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第七章万有引力与宇宙航行一、思维导图二、考点通关考点1行星的运动开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。
解决了行星绕太阳运动的速度大小问题 开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等⎝⎛⎭⎫a 3T 2＝k表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短2．行星运动的近似处理实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。
这样就可以说：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r 的三次方跟它的公转周期T 的二次方的比值都相等，即r 3T 2＝k 。
注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。
【典例1】“墨子号”是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球E 运动的椭圆轨道，地球E 位于椭圆的一个焦点上。
轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔⎝⎛⎭⎫Δt ＝T 14，T 为轨道周期的位置。
则下列说法正确的是( )A ．面积S 1>S 2B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴【答案】C【解析】根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，A错误；根据开普勒第二定律，卫星在A点、B点经过很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积S A＝S B，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作扇形，则12v AΔt·r A＝12v BΔt·r B，且知r A<r B，则v A>v B，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即a3T2＝k，整理可得T2＝1k a3＝Ca3，其中C＝1k，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
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第七章万有引力与宇宙航行7.1行星的运动 ....................................................................................................................... - 1 -7.2万有引力定律 ................................................................................................................... - 6 -7.3万有引力理论的成就...................................................................................................... - 14 -7.4宇宙航行 ......................................................................................................................... - 21 -7.5相对论时空观与牛顿力学的局限性.............................................................................. - 30 -7.1行星的运动一、地心说和日心说开普勒定律1．地心说地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他星体都绕地球运动。
2．日心说太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。
[注意]古代两种学说都是不完善的，因为不管是地球还是太阳，它们都在不停地运动，并且行星的轨道是椭圆，其运动也不是匀速率的。
鉴于当时人们对自然科学的认识能力，日心学比地心说更进一步。
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听课记录：2024秋季人教版高中物理必修第二册第七章万有引力与宇宙航行《万有引力定律》一、教学目标（核心素养）•物理观念：理解万有引力定律的基本概念，掌握其公式及适用条件，认识万有引力是自然界中普遍存在的力。
•科学思维：通过逻辑推理和实验证据，理解万有引力定律的得出过程，培养科学推理和建模能力。
•科学探究：通过案例分析，探究万有引力定律在解释天体运动中的应用，培养科学探究精神。
•科学态度与责任：培养尊重科学、实事求是的态度，认识到万有引力定律在探索宇宙规律中的重要性，激发探索宇宙奥秘的兴趣。
二、导入•教师行为：通过展示一段关于天体运动的视频，如行星绕太阳公转、月球绕地球旋转等，引导学生思考这些天体运动背后的原因。
然后，教师提出问题：“是什么力量使得这些天体能够按照特定的轨道运动？”•学生活动：观看视频，积极思考教师提出的问题，尝试从物理学的角度给出初步的解释或猜想。
•过程点评：视频导入直观生动，有效吸引了学生的注意力，问题设置具有启发性，为后续学习万有引力定律做了良好的铺垫。
三、教学过程3.1 万有引力定律的引入•教师行为：首先，教师简要回顾历史上对天体运动规律的研究，如开普勒行星运动三定律。
然后，介绍牛顿在前人研究基础上提出万有引力定律的过程，强调万有引力定律的普遍性和重要性。
•学生活动：认真听讲，回顾相关知识，理解万有引力定律提出的背景和意义。
•过程点评：教师通过历史回顾，帮助学生构建了知识的连贯性，增强了学生对万有引力定律重要性的认识。
3.2 万有引力定律的内容与公式•教师行为：详细讲解万有引力定律的内容，即任何两个质点之间都存在相互吸引的力，这个力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
同时，教师板书万有引力定律的公式F=G(m₁m₁/r²)，并解释各符号的含义。
•学生活动：跟随教师的讲解，认真记录公式和要点，理解万有引力定律的内容及其公式的含义。
•过程点评：教师讲解清晰，板书规范，有助于学生准确掌握万有引力定律的内容及其公式。
万有引力定律(说课与教案)第一章：引言1.1 课程导入通过提问方式引导学生思考：什么是引力？为什么物体之间会相互吸引？引入万有引力定律的概念，让学生了解本节课的学习目标。
1.2 教学目标让学生了解引力的概念和物体之间的相互吸引力。
引导学生理解万有引力定律的内容和表达式。
培养学生通过实验和观察来验证万有引力定律的能力。
第二章：引力的概念2.1 教学内容介绍引力的概念，解释物体之间的相互吸引力。
引导学生理解引力的作用和引力的方向。
2.2 教学方法通过提问方式引导学生思考：为什么物体之间会相互吸引？使用图示和实例来解释引力的概念和方向。
第三章：万有引力定律3.1 教学内容介绍万有引力定律的内容和表达式。
解释万有引力常数的概念和意义。
3.2 教学方法使用图示和实例来解释万有引力定律的内容和表达式。
引导学生通过数学计算来理解万有引力常数的概念。
第四章：验证万有引力定律4.1 教学内容介绍验证万有引力定律的实验方法。
引导学生观察和记录实验结果。
4.2 教学方法组织学生进行实验，观察和记录实验结果。
引导学生分析实验结果与万有引力定律的关系。
第五章：应用万有引力定律5.1 教学内容介绍万有引力定律在实际问题中的应用。
引导学生解决实际问题，如行星运动、卫星轨道等。
5.2 教学方法使用实例和问题来引导学生理解万有引力定律的应用。
组织学生进行小组讨论和解答问题，培养学生的实际应用能力。
第六章：地球引力与地表重力6.1 教学内容介绍地球引力的概念和地表重力的计算。
解释地球质量、地球半径和重力加速度对地表重力的影响。
6.2 教学方法使用图示和实例来解释地球引力的概念。
引导学生通过数学计算来理解地表重力的计算方法。
第七章：天体运动与万有引力7.1 教学内容介绍天体运动的基本概念和规律。
解释万有引力在天体运动中的作用和影响。
7.2 教学方法使用图示和实例来说明天体运动的基本规律。
引导学生理解万有引力对天体运动的影响。
第八章：卫星轨道与万有引力8.1 教学内容介绍卫星轨道的基本概念和类型。
高中物理第七章：万有引力与宇宙航行基础总结能力提升模块一：概念及其理解开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
（轨道定律）理解：行星绕太阳的轨道严格来说是椭圆，太阳不在椭圆的中心，行星与太阳间的距离不断变化。
需要注意椭圆其中的概念：如上图，A、B为椭圆的焦点，设A为太阳，则G为近日点，H为远日点。
GE＝EH＝半长轴，IE＝EH＝短半轴，AE＝EB＝焦距，设常量e＝EB/EH，e越小则椭圆越近似为圆。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等（相同轨道内）（面积定律)理解：当行星离太阳较近时，运行速度较大，而离太阳较远时速度较小。
（V近/V远＝R远/R近)。
对于上述结论，我们进行简要推导，如图：设行星在近日点时距离太阳的距离为r1速度为v1，远日点时则为r2，v2。
假设行星在近日点和远日点的运行时间足够短且设为Δt，则两部分均近似为扇形，即：½v1r1Δt＝½v2r2Δt。
故v1r1＝v2r2。
又因为v1＝ΔL1/Δt，v2=ΔL2/Δt，ΔL1＞ΔL2，Δt相同，所以v1＞v2，故v近日点＞v远日点。
开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等（绕同一天体）若设a代表半长轴、T代表周期，则a³/T²＝K，比值K是一个对所有行星都相同的常量，其由中心天体质量决定，K∝中心天体质量，与环绕天体无关。
|a1/a2|³=|T1/T2|²用于题目求解。
若轨道可近似为圆r为圆的半径，则a→r万有引力定律：自然界任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，万有引力计算公式为F＝Gm1m2/r²，G＝6.67×10-¹¹N·㎡/kg²。
m1、m2为两物体的质量，r为两物体质心之间的距离。
第七章万有引力与宇宙航行 第三节万有引力理论成就【重难点突破】【例1】．（2021·山东·惠民二中高一月考）寻找地球外文明一直是科学家们不断努力的目标．为了探测某行星上是否存在生命，科学家们向该行星发射了一颗探测卫星，卫星在离行星表面高度为R 的轨道上绕该行星做匀速圆周运动，已知卫星周期为T ，卫星的质量为m ，引力常量为G ，行星的半径也为R ，求： （1）行星的质量M ；（2）行星的密度ρ； （结果用G 、M 、R 表示） 【答案】（1）23232R M GT π=；（2）224GT πρ=【解析】 （1）由万有引力提供向心力得：()2224G22Mmm R TR π= 解得 ：23232M R GTπ= （2）由ρM V = ， 34V 3R π= 解得：224GT πρ=【变式1】．（2021·辽宁本溪·高一期末）某行星的质量与地球的质量相等，但是它的半径只有地球半径的一半，已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ，求：此行星表面的重力加速度； 【答案】4g ；【解析】 （1）在星球表面有重力等于万有引力，即 2Mmmg GR = 解得 2GMg R= 则有 222214114GM g R M R GM g M R R ===⨯=行行行地行地地行地 星球表面的重力加速度为 4g g =行【例2】．（2021·福建·福清西山学校高三月考）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。
（取地球表面重力加速度g 1=10m/s 2，空气阻力不计， 该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地=1∶4） 求：（1） 求该星球表面附近的重力加速度g 2； （2） 求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地。
【答案】（1）22m/s ；（2）1:80【解析】 （1）竖直上抛运动的总时间 02v t g= 因为初速度相同，时间之比为1：5，所以星球表面的重力加速度 22112m/s 5g g == （2）设星球表面有一物体质量为m ，则2GMm mg R = 所以 GgR M 2= 即 21115480M M =⨯=星地 【变式2】．（2021·浙江·高一月考）1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km 。
万有引力与宇宙航行复习学案一、开普勒定律1．第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在上．2．第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 ． 3．第三定律（周期定律）：所有行星轨道的 跟它的 的比都相等．其表达式为a3T2＝k ，其中a 是椭圆轨道的半长轴，T 是公转周期，k 是一个对所有行星的常量．二、万有引力定律、引力常量 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的 成正比、与它们之间 成反比． 2．表达式： ，其中G 叫作引力常量．通常情况下取G ＝ N ·m 2/kg 2. 3.重力和万有引力的关系地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F ′提供向心力，另一个分力为重力G ，如图所示．当物体在两极时：G ＝F 引，重力达到最大值G max ＝G MmR 2.方向与引力方向相同，指向地心．当物体在赤道上时：F ′＝m ω2R 最大，此时重力 G min ＝G Mm R2－m ω2R 方向与引力方向相同，指向地心．(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F ′＝m ω2R ′减小，F ′与F 引夹角增大，所以重力G 在增大，重力加速度增大．因为F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg<G MmR 2.重力与高度的关系若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．特别说明(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力．(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg ＝G MmR 2. 三、天体质量和密度的计算1．重力加速度法 ①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于 ．②关系式：mg ＝G mm 地R 2.③结果：m 地＝gR2G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量． ④推广：若知道某星球表面的 和星球 ，可计算出该星球的质量． 2．卫星环绕法①思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时， 充当向心力． ②关系式：Gmm 太r 2＝m 4π2T 2r.③结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量．④推广：若已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．3．计算天体的密度：若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3①将M ＝gR 2G 代入上式得ρ＝3g 4πGR . ②将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr3GT 2R 3.当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT2.四、天体运动规律的分析与计算1．基本思路一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F 向＝F 万． 2．常用关系(1)G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr 4π2T 2＝m ωv ＝ma n ，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．(2)mg ＝G Mm R 2，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR 2＝GM ，该公式称为黄金代换．3．四个重要结论：v 与r 的关系 G Mm r 2＝m v2r v ＝GMrr 越大，v 越小 ω与r 的关系 G Mm r 2＝m ω2rω＝GMr3 r 越大，ω越小 T 与r 的关系G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ω＝GMr3 r 越大，ω越小 a 与r 的关系 G Mm r 2＝ma a ＝GMr2 r 越大，a 越小速记口诀：高轨低速周期长五、宇宙速度1.第一宇宙速度的推导：已知地球质量m 地和半径R ，物体在地面附近绕地球的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，轨道半径r 近似认为等于地球半径R ，由Gmm 地R 2＝m v2R，可得v ＝Gm 地R. 2.已知地面附近的重力加速度g 和地球半径R ，由mg ＝m v2R 得：v ＝gR.3.三个宇宙速度及含义第一宇宙速度物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度 km/s 第二宇宙速度在地面附近发射飞行器使其克服地球引力，永远离开地球的最小地面发射速度km/s 第三宇宙速度在地面附近发射飞行器使其挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小地面发射速度 km/s 六、人造地球卫星1．人造地球卫星地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心． 2．地球同步卫星(1)位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星． (2)特点①定周期：所有同步卫星周期均为T ＝24 h.②定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东．③定高度：由G mm 地(R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h)可得，同步卫星离地面高度为h ＝3Gm 地T24π2－R ≈3.58×104km ≈6R.④定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变． ⑤定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变．七、双星问题两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫做双星．双星中两颗子星相互绕着旋转看作匀速圆周运动的向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比．参考答案：一、椭圆 椭圆的一个焦点 面积相等 半长轴的三次方 公转周期的二次方 都相同二、连线 质量m 1和m 2的乘积 距离r 的二次方 F ＝G m 1m 2r2 6.67×10－11最小三、地球对物体的引力 重力加速度 半径 行星与太阳间的万有引力。
合格性考试讲义 必修二第七章 万有引力与宇宙航行第二节 万有引力定律一、行星与太阳间的引力1．猜想行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F 应该与行星到太阳的距离r 有关．2．模型简化行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．3．太阳对行星的引力F ＝mv 2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πr T 2·1r＝4π2mr T 2. 结合开普勒第三定律得：F ∝m r 2.4．行星对太阳的引力根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F ′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F ′∝M r 2. 5．太阳与行星间的引力由于F ∝m r 2、F ′∝M r 2，且F ＝F ′，则有F ∝Mm r 2，写成等式F ＝G Mm r 2，式中G 为比例系数．二、月—地检验1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律．2．推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的1602． 3．结论：计算结果与预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．三、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式：F ＝G m 1m 2r 2. 3．引力常量G ：由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.4.对万有引力定律的理解（1）公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，称为引力常量，m 1、m 2分别为两个物体的质量，r 为它们之间的距离。
（2）适用条件：∝严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用∝万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r 是两个球体球心间的距离∝计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心与质点间的距离∝两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r 为两物体质心间的距离（3）万有引力的特性∝普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力∝相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律∝宏观性：在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用∝特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，与所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关。
第七章第三节 万有引力定律 理解领悟本节在前一节得出太阳与行星间引力规律的基础上，进一步将“天上”的力与“人间”的力统一起来，得出了万有引力定律。
要了解万有引力定律得出的思路和过程，了解万有引力定律的含义，并会初步应用万有引力定律进行分析与求解。
1. 猜想Ⅰ：“天上”的力与“人间”的力可能出于同一个本源通过上节的分析，我们对于行星的运动规律可以理解了。
但是，太阳与行星间的引力使得行星不能飞离太阳；而地面上的物体，如苹果被抛出后总要落回地面，是什么力使得苹果不离开地球呢？牛顿设想：苹果不离开地球，是否也是由于地球对苹果的引力造成的?地球对苹果的引力和太阳对行星的引力是否根本就是同一种力呢？若真是这样，物体离地面越远，其受到地球的引力就应该越小。
可是地面上的物体距地面很远时，如在高山上，似乎重力没有明显地减弱，是物体离地面还不够远吗？这样的高度比起天体之间的距离来，真的不算远！再往远处设想，如果物体延伸到月球那么远，物体是否也会像月球那样围绕地球运动？地球对月球的力、地球对地面上物体的力、太阳对行星的力，也许真是同一种力！2. 验证：月—地检验假定上述猜想成立，即维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径（苹果到地心的距离）的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602。
根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也就应该是它在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的1/602。
在牛顿的时代，重力加速度、月—地距离、月球的公转周期都已能较精确地测定，从而能够算出月球运动的向心加速度。
计算结果表明，月球运动的向心加速度确实等于地面重力加速度的1/602，这说明地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力，真的是同一种力！至此，“平方反比”律已经扩展到太阳与行星间、地球与月球间、地球与地面物体间。
3. 猜想Ⅱ：推广到宇宙中的一切物体牛顿在上述推断的基础上，作了更大胆的猜想：任意两个物体之间都存在着这样的引力，它与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的二次方成反比。
只是由于一般物体的质量比天体的质量小得多，我们不易觉察。
于是，上述结论被推广到宇宙中的一切物体之间。
牛顿当时的魄力、胆识和惊人的想象力实在让我们敬佩！物理学的许多重大理论的发现，不是简单的实验结果的总结，它需要直觉和想象力、大胆的猜想和假设，再引入合理的模型，需要深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维，常常是一个充满曲折和艰辛的过程。
4. 万有引力定律经过上述第Ⅱ步猜想，牛顿的结论是：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比，即221rm m G F 。
需要指出的是，上述结论至此还只是一种猜想，尽管这个推广是十分自然的，但仍要接受事实的直接或间接的检验。
在下一节“万有引力理论的成就”中讨论的问题表明，由此得出的结论与事实相符。
于是，它成为科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。
5. 对万有引力定律的进一步说明关于万有引力定律，我们可从以下几方面来加深理解：① 万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，万有引力定律是一个非常重要的定律，它适用于宇宙中的一切物体。
万有引力定律的发现，对物理学和天文学的发展具有深远的影响。
② 万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算，因为对一般物体而言，“两个物体之间的距离”到底是指物体哪两部分的距离，无法确定。
实际物体当它们之间的距离远大于它们本身的尺度时，可视为质点。
对质量均匀分布的球体，也可以用此公式计算它们之间的引力，其中的距离即两球心之间的距离。
但是，对于一般物体间的万有引力，切不可用它们质心间的距离代入上式计算。
③ 求一个质点受到多个质点的万有引力时，可先用万有引力公式求出各个质点的引力，再求它们的矢量和。
④ 万有引力公式中G 的是比例系数，叫做引力常量，是自然界中少数几个最重要的物理常量之一，通常取 G=6.67×10-11N·m 2/kg 2。
6. 牛顿发现万有引力定律的思路现在，我们来回顾一下牛顿发现万有引力定律的思路。
万有引力定律的发现是按照下面的思路展开的：① 观察方法获得规律：行星运动的开普勒定律。
问题：行星运动为什么会有这样的规律？② 猜想原因：太阳对行星的引力作用。
问题：太阳对行星的引力与什么因素有关？ ③ 数学演绎得到规律：根据已知规律（开普勒行星运动定律和牛顿运动定律）推出太阳与行星间的引力遵从的规律： 2rMm F ∝。
④ 进一步猜想：地球使地面上物体下落的力，与太阳使行星运动的力、地球使月球运动的力是否出于同一原因？⑤ 猜想得到检验：月—地检验使猜想得到证实。
⑥ 更大胆地猜想：自然界任何两个物体之间是否也有这样的吸引力？⑦ 得到万有引力定律： 221r m m G F =。
7. 探索“行星运动的原因”的历史公元1世纪，古希腊哲学家柏拉图认为，匀速圆周运动是最和谐、最完美的，不需要任何外力的推动和维持。
一个半世纪以后的伽利略时代，开始用动力学理论来解释天体运动的原因。
开普勒受到英国医生吉尔伯特的影响，提出引力是来自同一发出的“磁力流”，它们像轮辐一样沿太阳旋转的方向而转动，沿切线的方向推动着行星的公转。
法国的笛卡尔则用“漩涡”来解释引力现象，提出了“以太”的流质存在。
牛顿同一时代的科学家胡克、哈雷、伦恩等关心引力问题的研究，1680年胡克给牛顿的信中提到了行星受到太阳的引力，这个引力与距离的平方成反比，但是他们无法证明在椭圆轨道下引力也遵循同样的规律。
牛顿早在1666年，也就是苹果砸到头上的日子里，牛顿就在考虑这个问题，经过20多年的探索，终于在1687年发表的《自然哲学的数学原理》一书中公布了万有引力定律。
8. 有关月—地检验的计算牛顿进行了著名的月—地检验，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。
假设地面的重力 21RG ≈， 月球受到的引力 21r F ≈， 因为 22,,r R g a ma F mg G ===， 又因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，即R r 60=，所以 232s /m 107.2s /m 36008.93600,36001-⨯≈===g a g a 。
月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度r T r a 2224πω==， 经天文观察月球绕地球运动的周期27.3s 2436003.27⨯⨯==天T ，m 104.660606⨯⨯==R r ， 所以 232622s /m 107.2s /m 104.660)3.27243600(14.34-⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=a 。
两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。
9. 不能看成质点的物体间的引力如果两个物体的距离很远，就可以忽略它们的形状和大小，把它们看成质点，直接运用万有引力公式计算它们之间的引力。
如果两个物体相距不太远，在计算它们之间的万有引力时，一般就不能把它们看成质点，而应将每一物体看成一个质点系。
物体A 包含的所有质点与物体B 包含的所有质点之间都有引力。
如图7—3所示，物体B 的各质点m 1’、m 2’、m 3’、……m k ’ 对物体A 的任一质点均有引力，所以质点m 1所受引力的总和为 ∑'=k k k r m m GF 2111（矢量和）。
物体B 的各质点m 1’、m 2’、m 3’、……m k ’ 对物体A 的其它质点m 2、m 3、m 4、……m i 均有引力，这些力的合力就是物体B 对物体A 的引力，可用下式表示：图7—3∑'=k i ikk i r m m GF ,2（矢量和）。
物体A 对物体B 的引力F ’ 与F 大小相等，方向相反。
10. 地球引力与重力重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力。
这种说法，实际上是忽略了地球自转对物体的影响，若考虑这一影响，则重力应是物体所受到的地球对它的引力的一个分力（另一分力为物体跟随地球自转所需要的向心力）。
当然，由于地球引力与物体的重力差别较小，在通常情况下可以认为两者相等。
由2)(h R Mm G g m +='得，离地h 高处重力加速度 2)(h R GM g +='， 这里M 、R 分别为地球的质量和半径。
将h 取作0，即得地面附近重力加速度 2RGM g =。
可见， 22)(h R R g g +='。
11. 引力常量的测量1798年，英国物理学家卡文迪许在实验室里利用“扭秤”，通过几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量G 的数值。
卡文迪许的“扭秤”实验装置如图7—4所示。
图中T 型框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m 的小球附近各放置一个质量均为M 的大球，用一束光射入平面镜。
由于大、小球之间的引力作用，T 型框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F ，再测出m 、M 和球心的距离r ，即可求出引力常量MmFr G 2=。
大小球之间的引力非常小，这里巧妙地改测定力为测定力矩的方法。
引力很小，但是加长水平杆的长度增加了力臂，使力矩增大，提高了测量精度。
同时又利用了平面镜反射光光点的移动的方法，精确地测定了石英丝的扭转角，从而第一次在实验室较精确地测出了引力常量。
卡文迪许的测量方法非常精巧，在以后的八、九十年间竟无人能赶超他的测量精度。
卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性。
同时，引力常量的测出，使得包括计算星体质量在内的关于万有引力的定量计算成为可能。
图7—4应用链接本节知识的应用主要涉及对万有引力定律发现思路与过程的认识，对万有引力定律含义的了解，以及涉及万有引力问题的初步分析与计算。
例1 关于万有引力公式221rm m G F =，以下说法中正确的是（ ） A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D. 公式中引力常量G 的值是牛顿规定的提示 注意万有引力公式的适用条件。
解析 万有引力公式221r m m G F =，虽然是牛顿由天体的运动规律而得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力。
当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用。
