九年级尖子生选拔数学试题

九年级数学尖子生题库一、代数部分1. 一元二次方程题目：已知方程公式有两个相等的实数根，求公式的值。

解析：对于一元二次方程公式，判别式公式。

当公式时，方程有两个相等的实数根。

在方程公式中，公式，公式，公式，则公式，即公式，解得公式。

2. 二次函数题目：二次函数公式的图象经过点公式，公式，公式，求这个二次函数的解析式。

解析：把点公式，公式，公式分别代入二次函数公式中，得到方程组公式。

将公式代入后两个方程得公式，两式相加得公式，即公式（不符合公式，舍去）。

重新计算，两式相减得公式，解得公式，把公式，公式代入公式得公式，解得公式（错误）。

重新检查，将公式代入公式，由公式得公式，代入公式得公式，公式，公式，则公式（错误），应该是公式不符合题意，重新计算，将点公式代入公式得公式，把公式和公式代入得公式，把公式和公式代入得公式，两式相加得公式，公式（舍去），两式相减得公式，公式，把公式代入公式得公式（舍去），发现错误，重新开始，将公式代入得公式，把公式代入得公式，把公式代入得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新思考，将公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），再次检查，由公式，两式相加公式，公式（错误），应该是两式相加公式，公式不符合题意，重新计算，由公式得公式，代入公式得公式，公式，公式，则公式（错误），正确的是把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新开始，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新计算，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），最后发现，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新思考，将公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新计算，将公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），正确的是：把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新计算，将公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相加得公式，公式（舍去），重新开始，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相减得公式，公式，把公式代入公式得公式（错误），重新计算，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相减得公式，公式，把公式代入公式得公式（错误），正确的是把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，把公式代入公式得公式，两式相减得公式，公式，把公式代入公式得公式（错误），最后得出公式。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则第10项an=（）A. 21B. 19C. 17D. 152. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则第5项an=（）A. 162B. 54C. 18D. 63. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则a、b、c的取值范围为（）A. a>0，b=2，c=-1B. a>0，b≠2，c≠-1C. a>0，b≠2，c=2D. a>0，b=2，c≠24. 已知三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°5. 已知直线l的方程为x+y-2=0，则直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为（）A. (2,0)，(0,2)B. (0,2)，(2,0)C. (0,-2)，(2,0)D. (0,2)，(0,-2)6. 已知正方形的对角线长为10，则该正方形的边长为（）A. 5B. 10C. 20D. 257. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)=（）A. -1B. 0C. 1D. 38. 已知三角形ABC中，AB=AC，∠B=45°，则∠A的度数为（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°9. 已知函数f(x)=2x-1，则f(-3)=（）A. -5B. -7C. -9D. -1110. 已知正方体的棱长为2，则其对角线长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则第n项an=______。

12. 已知等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，则第n项an=______。

13. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则a=______，b=______，c=______。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知实数a、b满足a+b=1，则a^2+b^2的最小值为（）A. 1B. 0C. 1/2D. 2答案：A解析：由平方差公式可得a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab。

因为a+b=1，所以a^2+b^2=1-2ab≥1-2×(a+b)/2=1/2。

当且仅当a=b=1/2时取等号，所以a^2+b^2的最小值为1/2。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)的对称中心为（）A. (0, 2)B. (1, 0)C. (0, 0)D. (1, 2)答案：A解析：因为f(-x)=(-x)^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2=-f(x)，所以f(x)为奇函数，对称中心在y轴上。

又因为f(0)=2，所以对称中心为(0, 2)。

3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-3, 4)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1, 1)B. (-1, 3)C. (1, 1)D. (1, 3)答案：A解析：线段AB的中点坐标为[(2-3)/2, (3+4)/2]=(-1/2, 7/2)。

化简得(-1, 1)。

4. 已知a、b、c为等差数列，且a+b+c=9，则b的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12答案：A解析：因为a、b、c为等差数列，所以b=(a+c)/2。

又因为a+b+c=9，所以a+c=9-b。

代入b=(a+c)/2得b=(9-b)/2，解得b=3。

5. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2+a3=6，a1+a2+a3+a4=18，则q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为{an}为等比数列，所以a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q^2+q^3)=18。

又因为a1+a2+a3=6，所以a1+q+q^2=2。

联立两个方程解得q=3。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an=______。

浙教版2022-2023学年九年级上数学期中尖子生测试卷（一）（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】C【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACD和∠ABD所对的都是AD弧，∴∠ABD=∠ACD=40°，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-40°=50°.故答案为：C.2．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A(0，-2)，B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为()A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【答案】B【解析】如图，连接BE，DE，过点E作EN⊥y轴于点N，EM⊥x轴于点M，∴AN=BN，EM=ON，OM=EN，∵A（0，-2），B（0，4），∴AB=6，∴BN=AN=3，∴ME=ON=1，∴DM=√DE2−EM2=√52−12=2√6，∴OM=EN=√BE2−BN2=√52−32=4，∴OD=DM-OM=2√6−4，∴点D的坐标为（2√6−4，0）.故答案为：B.3．2022年冬奥会古祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．如图，现有三张正面明有吉祥物的不透明卡片，卡片除正两图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机仙取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率事（ ）A ．13B ．12C ．49D ．23【答案】A【解析】两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A 1、A 2，正面印有雪容融图案的卡片记为B ， 根据题意画树状图如下：共有6个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有2个，则P （抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）=26=13．故答案为：A ．4．如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10cm ，经过35分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）A ．256πcmB ．253πcmC ．356πcmD ．353πcm【答案】D【解析】∵分针转过一周用时60分钟，∴每分钟转动的角度为：360°60=6°，∴35分钟转过的角度为：35×6°=210°，∴转过的弧长是： 210π×10180 = 353π . 故答案为：D.5．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB ＝4 √3 ，则图中阴影 部分的面积为（ ）A ．163 π－4 √3B ．163 π＋8 √3 C ．323 π＋4 √3D ．8π－8 √3【答案】B【解析】过O 作OC ⊥AB 于C ，连结AO ，BO ，∵被折叠后的一段弧正好经过圆心O，∴OC= 12OA，∵CO⊥AB，AB为弦，∴AC=BC= 12AB=2√3，sin∠CAO= OCOA=12，∴∠CAO=30°，∴∠AOC=90°-∠OAC=60°，OC=tan30°×AC= √33×2√3=2，∴∠AOB=2∠AOC=120°，AO=2OC=4，∴S△AOB= 12AB⋅OC=12×4√3×2=4√3，∴弓形AOB= 120π×42360−SΔAOB=16π3−4√3，∴S阴影=S圆-2S弓形AOB= 16π−32π3+8√3=16π3+8√3.故答案为：B.6．若三个方程−2(x+3)(x−2)=5，−3(x+3)(x−2)=5，−4(x+3)(x−2)=5的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（）A．x1<x2<x3B．x3<x2<x1C．x2<x3<x1D．x3<x1<x2【答案】A【解析】设y1=-2（x+3）（x-2），y2=-3（x+3）（x-2），y3=-4（x+3）（x-2），如图，将三个函数图象画在同一个平面直角坐标系，则三个方程-2（x+3）（x-2）=5，-3（x+3）（x-2）=5，-4（x+3）（x-2）=5的正根x1，x2，x3即为直线y=5分别与y1，y2，y3在第一象限交点的横坐标，由图可得：x1＜x2＜x3.故答案为：A.7．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a-b的值为（）A．0B．2C．1D．√3【答案】C【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴则AD是其对称轴，则EF∥AD∥BC，E、C关于AD对称，则CE⊥BD，∵四边形ADPQ、四边形CEHG是正方形，∴∠ECN=∠ADN=90°，∴四边形MCND是矩形，∴S△MCD=S△NCD，连接OB、OC，∴OA=OB=OC=OD=1，∴AD=2，∴S正方形AQPD=4，∵正六边形内角和为180°×(6−2)=720°，∴∠CDE=720°6=120°，∵AD⊥CE，DE=DC，∴∠MDC=60°，∴DM=12DC=12，∴CM=√32，∴CE=√3，∴S正方形CEHG=√3×√3=3，∴a−b=(4−2S△MCD)−(3−2S△NCD)=4−2S△MCD−3+2S△NCD=1；故答案为：C．8．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（）A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米【答案】C【解析】∵OA=5，CA⊥x轴，∴点A的坐标为（-5，0）当x=-5时y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，∴点C（-5，-2.25），∴AC=|-2.25|=2.25米.故答案为：C.9．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE= BF，AD⌢=CF⌢，OE=1，则BC的长为（）A．2√6B．3√2C．4D．5【答案】A【解析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H.∵AB⊥CD，∴AD⌢=AC⌢，∵AD⌢=CF⌢，∴AC⌢=CF⌢，∴OC⊥AF，∴∠AJO=∠CEO=90°，∵∠AOJ=∠COE，OA=OC，∴ΔAJO≅ΔCEO(AAS)，∴OJ=OE，∴AE=CJ，∵AB是直径，∴∠F=∠CJT=90°，∵AE=BF，∴BF=CJ，∵∠CTJ=∠BTF，∴ΔCTJ≅ΔBTF(AAS)，∴CT=BT，∵TH⊥AB，CD⊥AB，∴TH//CE，∴EH=BH，∵CF⌢=AC⌢，∴∠TBF=∠TBH，∵∠F=∠THB=90°，BT=BT，∴ΔBTF≅ΔBTH(AAS)，∴BF=BH，∵AE=BF，∴AE=BH，∵OA=OB，∴OE=OH=1，∴EH=BH=2，∴AE=BH=2，∴AB=6，OC=OB=3，∴EC=√OC2−OE2=√32−12=2√2，∴BC=√EC2+BE2=√(2√2)2+42=2√6，故答案为：A.10．已知二次函数y=ax2+bx−2(a、b是常数，a≠0)的图象经过点(2，1)和(4，−2)，且当0⩽x⩽m时，函数y=ax2+bx−2的最小值为−2，最大值为1，则m的取值范围是（）A．−1⩽m⩽0B．2⩽m<72C．2⩽m⩽4D．m⩾2【答案】C【解析】如图，由题意得：{4a +2b −2=116a +4b −2=2，解得{a =−34b =3，∴y=-34x 2+3x-2=-34(x-2)2+1，∵当 0⩽x ⩽m 时，函数 y =ax 2+bx −2 的最小值为 −2 ，最大值为1， ∵当x=2时，y=1，y=-2时，-34x 2+3x-2=-2， 解得x=0或4，观察图象可得， 2⩽m ⩽4 . 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A 为圆心， AB 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 DAB 的面积是 ．【答案】1【解析】根据图形可得：AB=AD=1， 弧BD 的长：CD +CB =2 ，∴S 扇形ABD =12l ×r =12×2×1=1 故答案为：1.12．一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为14，则这个箱子中黄球的个数为 个． 【答案】15【解析】设：黄球的个数为x 个，5x +5=14解得：x=15，检验：将x=15代入x+5=20，值不为零， ∴x=15是方程的解， ∴黄球的个数为15个， 故答案为：15．13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）.【答案】7.5【解析】如下图所示，设球的半径为rcm ，则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r ）cm ， ∵EG 过圆心，且垂直于AD ， ∴G 为AD 的中点， 则AG=0.5AD=0.5×12=6cm ，在Rt △OAG 中，由勾股定理可得， OA 2=OG 2+AG 2 ，即 r 2=(12−r)2+62 ， 解方程得r=7.5， 则球的半径为7.5cm. 故答案为：7.5.14．已知函数y =mx 2+2mx +1在−3⩽x ⩽2上有最大值4，则常数m 的值为 .【答案】38或-3【解析】∵y=mx 2+2mx+1=m （x+1）2+1-m ， 当m ＞0时，抛物线开口向上， 当x ＞-1时y 随x 的增大而增大， ∵在-3≤x≤2上有最大值， ∴当x=2时y 有最大值为4， ∴9m+1-m=4，解之：m =38；当m ＜0时，抛物线开口向下， 在-3≤x≤2上有最大值，∴当x=-1时y 的最大值为4， ∴1-m=4解之：m=-3；∴常数m 的值38或315．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数）的部分图象如图所示，设m ＝a ﹣b+c ，则m 的取值范围是 .【答案】﹣4＜m＜0【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣b2a＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝m=a-b+c=a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，∴﹣4＜m＜0.故答案为：﹣4＜m＜0.16．如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为.【答案】12【解析】连接OD ，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=√OD2−OC2=√r2−OC2，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB 时，OC最小，此时OC=√r2−(12AB)2，∴CD的最大值为√r2−(r2−14AB2)=12AB=12×1=12.故答案为：12.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回．．，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）【答案】（1）14（2）解：画树状图，如图所示：共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为38.18．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB⌢.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m，设AB⌢所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接OB.（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.【答案】（1）解：AD=BD（2）解：设主桥拱半径为R，由题意可知AB=26，CD=5，∴BD=12AB=12×26=13，OD=OC−CD=R−5，在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD2，即R2=132+(R−5)2，解得R=19.4，∴R=19，因此，这座石拱桥主桥拱半径约为19m.【解析】（1）∵半径OC⊥AB ，∴AD=BD.故答案为：AD=BD；19．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）t 之间成二次函数关系.（1）直接写出v 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） （2）当黑球减速后运动距离为64cm 时，求它此时的运动速度；（3）若白球一直以2cm/s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.【答案】（1）解：v =−12t +10，y =−14t 2+10t . （2）解：依题意，得−14t 2+10t =64. ∴t 2−40t +256=0. 解得，t 1=8，t 2=32.当t 1=8时，v =6；当t 2=32时，v =−6（舍）. 答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s . （3）解：设黑白两球的距离为w cm . w =70+2t −y =14t 2−8t +70=14(t −16)2+6.∵14>0，∴当t =16时，w 的值最小为6.∴黑、白两球的最小距离为6cm ，大于0，黑球不会碰到白球.另解1：当w =0时，14r 2−8t +70=0，判定方程无解.另解2：当黑球的速度减小到2cm/s 时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球.先确定黑球速度为2cm/s 时，其运动时间为16s ，再判断黑白两球的运动距离之差小于70cm . 【解析】（1）设v=mt+n ，当当t=0时v=10；当t=2时v=9∴{n =102m +n =9解之：{m =−12n =10∴v 关于t 的函数解析式为v =−12t +10； ∵t=0时y=0 ∴设y=at 2+bt由题意得{4a +2b =1916a +4b =36解之：{a =−14b =10∴y 与t 的函数解析式为y =−14t 2+10t20．如图，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形.（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分∠BAF .（2）设⊙O 的面积为S 1，六边形ABCDEF 的面积为S 2，求S 1S 2的值. 【答案】（1）解：连接AE ，AD ，AC ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴EF=ED=CD=BC ，∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB ，即过顶点A 的三条对角线四等分∠BAF ；（2）解：过点O 作OG ⊥DE 于G ，连接OE ，设圆O 的半径为r ，∴EF=BC=ED=r ，AD=2r ，在正六边形ABCDEF 中，∠OED=∠ODE=60°，∴∠EOG=30°，∴EG=12r ，∴OG=√OE 2−EG 2=√32r ， ∴正六边形ABCDEF 的面积=6×12×r ×√32r =3√32r 2， 圆O 的面积=πr 2，∴S 1S 2=23√32r =2√3π9. 21．已知抛物线y =−14x 2+ax −a 2−4a +3（a 是实数）．（1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为−1，求该抛物线的表达式；（2）若点M(c +4a −1，b)，N(3+c ，b)都在该抛物线上，求b 的最大值．【答案】（1）解：∵抛物线y =−14x 2+ax −a 2−4a +3=−14(x −2a)2+3−4a ，∴−1=3−4a ， ∴a =1，∴该抛物线的表达式为y =−14x 2+x −2（2）解：点M(c +4a −1，b)，N(3+c ，b)都在该抛物线上， ∴对称轴为直线x =c+4a−1+3+c 2=c +2a +1， ∴c +2a +1=2a ，∴c =−1，∴点N 的坐标为(2，b)， 代入y =−14x 2+ax −a 2−4a +3，得b =−1+2a −a 2−4a +3=−(a +1)2+3，∴当a =−1时，b 有最大值，最大值为3．22．如图，⊙O 的直径CD 分别与弦AB 、AF 交于点E 、H ，连接CF 、AD 、AO ，已知CF=CH 、FB⌢=BD ⌢．（1）求证：AB ⊥CD ；（2）若AE=4、OH=1，求AO 的长；【答案】（1）解：∵CF=CH ，∴∠F=∠CHF ．∵∠F=∠D ，∠CHF=∠AHD ，∴∠D=∠AHD ，∴AH=AD ．∵FB⌢=BD ⌢，∴∠HAE=∠DAE ．∴AE ⊥HD ，即AB ⊥CD ．（2）解：∵AH=AD ，∠HAE=∠DAE ，∴HE=DE ．设OE=x ．∵OH=1，∴HE=x+1=DE ，∴OD=2x+1=AO ．在Rt △OAE 中，∵OE 2+AE 2=AO 2，AE ＝4，∴x 2+42=（2x+1）2，解得x 1=-3（舍去），x 2=53．∴AO=2×53+1=133， 即AO 的长等于133．23．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3（a≠0）.（1）若函数图象的对称轴为直线x ＝1，且顶点在x 轴上，求a 的值；（2）若a ＝1，b ＝2，点（m ，n ）为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m ，n 的取值范围；（3）若点P （a ，a －3）始终是函数图象上的点，求证：a 2+b 2≥34.【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，0），∴−b 2a =1，b 2＋12a ＝0，∴4a 2＋12a ＝0，∴a ＝－3，（2）解：把a ＝1，b ＝2代入，得：y =x 2+2x −3=(x +1)2−4，∴其顶点坐标（−1，−4），令y ＝0，即x 2+2x −3=0，解得x 1＝1，x 2＝−3，与x 轴的交点坐标为（1，0），（−3，0），与y 轴的交点坐标为（0，−3），∴−3＜m ＜0，−4≤n ＜0，（3）证明：∵P （a ，a －3）始终是函数y ＝ax 2＋bx －3（a≠0）图象上的点，∴a 3+ab −3=a −3即a 3+ab −a =0∵a≠0，∴a 2+b −1=0 ，∴a 2=1−b ∴a 2+b 2=b 2+1−b =(b −12)2+34由a 2=1−b >0得b <1 ∴(b −12)2≥0 ∴a 2+b 2≥3424．如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和⊙P 于E 、F 两点，连接AC 、FC.（1）求证：∠ACF=∠ADB ；（2）若点A 到BD 的距离为m ，BF+CF=n ，求线段CD 的长；（3）当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时， DE AO的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.【答案】（1）证明：∵PO ⊥BC ∴BO=CO ∴AO 垂直平分BC∴AB=AC又∵△ACD 是以AC 为直角边作等腰直角三角形∴AC= AD ∴AB= AD ∴∠ABD=∠ADB∵∠ABD=∠ACF ∴∠ACF =∠ADB（2）解：过点A 作AM ⊥CF 交CF 的延长线于M ，过点A 作AN ⊥BF 于N ，连结AF ，则AN=m ，∴∠ANB=∠AMC=90°, 在△ABN 和△ACM 中，{∠ANB =∠AMC ∠ABN =∠ACM AB =AC ，∴Rt △ABN ≌Rt △ACM （AAS ）∴BN=CM ，AN=AM ，又∵∠ANF=∠AMF=90°，在Rt △AFN ≌Rt △AFM 中，{AN =AM AF =AF ， ∴Rt △AFN ≌Rt △AFM （HL ），∴NF=MF ，∴BF+CF=BN+NF+CM-MF ，=BN+CM=2BN=n ， ∴BN=n 2， ∴在Rt △ABN 中，AB 2=BN 2+AN 2=m 2+(n 2)2=m 2+n 24， 在Rt △ACD 中，CD 2=AB 2+AC 2=2AB 2=2m 2+n 22， ∴CD=12√8m 2+2n 2（3） 解： DE AO 的值不发生变化，过点过点D 作DM ⊥y 轴于点M∴ ∠DMA=∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°∵△ACD是以AC为直角边作等腰直角三角形∴∠DAC=90°，AC= AD∴∠DAM +∠OAC = 90°∴∠DAM=∠ACO∴△DAM ≌△ACO∴ DM=AO在△DAF与△CAF中，AD=AC，AF=AF，DF=CF，∴△DAF ≌△CAF∴∠DAF=∠CAF = 45°∴∠CBF=∠CAF = 45°∴∠BEO = 45°∴∠DEM=∠BEO = 45°∴△DEM是等腰直角三角形=√2∴DEDM=√2∴DEAO。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知一个等差数列的首项为2，公差为3，那么第10项是多少？A. 29B. 30C. 31D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 1/2B. -3/4C. √2D. -√33. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-2），那么AB的中点坐标是（）A. (3/2, 1/2)B. (1/2, 3/2)C. (3/2, -1/2)D. (1/2, -3/2)4. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 5x^2 + 1C. y = -3x + 4D. y = x/25. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形二、填空题（每题5分，共25分）6. 一个等比数列的首项为3，公比为2，那么第5项是______。

7. 下列各数中，绝对值最大的是______。

8. 在直角坐标系中，点C（-2，-3），点D（4，1），那么CD的长度是______。

9. 下列函数中，y = 2x - 1的图象是一条______。

10. 下列各式中，不是等式的是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （1）已知一个等差数列的首项为5，公差为3，求第10项和第15项的和。

（2）已知一个等比数列的首项为2，公比为3，求第6项和第9项的积。

12. （1）在直角坐标系中，点E（1，2），点F（-3，4），求EF的斜率和截距。

（2）已知直线y = kx + b与x轴、y轴分别相交于点G、H，且点G的坐标为（-2，0），点H的坐标为（0，3），求直线的斜率k和截距b。

13. （1）已知函数y = -3x^2 + 6x + 1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，求点A、B的坐标。

（2）已知函数y = 2x - 3的图象与直线y = 4x + 1相交于点C，求点C的坐标。

答案：一、选择题1. A2. C3. A4. B5. D二、填空题6. 1217. -3/28. 59. 直线 10. 2 + 3 = 5三、解答题11. （1）28 （2）5412. （1）斜率为-3/4，截距为7/4 （2）斜率为-2，截距为313. （1）点A（1，-2），点B（0，1）（2）点C（1，1）。

大庆市靓湖学校2018---2019学年阶段考试系列试题幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精1 大庆市靓湖学校九年级尖子生提优训练题数 学 试 题一、选择题1. P 是抛物线上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别是M ，N ，则PM + PN 的最小值是A.B. C. 3 D. 52. 如图，在中，，，，点P 从点A 沿AC 向点C以的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以的速度运动点Q 运动到点B 停止，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A.B.C.D.3. 如图，直线y =kx +c 与抛物线y =ax 2+bx +c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x =1，且OA =OD ．直线y =kx +c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc ＞0； ②3a +b ＞0； ③-1＜k ＜0； ④4a +2b +c ＜0； ⑤a +b ＜k ． A.B.C.D.第2题 第3题4. 已知二次函数y ＝（x －h ）2＋1（h 为常数），在自变量x 的值满足2≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为2，则h 的值为 A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或3或55. 已知a ≥2，m 2-2am +2=0，n 2-2an +2=0，m ≠n ，则（m -1）2+（n -1）2的最小值是（ ）A. 6B. 3C. D. 0二、填空题6. 如图所示，在一张长为8cm ，宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为_____（把下列正确序号填在横线上）．①cm 2；②6cm 2；③10cm 2；④12cm 2；⑤5cm 2．第6题 第7题 第8题 第9题7. 如图，⊙O 的半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB =OA ，动点P 从点A 出发，以π cm /s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为______s 时，BP 与⊙O 相切．8. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P ．若AB =6，BC =3，则下列结论：①F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =CE ；④S 阴影=．其中正确结论的序号是______ ．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =a ，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC ，BC 相切于点E ，F ，与AB 分别交于点G ，H ，且EH 的延长线和CB 的延长线交于点D ，则CD 的长为______．10. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r ，用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相切于点C ，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边AB =8cm ，若读得BC 长为acm ，则用含a 的代数式表示r 为______ ．三、解答题11. 已知O 为坐标原点，抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （x 1，0），B （x 2，大庆市靓湖学校2018---2019学年阶段考试系列试题幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精2 0），与y 轴负半轴交于点C ，且O ，C 两点间的距离为3，x 1•x 2＜0，|x 1|+|x 2|=4，点A ，C 在直线y 2=﹣3x +t 上． （1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线y 2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2n 2﹣5n 的最小值．12. 若抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)的顶点P 在直线l 上,则称该抛物线L 与直线l 具有“琴瑟”关系,此时,抛物线L 叫做直线l 的“琴线”,直线l 叫做抛物线L 的“瑟线”.(1)已知“琴线” L :y =x 2-6x -5的“瑟线”为l :y =kx +4,求k 的值。

中考尖子生必做习题 一．选择题 （共12分 每小题2分）1..若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9002.若关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是A 、k ≥2B 、k ≤2C 、k ＞-2D 、k ＜-23.已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2 - 6x + 8 = 0的根，则这个三角形的周长等于A 、13B 、11C 、11 或13D 、12或154．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交DC 于点F ，连接AF 。

设k ADAB =，下列结论：(1)△ABE ～△ECF ，(2)AE 平分∠BAF ，(3)当k=1时，△ABE ～△ADF ，其中结论正确的是 A 、(1)(2)(3) B 、(1)(3)C 、(1)(2)D 、(2)(3)5. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x 台机器，则可列方程为 50450600)(+=x x A . 50450600)(-=x x B . x x C 45050600)(=+. xx D 45050600)(=- 6.在Rt△ABC中，∠C =900，则下列式子成立的是（ ） A、sinA=sinB B、sinA=cosB C、tanA=tanB D、cosA=tanB 二．填空题（共24分 每小题3分）7.如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上的一点，连接BD ,将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒，得到BAE ∆，连接ED ，若10BC =，9BD =，则AED ∆的周长是______.9 如图，在□ABCD 中，AD =2，AB =4，∠A =300，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连结CE ，则阴影部分的面积是（ ）10.若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）11.如图，三角形ABC 中，C 是AB 的中点，反比例函数xky =(k ＞0)在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为( )12.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为___________13.设x 1,x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则的值为____14.如图，n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M 1,M 2,M 3,……M n 分别为边B 1B 2,B 2B 3,B 3B 4,……，B n B n+1的中点，△B 1C 1M 1的面积为S 1，△B 2C 2M2的面积为S 2，△Bn C n M n 的面积为S n ，则S n =____________。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，b+c-a=4，则a的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 82. 若函数f(x)=2x+1在区间[1,2]上单调递增，则函数f(x)在区间[-2,-1]上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增3. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2+a3=27，a4+a5+a6=243，则q的值为（）A. 3B. 2C. 1.5D. 0.54. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S10=（）A. 100B. 105C. 110D. 1155. 若函数f(x)=x^2-2x+1在区间[0,2]上的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0的两根为a、b，则a+b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 若函数y=|x-1|+|x+1|的图像关于y轴对称，则x的取值范围为（）A. x≤0B. x≥0C. x>0D. x<08. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2+a3+a4=80，a5+a6+a7+a8=640，则q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 若函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-1,1]上的最大值为3，最小值为-3，则a、b、c的值分别为（）A. a=1，b=0，c=3B. a=1，b=0，c=-3C. a=-1，b=0，c=3D. a=-1，b=0，c=-310. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S10的值为（）A. 55B. 60C. 65D. 70二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=3，a4=11，则d=______。

12. 若函数y=|x-2|+|x+2|在x=-1时的值为______。

2023年YL 集团中学数学学科素养与能力测试九年级初赛时量：100分钟满分：120座位号第一部分：答题卡2. 3. 4.6.7.8.9.、10.11.12.13.14.15.16.第二部分：试题16题，每题5分，共80分）．下列因式分解正确的是．（填序号）2211()42x x x -+=-②4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+2224(2)x x x -+=-④224(4)(4)x y x y x y -=+-133(5a -=，125()3b =，124(3c -=，则a 、b 、c 三个数的大小关系是．关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．x 的小数部分用{}x 表示，{}x x -为整数，且0{}1x ，记9，9的小a ，b ，则432ab a b -+-=．x 的不等式组35241x m x x >+⎧⎨-<+⎩的整数解仅有4个，则m 的取值范围是．4(0)3y x b b =+<与413y x =-图象之间的距离等于3，则b 的值为．(1y a x =--的函数值y 随自变量x 的增大而减小，下列描述中：①a <②y 轴的交点为(0,1)-；③函数图象经过第一象限；④点(a +24)a -在该函数图象上，其中正确的是．（填序号）0ab >．则有00a b >⎧⎨>⎩或00a b <⎧⎨<⎩．如图，直线y kx b =+与y mx n =+分别交x (0.5,0)A -、(2,0)B ，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集是．第8题第9题9．若直线AB ：y ＝32x +4与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，直线CD ：y ＝21-x +2与x 轴、y 轴分别交于点D 和点C ，线段AB 与CD 的中点分别是M ，N ，点P 为x 轴上一动点．（1）点M 的坐标为；（2）当PM +PN 的值最小时，点P 的坐标为．10．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根，则a 的值是．11．如果关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，则符合条件的整数a 为．12．已知实数α，β满足2310αα+-=，2310ββ--=，且1αβ≠，则23αβ-+=．13．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变．4MN =，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为．第13题第14题第16题14．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作//EF CD ，交AD 于F ，交对角线BD 于G ，取DG 的中点H ，连接AH ，EH ，FH ．下列结论：①//FH AE ；②AH EH =且AH EH ⊥；③BAH HEC ∠=∠；④EHF AHD ∆≅∆；⑤若2BE EC =，则313DHEC AHE S S ∆=四边形，其中哪些结论是正确的．（填序号）15．已知x ，y ，z ，a ，b 均为非零实数，且满足333331112,,,81xy yz xz xyz x y a b y z a x z a b xy yz zx ====+-+++++，则a 的值为．16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，顶点坐标为(2,9)a --，下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③90a b c -+=；④若方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；⑤若方程2||1ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-．其中正确的结论为．二、解答题（共4题，每题10分，共40分）17．已知x ，y ，z 为正数，且81535x y xy y z yz z x zx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，求x y z xy +++的值．18．已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD CF ⊥．②CF BC CD =-．（2）如图2，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC ∆的形状，并说明理由．19．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有；②若凸四边形ABCD 是“十字形”，AC a =，BD b =，则该四边形的面积为；（2）如图，以“十字形”ABCD 的对角线AC 与BD 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，若计“十字形”ABCD 的面积为S ，记AOB ∆，COD ∆，AOD ∆，BOC ∆的面积分别为：1S ，2S ，3S ，4S ，且同时满足四个条件：==+③“十字形”ABCD 的周长为32；④60ABC ∠=︒；若E 为OA 的中点，F 为线段BO 上一动点，连接EF ，动点P 从点E 出发，以1/cm s 的速度沿线段EF 匀速运动到点F ，再以2/cm s 的速度沿线段FB 匀速运动到点B ，到达点B 后停止运动，当点P 沿上述路线运动到点B 所需要的时间最短时，求点P 走完全程所需的时间及直线EF 的解析式．20．如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式：（2）存在正实数m ，()n m n <，当m x n 时，恰好满足2323m n m y n +++ ，求m ，n 的值．2023年YL 中学数学学科素养与能力测试九年级初赛参考答案一.填空题：（每题5分，16个小题，共80分；）1.① 2.a b c>> 3.94k <且0k ≠ 4.3-．5.54m -<- 6.6-7.①②④8.0.52x -<<．9.（1）（﹣3，2）（2）（，0）10.2．11.1-，0，1，2，312.10．13.2-．14.②③④15.3．16.②③④⑤.二．解答（共4小题）17．【解答】解：8x y xy ++= ，1819x y xy ∴+++=+=，(1)(1)9x y ∴++=，同理可得：(1)(1)16y z ++=，(1)(1)36x z ++=，…………………3分解得：72x =，1y =，7z =，………………………………………………………………9分7717173622x y z xyz ∴+++=+++⨯⨯=，故答案为：36．…………………………10分18．【解答】（1）证明：①90BAC ∠=︒ ，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒， 四边形ADEF 是正方形，AD AF ∴=，90DAF ∠=︒，90BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒ ，90DAF CAF DAC ∠=∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，在BAD ∆和CAF ∆中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAF SAS ∴∆≅∆，45ACF ABD ∴∠=∠=︒，90ACF ACB ∴∠+∠=︒，BD CF ∴⊥；………………………………………………………………………………3分②由①BAD CAF ∆≅∆可得BD CF =，BD BC CD =- ，CF BC CD ∴=-；……………………………………………………5分（2）①与（1）同理可得，BD CF =，所以，CF CD BC =-；………………………7分②90BAC ∠=︒ ，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，则18045135ABD ∠=︒-︒=︒， 四边形ADEF 是正方形，AD AF ∴=，90DAF ∠=︒，90BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒ ，90DAF BAD BAF ∠=∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，在BAD ∆和CAF ∆中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAF SAS ∴∆≅∆，18045135ACF ABD ∴∠=∠=︒-︒=︒，90FCD ACF ACB ∴∠=∠-∠=︒，则FCD ∆为直角三角形， 正方形ADEF 中，O 为DF 中点，12OC DF ∴=， 在正方形ADEF 中，12OA AE =，AE DF =，OC OA ∴=，AOC ∴∆是等腰三角形．……………………………………………………………………10分19．【解答】解：（1）① 正方形，菱形的对角线互相垂直，∴正方形，菱形是“十字形”，故答案为正方形，菱形．…………………………………2分②如图1中， 四边形ABCD 是“十字形”．AC BD ∴⊥，()1111122222ABD BDC ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC BD AC ab ∆∆∴=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅=四边形，故答案为12ab ．………………………………………………………………………………5分（2）==+1234S S S S S =+++，12S S S ∴=++，34S S S =+，34S S ∴+=12S S +=，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，1234S S S S ∴=，34S S ∴+=2233443424S S S S S S ∴++=，234()0S S ∴-=，34S S ∴=，同法可证12S S =，1234S S S S ∴===，OA OC ∴=，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥ ，∴四边形ABCD 是菱形，……………………………………………………7分60ABC ∠=︒ ，1302CBO ABC ∴∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，如图2中，过点F 作FH BC ⊥于H ，过点E 作EJ BC ⊥于J ． 点P 的运动时间1122EF BF EF BF =+=+，FH BH ⊥ ，30FBH ∠=︒，12FH FB ∴=，12EF BF EF FH ∴+=+，EJ BC ⊥ ，EF FH EJ ∴+ ，菱形ABCD 的周长为32，8AB BC ∴==，60ABC ∠=︒ ，ABC ∴∆是等边三角形，8AC ∴=，4OA OC ==，2AE OE == ，在Rt EJC ∆中，426CE =+=，sin 606EJ EC ∴=⋅︒=⨯∴点P 走完全程所需的时间为．此时23(0,3F ，设直线EF 的解析式为233y kx =+，把(2,0)-代入3y kx =+，可得3k =，∴直线EF 的解析式为y =+．…………………………………………………10分20．【解答】解：（1） 抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，∴309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；……………………………………………………3分（2） 抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+，4y ∴ ， 正实数m ，()n m n <，0m n ∴<<， 当m x n < 时，恰好满足2323m n m y n +++ ，∴66y n m ，∴64m ，即312m > ，1m n ∴< ， 抛物线的对称轴是直线1x =，且开口向下，∴当m x n 时，y 随x 的增大而减小，∴当x m =时，223y m m =-++最大值，当x n =时，223y n n =-++最小值，…………………………………………………………6分又66y n m ，∴22623623n n n m m m⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩①②，将①整理得：322360n n n --+=，…………………………………………………………8分2(2)3(2)0n n n ∴---=，2(2)(3)0n n ∴--=，1n > ，20n ∴-=或230n -=，解得：2n =或n =n =同理：由②解得：2m =（不合题意舍去）或m =（不合题意舍去）或m =，综上所述，m =，2n =． (10)分。

九年级尖子生选拔数学试题本试卷共13页，满分120分，考试时间120分钟，考生请将卷Ⅰ的答案转涂到答题卡上。

卷Ⅰ（选择题,共33分）一、精心选一选，慧眼识金!（每小题3分，共33分)1。

如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1）个图形中的正方形有2个,第(2）个图形中面积为1的正方形有5个,第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6）个图形中面积为1的正方形的个数为( ）A.20 B。

27 C。

35 D.402。

观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（)A.31 B。

46 C.51 D.66 3。

下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A。

22 B.24 C。

26 D。

28 4。

如图,将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A。

n B。

n—1 C。

（14）n-1 D。

14n5. 如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n。

下列结论正确的是（)①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为8a b+；④四边形A nB nC nD n面积为·2na b.A。

①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④6. 如图，已知A1、A2、……、A n、A n＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝……＝A n A n＋1＝1，分别过点A1、A2、……、A n、A n＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、……、B n、B n＋1,连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、A n B n＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、……、P n，△A1B1P1、△A2B2P2、……、△A n B n P n的面积依次为S1、S2、……、S n，则S n为（)A.121nn++B.231nn-C。