《教学,从学生朴素的理解出发-以“分数除法”的教学为例》

教学，从学生朴素的理解出发——以“分数除法”的教学为例【摘 要】分数除法的运算概念对小学生来说是十分抽象的，而小学生在学习新知之前，头脑中已经存在着对于该知识的“前概念”,我们称其为学生的“朴素理解”。

那么，小学生对分数除法有着怎样的朴素理解呢？教师该如何基于学生的朴素理解进行恰当地教学呢？笔者通过教学前测与探析，力求在读懂学生的基础上，对分数除法教学进行了思考与实践：1.直观表征，验证学生的朴素理解；2.异中求同，由直观向形式化迈进；3.尊重差异，让学生获得不同层次的理解。

【关键词】朴素理解；小学数学；分数除法研究表明，虽然颠倒相乘是“分数除法”教学中最常用的方法，但无论在国内还是国外，无论学生还是老师都感到难以教学，因为学生在很长时间里还是不能理解为什么要颠倒相乘。

从某种意义上说，这是个世界性的课程难题[1]。

由此可见，分数除法的运算概念对小学生而言是十分抽象的。

实际上，在接受教师提供新概念之前，学生自己头脑中也存在着对于该知识的“前概念”,它属于学生已有的认知结构[2]。

“前概念”经常与正确的概念发生冲突，教师的任务就是要了解学生的“前概念”，并通过教学确认孩子的朴素理解，纠正其错误或不精确的认知。

所以，找准教学源点，基于学生的朴素理解而展开恰当地教学也就成为备课组全体老师的一种共识，本学期笔者所在的备课组对“分数除法”进行了教学前测、访谈分析和实践思考。

一、教学前测，读懂学生的朴素理解数学的特点是用一般化的方法解决某一类的问题，因此，随着数学知识的增长，学生的数学学习更多地依赖于各种数学定义、规则、原理和定理。

而在小学阶段，由于学生掌握的数学工具相对不多，因此，学生的思维带有更多的“原始性”。

（一）前测试题及意图（分数除以整数，整数除以分数，分数除以分数各一道）（1）74÷2= （2）2÷32= （3）209÷53= （二）计算方法的呈现(限于篇幅现将学生计算方法整理如下)（3）s 5: s 6: s 7: 209÷53= 52039÷÷=43 209÷53= 209×35=43 209÷53=209÷2012= ?（三）读懂学生的朴素理解从教学前测反馈中发现，学生采用的解决问题的方式主要有以下几类：1．喜欢利用实物、图形、线段等直观方式表征运算概念（如S 1、S 2和S 3）。

2．利用整数等分除的意义来解释思考过程（如S 2、S 3和S 7）。

3．将被除数和除数通分，再通过单位量等分的方法计算出结果（如S 2和S 7 ）。

通过比较可以发现，在本质上，“通分法”（a b ÷c d =ac bc ÷ac da =bc ÷ad=ad bc ）和“颠倒法”（a b ÷c d =a b ×d c =adbc ）的计算结果相等。

4．采用“颠倒法”进行计算（如S 6）。

通过访谈得知该生已经提前预习该内容，但不能说明算理。

5．将分数乘法的算法迁移到分数除法（如S 5）。

通过访谈得知该生的计算理由：因为分数乘分数是分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积做分母，所以分数除法也应该是分子与分子的商作分子，分母与分母的商做分母。

209÷53=52039÷÷=43无疑是正确的，这是为什么呢？同理迁移计算43÷32=84÷32=2412÷32=324212÷÷=86=43。

通过分析发现，其实学生解答的数学原理是：b a ÷d c =bcd acd ÷d c =bc ad （b 、c 、d 不等于0），这正是分数除法的符号表示。

原来孩子用分子除以分子，分母除以分母的朴素地理解中却蕴含着巧妙地数学原理呀！由此可见，学生对分数除法是有着自己朴素的理解的，而从学生的计算方法中也说明了计算教学的多样性，有的还蕴含着巧妙的构造技巧。

二、直观表征，运用操作与图像解释原始理解研究表明，适当的操作和具体的图像对小学生的数学学习，特别是属于运算概念的理解是有帮助的，而视觉和操作的表征对于低成就的学习者来说，也是比较有益和容易接受的。

但要注意的是教师的责任是让学生的表征有意义，并确定课程中所使用的工具、方式、符号、语言等表征，对学生数学学习以及概念发展而言都是合适的[3]。

我们知道学生的认知规律遵循从动作认知、图形认知到符号认知的过程。

教材在分数除法（一）中设计了“涂一涂”活动[5]，旨在通过引导学生动手操作，从而获得分数除法的感性认识（见下图）。

在教材在分数除法（二）中，教材从分一分（分饼）和画一画（剪截绳子）两个实例入手（见下图）。

…… …… 教材的编写意图是通过实物图、线段图帮助学生获得分数除法的初步感知，并从包含、平均分的意义及直观图形层面来理解计算的过程，从意义建构入手，体会除法的意义。

继而通过画一画的活动中进一步理解除法意义及计算方法，借助线段图帮助学生建立图形认知，丰富学生的表象，为学生深入地理解运算法则奠定基础。

在分一分及画一画中，要求通过大量的几何模型，在动手操作中进一步丰富学生的直观感知。

大量的实物感知形成直接刺激，有助于帮助学生对分数除法产生基于原有认知的最朴素地理解。

然而，站在数学教育的角度，学生仅仅能够计算分数除法的结果是不够的，因为学生无法从众多在具体情景下支撑下的除法算式中发现最具一般性和普适性的计算规律。

所以笔者尝试了如下教学流程：（一）出示问题，列出算式①把一张纸的21平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？ 一张纸的21的21，相当于这张纸的几分之几？ ②把一张纸的76平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ 一张纸的76的31，相当于这张纸的几分之几？③把一张纸的31平均分成5份，每份是这张纸的几分之几？ 一张纸的31的51，相当于这张纸的几分之几？（二）尝试计算，操作验证学生尝试计算3组算式，并用自己的方式验证结果。

学生能用多种表征方式（实物、图像、线段、口头语言和分数等基本性质）来解释自己计算结果的合理性，无论其解释是否正确，其积极思考的态度及其说理的方式教师都应该给予肯定和鼓励。

（三）观察比较，发现规律所以，教学中让学生在具体问题情境的研究和探索中，运用已有的知识经验解决新的数学问题，充分① 21÷2 =41 21×21 =41 ② 76÷3 =72 76×31 =72 ③ 31÷5 =151 31×51 =151 21÷2 = 21×21 76÷3 = 76×31 31÷5 = 31×51发表自己对分数除法的朴素理解，而教师在尊重学生朴素的理解的基础进行恰当地引导与点拨，这才是真正的返朴归真的数学课堂。

三、异中求同，由直观表征向形式化迈进对小学生而言，借助直观帮助理解算理无疑是十分必要的，但更重要的是教师在一定的时候要帮助学生摆脱直观的视觉和操作，转向表象操作和符号操作。

丰富直观感知的意义在于促进学生产生一般化规律的冲动。

波尔（Deborah Ball ）的调查发现(引自Pitkethly & Hunting,1996)发现，由于一些学生过于依赖直观信息，而对书面符号等形式化的数学知识难以适应。

[3]孔凡哲教授认为：“在中小学数学教学中，最重要的数学思想应该属于抽象、推理与模型。

这是实现学生数学上的终身可持续发展及至终身受益的核心数学思想。

”[4]足见推理在数学学习中的重要地位。

分数除法的计算教学就可以引导学生从分地猜想和验证，以培养学生的推理、抽象能力。

当出现2÷32 、209÷53 和43÷32 时，问题的难度梯度已经明显加大，有的用直观表征已经变得十分困难。

所以，教学中要鼓励学生对计算方法进行大胆猜想，并顺势引导学生进行小心验证猜想的合理性。

在学生独立思考、小组交流、师生互动分别用线段图、通分、商不变性质、方程和等式的性质等方法进行尝试计算，并把每一种有代表性的朴素理解一一罗列展示，引导学生发现通过不同的计算过程却得到了同一计算结果，并透过不同的计算过程发现它们所共有的特征形式。

（1）2÷32=2×3÷2=2×3×21= 2×23 （2）2÷32=（2×23）÷（32×23）= 2×23 （3）2÷32=（2×3）÷（32×3）=2×3×63= 2×23 （4）32x=2 32x ×23=2×23 x= 2×23 ……这些原始的计算思考过程充分体现了基于学生年龄特征、已有认知水平的朴素理解，而这些朴素地理解则是教师组织教学的基点，也是学生深入学习和理解分数除法的源点。

教师既要读懂并尊重学生朴素的思维方式，但又不能一味地迎合和满足于低水平的思维方式和喜好，而应该在螺旋上升的教学组织中让学生的思维发展达到结构化的思维水平。

因此，教师在教学中应该在学生朴素理解的基础上向形式化过渡是教学的重点任务。

在解决问题过程中，让学生经历探究过程，充分经历尝试质疑和困惑，获得大量的感性认识的基础上，教师却不急于总结规律，这样才会激发产生进一步猜想和求证的内在需求。

然后在对比、梳理中寻求新的突破，删繁就简、异中求同，从凌乱到到规律，从无序到有序，从特殊到一般，以朴素的理解为基点，在思维的碰撞中激发思考，获得美妙的数学规律——除以一个数等于乘这个数的倒数。

四、尊重差异，让学生获得不同层次的理解有研究者将学生对数学概念的理解水平分为四个层次水平：直观理解水平、程序理解水平、抽象理解水平和形式理解水平毋庸质疑，无论在教学之前还是在教学之后，小学生对分数除法运算的理解是有层次的，也是有限的巩子坤。

吴亚萍认为：教学对于学生的思维发展产生真实的推进意义，其前提是不仅需要面对和承认学生的差异，而且还要关注和解读学生各自的状态，并且在此基础上提出不同的要求，以促进他们达到更高的水平。

她的研究发现，大部分学生在教学一开始的状态大多只是具象的思考与与应用一般方法甚至是低级方法的水平，正因为如此，需要我们的教学来引导这些学生学会应用高级的思维方法，提升他们的抽象思维水平。

因此，笔者认为教学要按照学生的实际理解水平制定适切的教学目标，特别是在加强直观教学和分数性质的教学的同时,要积极倡导算法多样化。

也就是说在引入算法之前让学生自由地发现并使用各种运算策略，这样做有助于学生积累解决非常规问题的经验；有助于学生在发现解题策略的过程中理解运算概念，加强新旧知识的联系；也有助于提高思维的灵活性，学生往往能够根据具体的情形灵活地选择合适的算法策略；更重要的则是在算法交流与探讨中学会了对问题及问题解决过程的多元表征，并能灵活地从一种表征方式转换为另一种表征方式。