三角函数矩阵

三角函数计算，Cordic 算法入门三角函数的计算是个复杂的主题，有计算机之前，人们通常通过查找三角函数表来计算任意角度的三角函数的值。

这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。

现在有了计算机，三角函数表便推出了历史的舞台。

但是像我这样的喜欢刨根问底的人，不禁要问计算机又是如何计算三角函数值的呢。

最容易想到的办法就是利用级数展开，比如泰勒级数来逼近三角函数，只要项数取得足够多就能以任意的精度来逼近函数值。

除了泰勒级数逼近之外，还有其他许多的逼近方法，比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近等。

所有这些逼近方法本质上都是用多项式函数来近似我们要计算的三角函数，计算过程中必然要涉及到大量的浮点运算。

在缺乏硬件乘法器的简单设备上（比如没有浮点运算单元的单片机），用这些方法来计算三角函数会非常的费时。

为了解决这个问题，J. Volder于1959年提出了一种快速算法，称之为CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer) 算法，这个算法只利用移位和加减运算，就能计算常用三角函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数。

J. Walther在1974年在这种算法的基础上进一步改进，使其可以计算出多种超越函数，更大的扩展了Cordic 算法的应用。

因为Cordic 算法只用了移位和加法，很容易用纯硬件来实现，因此我们常能在FPGA运算平台上见到它的身影。

不过，大多数的软件程序员们都没有听说过这种算法，也更不会主动的去用这种算法。

其实，在嵌入式软件开发，尤其是在没有浮点运算指令的嵌入式平台（比如定点型DSP）上做开发时，还是会遇上可以用到Cordic 算法的情况的，所以掌握基本的Cordic算法还是有用的。

从二分查找法说起先从一个例子说起，知道平面上一点在直角坐标系下的坐标（X,Y）=（100，200），如何求的在极坐标系下的坐标（ρ,θ）。

《三角比、三角函数、矩阵、行列式》知识点1、什么是1弧度？弧度与度怎样换算？弧长等于半径的圆弧所对的圆心角大小称为1弧度。

π=︒180弧度⎪⎭⎫⎝⎛=︒⇒1801π弧度，1弧度='18573.57180︒=︒≈︒π 2、什么是同角三角比的关系？（1）平方关系：1cos sin 22=+αα；αα22sec 1tan =+；αα22csc 1cot =+；（2）倒数关系：ααcot 1tan =；ααsin 1csc =；ααcos 1sec =；（3）商数关系：αααcos sin tan =；αααsin cos cot =。

3、1、分别写出下列各组两个角βα,的关系式。

（1）角βα,具有相同的终边： Z k k ∈+=,2παβ； （2）角βα,的终边关于x 轴对称：()Z k k ∈+-=,2παβ； （3）角βα,的终边关于y 轴对称：()Z k k ∈+-=,2παπβ； （4）角βα,的终边一直线且反向：()Z k k ∈++=,2παπβ； （5）角βα,的终边在一直线： Z k k ∈+=,παβ；（6）角βα,的终边关于直线x y =对称：Z k k ∈+⎪⎭⎫⎝⎛-=,22παπβ；（7）角βα,的终边互相垂直：Z k k ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=,22ππαβ。

2、什么是诱导公式？第一组：Z k k ∈+,2απ的诱导公式;sin )2sin(ααπ=+k ;cos )2cos(ααπ=+k ;tan )2tan(ααπ=+k ααπcot )2cot(=+k 第二组：α-的诱导公式;sin )sin(αα-=- ;c o s )c o s(αα=- ;tan )tan(αα-=- ααc o t )c o t (-=- 第三组：απ+的诱导公式;sin )sin(ααπ-=+ ;cos )cos(ααπ-=+ ;t a n )t a n(ααπ=+ ααπc o t )c o t (=+ 第四组：απ-的诱导公式;sin )sin(ααπ=- ;c o s )c o s (ααπ-=- ;t a n )t a n (ααπ-=- ααπc o t )c o t (-=- 第五组：απ-2的诱导公式;cos )2sin(ααπ=- ;s i n )2c o s (ααπ=- ;c o t )2t a n (ααπ=- ;t a n )2c o t (ααπ=-第五组：απ+2的诱导公式;cos )2sin(ααπ=+ ;s i n )2c o s (ααπ-=+ ;c o t )2t a n (ααπ-=+ ;t a n )2c o t (ααπ-=+ 第六组：απ+23的诱导公式 ;cos )23sin(ααπ-=+ ;s i n )23c o s (ααπ=+ ;c o t )23t a n (ααπ-=+ ;t a n )23c o t (ααπ-=+诱导公式辅助记忆的口诀：“纵变横不变，符号看象限”3、什么是两角和差、二倍角、半角、万能置换公式？ （1）两角和与差的三角比公式两角和差的正弦：;sin cos cos sin )sin(βαβαβα⋅±⋅=±两角和差的余弦：;sin sin cos cos )cos(βαβαβα⋅⋅=± 两角和差的正切：.tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα⋅±=±（2）二倍角公式正弦：;cos sin 22sin ααα⋅= 余弦：;sin 211cos 2sin cos )cos(2222⋅-=-=-=±ααααβα 正切：.tan 1tan 22tan 2ααα-=（其中Z k k k ∈++≠,24,2ππππα）（3）半角公式正弦：;2cos 12sinαα-±= 余弦：;2cos 12cos αα+±= 正切：;cos 1cos 12tanααα+-±=;sin cos 1cos 1sin 2tan ααααα-=+=（4）万能置换公式2tan12tan 2tan ,2tan12tan 1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=4、什么是积化和差、和差化积公式？()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+=⋅-++=⋅--+-=⋅-++=⋅sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα5、什么是正弦定理？R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===（R 是ABC ∆外接圆的半径） 6、什么是余弦定理？bc a c b A A bc c b a 2cos cos 2222222-+=⇔-+=； acb c a B B ac c a b 2cos cos 2222222-+=⇔-+=；abc b a C C ab b a c 2cos cos 2222222-+=⇔-+=7、如何讨论正弦函数x y sin =和余弦函数的性质？8、怎样画函数()()πϕωϕω<≤>>+=0,0,0,sin A x A y 的图像？ （1）五点法作图：○1确定函数最小正周期ωπ2=T ；○2令ππππϕω2,23,,2,0=+x 得相应的x 值，进而得到五个关键点；○3描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把一个周期的图像向左、右扩展，得到)0,0(),sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像。

r语言提取矩阵的下三角函数R语言是一种常用的统计分析工具，提供了许多函数和方法来处理矩阵。

其中，提取矩阵的下三角函数是一个常见需求，可以用于矩阵的特征分析、数据处理和可视化等方面。

本文将一步一步回答关于如何在R语言中提取矩阵的下三角函数的问题。

一、什么是矩阵的下三角？矩阵的下三角是指矩阵中位于主对角线及其下方的元素构成的部分。

具体而言，如果一个元素位于第i行第j列（i<=j），则该元素属于矩阵的下三角。

下三角的特点是对角线及其上方的元素都是0，而对角线及其下方的元素则可以是非零值。

二、如何创建一个矩阵？在R语言中，可以使用函数`matrix()`来创建一个矩阵。

该函数的基本语法如下：matrix(data, nrow, ncol, byrow)其中：- `data`是用于填充矩阵的数据，可以是一个向量或一个矩阵；- `nrow`是矩阵的行数；- `ncol`是矩阵的列数；- `byrow`是一个逻辑值，表示是否按行填充矩阵。

如果为`FALSE`（默认值），则按列填充。

例如，下面的代码演示了如何创建一个3x3的矩阵：Rmatrix(1:9, nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)输出结果为：[,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9三、如何提取矩阵的下三角？在R语言中，可以使用下标索引的方式来提取矩阵的下三角。

具体而言，可以通过指定下标范围或逻辑方式来选择矩阵的下三角元素。

1. 指定下标范围提取下三角：可以使用方括号`[]`来指定下标范围，通过逗号`,`分隔行和列的下标范围。

例如，要提取矩阵`mat`的下三角元素，可以使用以下代码：Rmat[lower.tri(mat)]其中，`lower.tri(mat)`函数返回一个逻辑矩阵，表示矩阵`mat`的下三角元素的位置。

通过使用逻辑矩阵作为下标，可以提取对应位置为`TRUE`的元素。

三角函数的应用三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。

本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。

一、物理中的三角函数应用1. 弹道学中的三角函数应用在弹道学中，我们可以使用三角函数来描述抛物线弹道的轨迹。

假设我们以水平方向飞行的火箭为例，其运动轨迹可以用函数 y = f(x) 来表示，其中 x 表示时间，y 表示高度。

由于重力的作用，火箭在垂直方向上存在加速度。

通过三角函数，我们可以推导出火箭的高度随时间变化的函数表达式，并进一步分析火箭的运动轨迹。

2. 波动学中的三角函数应用在波动学中，三角函数被广泛应用于描述波动的性质。

例如，海浪的起伏可以用正弦函数来表示。

正弦函数具有周期性，因此能够准确地描述出海浪的周期和振幅等特征。

此外，在声波和光波的传播中，也会使用到正弦函数和余弦函数来描述波的传播方程。

二、工程中的三角函数应用1. 测量学中的三角函数应用在测量学中，三角函数被广泛应用于距离和角度的测量。

例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以在不直接测量距离的情况下，通过测量角度和长度来计算两个不可测量的物体之间的距离。

这在大地测量和建筑测量中都有重要的应用价值。

2. 结构力学中的三角函数应用在结构力学中，三角函数被用于求解力学问题中的角度和向量关系。

例如，通过正弦定律和余弦定律，我们可以计算力的分解、合成以及受力物体之间的角度关系。

这对于分析建筑物和桥梁等结构的稳定性和强度是非常重要的。

三、计算机图形学中的三角函数应用1. 三维建模中的三角函数应用在计算机图形学中，三角函数被广泛应用于三维建模和渲染中。

例如，在计算机游戏中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算光照的强度和方向，以达到逼真的渲染效果。

此外，在三维模型的旋转、缩放和平移中，三角函数也被用于计算变换矩阵，从而实现模型的变换和动画效果。

2. 图像处理中的三角函数应用在图像处理中，三角函数被用于图像的滤波和变换。

常用的14个恒等变形公式恒等变形公式是数学中的重要概念，它指的是在等式两边同时进行相同的运算，从而得到等价的新式子的过程。

在数学中，恒等变形公式被广泛应用于各种数学问题的解决中。

本文将介绍常用的14个恒等变形公式，希望能够帮助读者更好地理解数学知识。

1. 平方差公式平方差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式在代数中是非常常用的，它可以帮助我们快速计算两个数之间的平方差。

2. 完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式可以帮助我们快速计算一个二次项的平方。

3. 二次差公式二次差公式是指：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

这个公式与平方差公式相同，但它更适用于计算两个数的平方差。

4. 一次多项式恒等式一次多项式恒等式是指：$ax+by=c$。

这个公式可以帮助我们快速求解一次方程。

5. 一次多项式因式分解公式一次多项式因式分解公式是指：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$。

这个公式可以帮助我们快速因式分解一次多项式。

6. 二次多项式恒等式二次多项式恒等式是指：$ax^2+bx+c=(x-p)(x-q)$，其中$p$和$q$是二次方程的解。

这个公式可以帮助我们快速求解二次方程。

7. 二次多项式完全平方公式二次多项式完全平方公式是指：$ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q$，其中$p$是二次方程的解。

这个公式可以帮助我们快速将二次多项式变成完全平方的形式。

8. 二次多项式配方法二次多项式配方法是指：$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2-4ac}{4a}$。

这个公式可以帮助我们快速将二次多项式配成平方的形式。

9. 欧拉公式欧拉公式是指：$e^{ix}=cos x+isin x$。

这个公式是数学中的重要公式，它将复数与三角函数联系起来。

10. 对数公式对数公式是指：$log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$。

三角恒等变换
三角恒等变换是一种数学代数化简的方法，也叫三角形法则，是根据三角函数的性质，使用单位弧度角进行代数化简处理，主要用于对线性代数的处理，包括矩阵求逆、行列式、解线性方程组等。

一、三角恒等变换的定义
三角恒等变换是用来化简复杂代数式的一种数学方法，它利用三角函数的性质，通过代入sin，cos，tan等等三角函数，从而简化复杂的计算。

二、三角恒等变换的基本原理
三角恒等变换是基于三角函数性质进行简化复杂计算的一种方法。

此法的基本原理是将一个复杂的表达式化简成一种简单的表达式，这种用三角函数进行简化的过程叫做“三角恒等变换”。

三、三角恒等变换的特点
三角恒等变换的特点有三：（1）可以使复杂的多项式变成简单的表达式；（2）可以让多元代数式的计算更容易实现；（3）可以利用三角函数的一些性质，使用更简便的数学计算方法。

四、三角恒等变换的具体应用
三角恒等变换在数学中广泛应用，具体应用有：（1）矩阵求逆、行列式、行列块；（2）多项式求导、积分计算；（3）求解线性方程组的通解；（4）计算偏微分方程的解等。

（整理）三⾓函数转换公式.三⾓函数转换公式1、诱导公式：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα；sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα；sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tanA= sinA/cosA；tan（π/2＋α）＝－cotα；tan（π/2－α）＝cotα；tan（π－α）＝－tanα；tan（π＋α）＝tanα2、两⾓和差公式：sin(A±B) = sinAcos±BcosAsinBcos(A±B) = cosAcosB sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1 tanAtanB)cot(A±B) = (cotAcotB 1)/(cotB±3、倍⾓公式sin2A=2s inA?cosAcos2A=cosA2-sinA2=1-2sinA2=2cosA2-1tan2A=2tanA/（1-tanA2）=2cotA/(cotA2-1)4、半⾓公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))5、和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)6、积化和差sinαsinβ = -1/2*[cos(α-β)-cos(α+β)]cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]7、万能公式2t a n 12t a n 2t a n ,2t a n 12t a n 1c o s ,2t a n 12t a n 2s i n 2222α-α=αα+α-=αα+α=α2010年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学考试⼤纲--数学三考试科⽬：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构⼀、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．⼆、答题⽅式答题⽅式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分56％线性代数22%概率论与数理统计22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题8⼩题，每题4分，共32分填空题6⼩题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9⼩题，共94分微积分⼀、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表⽰法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建⽴数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表⽰法，会建⽴应⽤问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法．7．理解⽆穷⼩的概念和基本性质．掌握⽆穷⼩量的⽐较⽅法．了解⽆穷⼤量的概念及其与⽆穷⼩量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最⼤值和最⼩值定理．介值定理)，并会应⽤这些性质．⼆、⼀元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的⼏何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平⾯曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法⾼阶导数⼀阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最⼤值与最⼩值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的⼏何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平⾯曲线的切线⽅程和法线⽅程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解⾼阶导数的概念，会求简单函数的⾼阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及⼀阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗⽇( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应⽤．6．会⽤洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别⽅法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最⼤值和最⼩值的求法及其应⽤．8．会⽤导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有⼆阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、⼀元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数⽜顿⼀莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（⼴义）积分定积分的应⽤考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握⽜顿⼀莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利⽤定积分计算平⾯图形的⾯积．旋转体的体积和函数的平均值，会利⽤定积分求解简单的经济应⽤问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念⼆元函数的⼏何意义⼆元函数的极限与连续的概念有界闭区域上⼆元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法⼆阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最⼤值和最⼩值⼆重积分的概念．基本性质和计算⽆界区域上简单的反常⼆重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解⼆元函数的⼏何意义．2．了解⼆元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上⼆元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数⼀阶、⼆阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解⼆元函数极值存在的充分条件，会求⼆元函数的极值，会⽤拉格朗⽇乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最⼤值和最⼩值，并会解决简单的应⽤问题．5．了解⼆重积分的概念与基本性质，掌握⼆重积分的计算⽅法（直⾓坐标．极坐标）．了解⽆界区域上较简单的反常⼆重积分并会计算．五、⽆穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件⼏何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握⼏何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的⽐较判别法和⽐值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解．．．及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分⽅程与差分⽅程考试内容常微分⽅程的基本概念变量可分离的微分⽅程齐次微分⽅程⼀阶线性微分⽅程线性微分⽅程解的性质及解的结构定理⼆阶常系数齐次线性微分⽅程及简单的⾮齐次线性微分⽅程差分与差分⽅程的概念差分⽅程的通解与特解⼀阶常系数线性差分⽅程微分⽅程的简单应⽤考试要求1．了解微分⽅程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分⽅程．齐次微分⽅程和⼀阶线性微分⽅程的求解⽅法．3．会解⼆阶常系数齐次线性微分⽅程．4．了解线性微分⽅程解的性质及解的结构定理，会解⾃由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程．5．了解差分与差分⽅程及其通解与特解等概念．6．了解⼀阶常系数线性差分⽅程的求解⽅法．7．会⽤微分⽅程求解简单的经济应⽤问题．线性代数⼀、⾏列式考试内容⾏列式的概念和基本性质⾏列式按⾏（列）展开定理考试要求1.了解⾏列式的概念，掌握⾏列式的性质．2.会应⽤⾏列式的性质和⾏列式按⾏（列）展开定理计算⾏列式．⼆、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法⽅阵的幂⽅阵乘积的⾏列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对⾓矩阵、三⾓矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解⽅阵的幂与⽅阵乘积的⾏列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会⽤伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握⽤初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的⽅法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表⽰向量组的线性相关与线性⽆关向量组的极⼤线性⽆关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性⽆关向量组的正交规范化⽅法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表⽰、向量组线性相关、线性⽆关等概念，掌握向量组线性相关、线性⽆关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极⼤线性⽆关组的概念，会求向量组的极⼤线性⽆关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其⾏（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性⽆关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）⽅法．四、线性⽅程组考试内容线性⽅程组的克莱姆（Cramer）法则线性⽅程组有解和⽆解的判定齐次线性⽅程组的基础解系和通解⾮齐次线性⽅程组的解与相应的齐次线件⽅程组（导出组）的解之间的关系⾮齐次线性⽅程组的通解考试要求1.会⽤克莱姆法则解线性⽅程组．2.掌握⾮齐次线性⽅程组有解和⽆解的判定⽅法．3.理解齐次线性⽅程组的基础解系的概念，掌握齐次线性⽅程组的基础解系和通解的求法．4.理解⾮齐次线性⽅程组解的结构及通解的概念．5.掌握⽤初等⾏变换求解线性⽅程组的⽅法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对⾓化的充分必要条件及相似对⾓矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对⾓矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的⽅法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对⾓化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对⾓矩阵的⽅法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、⼆次型考试内容⼆次型及其矩阵表⽰合同变换与合同矩阵⼆次型的秩惯性定理⼆次型的标准形和规范形⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形⼆次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解⼆次型的概念，会⽤矩阵形式表⽰⼆次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解⼆次型的秩的概念，了解⼆次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形．3.理解正定⼆次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计⼀、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率⼏何型概率条件概率概率的基本公式事件的独⽴性独⽴重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和⼏何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独⽴性的概念，掌握⽤事件独⽴性进⾏概率计算；理解独⽴重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的⽅法．⼆、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、⼆项分布、⼏何分布、超⼏何分布、泊松（Poisson）分布及其应⽤．3．掌握泊松定理的结论和应⽤条件，会⽤泊松分布近似表⽰⼆项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应⽤，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布⼆维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独⽴性和不相关性常见⼆维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解⼆维离散型随机变量的概率分布和⼆维连续型随机变量的概率密度、掌握⼆维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独⽴性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独⽴的条件，理解随机变量的不相关性与独⽴性的关系．4．掌握⼆维均匀分布和⼆维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独⽴随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、⽅差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切⽐雪夫（Chebyshev）不等式矩、协⽅差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、⽅差、标准差、矩、协⽅差、相关系数）的概念，会运⽤数字特征的基本性质，并掌握常⽤分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切⽐雪夫不等式．五、⼤数定律和中⼼极限定理考试内容切⽐雪夫⼤数定律伯努利（Bernoulli）⼤数定律⾟钦（Khinchine）⼤数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切⽐雪夫⼤数定律、伯努利⼤数定律和⾟钦⼤数定律（独⽴同分布随机变量序列的⼤数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中⼼极限定理（⼆项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中⼼极限定理（独⽴同分布随机变量序列的中⼼极限定理），并会⽤相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本⽅差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常⽤抽样分布考试要求．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本⽅差及样本矩的概念，其中样本⽅差定义为2．了解产⽣变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本⽅差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最⼤似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（⼀阶矩、⼆阶矩）和最⼤似然估计法．。

⽮量旋转，分别以三⾓变换，矩阵变换实现，C#源码。

最近⽤到了图形旋转，花了不少时间查找材料，编码测试。

⽽且还⽤到了20年前⽼师教给的三⾓函数，还有⼤学⾥⾯早已淡忘的矩阵运算。

呵呵，整理⼀下把，希望对⼤家有些帮助。

功能：已知⽮量OP，顺时针旋转α度，求P2点的坐标。

根据三⾓函数，我们可以很⾃然的写出：P2.X = O.X + (int)(Math.Cos(alpha) * r) ;P2.Y = O.Y + (int)(Math.Sin(alpha) * r) ; //哦，代码的颜⾊怎么不变呢？噢，因为我刚开始在博客园写博客，所有不会使，呵呵，懒得理它了。

可惜，这样写是不对的。

原因嘛，⼀共有四个象限啊，当P1在不同的象限时候，结果是不同的。

论证过程。

省掉N字。

嗯，先说个定理，可能⼤家会⽤到：如上，半径 r 知道了，旋转⾓也知道了，P1P2的长度是多少？呵呵，献丑了，⼿绘的。

这个定理，可以帮我们得到边长，或者得到某边对应⾓的⼤⼩。

在我的项⽬⾥⾯⽤到了。

那么上⾯的P2点，究竟是多少？哦，我就省去复杂的推理过程了，直接出代码：private Point GetNewPoint(double Rate, Point cirPos, Point startPos){double Rage2 = Rate;// / 180 * Math.PI;//B点绕A点转R度得到C点坐标，flag: 顺时针1，反时针-1：B是转的点，A是圆⼼//C.X=（B.X-A.X)*COS(R*flag)-(B.Y-A.Y)*Sin(R*flag);//C.Y= (B.Y-A.Y)*COS(R*flag)+(B.X-A.X)*sin(R*flag);//转的点坐标-圆⼼坐标//圆⼼坐标+计算坐标=新位置的坐标double t1 = (startPos.X - cirPos.X) * Math.Cos(Rage2);double t2 = (startPos.Y - cirPos.Y) * Math.Sin(Rage2);int newx = (int)(t1 - t2);int newy = (int)((startPos.Y - cirPos.Y) * Math.Cos(Rage2) + (startPos.X - cirPos.X) * Math.Sin(Rage2)); Point newpoint = new Point(cirPos.X + newx, cirPos.Y + newy);return newpoint;}上⾯这个公式，不是个⼈推出来的，是教科书上的结论：x0=|R|*cosA y0=|R|*sinA x1 =|R|*cos（A +B）　y1=|R|*sin（A+B）所以将x1，y1展开，有：x1=|R|*（cosAcosB-sinAsinB）y1=|R|*（sinAcosB+cosAsinB）把 cosA = x0/|R| sinA = y0/|R|　代⼊上⾯的式⼦，得到　x1 = |R|*（x0*cosB/|R|-y0*sinB/|R|）　y1 = |R|*（y0*cosB/|R|+x0*sinB/|R|）最终结果：x1 = x0 * cosB - y0 * sinBy1 = x0 * sinB + y0 * cosB呵呵，三⾓函数⽅式，代码与原理交代完毕。

恒成立及应用恒成立及应用是指在数学中，如果一个条件或一个等式对于所有情况都成立，那么我们可以说这个条件或等式是恒成立的。

在数学推理中，我们常常使用恒成立的条件或等式来进行推导和证明。

恒成立的条件或等式可以应用于各种数学问题中。

以下是恒成立及应用的一些具体例子：1. 一次函数的性质：对于y = ax + b这样的一次函数，恒有a = (y2-y1)/(x2-x1)成立，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。

这个恒等式可以用来求解两点确定的直线的斜率，从而有助于研究直线的性质。

2. 三角函数的性质：在三角函数中，有很多恒成立的等式，如正弦定理、余弦定理等。

这些等式可以用于求解三角形的边长、角度等问题，帮助我们理解和推导各种三角函数的性质。

3. 矩阵运算的性质：在线性代数中，有许多恒成立的矩阵等式，如矩阵的加法和乘法的结合律、分配律等。

这些恒等式可以用于简化矩阵运算，推导矩阵的性质，解线性方程组等。

4. 等价命题的推导：在逻辑学中，有许多恒成立的等价命题，例如“非(A 并且B)”等价于“(非A) 或者(非B)”。

这些恒等式可以帮助我们推导出复杂逻辑表达式的简化形式。

5. 无限级数的求和：在微积分中，有很多恒成立的等式用于计算无限级数的求和，如等比数列求和公式、调和级数等。

这些等式可以用于研究级数的性质，计算数值近似等。

此外，恒成立的条件或等式还可以应用于数学证明中。

当我们想要证明一个数学定理时，如果能够找到一个恒成立的等式或条件，那么我们可以通过对等式或条件进行变形，推导出我们想要证明的结论。

这种方法常见于数学的证明过程中，是一种重要的证明策略。

在实际生活中，恒成立及应用也有许多实际应用。

例如，在建筑和工程中，我们常常需要使用几何和三角学等数学知识来计算建筑物的尺寸、角度等。

此时，我们可以应用恒成立的等式来解决问题。

另外，在统计学和概率论中，恒成立的条件或等式可以用于建立数学模型，研究概率分布、估计参数等。

matlab三角函数矩阵求导在Matlab中，可以通过求导函数`diff`来对矩阵进行求导操作。

对于矩阵的每个元素，`diff`函数会计算其相邻元素之差。

根据求导的目标，可以对矩阵的行或列进行求导。

首先，考虑对矩阵的行进行求导。

假设有一个矩阵`A`，其中每行都表示一个函数。

可以通过如下方式对每行进行求导：```matlabA_diff = diff(A, 1, 2);```在上面的代码中，`diff`函数的第一个参数是要求导的矩阵`A`，第二个参数1表示对矩阵的行进行求导，第三个参数2表示求导的差分阶数。

`A_diff`将是一个和`A`同样大小的矩阵，每个元素表示相邻元素的差值。

接下来，考虑对矩阵的列进行求导。

假设有一个矩阵`B`，其中每列都表示一个函数。

可以通过如下方式对每列进行求导：```matlabB_diff = diff(B, 1, 1);```在上面的代码中，`diff`函数的第一个参数是要求导的矩阵`B`，第二个参数1表示对矩阵的列进行求导，第三个参数1表示求导的差分阶数。

`B_diff`将是一个和`B`同样大小的矩阵，每个元素表示相邻元素的差值。

需要特别注意的是，`diff`函数默认会返回一个具有`size(X)-[n 1]`大小的矩阵，其中`X`是输入矩阵，`n`是差分阶数。

因此，对于结果矩阵的边界列，返回的结果可能会不完整。

下面通过一个例子来演示如何使用Matlab对矩阵进行求导。

假设有一个大小为4x4的矩阵`C`，如下所示：```matlabC=[1234;2468;36912;481216];```现在，对矩阵`C`的每行进行求导，可以使用以下代码：```matlabC_diff_row = diff(C, 1, 2);```结果将是一个大小为4x3的矩阵`C_diff_row`，如下所示：```matlabC_diff_row = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3; 4 4 4];```接下来，对矩阵`C`的每列进行求导，可以使用以下代码：```matlabC_diff_col = diff(C, 1, 1);```结果将是一个大小为3x4的矩阵`C_diff_col`，如下所示：```matlabC_diff_col = [1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4];```。

常用的数学公式1. 三角函数三角函数的定义：1) 三角函数是一个角的一种数学性质，具体的定义如下：正弦：sin α=∠α的对边∠α的斜边= ac余弦：cos α=∠α的邻边∠α的斜边= bc 正切：tan α=∠α的对边∠α的邻边= ab=sinαcosα余切：cot α=∠α的邻边∠α的对边= b a =cosαsinα2) 对于任意一个角度α我们也可以用下面的方法定义它的三角函数：在直角坐标系中，在以原点为起点，且与x 轴正方形夹角为α的射线上任取一点A(x 0,y 0),设r =√x 02+y 02,则有:sin α= y 0rcos α=x 0rtan α= y0x 0cot α= x0y 0同时，对于β=α+90°，通过将线段OA 逆时针旋转90°得到OA1，则点A1的坐标为(x 1,y 1)= （−y 0,x 0），所以：sin （α+90°）= y1r = x 0r=cosα cos （α+90°）=x 1r =−y 0r=−sinα用同样的坐标法可以得出：sin(90°−α)=cos α cos(90°−α)=sin α对于γ=α+180°，通过将线段OA 逆时针旋转180°得到OA2，则点A2的坐标为(x 2,y 2)= （−x 0,−y 0），所以：sin （α+180°）= y 2r= −y 0r=−sinα cos （α+180°）=x 2r=−x 0r=−cosα用同样的坐标法可以得出：sin(180°−α)=sin α cos(180°−α)=-cos α●其他三角函数的换算公式sin2α+cos2α=1sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβsin2α=2sinα cosαcos2α=cos2α−sin2α = 1-2sin2α= 2cos2α−1tan α·cot α=12.排列组合（排列A与顺序有关，组合C与顺序无关）●排列从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示:A n m=n!m!=n(n−1)(n−2)···（n−m+1）●组合从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素排成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

matlab三角函数矩阵求导摘要：1.MATLAB 简介2.三角函数在MATLAB 中的应用3.矩阵求导的概念和方法4.MATLAB 中矩阵求导的实现5.总结正文：一、MATLAB 简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析、可视化等领域。

它具有丰富的函数库和灵活的编程环境，使得用户可以方便地处理各种数学问题。

在MATLAB 中，三角函数作为一种基本的数学函数，有着广泛的应用。

二、三角函数在MATLAB 中的应用在MATLAB 中，三角函数主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的逆函数等。

这些函数可以方便地用于解决与角度、弧度相关的计算问题。

例如，我们可以使用sin(x) 计算一个角的正弦值，使用cos(x) 计算一个角的余弦值，使用tan(x) 计算一个角的正切值等。

三、矩阵求导的概念和方法矩阵求导是多元函数微分学的一个重要概念。

在MATLAB 中，矩阵求导主要用于计算矩阵函数的导数。

矩阵求导的方法有多种，如高斯消元法、行列式求导法等。

这些方法在MATLAB 中都有相应的实现。

四、MATLAB 中矩阵求导的实现在MATLAB 中，可以使用符号运算工具箱（Symbolic Toolbox）中的函数实现矩阵求导。

例如，对于一个二维矩阵函数A(x,y)，我们可以使用以下命令计算其偏导数：```matlabAx = diff(A, x);Ay = diff(A, y);```其中，diff 函数用于计算偏导数。

通过这种方式，我们可以方便地计算矩阵函数的偏导数。

五、总结本篇文章介绍了MATLAB 中三角函数的应用以及矩阵求导的概念和方法。

通过使用MATLAB，我们可以方便地处理与角度、弧度相关的计算问题，并实现矩阵函数的求导。

大学用三角函数公式大全锐角三角函数公式sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边sin2a=2sina?cosacos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1tan2a=（2tana）/（1-tana^2）（备注：sina^2就是sina的平方sin2（a））sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana²tan(π/3+a)²tan(π/3-a)三倍角公式推论=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asinaasinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)tant=b/aasinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=a/bsin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))sin(α+β+γ)=sinα²cosβ²cosγ+cosα²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²sinγcos(α+β+γ)=cosα²cosβ²cosγ-cosα²sinβ²sinγ-sinα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα²tanβ²tanγ)/(1-tanα²tanβ-tanβ²tanγ-tanγ²tanα)cos(α+β)=cosα²cosβ-sinα²sinβcos(α-β)=cosα²cosβ+sinα²sinβsin(α±β)=sinα²cosβ±cosα²sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα²tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα²tanβ)sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb) sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtana=sina/cosatan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶维持不变，符号看看象限sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任一非直角三角形,总存有tana+tanb+tanc=tanatanbtanca+b=π-ctan(a+b)=tan(π-c)(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)tana+tanb+tanc=tanatanbtanc同样可以初等矩阵,当x+y+z=nπ(n∈z)时,该关系式也设立由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下结论(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)(7)(cosa）^2+(cosb）^2+(cosc）^2=1-2cosacosbcosc(8)（sina）^2+（sinb）^2+（sinc）^2=2+2cosacosbcosc(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0。

三角函数与矩阵三角函数和矩阵是数学中常见且重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。

三角函数是描述角度关系的数学函数，而矩阵是用来描述线性变换的一种数学工具。

本文将介绍三角函数与矩阵的基本概念以及它们之间的关系。

一、三角函数的基本概念三角函数是描述角度关系的数学函数，由于角度具有周期性，三角函数的定义域通常是实数集，而值域是在一定范围内变化的。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在三角学、物理学和工程中应用广泛。

1. 正弦函数（sine）：用sin表示，表示一个角的对边与斜边的比值。

2. 余弦函数（cosine）：用cos表示，表示一个角的邻边与斜边的比值。

3. 正切函数（tangent）：用tan表示，表示一个角的对边与邻边的比值。

这些三角函数在三角恒等式、三角方程的解法、波动问题以及信号处理中都有重要的应用。

二、矩阵的基本概念矩阵是用来表示线性变换的一种数学工具，它可以简洁地表示一组数据或线性关系。

矩阵由行和列组成，其中行数和列数称为矩阵的阶数。

一个m×n阶的矩阵可以写作：A = [[a11, a12, ..., a1n],[a21, a22, ..., a2n],...,[am1, am2, ..., amn]]每个元素aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵的运算包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置等。

矩阵的加法和乘法满足一定的运算规则，使得矩阵运算具有良好的性质。

三、三角函数与矩阵的关系三角函数和矩阵之间存在着密切的关系，特别是在线性代数和信号处理等领域中。

1. 三角函数的矩阵表示三角函数可以用矩阵表示，这种表示方法可以简化计算和推导过程。

例如，可以使用矩阵形式来表示正弦函数和余弦函数：sin(θ) = [0, 1; -1, 0]cos(θ) = [1, 0; 0, 1]其中θ是一个角度，[0, 1; -1, 0]和[1, 0; 0, 1]分别是正弦函数和余弦函数的矩阵表示。

基于部分三角函数变换矩阵的块压缩感知测量方法陈建;苏凯雄;彭拯;苏立超【摘要】为了提高块压缩感知的测量效率和重构性能,根据离散余弦变换和离散正弦变换具有汇聚信号能量的特性,提出了基于重复块对角结构的部分离散余弦变换(partial discrete cosine transform in repeated block diagonal structure,PDCT-RBDS)和部分离散正弦变换(partial discrete sine transform in repeated block diagonal structure,PDST-RBDS)的两种压缩感知测量方法.所采用的测量矩阵是一种低复杂度的结构化确定性矩阵,满足受限等距性质.并得到一个与采样能量有关的受限等距常数和精确重构的测量数下限.通过与采用重复块对角结构的部分随机高斯矩阵和部分贝努利矩阵的图像压缩感知对比,结果表明,PDCT-RBDS和PDST-RBDS重构的PSNR大约提高1～5 dB,SSIM提高约0.05,所需的重构时间和测量矩阵的存储空间大大减少.该方法特别适合大规模图像压缩及实时视频数据处理场合.【期刊名称】《运筹学学报》【年(卷),期】2015(019)004【总页数】13页(P59-71)【关键词】块压缩感知;结构化随机矩阵;离散余弦变换;离散正弦变换【作者】陈建;苏凯雄;彭拯;苏立超【作者单位】福州大学物理与信息工程学院,福州350116;福州大学物理与信息工程学院,福州350116;福州大学数学与计算机科学学院,福州350116;厦门大学信息科学与技术学院,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O221.22010数学分类号90C25,94A08Chinese Library Classifcation O221.22010 Mathematics Subject Classifcation 90C25,94A08压缩感知理论[1-3]表明,只要信号在某个变换域具有稀疏性,就能利用一个与变换基不相干的观测矩阵,将原始高维信号投影到一个低维空间上.利用这些少量的观测值,就可实现信号的精确重构.为了降低图像压缩过程的计算量,2007年Lu Gan提出了自然图像的块压缩感知(简称BCS)[4].随后L.Stankovic等将块压缩感知应用于视频编码中[5],虽然大大提高了视频采样效率,但存在块效应问题.2009–2011年间,Jame.E Fowler等提出了基于像素域和小波域的块压缩感知,并结合平滑投影兰德韦伯算法和方向性小波变换进行图像重构[6-7],每次迭代前都进行维纳滤波,不仅解决了块效应问题，而且具有良好的去噪效果.2012年Jame.E Fowler等通过分析和对比各种BCS-SPL(block compressed sensing and smoothed projected Landweber reconstruction)算法,指出了基于帧的重构算法优于基于块的重构算法[8].上述研究都习惯性地采用部分随机高斯矩阵对图像块进行测量,此操作等效于采用重复块对角结构的部分随机高斯矩阵(PRGS-RBDS)测量图像,但并没有分析该矩阵的RIP.2015年Armin Eftekhari等证明了随机块对角矩阵的RIP,并给出了独立块对角(DBD)矩阵和重复块对角(RBD)矩阵用于压缩感知的测量数下限[9].这些研究完善了基于块对角形式的结构化压缩感知测量方法的理论界限.为了进一步提高基于块结构压缩感知的测量效率和重构性能,本文将部分三角函数变换矩阵嵌入到块对角结构中,提出了用于压缩采样的结构化确定性矩阵PDCT-RBDS和PDST-RBDS,以求能够在较低复杂度和较短时间内,高保真地重建自然图像.1.1 压缩感知根据CS理论[1-3],在变换域具有S-稀疏的信号(U),可通过一组与变换基(Ψ)不相干的测量向量A,投影得到测量值F,即其中,U是N×1的原始信号矩阵,F是M×1的测量值矩阵,A是M×N的测量矩阵(M≪N),θ是稀疏系数,Φ=AΨ是对应的感知矩阵.信号重构问题即求解式(1.1)中的U.由于M远小于N,故是一个病态方程求解问题.可以通过求解lp(0≤p≤1)最小范数下带约束的最优化问题来获得稀疏系数θ:当A为随机高斯矩阵和贝努利矩阵时,Φ也具有与A类似的分布特征,且高概率满足RIP条件:其中,δs为受限等矩常数.此时,精确重构所需测量数为1.2 块压缩感知为了减小计算量和所需存储空间,一些学者将基于块的测量方案[4-8]引入压缩感知中.块压缩感知将每幅图像分为NB个尺寸为B的非重叠块,并将每个图像块转化为B×1的列向量ui(其中i=1,2,···,NB,为块序号),则图像可表示为图像块的列矢量组合: 通过合适的矩阵AB(尺寸为MB×B)分块测量,得到第i块的测量值为将式(1.6)的块压缩感知应用于整帧图像等效于按照式(1.1)进行压缩感知,仅需满足A为块对角矩阵,即:当变换基Ψ也具有类似的块结构时,解码端可以按块重构.文献[8]表明由于块重构存在块效应现象,帧重构方法优于块重构,相关实验验证了基于帧重构的BCS-SPL(-DWT, -DDWT和-CT,即discrete wavelet transform,dual-tree discrete wavelet and contourlet transform)的重构质量优于基于块重构的BCS-SPL(-DCT,即discrete cosine transform)算法.其中BCS-SPL-CT重构质量好,且复杂度较低,是一个性价比较高的BCS-SPL重构算法.1.3 随机块对角矩阵块对角矩阵的一般形式为块对角矩阵包括DBD和RBD两种[9],式(1.7)结构的块对角矩阵属于RBD.当AB 为满足RIP条件的高斯随机矩阵时,准确重构所需的测量数为其中,r(Ψ)表示Ψ的块相干性,定义如下:其中,en表示n维规范基的列,n∈ℕ,2.1PDCT和PDST由于图像的灰度值具有高度的局部相关性,因此图像块的DCT或DST的低频系数能量大且集中,高频系数能量小.如果以PDCT或PDST作为测量矩阵,恰好能实现从低频数据逐步到高频数据的采集过程,从而就能快速采集到信号的绝大部分信息量. 假设AB∈ℝB×B为DCT(或DST)矩阵,Ap∈ℝm×B为AB的前m行,即Ap为PDCT (或PDST)矩阵,Ar∈ℝ(B−m)×B为AB的后(B−m)行. 设图像块u∈ℝB×1,测量值f∈ℝm×1,令Ad∈ℝB×B为Ap与零矩阵组成的矩阵:由于f=ABu的大部分能量都集中在前m行,即低频部分Apu,故可将能量较小的高频部分看作误差e=ABu−Adu,即:因此,可将Adu的测量值fd看作误差为e的全采样ABu,即:由于Ad的后(B−m)行均为0,故fd的后(B−m)行也为0,实际采样时仅需采样前m 行,即使用测量矩阵Ap获得测量值:当测量数为m时,接收端仅需在fp后填满(B−m)行零,简单地利用IDCT(或IDST)变换,就能够全概率地重构出含误差e的原始数据u,e的大小依赖于图像在DCT(或DST)域的高频分量的能量.为了提高重构的客观质量和可视效果,也可以采用优化算法重构.2.2 PDCT-RBDS和PDST-RBDS为了满足大规模图像压缩和实时处理的需求,需要使用分块采样.根据公式(1.5)将NB个图像块列矢量ui组合成图像U,则所有图像块的完整测量值F、含噪测量值Fd和噪声组合E之间的关系可表示为其中,实际上允许存在测量噪声E的前提下,仅需取每个块的测量值的前m行即可,等效于U的测量矩阵为当Ap为PDCT或PDST矩阵时,A称为具有重复块对角结构的部分离散余弦变换(PDCT-RBDS)矩阵或离散正弦变换(PDST-RBDS)矩阵. 实际上,PDCT和PDST是PDCT-RBDS和PDST-RBDS块数为1的特例,故下面仅讨论PDCT-RBDS和PDSTRBDS的性质.2.3 RIP分析前文已经给出针对整幅图像分块测量的PDCT-RBDS(或PDST-RBDS)矩阵A的结构.本节讨论上述测量矩阵的RIP.由于AB为正交矩阵,故IDCT(或IDST)解码图像块的重构误差为相应地,基于PDCT-RBDS(或PDST-RBDS)测量和反变换的重构误差则为例如,Lena和Barbara的图像块和整幅图像测量和反变换的重构误差和测量率(即采样率)曲线如图1和2所示.从图1和2看出,自然图像的率失真曲线可以近似看作一个负指数函数.当采样率在5%以内,重构误差由1陡然下降到0.05;当采样率在5%到15%之间时,重构误差下降速度略趋平缓;当采样率大于15%时,重构误差随着采样率的增大呈更缓慢的下降趋势.总之,采样率较小时测量误差较大,若分块测量,各块分别采用IDCT/IDST解码,必然存在块效应.当待测信号在Ψ域具有稀疏性或可压缩性时,可建立最优化重构模型: 设感知矩阵Φ=ADΨ,其中Ψ为正交变换基,则由于AB和Ψ均为正交基,有:结合式(2.5)和式(2.8),可推出PDCT-RBDS(或PDST-RBDS)矩阵的RIP性质:其中,δE的上界表征了RIP常数,其值越小重构精度越高.此处δE是一个依赖于采样能量的常数,它由采样信号误差ErrU决定,如图1和2所示,故δE可模拟为一个关于subrate(采样率)的负指数函数:其中,α影响曲率,根据不同图像其值略有差别,因而α可看作一个与采样能量集中程度相关的系数.当α取70时,可得到如图3所示的δE拟合曲线,与上文讨论的Lena 和Barbara的率失真曲线基本吻合.当采样率接近于0时,ErrU(δE)趋向于1,重构质量很低;当采样率较小时,ErrU(δE)已经相当小,故能获得比随机测量矩阵更高的能量,从而有更好的重构效果.随着采样率的增大,剩余误差能量缓慢小,重构精度逐步升高.2.4 复杂度分析下面从重构所需的测量数和测量运算量等角度分析本文算法的复杂度.由于测量数M=subrate×N,结合公式(2.12)可以推导出精确重构的测量数:其中,α与δE都与采样信号的能量相关,即PDCT-RBDS和PDST-RBDS的测量数下限依赖于采样信号的能量.由于本文采用重复块对角结构的测量矩阵,故每个图像块测量数m相同,总测量数M =NBm.对于尺寸为B的图像块,测量的乘法运算量为mB=MN/N2B,整幅图像需要进行NB次这种测量,因此运算量为O(MN/NB).此外,由于DCT和DST都是基于DFT(离散傅立叶变换)的变型,具有快速算法,因此测量和重构速度很快.表1列出了随机矩阵(PRGS或PBNL)、重复块对角结构的随机矩阵(PRGS-RBDS 或PBNL-RBDS),以及本文提出的重复块对角结构的三角函数变换矩阵(PDCT-RBDS或PDST-RBDS)的复杂度情况.从表1可以看出,本文算法的测量数依赖于采集信号的能量,不依赖于信号在变换域的稀疏度,因而适用于更广泛的正交变换基，甚至可以推广至冗余的紧框架.此外,测量复杂度低,并具有快速算法,因而适用于大规模图像及视频的实时处理场合.为了验证本文测量方案的性能,利用Matlab工具进行算法仿真,以重构前后图像的峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)反映重构质量,以重构时间和迭代次数反映计算复杂度.实验平台是配置为Intel(R)Core(TM)i5-2520M CPU,主频2.50GHz,内存3.05GB的联想笔记本.3.1PDCT和PDST对于小图像采用PDCT和PDST矩阵对矢量化的图像直接测量,可采用填零和逆变换方法重构,简称为PDCT-IDCT和PDST-IDST,也可以采用凸优化重构算法,如TVAL3,简称为PDCT-TVAL3和PDST-TVAL3.对比算法以部分随机高斯矩阵和贝努利矩阵为测量矩阵,利用TVAL3算法重构,简称为PRGS-TVAL3和PBNL-TVAL3.测试图像取自两幅尺寸为256×256的经典灰度图像Lena(平滑为主)和Barbara(纹理丰富)中心位置的32× 32的图像块,测试结果如图4和5所示.由图4和5可以看出采用PDCT或PDST矩阵测量的重构质量基本高于采用PRGS和PBNL,当采样率≥20%时,PSNR约高出1～5dB,SSIM高出0.1～0.25,而重构复杂度(重构时间和迭代次数)低了近一半.PDCT-TVAL3和PDST-TVAL3重构的PSNR和SSIM最好,且率失真曲线随着采样率的增长光滑上升.PDCT-IDCT和PDST-IDST由于重构无需迭代,直接填零做逆变换,因而复杂度非常低,且重构的PSNR很高,但SSIM不及TVAL3重构.3.2PDCT-RBDS和PDST-RBDS为验证PDCT-RBDS和PDST-RBDS测量矩阵的性能,在BCS框架下,以文献[6,8]中的性能较好的、基于轮廓波域稀疏性的BCS-SPL-CT算法(简称SPL)作为优化重构算法.采用基于重复块对角结构正交化的部分随机高斯(PRGS-RBDS)和贝努利(PBNL-RBDS)矩阵为对比矩阵,配合SPL重构算法,相应的参考算法简称PRGS-RBDS-SPL和PBNLRBDS-SPL.本文提出的新算法则采用基于块结构的部分离散余(正)弦变换矩阵,将基于该矩阵的直接补零逆变换重构的算法简称为PDCT-RBDS-IDCT和PDST-RBDS-IDST,采用SPL重构的算法简称PDCT-RBDS-SPL和PDST-RBDS-SPL.测试素材取自256×256的经典灰度图像Lena和Barbara,块尺寸取32×32.测试结果见图6～9.图6和7展示了lena和barbara图像在不同采样率下,六种块压缩感知算法的PSNR、SSIM、重构时间和迭代次数四种性能对比曲线图.图8和9取采样率为50%时,两种测试素材的重构性能及重构图像比较.由图6和7可以看出,在不同采样率下,采用PDCT-RBDS和PDST-RBDS测量矩阵的重构质量都不同程度地高于以PRGS-RBDS和PBNL-RBDS为测量矩阵的算法, PDCT-RBDS-SPL和PDST-RBDS-SPL算法恢复的PSNR高出参考算法1～5dB,SSIM提高约0.05,同时重构时间和迭代次数都少于参考算法.仅在采样率为10%时,Lena重构的PSNR略低于参考算法.PDCT-RBDS-IDCT和PDST-RBDS-IDST的客观质量介于两者之间,重构时间最短,且无需迭代.从图8和9可以看出,PRGS-RBDS-SPL和PBNL-RBDS-SPL重构的图像基本可视,但含有较大噪声,PDCT-RBDS-IDCT和PDST-RBDS-IDST重构的各图像块虽然质量较高,但存在明显的块效应,PDCT-RBDS-SPL和PDST-RBDS-SPL算法重构出的图像清晰无噪、层次感好,视觉效果最好.为了提高块压缩感知(BCS)的测量效率和重构性能,本文将PDCT和PDST矩阵引入到块压缩感知框架中,提出了PDCT-RBDS和PDST-RBDS两种测量结构.测量过程,首先将图像分成大小相等的图像块并进行矢量化组成图像矩阵,然后利用PDCT或PDST矩阵进行测量,并借用现有的优化算法进行帧重构.理论分析部分,推导出PDCT-RBDS和PDCT-RBDS矩阵的受限等距特性,并给出其受限等距常数和测量数的界.创新之处在于提出一种低复杂度的结构化确定性测量矩阵,并推导出一个与采样能量有关的受限等距常数和测量数下限.实验部分,与之前的基于块对角结构的图像压缩感知方法PRGSRBDS和PBNL-RBDS进行对比,PDCT-RBDS和PDST-RBDS重构的PSNR和SSIM有了较大的提高,重构时间和迭代次数明显降低,并且具有较好的主观质量.因此,PDCTRBDS和PDST-RBDS特别适合大规模图像压缩及实时视频数据处理场合.下一步考虑将该测量算法应用到实时数据采集及视频压缩感知中.【相关文献】[1]Candes E,Romberg J,Tao T.Robust uncertainty principles:exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006, 52(2):489-509.[2]Donoho pressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(4): 1289-1306.[3]Eldar Y.C,Kutyniok pressed sensing:theory and applications[M].NewYork:Cambridge University Press,2012.[4]Lu G.Block compressed sensing of natural images[C]//Digital Signal Processing,2007 15th International Conference,2007:403-406.[5]Stankovic L,Stankvic V,Cheng pressive video sampling[C]//Signal Processing Conference(EUSIPCO),2008 Switzerland,Lausanne,2008.[6]Mun S,Fowler J.E.Block compressed sensing of images using directionaltransforms[C]//Proceedings of Int.Conf.on Image Processing,2009.[7]Fowler J E,Mun S,Tramel E W.Multiscale block compressed sensing with smoothed projected landweber reconstruction[C]//Proceedings of the European Signal Processing Conference, Barcelona,Spain,2011:564-568.[8]Fowler J E,Mun S,Tramel E W.Block-based compressed sensing of images andvideo[C]// Foundations and Trends in Signal Processing,2012,297-416.[9]Armin E,Han L Y,Christopher J R,et al.The restricted isometry property for random block diagonal matrices[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,2015,38(1):1-31.。