2020高考数学一轮复习第9章统计统计案例第1讲随机抽样学案

统计9.1 随机抽样9.1.1 简单随机抽样学习目标核心素养1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(重点)2.掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．(重点、难点) 通过对简单随机抽样的概念和应用的学习，培养数据分析素养.在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果．问题：某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？1．全面调查和抽样调查调查方式普查抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查相关概念 总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体.个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本. 样本量：样本中包含的个体数称为样本量2.简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N (N 为正整数)个个体，从中逐个抽取n (1≤n ＜N )个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 3.抽签法先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．4．随机数法(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数．5．总体均值和样本均值(1)总体均值：一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则Y ＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N ＝1N ∑i ＝1NY i 为总体均值，又称总体平均数． (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k (k ≤N )个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数f i (i ＝1,2，…，k )，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y ＝1N ∑i ＝1kf i Y i .(3)如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，则称y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n i ＝1ny i 为样本均值，又称样本平均数． 思考1：采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？[提示] 为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．思考2：抽签法有什么优点和缺点？[提示] (1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样． ( )(2)利用随机数法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读．( )(3)利用随机数法抽取样本时，若总体容量为100，则给每个个体分别编号为1,2,3， (100)( )[提示] (1)正确．(2)错误．读数的方向也是任意的．(3)错误．应编号为00,01,02， (99)[答案] (1)√ (2)× (3)×2．使用简单随机抽样从 1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．随机抽样法D ．以上都不对 B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]3．用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2,4,5,7,9，则该样本的平均数为( )A ．4.5B ．4.8C ．5.4D ．6C [y ＝2＋4＋5＋7＋95＝5.4.]简单随机抽样的判断【例1】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是( )①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．A．0 B．1C．2 D．3B[根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]简单随机抽样必须具备的特点1被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；2抽取的样本是从总体中逐个抽取的；3简单随机抽样是一种等可能的抽样.,如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.[跟进训练]1．为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是( )A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数法D．以上都不对D[由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]抽签法的应用【例2】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．[解] 第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02， (20)第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．2．应用抽签法时应注意的问题：(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；(2)号签要求大小、形状完全相同；(3)号签要均匀搅拌；(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．[跟进训练]2．为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．[解] (1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02， (30)(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．随机数法及其综合应用[探究问题]1．某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？[提示] 采用随机数法，因为工人人数较多，制作号签比较麻烦，所以采用随机数法．2．某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？[提示] 可对这100件产品编号为：001,002,003， (100)【例3】某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．162,277,943,949,545,354, 821,737, 932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667.(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．[解] (1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002， (500)第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068. (3)y ＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．1．该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己质检部门抽取了100袋牛奶按照本例(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5g，平均数为500.4g ，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？[解] 该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果．2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Y i ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，质量不低于500 g 0，质量低于500 g ，公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下：1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例．[解] 由样本观测数据，计算可得样本平均数为y ＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例约为0.56.随机数法的注意点1当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本.2用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数.3掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则.一、知识必备1．简单随机抽样的相关概念以及抽签法和随机数法的抽样步骤．2．当总体容量和样本容量都不大时，用抽签法抽样；当总体容量较大，样本容量不大时，用随机数法抽样．二、方法必备1．要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的三个特点：总体有限、逐个抽取、等可能抽取．2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看总体和样本的容量是否较少．1．(多选题)下面抽样方法不属于简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．某饮料公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设10台手机已编号，对编号进行随机抽取)ABC[选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的要求，故错误；选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误；选项D符合简单随机抽样的要求．]2．抽签法确保样本代表性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回B[若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．]3．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01,02，…，33.一位彩民用随机数法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为( )7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 01983204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181A ．01B ．02C ．14D ．19A [从随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，依次是65(舍去)，72(舍去)，08,02,63(舍去)，14,02(舍去)，14(舍去)，43(舍去)，19,97(舍去)，14(舍去)，01,98(舍去)，32；选出来的这6个数为：08,02,14,19,01,32，第5个红色球的编号为01.]4．在总体为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为________．120 [据题意30N＝0.25，故N ＝120.] 5．某展览馆在22天中(全年中随机抽取的数据)每天进馆参观的人数如下：180,158,170,185,189,180,184,185,140,179,192,185,190,165,182,170,190,183,175,180,185,147可估计全年该展览馆平均每天参观的人数约为________．177 [根据题意，可用样本均值近似估计总体均值y －＝122×(180＋158＋170＋185＋189＋180＋184＋185＋140＋179＋192＋185＋190＋165＋182＋170＋190＋183＋175＋180＋185＋147)＝177.]。

9．1 随机抽样[知识梳理] 1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段，当Nn (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x ，取k ＝N －xn； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号1＋k ，再加k 得到第3个个体编号1＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注：三种抽样方法的比较[诊断自测]1．概念思辨(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( )(3)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样．( )(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A3P64A组T3)某单位有职工140人，其中科技人员91人，行政干部28人，职员21人，为了了解职工的某种情况要从中抽取一个容量为20的样本．以下抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是( )①将140人从1～140编号，然后制出有编号1～140的140个形状大小相同的号签；将号签放入同一个箱子时进行均匀搅拌，并从中抽取20个号签，编号与签号相同的20人选出．②将140个人分成20组，每组7个人，并将每组7人按1～7编号，在第一组中采用抽签的方法抽出K号(1≤K≤7)，则其余各组K号也被抽到，20个人被选出．③按20∶140＝1∶7的比例，从科技人员中抽取13人，从行政人员中抽取4人，从职员中抽取3人，从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽出20人．A．②①③B．②③①C．①②③D．③②①答案 C解析从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的操作步骤入手．故选C.(2)(必修A3P64A组T4)某初级中学有270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192, 219,246,270.下列关于上述样本的结论正确的是( )A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样答案 D解析从抽得号码的编号入手，若为系统抽样，则抽样间隔应该相等，若可能为分层抽样，则一、二、三年级应按4∶3∶3的比例进行抽取，即1～108号抽取4人，109～189号抽取3人，190～270号应抽取3人．故选D.3．小题热身(1)(2013·全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样答案 C解析该地区不同学段学生视力情况有较大差异，不适合采用简单随机抽样和系统抽样，又男、女生视力差别不大，故不适合按性别分层抽样．故选C.(2)(2018·长春模拟)将高一(9)班参加社会实践编号为：1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．答案17解析根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.题型1 简单随机抽样典例1下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0 B．1C．2 D．3应用简单随机抽样的定义进行判断．答案 A解析①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样，故选A.典例2(2018·河北模拟)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7 81665728026314701436997281983 2049234493582003623486969387481A．C．02 D．01随机数法．答案 D解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.方法技巧1．简单随机抽样的特点(1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．2．抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(3)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．冲关针对训练利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A.14B.13C.514D.1027答案 C 解析 根据题意，9n －1＝13，解得n ＝28.故每个个体被抽到的概率为1028＝514.故选C. 题型2 系统抽样典例 (2017·徐州模拟)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为( )A ．8B ．10C ．12D ．16确定分段间隔，再利用间隔不变解题．答案 B解析 从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件，则可将这80件产品分成5组，每组16件，每组抽取1件，而编号为42的产品在第3组，所以第1组所抽取产品的编号为42－16×2＝10，故选B.[条件探究1] 把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10，a,42，b,74号在样本中”，求a ＋b .解 由典例中解析易知编号构成首项为10，公差为16的等差数列，易求得a ＝26，b ＝58，故a ＋b ＝84.[条件探究2] 把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”，则抽到的最小编号是多少？解 利用等差数列前n 项和公式S 5＝5a 1＋5·(5－1)2·16＝185，得a 1＝5.方法技巧系统抽样的注意点1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．2．若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．3．抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．4．如果总体容量N 不能被样本容量n 整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法．冲关针对训练(2018·广东肇庆模拟)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码的个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是( )A ．63B ．64C ．65D ．66答案 A解析 由题设知，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选A.题型3 分层抽样典例1 (2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计4300 A ．90 C ．180D ．300 根据抽样比列方程．答案 C解析 设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201600，故x＝180.故选C.典例2 (2018·西安摸底考试)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．1500答案 C解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .所以b a ＋b ＋c ＝13.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为13×3600＝1200.故选C.方法技巧分层抽样问题类型及解题思路1．求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．2．已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N i N(i ＝1,2，…，k )个个体(其中i 是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层中个体的个数，N 是总体容量)．冲关针对训练(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10答案 A解析 由题意可得该地区共有中小学生10000人，故样本容量为10000×2%＝200，由分层抽样知应抽取高中学生的人数为200×200010000＝40，其中近视人数为40×50%＝20，故选A.1.(2014·湖南高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3答案 D解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.2．(2017·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为 ( )A ．480B ．481C ．482D ．483 答案 C解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500，所以n ≤20，最大编号为7＋25×19＝482.故选C.3．(2017·大连调研)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 B解析 由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.故选B.4．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本 答案 A解析 5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A.2．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，若第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为( )A ．700B ．669C ．695D ．676答案 C解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l ＝15，分段间隔k ＝N n ＝100050＝20，故抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.故选C.3．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2,3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是( )A ．13B ．17C ．19D ．23 答案 D解析 因为第一组的编号为1,2,3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.故选D.4．从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号．如果从随机数表的第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是( )附：随机数表第6行至第8行各数如下：A ．217B ．245C ．421D ．206答案 D解析 产品的编号为3位号码，故每次读数取3位，第一个三位数为217，依次取出符合条件的号码为157,245,206，故第4个个体编号为206.故选D.5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15答案 C解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．故选C.6．(2018·朝阳质检)某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3000件，且它们的数量成等比数列，现用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件，则甲类产品有( )A ．100件B ．200件C ．300件D ．400件答案 B解析 设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a 1，a 2，a 3，a 4件进行检测，由于四类产品的数量成等比数列且是分层抽样，所以a 1，a 2，a 3，a 4也成等比数列，设此等比数列的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝50，a 2＋a 4＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝50，a 1q (1＋q 2)＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，q ＝2.即从甲类产品中抽取10件，则甲类产品的数量为101503000＝200(件)，故选B.7．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )C ．02D ．17答案 C解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.8．(2018·包头检测)将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9答案 B解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.9．某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样 答案 D解析 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于按36163抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为36162＝29.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×29＝6(人)，中年人应抽取54×29＝12(人)，青年人应抽取81×29＝18(人)，从而组成容量为36的样本．故选D.10．(2017·山西阳泉调研)学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为( )A ．14 C ．16D ．17答案 B解析 由已知高三女生数x ＝2000×0.18＝360. 故高三年级总共有360＋340＝700(人)． 而高一年级共有373＋327＝700(人)． 所以高二年级共有2000－700－700＝600(人)．设高二年级应抽取的学生数为n ，则由分层抽样的特点知，n 50＝6002000，解得n ＝15.故选B.二、填空题11．(2017·郑州期末)已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．答案 1211解析 由系统抽样，抽样间隔k ＝3000150＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，则a 61＝11＋60×20＝1211，故第61组抽取号码为1211.12．(2018·浙江五校模拟)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是________份．答案 60解析 由题意依次设在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则30a 2＝1501000，∴a 2＝200.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1000，即3a 2＋a 4＝1000，∴a 4＝400.设在D 单位抽取的问卷数为n ，∴n400＝1501000，解得n ＝60. 13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案 50 1015解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.14．(2017·临沂期末)某地区有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户．在普通家庭中以简单随机抽样的方式抽取990户，在高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地区拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．答案 5.7%解析 99000户普通家庭中拥有3套或3套以上住房的约有99000×50990＝5000(户)，1000户高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的约有70100×1000＝700(户)，故该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为5000＋700100000×100%＝5.7%.三、解答题15．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 总体容量为6＋12＋18＝36. 当样本容量是n 时，由题意知， 系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师人数为n36×6＝n6(人)，技术员人数为n 36×12＝n3(人)， 技工人数为n 36×18＝n2(人)， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35， 系统抽样的间隔35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6. 16．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(1)(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 解 (1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取， 抽取比例为402000＝150.故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为252000＝180，故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．(3)用系统抽样，对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．。

第1讲随机抽样基础知识整合1．简单随机抽样（1)定义：设一个总体含有N个个体，从中错误!逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会错误!都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2）最常用的简单随机抽样的方法：错误!抽签法和错误!随机数法．（3）抽签法与随机数法的区别与联系抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外,还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．（1）先将总体的N个个体错误!编号．（2)确定错误!分段间隔k,对编号进行错误!分段,当错误!是整数时，取k＝错误!。

(3）在第1段用错误!简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号错误!(l＋k)，再加k得到第3个个体编号错误!(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样（1)定义：在抽样时，将总体分成错误!互不交叉的层，然后按照一定的错误!比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围:当总体是由错误!差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差错误!的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2，p3，则（）A．p1＝p2〈p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案D解析随机抽样包括:简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率都相等．故选D.2．（2019·海口调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．22答案C解析系统抽样的抽取间隔为错误!＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C。

9.1.1 简单随机抽样【学习目标】(1)了解简单随机抽样的含义．(2)掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．(3)了解样本均值与总体均值的关系，会计算样本均值．题型 1全面调查与抽样调查【问题探究1】为了解我校高一学生的体重指数，对全校1 000名高一学生进行调查分析，测量其身高和体重，计算其体重指数．(1)像这样，对每一名学生都进行调查的方法称为什么？(2)全校1 000名高一学生和每一名学生分别称为什么？(3)如果从全校1 000名高一学生中抽取200名进行身高和体重测量登记，计算其体重指数，并以此估计全校高一学生的体重指数，这种调查方法称为什么？(4)在(3)中抽取的200名高一学生称为什么？数字200又是什么？例1 一名交警在高速公路上随机观测6辆车的行驶速度，然后做了一份报告，调查结果如下：(1)交警采取的是________调查方式．(2)为了强调调查目的，这次调查的样本是________________，个体是________________．学霸笔记：一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查．跟踪训练1 (多选)下列调查方式不合适的是( )A.为了了解某型号炮弹的杀伤力，采用普查的方式B.为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式C.为了了解人们保护水资源的意识，采用抽查的方式D.对“神舟十号”零部件的检查，采用抽查的方式题型 2简单随机抽样【问题探究2】假设口袋中有红球和白球共1 000个，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？例2 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战2024年法国巴黎奥运会；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签．学霸笔记：判断一个抽样方法是否属于简单随机抽样，只需要对简单随机抽样的4个特征(有限性、逐一性、不放回性、等可能性)进行验证，若全部满足，则该抽样方法为简单随机抽样，若有其中一条不满足，则不是简单随机抽样．跟踪训练2 下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是( )A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计题型 3简单随机抽样的方法【问题探究3】3月15日是国际消费者权益日，有人举报某个体经商户出售的某品牌的节能灯是假的，工商局的质检员对该个体经商户出售的某品牌的节能灯进行检测．(1)上述检测用什么方法比较好？(2)在上述的事例中，质检人员在对某个体经商户所销售的节能灯进行抽检和对生产厂家所生产的节能灯进行抽检采取的方式一样吗？例3 某卫生单位为了支援抗震救灾，要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案．题后师说1．利用抽签法抽取样本的步骤2．利用随机数法抽取样本的步骤(1)编号：将每个个体编号，各号数的位数相同．(2)选起始号码：任取某行、某组的某数为起始号码．(3)确定读数方向：一般从左到右读取．跟踪训练3 (1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验(2)国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为( ) 随机数表如下：0154 3287 6595 4287 53467953 2586 5741 3369 83244597 7386 5244 3578 6241A．13 B．24C．33 D．36题型 4 用样本平均数估计总体平均数【问题探究4】在某地居民家庭年均收入调查中，小芳和小丽分别独立进行了简单随机抽样调查，小芳调查的样本平均数为4万，样本量为200；小丽调查的样本平均数为3.6万，样本量为500，你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？例4 某工厂人员及工资构成如下：(1)求该工厂所有人员的平均工资．(2)工资的平均数能反映该厂的工资水平吗？为什么？学霸笔记：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值；(2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性；(3)一般情况，样本容量越大，估计值越准确．跟踪训练4 在某次测量中，甲工厂生产的某产品的AB样本数据恰好是由A样本数据中的每个数都增加5后得到的，则B样本的均值为________．据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为________．随堂练习1．以下问题不适合用全面调查的是( )A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能地抽取，但各次抽取的可能性不一定3．某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取 D．抽取后不放回4．从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次．试估计该训练营投篮投中的比例为________．课堂小结1.全面调查和抽样调查．2．简单随机抽样及其方法(抽签法、随机数法)．3．用样本平均数估计总体平均数．9．1.1 简单随机抽样问题探究1 提示：(1)全面调查，又称普查．(2)总体，个体．(3)抽样调查．(4)样本，样本量．例1 解析：(1)交警采取的是抽样调查，调查对象的指标是车的行驶速度．(2)这次调查的样本是6辆车的行驶速度，个体是每一辆车的行驶速度．答案：(1)抽样(2)6辆车的行驶速度每一辆车的行驶速度跟踪训练1 解析：了解炮弹的杀伤力，采用普查方式就全销毁了，只能采用抽查方式；了解全国学生睡眠状况，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；了解人们保护水资源的意识，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；对于航天器零部件的检查，必须做到万无一失，应当采用普查的方式．故选ABD.答案：ABD问题探究2 提示：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例，也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例．例 2 解析：(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取．(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的(最优秀的)，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求．(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．跟踪训练2 解析：对于A，不同年级的学生身体发育情况差别较大，适合用分层抽样，A不是；对于B，总体容量较大，并且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，不宜用简单随机抽样，B不是；对于C，总体容量较小，个体之间无明显差异，适宜用简单随机抽样；对于D，总体容量较大，不同年龄的人癌症的发病情况不同，不宜用简单随机抽样，D不是．故选C.答案：C问题探究3 提示：(1)由于个体经商户购进的节能灯数量不会很多，可以采取抽签法抽取产品进行检测．(2)不一样，个体经商户销售的节能灯数量较少，可用抽签法(抓阄法)，而生产厂家生产的节能灯太多，可用计算机按生产批号进行抽取．例3 解析：抽签法：第一步，将50名志愿者编号，号码为01，02，03， (50)第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．第四步，从盒子中依次不放回地取出10个号签，并记录上面的编号．第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．随机数法：(1)将50名志愿者编号，号码为01，02，03， (50)(2)准备10个大小，质地均匀的小球，小球上分别写上数字0，1，2， (9)(3)把小球放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中有放回地抽取2次，并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～50范围内，就代表了对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号．(4)重复抽取随机数，直到抽中10名志愿者为止．跟踪训练3 解析：(1)A中总体容量较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体容量较小，样本量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体容量较大，不适宜用抽签法．故选B.(2)根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36，故选D.答案：(1)B (2)D问题探究4 提示：样本量越大，样本平均数就越接近总体的平均数，所以我们选用小丽调查的平均数作为总体的平均数．例4 解析：(1)所有人员的平均工资＝≈3 697.(2)不能，因为大部分人员的工资不到平均工资，基本在平均工资以下．跟踪训练4 解析：B样本数据的均值为A样本数据的均值加上5；即＝＋5，＝(43＋50＋45＋55＋60)＋5＝55.6，所以B样本数据的均值为55.6，用B样本数据的均值估计乙工厂生产的该产品的总体均值，所以乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6.[随堂练习]1．解析：由于C中全国中小学生人数众多，全面调查费时费力，不适合全面调查，但ABD中的某班学生、某中学在职教师、某校篮球队员人数不多可进行全面调查．故选C.答案：C2．解析：在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确．故选B.答案：B3．解析：确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性．故选B.答案：B4．解析：10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.。

第一节统计突破点一随机抽样．简单随机抽样逐个不放回地()定义：设一个总体含有个个体，从中抽取个个体作为样本，如果每(≤)相等次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．()最常用的简单随机抽样的方法：和随机数法．抽签法．系统抽样在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．．分层抽样的层，然后按照在抽样时，将总体分成互不交叉一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．．三种抽样方法的比较一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()简单随机抽样是一种不放回抽样．( ) ()简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )()系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( ) ()要从个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为的样本，需要剔除个学生，这样对被剔除者不公平．( ) ()分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )答案：()√()×()√()×()×二、填空题．在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是．答案：总体．某班共有人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本，已知号，号，号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是．答案：．甲、乙两套设备生产的同类型产品共件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行质量检测．若样本中有件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件．答案：．系统抽样的最基本特征是“等距性”，一般地，每组内所抽取的号码依据第一组抽取的号码和组距确定．每组抽取的号码依次构成一个以第一组抽取的号码为首项、组距为公差的等差数列{}，第组抽取的号码为＝＋(－).．分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比＝＝.．(·河北石家庄二中三模)某校为了解名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取名同学进行检查，将学生从～进行编号，现已知第组抽取的号码为，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )．．．．解析：选∵从名学生中抽取一个容量为的样本，∴系统抽样的分段间隔为)＝，设第一组随机抽取的号码为，则抽取的第组的号码为＋×＝，∴＝.故选.．(·吉林通化模拟)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持钱，乙持钱，丙持钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是( )．甲应付钱．乙应付钱．丙应付钱．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少解析：选依题意由分层抽样可知，÷(＋＋)＝，则甲应付：×＝(钱)；乙应付：×＝(钱)；丙应付：×＝(钱)．系统抽样和分层抽样中的计算()系统抽样总体容量为，样本容量为，则要将总体均分成组，每组个(有零头时要先去掉)．若第一组抽到编号为的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为＋，…，＋(－).()分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．．(·唐山模拟)用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率为( )解析：选一个总体含有个个体，每个个体被抽到的概率为，用简单随机抽样方法从该总体中抽取容量为的样本，则每个个体被抽到的概率为×＝.．(·江西八校联考)从编号为，…，的个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为，则样本中最大的编号应该为( )．．．．解析：选根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令＝，＝，则＝，所以＋(－)≤，所以≤，最大编号为＋×＝.．(·陕西部分学校摸底检测)某单位有老年人人，中年人人，青年人人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为的样本，则应分别抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )．．．．解析：选因为该单位共有＋＋＝(人)，样本容量为，所以应当按＝的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且应分别抽取的人数是.故选.．(·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是．解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．答案：分层抽样突破点二用样本估计总体．频率分布直方图和茎叶图()作频率分布直方图的步骤最小值的差；与①②求极差(即一组数据中最大值)分组；④决定③将数据组距组数与；频率分布表列；画⑤频率分布直方图．()频率分布折线图和总体密度曲线()茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．．众数、中位数、平均数()标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示，＝ .()方差：标准差的平方＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]，其中(＝，…，)是样本数据，是样本容量，是样本平均数．()方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．．平均数、方差公式的推广若数据，，…，的平均数为，方差为，则数据＋，＋，…，＋的平均数为＋，方差为.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( ) ()在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( ) ()从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( ) ()茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( ) ()平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) ()一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．( )答案：()√()×()√()×()√()×二、填空题．在样本频率分布直方图中，共有个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积之和的，且样本容量为，则中间一组的频数为．答案：．某学校组织学生参加数学测试，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[)，[)，[)，[]，若低于分的人数是，则该班的学生人数是．答案：．如图是某班位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这位学生得分的众数和中位数分别为．答案：．已知一组正数，，的方差＝(＋＋－)，则数据＋，＋，＋的平均数为．答案：考法一折线图、饼图的应用[例] ()(·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )．新农村建设后，种植收入减少．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上．新农村建设后，养殖收入增加了一倍．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半()(·昆明市高三质检)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是年月到年月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．根据该统计图判断，下列结论正确的是( )．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱．从该关键词的搜索指数来看，年月的方差小于月的方差．从该关键词的搜索指数来看，年月的平均值大于年月的平均值[解析] ()设新农村建设前，农村的经济收入为，则新农村建设后，农村经济收入为.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：()由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除；由统计图可知，年月该关键词的搜索指数波动较大，月的波动较小，所以年月的方差大于月的方差，排除；由统计图可知，年月该关键词的搜索指数大多高于，该月平均值大于年月该关键词的搜索指数大多低于，该月平均值小于，选.[答案] () ()利用饼图、折线图分析问题的关键是读懂图形，读准图形中给的数据，明确图形中的变化等．考法二频率分布直方图的应用[例] (·安徽黄山二模)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于年月某日起连续天监测空气质量指数()，数据统计如下表：()由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；()在空气质量指数分别为(]和(]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，从中任意选取天，求事件“两天空气质量等级都为良”的概率．[解] ()∵×＝，∴＝，∵＋＋＋＋＝，∴＝.＝；＝；＝；＝.由此完成频率分布直方图，如图：()由频率分布直方图得该组数据的平均数为××＋××＋××＋××＋××＝，∵[]的频率为×＝，(]的频率为×＝，∴中位数为＋×＝.()由题意知在空气质量指数为(]和(]的监测天数中分别抽取天和天，在所抽取的天中，将空气质量指数为(]的天分别记为，，，；将空气质量指数为(]的天记为，从中任取天的基本事件为(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共个，其中事件“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共个，所以()＝＝.．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的两个关系式()×组距＝频率．()＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．．利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法()中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．()平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．()众数：最高的矩形的中点的横坐标．考法三茎叶图的应用[例] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了位市民．根据这位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：()分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；()分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于的概率；()根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[解] ()由所给茎叶图知，位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第位的是，故样本中位数为，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是.位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第位的是，故样本中位数为＝，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是. ()由所给茎叶图知，位市民对甲、乙部门的评分高于的比率分别为＝，＝，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于的概率的估计值分别为，. ()由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．．茎叶图的绘制需注意()“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；()重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．．茎叶图的用途()茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．()给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．考法四样本的数字特征及其应用[例] (·河南周口上学期期末抽测调研)甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：()请填写下表(写出计算过程)：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．[解] 由题图，知甲射击次中靶环数分别为.将它们由小到大排列为.乙射击次中靶环数分别为.将它们由小到大排列为.()甲＝×(＋×＋×＋×＋)＝(环)，乙＝×(＋＋＋×＋×＋×＋)＝(环)，＝×[(－)＋(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)]＝×(＋＋＋＋)＝，＝×[(－)＋(－)＋(－)＋(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)]＝×(＋＋＋＋＋＋)＝.填表如下：∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中环及环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据()平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．()用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．某城市收集并整理了该市年月份至月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论错误的是( )．最低气温与最高气温为正相关．月的最高气温不低于月的最高气温．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在月．最低气温低于℃的月份有个解析：选在中，最低气温与最高气温为正相关，故正确；在中，月的最高气温不低于月的最高气温，故正确；在中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在月，故正确；在中，最低气温低于℃的月份有个，故错误．故选.近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间[)内的有人，在区间[)内的有人，则的值为( )．．．．解析：选由题意，得年龄在区间[)内的频率为×＝，则赞成高校招生改革的市民有)＝ (人)，因为年龄在区间[)内的有人，所以＝))＝.．一次数学考试后，某老师从甲、乙两个班级中各抽取人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班名同学成绩的平均数为，乙班名同学成绩的中位数为，则－的值为( )．．－．－．解析：选由茎叶图知(\\((＋＋＋＋＋)＝，＋＝，))解得＝，＝，所以－＝－，故选.在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由．解：学生甲的平均成绩甲＝＝，学生乙的平均成绩乙＝＝，又＝×[(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)]＝，＝×[(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)]＝，则甲＝乙，＞，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．(·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据(单位：)和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头天的日用水量频数分布表使用了节水龙头天的日用水量频数分布表()在下图中作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图；()估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；()估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解：()频率分布直方图如图所示．()根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为×＋×＋×＋×＝，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率的估计值为.()该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为＝×(×＋×＋×＋×＋×＋×＋×)＝.该家庭使用了节水龙头后天日用水量的平均数为＝×(×＋×＋×＋×＋×＋×)＝.估计使用节水龙头后，一年可节省水(－)×＝()．。

第1讲 随机抽样板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 简单随机抽样1．定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．3．抽签法与随机数法的区别与联系抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．考点2 系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．1．先将总体的N 个个体编号．2．确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n 是整数时，取k ＝N n .3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )．4．按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．考点3 分层抽样1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的，往往选用分层抽样．[必会结论]1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差N n的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( )(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( )(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．[2015·四川高考]某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法答案 C解析最合理的抽样方法是分层抽样法，选C项．3．[课本改编]2018年1月6日～8日衡水重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的是( )A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．1000名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是100答案 D解析1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.4．[2018·湖北模拟]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案1800解析分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．5．[2018·人大附中段考]在一次抽样活动中，采用了系统抽样．若第1组中选中的为2号，第2组中选中的为7号，则第5组中选中的应为________号．答案22解析由题意知抽样间隔为7－2＝5，所以第5组中选中的号码为2＋(5－1)×5＝22.板块二典例探究·考向突破考向随机抽样方法例 1 [2018·陕西模拟]某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是( ) A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样B．这次抽样一定没有采用系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率答案 A解析利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D 均错误．故选A.触类旁通应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．【变式训练1】用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行)，根据下图，读出的第三个数是( )18 18 07 92 4544 17 16 58 0979 83 86 19 6206 76 50 03 1055 23 64 05 0526 62 38 97 7584 16 07 44 9983 11 46 32 2420 14 85 88 4510 93 72 88 71 23 42 40 64 7482 97 77 77 8107 45 32 14 0832 98 94 07 7293 85 79 10 75 52 36 28 19 9550 92 26 11 9700 56 76 31 3880 22 02 53 5386 60 42 04 53 37 85 94 35 1283 39 50 08 3042 34 07 96 8854 42 06 87 9835 85 29 48 39A ．841B ．114C ．014D ．146答案 B解析 从第12行第5列的数开始向右读数，第一个的编号为389，下一个775,775大于499，故舍去，再下一个841(舍去)，再下一个607(舍去)，再下一个449，再下一个983(舍去)，再下一个114，读出的第三个数是114. 考向 分层抽样例 2 [2017·江苏高考]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350， ∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)． 触类旁通分层抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．【变式训练2】 [2018·天津模拟]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案 60解析 由分层抽样的特点可得应该从一年级本科生中抽取44＋5＋5＋6×300＝60名学生． 考向 系统抽样例 3 [2018·山东模拟]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15答案 C解析 抽样间隔为30，所以第k 组被抽中的号码为9＋30(k －1)．令451≤9＋30(k －1)≤750,151115≤k ≤25710，k ∈N *，∴做B 卷的人数为10人． 本例中条件不变，求做问卷A 的人数和做问卷C 的人数．解 令9＋30(k －1)≤450，∴k ≤15710，又∵k ∈N *. ∴做A 卷人数为15人，做C 卷的人数为32－10－15＝7人．触类旁通系统抽样的特点及抽样技巧(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．【变式训练3】 将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9答案 B解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.核心规律1.系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．2.分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．满分策略系统抽样和分层抽样中的注意事项(1)系统抽样最大的特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样．(2)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列7——分层抽样与概率相结合问题[2018·银川检测]某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表： 学历35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科80 30 20 研究生 x 20 y将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值． 解题视点 (1)根据分层抽样得到样本中的人员分布，列举所有等可能基本事件，求概率．(2)由概率列式求N ，根据样本中各年龄段的抽样比相等，确定x ，y 的值．解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m 5，解得m ＝3. 抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78. ∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.答题启示 分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目.跟踪训练[2018·郑州质检]最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革 无所谓 教师120 y40 学生 xz 130(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．解 (1)由题意知x 500＝0.3，所以x ＝150，所以y ＋z ＝60， 因为z ＝2y ，所以y ＝20，z ＝40，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为50500×20＝2， 应抽取“不赞成改革”的学生人数为50500×40＝4. (2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，至少有1名教师的选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种，故至少有1名教师被选出的概率P ＝1620＝45. 板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3 答案 D解析 随机抽样包括：简单随机抽样，系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等．2．[2018·海口调研]某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为( )A ．15B ．18C ．21D ．22答案 C解析 系统抽样的抽取间隔为244＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C.3．[2018·青岛模拟]某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )A ．28B ．32C ．40D ．64答案 D解析 由分层抽样的定义可知高中二年级被抽取的人数为320400＋320＋280×200＝64.故选D.4．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )答案 C解析 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.5．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．1500答案 C解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .所以a ＋b ＋c3＝b .所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为13×3600＝1200.6．[2018·东北三校联考]某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量 n ＝( )A ．54B ．90C ．45D ．126答案 B解析 依题意得33＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90. 7．某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为( )A ．0210B ．0410C ．0610D ．0810答案 B解析 将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，选B.8．[2018·无锡模拟]若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是________．答案 6解析 ∵样本容量为21，∴样本组距为420÷21＝20，编号在[241,360]内应抽取的人数是(360－241＋1)÷20＝6.9．[2018·潍坊模拟]某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．答案 760解析 设样本中女生有x 人，则男生有x ＋10人，所以x ＋x ＋10＝200，得x ＝95，设该校高三年级的女生有y 人，则由分层抽样的定义可知y 1600＝95200，解得y ＝760. 10．[2018·深圳模拟]一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆，则z 的值为________．答案 400解析 设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2000，z ＝2000－100－300－150－450－600＝400.[B 级 知能提升]1．[2018·江西八校联考]从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为 ( )A ．480B ．481C ．482D ．483答案 C解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500，所以n ≤201825，n ∈N ，最大编号为7＋25×19＝482. 2．[2018·浙江五校联考]某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份，则在D 单位抽取的问卷是________份．答案 60解析 由题意依次设在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，在D单位抽取的问卷数为n ，则有30a 2＝1501000，解得a 2＝200，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1000，即3a 2＋a 4＝1000，∴a 4＝400，∴n 400＝1501000，解得n ＝60. 3．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽的号码是________．答案 63解析 由题设知，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号顺次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.4．[2015·天津高考]设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4)，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种，因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. 5．[2018·开封模拟]某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量剔除以后是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.。

9。

1 随机抽样考点学习目标核心素养抽样调查理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念数学抽象简单随机抽样理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法数学抽象、逻辑推理分层随机抽样理解分层随机抽样的概念,并会解决相关问题数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P173－P187的内容，思考以下问题：1。

全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？2。

什么叫简单随机抽样？3。

最常用的简单随机抽样方法有哪两种？4.抽签法是如何操作的？5。

随机数法是如何操作的？6。

什么叫分层随机抽样？7.分层随机抽样适用于什么情况？8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？9.获取数据的途径有哪些？1。

全面调查与抽样调查（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ。

（2)在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.(3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ.（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ。

(6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据。

2。

简单随机抽样（1）有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n〈N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。

（2)不放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

（3）简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。

(4)简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。

(5）简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。

第二节随机抽样知识点一简单随机抽样1．简单随机抽样的概念设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．1．(必修3P100A组第1题改编)2018年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是(D)A．总体是指这箱1 000袋方便面B．个体是一袋方便面C．样本是按2%抽取的20袋方便面D．样本容量为20解析：总体是指这箱1 000袋方便面的质量；个体是一袋方便面的质量；样本为20袋方便面的质量；样本容量为20.2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( D )A ．C ．02D ．01解析：由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01. 知识点二 系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． 1．先将总体的N 个个体编号．2．确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n 是整数时，取k ＝Nn . 3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )．4．按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．3．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(C)A．50 B．40C．25 D．20解析：根据系统抽样的特点求解．根据系统抽样的特点可知分段间隔为1 00040＝25.故选C.4．(必修3P59练习T2改编)设某校共有112名教师，为了支援西部教育事业，现要从中抽取12名组成暑期西部讲师团．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为(A)A．9,4 B．12,3C．10,2 D．8,2解析：因为112＝9×12＋4，所以抽样间隔为9，随机剔除的个数为4.知识点三分层抽样1．分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．2．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．5．(2019·南宁市摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(B)A．100,20 B．200,20C．200,10 D．100,10解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1_800件．解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为53，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是nN.2．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．3．分层抽样是按比例抽取个体．考向一简单随机抽样【例1】(1)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽取了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是()A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样B．这次抽样一定没有采用系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率(2)假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表(下面摘取了随机数表第7行至第9行)第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，则依次写出最先检测的5袋牛奶的编号分别为()84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54A．163,198,175,129,395B．163,199,175,128,395C．163,199,175,128,396D．163,199,175,129,395【解析】(1)利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误．故选A.(2)随机数表第8行第4列的数是1，从1开始读取：163 785 916 955 567 199 810 507 175 128 673 580 744 395.标波浪线的5个即是所取编号．【答案】(1)A(2)B(1)简单随机抽样需满足：①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(A)A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(B)A．134石B．169石C．338石D．1 365石解析：(1)由题意知，5 000名居民的阅读时间是总体，200名居民的阅读时间为一个样本；每个居民的阅读时间为个体；200为样本容量．故选A.(2)28254×1 534≈169(石)．故选B. 考向二 系统抽样【例2】 (1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A ．16B ．17C ．18D ．19(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 (1)∵从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本， ∴系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x，则抽取的第18组的号码为x＋17×25＝443，∴x＝18.故选C.(2)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.【答案】(1)C(2)B系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.(1)现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则所抽到的个体编号可能是(D)A．5,10,15,20,25,30B．2,14,26,28,42,56C．5,8,21,36,48,54D．3,13,23,33,43,53(2)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为37的学生．解析：(1)若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则样本间隔为60÷6＝10，只有3,13,23,33,43,53满足条件．故选D.(2)组距为5，(8－3)×5＋12＝37.考向三分层抽样方向1分层抽样的概念与计算【例3】(1)(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．【解析】(1)因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．(2)由题意知1245＋15＝3045＋15＋30＋10＋a＋20，解得a＝30.【答案】(1)分层抽样(2)30方向2分层抽样的实际应用【例4】(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解析】 解法1：设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，第三产业收入为0.06a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，第三产业收入为0.56a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.解法2：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A.【答案】 A分层抽样的解题策略(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．(4)抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量.1．(方向1)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(D)A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3解析：由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.2．(方向1)某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17.解析：设从高二年级学生中抽取x人，由题意得x360＝20400，解得x＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17人．3．(方向2)(2019·河南名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出17钱(所得结果四舍五入，保留整数)．解析：依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为180560＋350＋180×100＝18 0001 090≈17.。