，单调递增区间为[10)-，，(0)+∞，．……………………………………………………………………………………〔2分〕〔Ⅱ〕证明：由()g x 有意义知12x ≥，所以()ln f x x =，令()()()h x g x f x =-，1()h x x'=-，因为22121(1)0x x x x x⇔⇔-⇔-≥≥成1x 成立，所以()0h x '≥，即()()()h x g x f x =-在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数．所以min 11111()ln ln 2022222h x h ⎛⎫==--=->= ⎪⎝⎭，所以()()g x f x >， 即曲线()f x 与()g x=12没有公一共点．…………………………………………〔6分〕〔Ⅲ〕解：当120x x <<或者210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<． 当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为211(2)y x x a -++=11(22)()x x x +-，即211(22)y x x x a =+-+．当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =⋅+-，两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，①，②由①及120x x <<，知110x -<<．由①②得，2111ln 122a x x =+-+211ln(22)1x x =-+-． 设21111()ln(22)1(10)h x x x x =-+--<<，那么1111()201h x x x '=-<+． 所以，1()h x 在(10)-，上是减函数，那么1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--．又当1(10)x ∈-，且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．故当函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．……………………………………………………………………………………〔12分〕22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】证明：〔Ⅰ〕如图2，∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC 〔两直线平行内错角相等〕，又∵∠ADB =∠ACB 〔同弧所对圆周角相等〕，∴∠DBC =∠ACB ．在△ABC 和△DCB 中，∵∠BAC =∠CDB 〔同弧所对圆周角相等〕， BC = BC ，∠DBC =∠ACB 〔已证〕，∴△ABC ≌△DCB ．………………………………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕在△AED 和△BAC 中，∵AC ∥ED 〔〕，AD ∥BC 〔〕，∴∠ADE =∠BCA ，图2∠EAD =∠ABC ，∴△AED ∽△BAC ，∴AE DE AB AC=， ∴AE AC AB DE ⋅=⋅．又由〔Ⅰ〕知△ABC ≌△DCB ，∴AB =DC ，AC =BD ，∴DE ·DC ＝AE ·BD ．……………………………………………………………………〔10分〕23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕依题意可得直线l 的直角坐标方程为120x --=，曲线C 的普通方程为221273x y +=．………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕设)P θθ，那么点P 到直线l 的间隔d cos 16θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 3d =． ……………………………………………………………………………………〔10分〕24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】 〔Ⅰ〕解：因为(3)f x k x +=-，所以(3)0f x +≥等价于x k ≤， 由x k ≤有解，得0k ≥，且其解集为{}x k x k -≤≤．又(3)0f x +≥的解集为[11]-，，故k =1．……………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知1a +12b +13c=1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 211123(23)923a b c a b c a b c ⎛⎫++=+++++= ⎪⎝⎭≥．………………………………………………………………………………………〔10分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
