01_19：反比例函数的意义

17.1.1反比例函数的意义教学目标1.理解并掌握反比例函数的概念.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学重点反比例函数的概念和性质教学难点反比例函数的性质一温故互查两人小组复述，回顾下列知识1 正比例函数的概念及性质2函数y=2x 和y=-2x 的图像和性质二设问导读阅读课本38页至40页，完成下列问题. 1.小学里我们知道：如果两个变量x 、y 满足xy=k(k 为常数，k ≠0)，那么x 、y 就成为反比例关系.例如，速度v 、时间t 与路程s 之间满足vt=s ，如果路程s 一定，那么与时间就成反比例关系.2.一般地，在某一变化过程有两个变量x 和y ，如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有.与它对应，我们就称y 是x 的.其中，x 是自变量，y 是因变量. 3.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位：平方千米/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.(4)上面三个函数关系式形式上有什么共同点?4.形如y=x k (k 是常数，k ≠0)的函数称为，其中x 是，y 是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 5.y=x k，y=kx -1，xy=k 是的三种表现形式.其中k 是常数，k ≠0.三自我检测下列函数中，反比例函数是；每一个反比例函数相应的k 值是多少? (1)y=2x+1(2)y=22x (3)y=x 51(4)y=x 32(5)xy=3 (6)2y=x (7)xy=-1例1已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6.(1)写出y 与x 的函数关系式;(2)求当x=4时y 的值.例2 已知y 与x2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y 等于( ) A.-2B.2C.21D.-4 四巩固训练1.一个矩形的面积为20cm 2，相邻的两条边长分别为xcm 、ycm,那么变量y 是变量x 的函数吗？是反比例函数吗？2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n 的函数吗？是反比例函数吗？五拓展延伸1.当m 时，y=3x m-7是反比例函数.2.如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，那么y 与x 具有怎样的函数关系？小结反思1.根据反比例函数的意义判断是否是反比例函数. 2.求反比例函数的解析式.。

反比例函数几何意义公式摘要：1.反比例函数的定义和几何意义2.反比例函数的几何意义公式3.反比例函数图形与系数的关系4.反比例函数在实际生活中的应用5.总结正文：在我们学习数学的时候，反比例函数是一个重要的知识点。

它不仅具有丰富的理论意义，还在实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍反比例函数的几何意义公式，以及反比例函数图形与系数的关系，帮助大家更好地理解和应用反比例函数。

首先，我们来回顾一下反比例函数的定义。

反比例函数是指形如y = k/x （其中k为常数，x≠0）的函数。

在这个定义中，x和y分别代表自变量和因变量，k为比例系数。

那么，反比例函数的几何意义是什么呢？反比例函数的几何意义在于，它表示了平面上一点到原点的距离与该点到另一固定点的距离的比值。

换句话说，反比例函数描述了平面上一点与原点及另一固定点之间距离的比例关系。

接下来，我们来看一下反比例函数的几何意义公式。

设点P（x，y）到原点O的距离为PO，到固定点A的距离为PA，那么反比例函数的几何意义公式可以表示为：PO / PA = k其中k为反比例函数的比例系数。

根据这个公式，我们可以看出反比例函数图形的几何意义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）与原点O和固定点A 的距离比例为k。

反比例函数图形与系数的关系也非常明显。

当k>0时，反比例函数图形为第一、三象限；当k<0时，反比例函数图形为第二、四象限。

此外，反比例函数图形的分支数量与k有关。

当k>1时，反比例函数图形有两个分支；当0<k<1时，反比例函数图形有四个分支；当k=1时，反比例函数图形为一个点；当k<0时，反比例函数图形无分支。

最后，我们来看一下反比例函数在实际生活中的应用。

反比例函数在实际生活中有很多应用，比如物理中的电磁学、力学等领域，经济学中的成本与收益分析等。

通过了解反比例函数的几何意义和公式，我们可以更好地解决实际问题。

总之，反比例函数是一个既有理论意义又有实际应用的数学知识点。

反比例函数的意义
反比例函数是一种数学函数，其定义为：对于一个变量x，如果存在一个常数k，使得当x取任意非零实数a时，另一变量y都满足关系式y = k/x (k≠0)，那么我们就称y是x 的反比例函数，其中k称为反比例系数。

反比例函数的图像通常为两条双曲线，它们分别位于第一和第三象限以及第二和第四象限。

反比例函数的图像也称为双曲线的两支。

在每一象限内，随着x的增大，y的值会无限接近于0，但永远不会等于0。

反比例函数在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在电学中，电流与电阻之间的关系就是反比例关系，因为当电压一定时，电流与电阻成反比。

在经济学中，反比例关系也经常出现，例如在分析总收入与平均收入的关系时。

反比例函数的概念虽然抽象，但在实际生活中却有着广泛的应用。

理解反比例函数的意义和应用，有助于我们更好地理解和分析各种实际问题。

同时，反比例函数的图像和性质也为我们提供了一种分析和解决问题的新工具。

§26.1.1反比例函数的意义课型：新授 主备：张新年 审核：李军林 时间：2015.3 班级：九年级（ ）班 姓名：【学习目标】1．知识与技能：使学生理解并掌握反比例函数的概念；2．过程与方法：能判断一个函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式；3．情感、态度与价值观：能根据实际问题的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想 【学习重点与难点】重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 难点：理解反比例函数的概念 【教学过程】一、课堂引入：回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？二、新课探究：1、阅读教材第2页的思考中的题目，表示出其函数关系式，分别为 、 、 .●一般的，形如xky =（k 为常数，k ≠0）的函数叫 比例函数，其中x 是自变量，y 是函数。

自变量x 的取值范围是不等于 的一切实数。

(反比例函数的不同形式：①xky = ② xy=k ③y=k 〃x -1)2、例题解析：例1、判断下列等式中哪些是反比例函数,并确定其自变量的取值范围。

（1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y（5）x y 23-= （6）31+=xy （7）y ＝x －4例2、当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ （提示：反比例函数xky =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0））例3、已知y 时x 的反比例函数，当x=2时，y=6 。

（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）求当x=4时的y 的值。

分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设xky =，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。

例4、已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5（1） 求y 与x 的函数关系式（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。

反比例函数历史意义
反比例函数是一种常见的数学函数，在数学和科学领域发挥了重要的作用。

它的历史意义可以追溯到古希腊时期。

最早提出反比例的概念的是古希腊数学家泰勒斯。

他观察到某些物理量的变化趋势与其相关量的变化趋势呈现出相反的关系。

这种关系被后来的数学家称为反比例。

反比例函数的公式可以表示为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数在科学研究中具有广泛的应用。

例如，在物理学领域，牛顿第二定律描述了物体的加速度与施加在它身上的力成反比例关系。

在经济学中，按比例变化的两个变量之间的关系往往是反比例的，例如，成本与产量之间的关系可用反比例函数来描述。

除了在科学和经济领域的应用外，反比例函数在工程学和实践中也是非常有用的。

例如，在电路设计中，电流与电阻之间的关系可以用反比例函数来表示。

在医学中，药物浓度与药物效力之间的关系常常可以用反比例函数来描述。

反比例函数的历史意义在于它提供了一种描述变量之间关系的
方法，尤其是那些呈现出相反趋势的关系。

它的应用范围广泛，不
仅被数学家和科学家使用，还被应用于各个领域的实际问题解决中。

总之，反比例函数在数学和科学领域具有重要的历史意义。

它
提供了一种有效地描述变量之间反比关系的方法，并在物理学、经
济学、工程学和医学等领域发挥着重要的作用。

《反比例函数意义》学习心得体会
学习反比例函数的意义是为了理解和应用这类函数在实际问题中的作用和特点。

在实
际生活中，许多问题都可以用反比例函数来描述，因此理解反比例函数可以帮助我们
解决实际问题。

学习反比例函数的过程中，我了解到反比例函数的图像呈现出的特点是一个双曲线，
其图像与直线x=0、y=0和y=x的交点均为对称点，对于y=k/x型的反比例函数，当
x趋近于0时，y的值会趋近于正无穷大；当x趋近于正无穷大时，y的值会趋近于0。

这些特点让我对反比例函数的图像有了更深刻的理解。

反比例函数在实际问题中的应用非常广泛，例如人体肌肉的力量和关节的运动速度、
邮箱里的信件数量和放信员的速度等等。

通过学习反比例函数，我可以计算出两个变
量之间的关系，根据其中一个变量的大小来推断另一个变量的大小。

除此之外，反比例函数还有许多重要的应用，如电阻和电流的关系、放大器的电压放
大倍数、天平的平衡关系等等。

通过学习反比例函数，我不仅可以理解这些应用在实
际中的意义，还可以应用反比例函数的性质来解决与这些应用相关的问题。

总的来说，学习反比例函数的意义在于帮助我们理解和应用这类函数的特点和性质，
从而解决实际问题并且扩展数学知识。

反比例函数在实际中的广泛应用使得学习反比
例函数成为了我们日常生活中的必备技能之一。

反比例函数的意义各位老师，各位同学：大家好！我是。

今天我说课的内容是人教版数学教科书八年级下第十七章第一节;反比例函数，按照教材编排，本节课分两课时完成，在此，我说第一课时：反比例函数的意义。

下面，我从教材分析，教法和学法，教学过程，板书设计四个部分对本课时的设计进行说明。

先看教材分析第一，教材的地位和作用函数知识是初中代数的核心内容，属于新课标中“数与代数”的领域。

本节课是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上，有别于解析式为整式的一次函数和正比例函数，进一步研究解析式为分式的反比例函数。

通过本小节的学习，让学生感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，同时，本小节的学习内容，直接关系到后续内容的学习，具有承上启下的作用。

第二，教学目标根据课程标准，结合教材特点，我把教学目标定为以下三个方面：首先看知识与技能方面：1、掌握反比例函数的概念；2、能判断一个函数是否为反比例函数；3、能根据问题中的已知条件确定反比例函数的解析式。

过程与方法：让学生经历自主探索、合作交流的学习过程，从而培养学生观察、分析、归纳的综合能力。

探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型。

情感、态度与价值观：使学生体验数学活动充满探索性和创造性，进而培养学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。

第三，再来看教学重点、难点重点：1、掌握反比例函数的概念；2、根据问题中的已知条件确定反比例函数解析式；本节课的难点：1、对反比例函数概念的正确理解；2、能根据问题中的已知条件确定反比例函数的解析式。

再看教法学法：按照新的课程理论和八年级学生的特点，我确定如下教法学法：（1）教法：采用探究式教学法，用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究，主动获取知识。

同时注意与学生已有知识的联系和对比，降低学生对新概念接受的难度，让学生主动参与到整个教学活动中来.（2）学法：本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、对比、归纳的思想方法。

反比例函数的几何意义
反比例函数的几何意义为：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。

表达式为：x 是自变量，y是因变量，y是x的函数。

在 y=k/x（k ≠ 0）这一反比例函数函数当中，要想对系数 k 的几何意义进行全面掌握，就必须掌握以下几点：
第一，应促使学生明确当 y=k/x 这一双曲线距离坐标轴越远时，就会产生越大的 |k| 值；第二，在对一般情况下和
特殊情况下的反比例函数进行分析的过程中，能够对方程所形成的过程产生深刻认知，在此基础上学生才可以灵活
应用反比例函数表达式进行图形面积的计算，在这一过程中，学生可以通过观察图像面积的方式，对反比例函数中 K 值进行确定。

例如，下图例题中“在 y=k/x（k ≠ 0）这一反比例函数函数当中，其中 K 值呈现出重要的几何意义。

即在 y=k/x 这一反比例函数中取P点（P属于任意一点），假设 PM、PN 分别为 P 与 x 轴和 y 轴之间的垂线，在
此基础上形成的 PMON 这一矩形，以 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|，将 O、P 相连，得出 S △ POM=S △ PON=k/2”。