小学四年级奥数(还原法解题)

四年级(上) 教师：胡老师学生：还原问题方法点拨一个数量经过若干次变化成了另一种结果，我们从结果出发根据每一次变化情况，一步步地倒着想，把结果还原成开始状态，这类问题叫还原问题，又叫逆运算问题。

对于简单的，每一次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着推算；对于变化较复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。

快乐学习例1、一个数减24加上15，再乘以8得432，求这个数。

【思路分析】我们可以从最后结果432出发倒着推理。

最后是乘以8得432，如果不乘以8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，那应该是54-15=39；如果不减去24，那应该是39+24=63。

【小试身手】一个数加上3，乘以3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？例2、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三个人书的本数同样多，乙原来比丙多多少本？【思路分析】因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10（本），而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10-3=7（本）。

【小试身手】小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数同样多，小明原来比小航多几个？例3、李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。

李奶奶原来有多少个鸡蛋？【思路分析】根据题意，画出线段图：从图上可以看出，最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为65+10=75（个），那么上午卖出后共剩下鸡蛋75×2=150（个），150个鸡蛋再加上10个就是总数的一半，所以总数的一半为150+10=160（个），李妈妈原有160×2=320（个）鸡蛋。

【小试身手】竹篮内有若干个李子，取它的一半又一枚给第一人，再取余直的一半又两枚给第二人。

竹篮内原有李子多少枚？例4、小红、小青、小宁都喜欢画片。

第十三周还原法解题还原问题也称逆运算问题，是指已知某个数经过加、减、乘、除等运算后所得的结果，反求原数。

解答这类问题，通常利用加与减、乘与除互为逆运算的道理，根据题目叙述的顺序，从结果出发由后向前逆推运算。

本周我们主要学习以下三种解题方法及对应的情况：（1）符号还原：有明显的四则运算关系，可以用流程图表示题意；（2）线段图还原：同一个量的基础上增加或减少；（3）表格还原：多个总量之间相互交换。

符号还原请在正确的结论后面打“√”，错误的结论后面打“×”：（1）□+6=8，□=8-6 （）（2）□-6=8，□=8-6 （）（3）□÷6=8，□=8×6 （）（4）□×2=8，□=8÷2 （）☆用结果倒退求原数时要变号：“+”变“-”，“-”变“+”，“×”变“÷”，“÷”变“×”。

例1.有一位老人说：“把我的年龄加上17用4除，再减去15后用10乘，恰巧是”这位老人今年多少岁？岁。

100．解：图形思想：换个角度想一想：+174÷根据题目计算顺序画出这？然位老人家年龄变化的流程图，10×-15100倒退的时候注意后从结果倒退，还原思想：17-×415+10÷8310025100104-17=83（岁）÷10+15）×（100岁。

答：这位老人今年83乘号变除号，减号变加号，符号法倒退时，从结果入手，加号变减号，方法总结：除号变乘号。

练习一，恰之后，乘以10岁后，缩小4倍，再减去6、当当的爷爷今年的年龄减去115岁。

当当的爷爷今年多少岁？（画出流程图）好是100，乘2，除以85，再加上“用我的年龄减去2、小军问爸爸今年多少岁。

爸爸说：”请算一算，小军的爸爸今年多少岁？岁。

32，正好是4以．张，小丽133、小红、小丽、小敏三个人各有年历卡片若干张。

如果小红给小丽张。

四年级奥数：还原问题还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果,要求原来的数的问题.解答这一类的问题时,要根据题意,从所给的结果出发,抓住逆运算关系,由后向前一步步逆推（倒推法、还原法）,做相反的运算,逐步靠拢已知条件,直到问题得到解决.在解答还原问题时,如果列综合算式,要注意括号的正确使用.典型例题例【1】三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半,第2天又借出43本,还剩32本.小图书箱原有图书多少本？分析经过两天借出图书,小图书最后还剩32本书.由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后）,应有（32＋43）本书,再根据“第1天借出了存书的一半”,可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半,即相当于第1天借出的本数.这样,小图书箱原有的图书本数可求得.解第1天借书后还剩的本数：32＋43＝75（本）原有图书的本数：75×2＝150（本）综合算式：（32＋43）×2＝150（本）答：小图书箱原有图书150本.例【2】某数加上5,乘以5,减去5,除以5,其结果等于5.求这个数.分析从后往前推,原来是加法,推回去是减法；原来是减法,推回去是加法；原来是乘法,推回去是除法；原来是除法,推回去是乘法.从最后一步推起,“除以5,其结果等于5”可以求出被除数：5×5＝30；再看倒数第2步,“减去5”得25,可以求出被减数：25＋5＝30；然后看倒数第3步,“乘以5”得30,可以求出被乘数：30÷5＝6；最后看第1步,“某数加上5”得6,某数为6－5＝1.解 5×5＝2525＋5＝3030÷5＝66－5＝1答：所求的数为1.例【3】小明在做一道加法算式题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正确的结果应是多少？分析要求正确的和,就要知道两个正确的加数.看错的加数是39,因此得到错误的和是123.根据逆运算可得到一个没看错的加数是123－89＝84,题中已知一个正确的加数是85,所以正确的和是85＋84＝169把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和应把4减去；把视为上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和应把50加上去.这样,正确的答案123＋50－4＝169.解一 123－39＋85＝84＋85＝169解二 9－5＝480－30＝50123＋50－4＝169答：正确的答案是169.例【4】仓库里有一批大米.第一天售出的重量比总数的一半少12吨.第二天售出的重量比剩下的一半少12吨,结果还剩下19吨.这个仓库原有大米多少吨？分析如果第二天刚好售出剩下的一半,就应是（19＋12）吨.第一天售出以后剩下的吨数是（19＋12）×2吨.以下类推.解（19＋12）×2＝62（吨）（62－12）×2＝100（吨）答：这个仓库原有大米100吨.小结还原问题是逆解应用题.一般根据加减法或乘除法的互逆运算关系,由题目所叙述的顺序倒过来思考,从最后一个已知条件出发,逆推而上,求得结果.。

四年级奥数还原问题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】第十二讲还原问题还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果，要求最初状态的一类问题。

解答这类问题逆向思维很重要，通常要运用倒推法（还原法），即从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，逐步倒着往前推算，逐步靠拢已知条件，直到问题解决。

[例题与方法]例1某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？试一试：粮库有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？例2小明、小强和小勇三个人共有故事书60本，如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。

这三个人原来各有故事书多少本？试一试：甲、乙、丙三个小朋友共有贺年片90张，如果甲给乙3张后，乙又给丙5张，那么三个人的贺年片张数刚好相同。

问甲乙丙三个小朋友原来各有贺年片多少张？例3甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克，问两桶油原来各有多少千克？试一试：王亮和李强各有画片若干张。

如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮。

这时两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？例4两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到。

乙猴看甲猴拿得太多，就去抢一半，甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半，乙猴不肯，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个，问甲猴最初准备拿几个？试一试：学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽，小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵。

这时小强拿的棵数是小萍的2倍，问最初小强准备拿多少棵？例5袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。

第十一讲解析还原知识要点1、一个因素在经过一些运算后得到一个新的因素，以新的因素为基础按照运算顺序倒退回去，计算原来的因素，这种方法就叫作倒退法或还原法。

这类问题就叫作还原问题。

还原问题又叫作逆推运算问题。

解决这类问题常常利用加减、乘除互为逆运算的道理，根据题意得叙述顺序由后向前逆推计算。

在计算过程中采用相反的运算顺序，逐步逆推。

2、解决还原问题的方法：（1）两个相反：运算顺序和原来相反、运算方法和原来相反。

（2）口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数。

芝麻开门学校学生会组织四年级学生到和平广场参加周末大舞台活动，他们的行走路线是：学校东七大厦汽车东站公交公司和平广场。

活动结束后他们要按原来的线路返回，应该怎么走呢？他们返回的路线应该是：和平广场公交公司汽车东站东七大厦学校。

返回的路线就是按照原来的路线发过来走的，这一现象就是生活中的还原，在数学的世界里也有许多这种类似的还原问题。

经典范例例1 一个数加上6、再乘6，在减6，再除6，结果还是6，这个是多少？思路解析：根据题意可以发现：原来的数 +6 ×6 -6 ÷6=6 。

我们可以从结果出发，反过来运算，先乘以6，再加上6，再除以6，再减去6，就可以得到原来的数了。

解：（6×6+6）÷6-6=（36+6）÷6-6=42÷6-6=7-6=1答：这个数是1.例2 小糊涂阿呆在计算一道加法算式时，把一个加数个位上的6看成了9，把十位上的1看成7，结果得到的和是133，求正确的答案？思路解析：阿呆把一个加数16看成了79，单另一个加数没有看错，可以利用错误的结果减去79，还原出另一个正确的加数133-79=54，然后把两个正确的加数相加就可以了。

解：133-79=5454+16=70答：原来正确的和是70。

例3 甲乙两筐苹果各若干千克，如果从甲筐中取出和乙筐一样多的苹果给乙筐，再从乙筐中取出和现在的甲筐一样多的苹果给甲筐，这是甲乙两筐苹果都刚好是16千克。

还原法解应用题一. 知识点归纳1.问题产生：有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解决时，往往有一定困难。

2.问题的基本条件：a.已知最后的结果。

b.已知在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法。

c.未知的是最初的数据。

3.问题的解决：以问题叙述的终点为起点，利用已知条件一步一步从后向前推理（加减互为逆运算，乘除互为逆运算），逐步靠拢求问题，这就是还原法或倒推法。

具体方法：画图法，列表法，分析法。

二. 例题讲解1.有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰好是100岁。

”这位老人今年多少岁？2.粮店库存面粉若干袋，第一天卖出库存的一半多4袋，第二天卖出剩下的一半少3袋，第三天运进30袋，这时粮店里有面粉50袋。

粮店里原有面粉多少袋？3.甲、乙、丙三人各有图书若干本，开始时甲先拿出自己图书的一部分分给乙、丙，使他们的图书数增加了1倍；然后乙也这样做一次，使甲、丙的图书增加了1倍；最后丙也这样做了一次，使甲、乙的图书数增加了1倍，这时三人的图书数都是32本，甲、乙、丙三人原来各有多少本图书？4.抽屉里有若干个玻璃球，小军每次拿出其中的一半再放回1个，这样一共拿了五次，抽屉中还有3个玻璃球。

原来抽屉中有多少个玻璃球？三. 基础过关选择题1.有一个数乘以4，除以5，减去26，加上62，等于76.这个数是（）A.165B.50C.32D.252.某数乘以9，加上19，再乘以2，除以2等于109，这个数是（）A.39B.100C.10D.203.某数的8倍加上4，一个学生错误地计算成某数的4倍加上8，得出错误结果为108，正确的得数是（）A.204B.250C.210D.1904.一个数经过自加、自减、自乘、自除得到的四位数之和是100，这个数是（）A.7B.8C.9D.105. 一根铁管，第1次截去2米，第2次截去剩下的一半，还剩5米。

这根铁管原来长（）米。

A.12B.7C.8D.106.有一筐苹果，小文拿走全筐苹果数的3份中的一份，小静拿走剩下部分的3份中的一份，小佳拿走再余下的3份中的一份，筐里还剩下苹果32个。

还原问题有些应用题的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着推理，逐步靠拢所求，直到解决问题，这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法（还原法）.下面看一组问题的解答：（1）某数加上1得10，求某数.某数＋1﹦10，某数﹦10－1﹦9.（2）某数减去2得8，求某数.某数－2﹦8，某数﹦8＋2﹦10.（3）某数乘以3得24，求某数.某数×3﹦24，某数﹦24÷3﹦8.（4）某数除以4得6，求某数.某数÷4﹦6某数﹦6×4﹦24例1 一棵石榴树上结有若干石榴，石榴数目减去6，乘以6，加上6，除以6，结果等于6.请你算一算，石榴树上一共有多少个石榴？例2 有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁.”这位老人今年多少岁？随堂练习1（1）某数加上3，乘以5，再减去8，等于12.求某数.（2）耕一块地，第一天耕的比整块地的一半少5公顷，第二天耕的比余下的一半多2公顷，第三天耕了20公顷后还剩下5公顷，这块地有多少公顷？例3 联通公司出售手机，第一个月售出的比总数的一半多20部，第二个月售出的比第一个月剩下的一半多15部，还剩75部.原有手机多少部？例4 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问：正确答案是几？随堂练习2（1）小芳在做一道加法试题时，由于粗心，把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123.正确的答案应是多少？（2）一根电线，第一次用去的比全长的一半少3米，第二次用去的比余下的一半多5米，还剩下7米.这根电线原长多少米？例5 工人们修一段路，第一天修的公路比全长的一半还多2千米，第二天修的比余下的一半还少1千米，还剩20千米没有修.公路的全长是多少千米？例6 A、B、C三个油桶各盛油若干千克，第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这时各桶的油都为16千克.问：A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？随堂练习3（1）仓库里有一批大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨，第二天售出的重量比剩下的一半多12吨，结果还剩下19吨.这个仓库原有大米多少吨？（2）树林中的三棵树上共停有48只鸟，如果有8只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，又有6只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各停有多少只鸟？课后题一、填空题1、某数加2，乘5，再减3得27.这个数是________.2、一个数加上2，乘以2，减去2，除以2，结果还是2，这个数是________.3、做一道整数加法题时，小刚把个位上的7看作1，把十位上的9看作6，结果得出和为136.那么正确的答案应该是_________.4、一根铁管，第1次截去2米，第2次截去剩下的一半，还剩5米.这根铁管原来长_________米.5、有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次取出8个，篮里还剩2个鸡蛋.篮里原来有__________个鸡蛋.6、一个数经过自加、自减、自乘、自除得到的四个数之和是100，这个数是_______.二、选择题7、有一个数乘以4，除以5，减去26，加上62，等于76.这个数是（ ）.(A)165 (B)50 (C) 32 (D)258、有一筐苹果，小文拿走全筐苹果数的，小静拿走余下部分的，小镭拿走再余下的，筐子里还剩下苹果32个.原来有苹果（ ）.(A)108个 (B)864个 (C) 96个 (D)64个9、甲、乙、丙共藏书240册，先从甲处取出与乙处同样多册书给乙，再从乙处取出与丙处同样多册书给丙，最后在从丙处取出与此时甲处同样多册书给甲.经过这样变动后，丙的藏书是甲的3倍，乙是甲的2倍.原来甲、乙、丙各有书的册数为（ ）.(A)75,70,95 (B)70,95,75 (C) 95,75,70 (D)95,70,7510、妈妈买来一批橘子，小刚第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天吃了第二天剩下的一半多1个，这时还剩1个橘子.妈妈买的橘子共（ ）.(A)20个 (B)24个 (C)18个 (D)22个三、简答题11、一个数减去8，加上10，除以7，乘以4，结果是56.这个数是多少？12、两棵树上共有麻雀25只，有5只从第一棵树上飞到第二棵树上，又从第二棵树上飞走7只，这时第一棵树上的麻雀是第二棵树上的2倍.问：原来每棵树上的麻雀各有几只？13、小丽看一本故事书，第一天看了这本书的一半多5页，第二天看了余下的一半多10页，还有8页没看.问：这本故事书共有多少页？14、甲、乙、丙、丁各有若干棋子，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己棋子的一部分以同样的方式分给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这种方式给了甲、丁，最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚.问：原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？。

还原问题【基础再现】已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，其解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫逆推法或还原法，这种问题就是还原问题。

还原问题又叫做逆运算问题。

对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着推算；对于变化较复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。

【典型例题】一、填空题。

1、某数加上2，减去3，乘4，除以5，等于24，这个数是（）。

2、有一个数，把它乘4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。

这个数是（）。

3、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果得60。

这个数是（）。

4、有一根绳子，每次剪下其中的一半多1米，这样共剪了5次，还剩下3米。

这根绳子原来长（）米。

5、在下面的方框中填上适当的数，使等式成立。

（1）[（132-□）+16]÷7×4=80（2）（36×□÷6+98）÷10=14（3）95÷（□×11-3）=5（4）25×25÷（5×□+5）=256、在□里填上同一个数，使算式成立。

□÷□+（□+□-□）=6二、应用题。

1、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。

这个商场原来有洗衣机多少台？2、甲乙两桶油各有若干千克。

如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克，问两桶油原来各有多少千克？3、已知A、B、C、D4个数，它们的和是80，A的5倍、B减去1、C加上5、D的1/2都相等，求A、B、C、D这4个数各是多少。

4、有一筐橘子，每次拿出其中的一半，然后再放回1个，这样连续拿了5次，筐例的橘子还剩下4个。

原来筐里有多少个橘子？5、甲乙丙3个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果3个组所有图书本数刚好相等。

四年级奥数还原问题思维聚焦一个数通过一系列的运算后得到一个答案，求这个数。

也就是已知一个数的变化过程和最后结果，求原来的数，通常称此类问题叫“还原问题”解答“还原问题”一般采用倒推法，简单地说：就是倒过来想。

解答还原问题，我们可以采用从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着想，直到解决问题。

同时也可以利用线段图、表格、示意图等方式来帮助理解题意。

3、典型例题某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5，这个数是多少？思路点拨：从后往前推，原来是加法，推回去是减法；原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法；原来是除法，推回去是乘法。

从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数：5×5＝30；再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数：25＋5＝30；然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数：30÷5＝6；最后看第1步，“某数加上5”得6，某数为6－5＝1。

解答5 × 5 ＝ 3025 ＋ 5 ＝ 3030 ÷ 5 ＝ 66 － 5 ＝ 1答：这个数是1。

4、触类旁通小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。

正确的结果应是多少？思路点拨：要求正确的和，就要知道两个正确的加数。

看错的加数是39，因此得到错误的和是123。

根据逆运算可得到一个没看错的加数是123－39＝84，题中已知一个正确的加数是85。

解答123－39＝8484+85＝169答正确的结果是169。

5、熟能生巧1、一个数减59加上15，再乘以8得432。

求这个数。

2、一个数加上3，乘以3，再减去3，最后除以4，结果还是9。

求这个数。

3、一个数缩小8倍，再缩小4倍得80。

求这个数。

4、一个减24加上15，再乘12得1440，求这个数。

5、小明在做一道减法题时，把被减数十位上的3写成了8，结果得到的差是284，正确的差是多少？6、小马虎在做一道减法题时，把减数十位上的2看着了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？6、小王在做一道减法题时，把减数个位上的3写成了5，结果得到的差是254，正确的差是多少？8、一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。