下载文档原格式
19届（高三）上期入学摸底测试文科数学试题附参考数据与参考公式：一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别解绝对值不等式和分式不等式得集合A，B，再根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，由得，则或，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素，然后再根据集合运算的定义求解．在解分式不等式时要注意分母不为0．2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．【详解】由题意，对应点为，在第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．3. 已知向量，条件，条件，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出两向量平行的充要条件，再判断．【详解】，即，∴是的必要不充分条件．故选B．【点睛】向量，则，．4. 函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解．【详解】由题意，由得，因此是一个零点，是一个对称中心．故选D．【点睛】对函数，由，，即对称中心为（），由，，即对称轴为（）．5. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（）A. 90，86B. 94，82C. 98，78D. 102，74【答案】C【解析】执行程序：,故输出的分别为故选：C6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，再计算体积．【详解】原几何体是一个圆柱与半个圆锥的组合体，体积为．故选C．【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．7. 已知满足约束条件，若的最小值为，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】最值一定在可行域的顶点处取得，作出直线，作出可行域．分析最小值点的位置．【详解】由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，取得最小值，易知，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查简单和线性规划问题，解题关键是作出可行域，分析最优解在何处．可通过目标函数对应的直线分析可行域的形状、位置．8. 函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要使最小，则为函数的最小正周期．【详解】由题意，．故选A．【点睛】本题考查的图象与性质．考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合．此类题常常与正弦函数的性质联系得解．10. 函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，由图象可知，当时，函数的图象在图像的下方，满足；当时，函数的图象在图像的下方，满足；所以满足的解集为或，故选D.11. 已知点都在函数的图象上，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 与的大小与有关【答案】D【解析】【分析】求出，利用对数函数的性质比较与的大小．【详解】由题意，∴，，显然，∴当时，，当时，．故选D．【点睛】本题考查对数函数的性质，特别是对数函数的单调性．对数函数，在时为增函数，在时为减函数．因此当两个对数的底数是参数时，需要分类讲座都才能比较大小．12. 点为双曲线的右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】试题分析：在双曲线中，为双曲线的右支上一点，所以分别是圆和上的点，则则所以最大值为9.考点：双曲线的定义的应用.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，__________．【答案】30【解析】【分析】由和表示（凑配）出．【详解】∵，∴，∴．故答案为30．【点睛】本题考查不定方程中解的问题，在有三元方程组中，只有两个方程时，如果一个未知数已知，则此方程变为二元一次方程组，从而可出，再求值，也可用整体凑配法求解．14. 设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，，则__________．【答案】【解析】【分析】作出过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，在三角形中求解．【详解】如图，是棱锥的过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，是棱锥的高，是内切圆圆心，，由已知，，则，由得，∴，∴，，∴．故答案为．【点睛】本题考查正棱锥的外接球与内切球问题，解题关键是过球心作截面，球心一定在正棱锥的高上，高与底面的交点是底面正三角形的中心．抓住这些性质变可以解决问题．15. 抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为__________．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。
2019届河南省郑州市第一中学高三高考适应性考试数学（文）试题一、单选题1．集合{0,1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，{}2|30x x B x =∈-N …，则()U C A B （ ）A.{0,1,2,3}B.{4,5}C.{1,2,4}D.{0,4,5}【答案】B【解析】集合B 化简得{0,1,2,3}B =，再根据集合的并、补运算得()U C A B ={4,5}。
【详解】集合B 化简得{0,1,2,3}B =，所以0,1,3}2,{A B =，所以()U C A B ={4,5}，故选B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，考查基本运算能力。
2．i 为虚数单位，若复数512z i i+=-，则z =（ ） A.1i - B.1i -+C.1i --D.1i +【答案】B 【解析】对等式512z i i+=-进行复数四则运算得1i z =--，其共轭复数1i z =-+。
【详解】 因为512z i i+=-，所以55()512112i z i i i i +=-=-=---， 所以1i z =-+，故选B. 【点睛】本题考查复数四则运算、共轭复数概念，考查基本运算能力，注意题目求的是复数z 的共轭复数，而不是求复数z 。
3．已知等差数列{}n a ，5127a a -=，35a =，则9a =（ ） A.23 B.20C.17D.13【答案】C【解析】利用等差数列通项公式可得方程组111427,25,a d a a d +-=⎧⎨+=⎩得到11,2,a d =⎧⎨=⎩代入通项公式得917.a = 【详解】由题意得111427,25,a d a a d +-=⎧⎨+=⎩⇒11,2,a d =⎧⎨=⎩所以91818217a a d =+=+⨯=，故选C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本运算能力。
4．设命题p ：函数1y x=在定义域上为减函数；命题:q a ∃，(0,)b ∈+∞，当1a b +=时，13ab =.则以下说法正确的是（ ） A.p q ∨为真 B.p q ∧为真C.p 真q 假D.p ，q 均为假【答案】D 【解析】函数1y x=的单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，不能并起来；命题q 中把1a b =-代入方程13ab =得23310b b -+=，方程组无解。
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。
19届高三上期入学摸底测试文科数学试题注意事项：1•考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.冋答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
附参考数据与参考公式：n(ad -be)'(d + b)(c + d)(c + c)(b + d)—、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一2r-S项是符合题目要求的。
1.已知全集U = R,集合A二{x||x-l<l}, B= {兀|亠”21}, x-1则A^^U B =A. {x| 1 < x< 2}B. {x| 1 < x< 2 }C. {x11 < x< 2 }D. {x|l<x<4}2.欧拉公式*二cos兀+ isin兀(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当X = TU时，* + 1二0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
根据欧拉公式可知，/表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.己知向a = = (4,—2m),条件p: a //b ,条件q:m = 2，贝9 p 是g 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件0.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数/(%) = —cos 2x +V3sinxcos x的一个对称屮心是71 71A. (-,0)B. (-,0)365. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七 两；石方一 寸，重六两。
今有石方三寸，中有玉，并 重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？ ”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1 立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是 3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和 石料各 多少两？ ”如图所示的程序框图给出了对此题 的一个求解算法，运 行该程序框图，则输出的x,分别为 A. 90, 86 B. 94, 82 C. 98,78 D. 102,746. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[x>lA.扌B. tC.lD. 2 ()8.函数y = 2加sin 2x 的图象可能是TT9•设Q 。
2019届（高三）上期入学摸底测试文科数学试题附参考数据与参考公式：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别解绝对值不等式和分式不等式得集合A，B，再根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，由得，则或，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素，然后再根据集合运算的定义求解．在解分式不等式时要注意分母不为0．2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．【详解】由题意，对应点为，在第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．3.已知向量，条件，条件，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出两向量平行的充要条件，再判断．【详解】，即，∴是的必要不充分条件．故选B．【点睛】向量，则，．4.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解．【详解】由题意，由得，因此是一个零点，是一个对称中心．故选D．【点睛】对函数，由，，即对称中心为（），由，，即对称轴为（）．5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（）学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...A.90，86B.94，82C.98，78D.102，74【答案】C【解析】执行程序：,故输出的分别为故选：C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，再计算体积．【详解】原几何体是一个圆柱与半个圆锥的组合体，体积为．故选C．【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．7.已知满足约束条件，若的最小值为，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】最值一定在可行域的顶点处取得，作出直线，作出可行域．分析最小值点的位置．【详解】由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，取得最小值，易知，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查简单和线性规划问题，解题关键是作出可行域，分析最优解在何处．可通过目标函数对应的直线分析可行域的形状、位置．8.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要使最小，则为函数的最小正周期．【详解】由题意，．故选A．【点睛】本题考查的图象与性质．考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合．此类题常常与正弦函数的性质联系得解．10.函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，由图象可知，当时，函数的图象在图像的下方，满足；当时，函数的图象在图像的下方，满足；所以满足的解集为或，故选D.11.已知点都在函数的图象上，则与的大小关系为（）A. B. C. D.与的大小与有关【答案】D【解析】【分析】求出，利用对数函数的性质比较与的大小．【详解】由题意，∴，，显然，∴当时，，当时，．故选D．【点睛】本题考查对数函数的性质，特别是对数函数的单调性．对数函数，在时为增函数，在时为减函数．因此当两个对数的底数是参数时，需要分类讲座都才能比较大小．12.点为双曲线的右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为（）A.8B.9C.10D.7【答案】B【解析】试题分析：在双曲线中，为双曲线的右支上一点，所以分别是圆和上的点，则则所以最大值为9.考点：双曲线的定义的应用.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，__________．【答案】30【解析】【分析】由和表示（凑配）出．【详解】∵，∴，∴．故答案为30．【点睛】本题考查不定方程中解的问题，在有三元方程组中，只有两个方程时，如果一个未知数已知，则此方程变为二元一次方程组，从而可出，再求值，也可用整体凑配法求解．14.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，，则__________．【答案】【解析】【分析】作出过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，在三角形中求解．【详解】如图，是棱锥的过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，是棱锥的高，是内切圆圆心，，由已知，，则，由得，∴，∴，，∴．故答案为．【点睛】本题考查正棱锥的外接球与内切球问题，解题关键是过球心作截面，球心一定在正棱锥的高上，高与底面的交点是底面正三角形的中心．抓住这些性质变可以解决问题．15.抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为__________．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。
一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≤﹣3或x≥1}B．{x|x＜﹣1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤﹣3}【解答】解：全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣3}，∴∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故选：D．2．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3D．﹣3【解答】解：z=25i3+4i=25i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=4+3i，故z=4﹣3i，其虚部是﹣3，故选：D．3．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数【解答】解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．故选：B．4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，则a4＝（）A．4B．32C．108D．256【解答】解：数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3＝12， log 2（a 1a 2a 3）＝12，即a 23＝212， 即有a 2＝16，q ＝4， 则a 4＝44＝256． 故选：D ． 5．（5分）椭圆x 225+y 216=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．16√33B ．32√33 C ．16√3 D ．32√3【解答】解：由椭圆x 225+y 216=1，得a ＝5，b ＝4，c ＝3，在△F 1PF 2中，∵∠F 1PF 2＝60°，∴由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos60°， 则4c 2＝（2a ）2﹣3|PF 1||PF 2|，即36＝100﹣3|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|=643． ∴△F 1PF 2的面积是S =12|PF 1||PF 2|sin60°=16√33． 方法二、由椭圆的焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan ∠F 1PF 22=16•√33=16√33． 故选：A ．6．（5分）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x −2π3），则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的是12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2【解答】解：∵y ＝sin （2x −2π3）＝cos[π−（2x −2π3）]＝cos （2x −7π6）＝cos2（x −7π12），∴把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin （2x −2π3）＝cos2（x −7π12）的图象，即曲线C 2， 故选：C ．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．（4+4√5）π+4√2B ．（4+4√5）π+4+4√2C ．12π+12D ．12π+4+4√2【解答】解：由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱，可得：几何体的表面积为：4π+12×4π×√20+1×4√2=（4+4√5）π+4√2． 故选：A ．8．（5分）设函数f （x ）＝2ln （x +√x 2+1）+3x 3（﹣2＜x ＜2），则使得f （2x ）+f （4x ﹣3）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（12，1）C ．（14，1）D ．（14，54）【解答】解：∵f （x ）＝2ln （x +√x 2+1）+3x 3（﹣2＜x ＜2）， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 故f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣2，2）递增， 故由f （2x ）+f （4x ﹣3）＞0， 得：f （2x ）＞f （3﹣4x ），则{2x ＞3−4x −2＜2x ＜2−2＜3−4x ＜2，解得：12＜x ＜1，故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足{x −2y +4≤0，x ≥2x +y −6≥0，则k =y+1x−3的取值范围是（ ）A ．k ＞12或k ≤﹣5B ．﹣5≤k ＜12C ．﹣5≤k ≤12D ．k ≥12或k ≤﹣5【解答】解：由变量x ，y 满足{x −2y +4≤0，x ≥2x +y −6≥0作出可行域如图：{x =2x +y −6=0解得A（2，4）， k =y+1x−3的几何意义为可行域内动点与定点D （3，﹣1）连线的斜率． ∵k DA =4+12−3=−5，．x ﹣2y +4＝0的斜率为：12， ∴k =y+1x−3的取值范围是k ＞12或k ≤﹣5． 故选：A ．10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1（x ）＝2x ，f 2（x ）＝2x，f 3（x ）＝x 2，f 4（x ）＝sin x ，f 5（x ）＝cos x ，f 6（x ）=1−2x1+2x ，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率A ．25B ．35C ．12D ．13【解答】解：根据题意，对于6个函数， f 1（x ）＝2x ，为正比例函数，为奇函数； f 2（x ）＝2x ，为指数函数，为非奇非偶函数函数； f 3（x ）＝x 2，为二次函数，为偶函数； f 4（x ）＝sin x ，为正弦函数，是奇函数； f 5（x ）＝cos x ，为余弦函数，是偶函数；f 6（x ）=1−2x 1+2x ，有f 6（﹣x ）=1−2x 1+2x =1−2−x 1+2−x =−（1−2x 1+2）＝﹣f （x ），为奇函数； 在6个函数中任选2个，有C 62＝15种选法，若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数，有3×2＝6种选法；则所得新函数为奇函数的概率P =615=25； 故选：A ．11．（5分）已知数列{a n }满足2a n +1+a n ＝3（n ≥1，n ∈N +），且a 3=134，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1123的最小整数n 是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由2a n +1+a n ＝3，得a n+1−1=−12(a n −1)，又a 3=134，∴a 2−1=−2(a 3−1)=−92，a 1﹣1＝﹣2（a 2﹣1）＝9． ∴{a n ﹣1}为首项是9，公比为−12的等比数列， 则a n ﹣1＝9•(−12)n−1，a n ＝1+9•(−12)n−1，S n ＝n +9•1−(−12)n 1−(−12)=n +6﹣6•(−12)n ，则|S n ﹣n ﹣6|＝3⋅12n−1，|S n ﹣n ﹣6|＜1123，即3⋅12n−1＜1123，解得n ＞9，∴满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1123的最小整数n 是10．12．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ﹣ABC 的体积为a ，则球O 的体积为（ ） A ．2πaB ．4πaC ．23πaD ．43πa【解答】解：如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则∠P AC 和∠PBC 都是直角，由于P A ＝AC ，PB ＝BC ，所以，△P AC 和△PBC 是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形， 且△PBC 的面积为S △PBC =12PC ⋅OB =R 2， ∵P A ＝AC ，O 为PC 的中点，则OA ⊥PC ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，OA ⊂平面P AC ，所以，OA ⊥平面PBC ，所以，三棱锥P ﹣ABC 的体积为13×OA ×S △PBC =13R ×R 2=13R 3=a ，因此，球O 的体积为43πR 3=4π×13R 3=4πa ，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13．（5分）已知e 1→，e 2→为单位向量且夹角为2π3，设a→=3e 1→+2e 2→，b→=3e 2→，则a →在b →方向上的投影为 12．【解答】解：根据题意得，a →•b →=9e 1→•e 2→+6e 2→2＝9×1×1×(−12)+6×1×1=−92+6=32； 又∵|b |＝3，∴a →在b →方向上的投影为a⋅b |b|=323=12；故答案为12．14．（5分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）的图象与直线x ﹣y +1＝0相切，则实数a 的值为1e 2−1 ．【解答】解：由f （x ）＝lnx ﹣ax ，（a ∈R ）得f ′（x ）=1x −a ， 设切点横坐标为x 0，依题意得1x 0−a =1，并且lnx 0﹣ax 0＝x 0+1，解得a =1e 2−1； 则实数a 的值为1e −1；故答案为：1e 2−1．15．（5分）已知双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，0＞0）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于Q ，若5PF →=3FQ →，则该双曲线E 的离心率为√52． 【解答】解：由题意得右焦点F （c ，0）， 设一渐近线OP 的方程为y =b ax ， 则另一渐近线ON 的方程为y =−ba x ， 由FP 的方程为y =−ab （x ﹣c ）， 联立方程y =ba x ， 可得P 横坐标为a 2c ，由FP 的方程为y =−ab （x ﹣c ），联立方程y =−ba x ， 可得Q 的横坐标为a 2ca 2−b 2．由5PF →=3FQ →，可得5（c −a 2c ）＝3（a 2c a −b−c ），即为8c ﹣5•a 2c=3•a 2c 2a −c ，由e =ca ，可得8−52=32，即有4e 4﹣9e 2+5＝0， 解得e 2=54或1（舍去）， 即有e =√52， 故答案为：√52．16．（5分）不等式x （sin θ﹣cos 2θ+1）≥﹣3对任意θ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是 [−32，12] ．【解答】解：当x ＝0时，x （sin θ﹣cos 2θ+1）≥﹣3恒成立； 当x ＞0时，sin θ+sin 2θ≥−3x ，由sin θ+sin 2θ＝（sin θ+12）2−14，可得sin θ=−12时，取得最小值−14， sin θ＝1时，取得最大值2， 即有−14≥−3x ，解得0＜x ≤12； 当x ＜0时，可得sin θ+sin 2θ≤−3x， 即有2≤−3x ，解得−32≤x ＜0， 综上可得x 的范围是[−32，12]． 故答案为：[−32，12]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B =b24S．（Ⅰ）求sin A sin C ；（Ⅱ）若4cos A cos C ＝1，b =√15，求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC 的面积为S =12ac sin B ，sin B =b24S ．∴4×（12ac sin B ）×sin B ＝b 2，∴ac =b 22sin 2B，∴由正弦定理可得：sin A sin C =sin 2B 2sin 2B =12；（Ⅱ）∵4cos A cos C ＝1，sin A sin C =12， ∴cos B ＝﹣cos （A +C ）＝sin A sin C ﹣cos A cos C =12−14=14， ∵b =√15，可得：ac =b 22sin 2B =b 22(1−cos 2B)=(√15)22(1−116)=8，∴由余弦定理可得：15＝a 2+c 2﹣4＝（a +c ）2﹣2ac ﹣4＝（a +c ）2﹣20，解得：a +c =√35，∴△ABC 的周长a +b +c =√35+√15．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面P AD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）．（Ⅰ）求证：平面MBD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求三棱锥D ﹣MAB 的体积．【解答】解法一：证明：（1）由题知BD ＝AD ＝4√2，AB ＝8， AB 2＝AD 2+BD 2，∴BD ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，交线是AD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥AD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面P AD ．解：（2）过P 作PO ⊥AD 于O ，∴PO ⊥平面BAD ， ∴d P−DAB =2√2，∴三棱锥D ﹣MAB 的体积：V D ﹣MAB ＝V M ﹣DAB =13×S △DAB ×d M−DAB =13×12×(4√2)2×13×2√2 =32√29． 解法二：证明：（Ⅰ）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面P AD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）．∴以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P （6，2，2√2），C （0，0，0），M （2，23，2√23），B （0，4，0），D （4，0，0），A （8，4，0），DP →=（2，2，2√2），DA →=（4，4，0），DM →=（﹣2，2√23，2√23），DB →=（﹣4，4，0）， 设平面P AD 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DP →=2x +2y +2√2z =0n →⋅DA →=4x +4y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，0），设平面BDM 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=−4x +4y =0m →⋅DM →=−2x +2√23y +2√23z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，√3−1）， ∴m →⋅n →=0，∴平面MBD ⊥平面P AD ． 解：（Ⅱ）∵S △ABD =12×AB ×BC =12×8×4=16， M 到平面ABD 的距离d =2√23， ∴三棱锥D ﹣MAB 的体积：V D ﹣MAB ＝V M ﹣ABD =13×d ×S △ABD =13×2√23×16=32√29．19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计 未注射疫苗 40 p x 注射疫苗 60 q y 总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35． （Ⅰ）求2×2列联表中的数据p ，q ，x ，y 的值； （Ⅱ）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥K 0）0.05 0.01 0.005 0.001 K 03.8416.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35，则未感染的为25，即25x ＝40，解得x ＝100，∴p ＝100﹣40＝60； q ＝100﹣60＝40，y ＝100；（Ⅱ）由列联表中数据，计算K 2=200×(40×40−60×60)2100×100×100×100=8＜10.828，∴没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效；（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只， 未注射疫苗的有3只，记为a 、b 、c ，注射疫苗的有2只，记为D 、E ， 从这5只小白鼠中随机抽取3只，基本事件为：abc 、abD 、abE 、acD 、acE 、aDE 、bcD 、bcE 、bDE 、cDE 共10种不同的取法， 则至少抽到2只为未注射疫苗的基本事件是abc 、abD 、abE 、acD 、acE 、bcD 、bcE 共7种，故所求的概率为P =710．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点． （Ⅰ）若AR ∥FN ，求|MR||MN|的值；（Ⅱ）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．【解答】解（Ⅰ） 设l 的方程为x ＝my +1．A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 12=2px 1 y22=2px 2由{x =my +1y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣4＝0，可知y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4． 可知F （p2，0），N （−p2，y 2）∴k FN =y2−p∵AR ∥FN ，∴直线AR 的方程为y −y 1=y2−p (x −x 1)，令x =−p2可得y R =y 22+x 1y 2p+y 1=y22+y 122p ⋅−p 2y 1p+y 1=y 22+y12，∴点R 是MN 的中点，∴|MR||MN|=12；（Ⅱ）∵点R为线段MN的中点，以线段AB为直径的圆为圆E，∴ER⊥MN．由抛物线定义可得ER=AM+BN2=AF+BF2=AB2=r．∴点R在圆E上．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣2a）e x，g（x）＝4a2x．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），试讨论h（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x，h′（x）＝2e2x﹣2ae x﹣4a2＝2（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，由h′（x）＝0，得x＝ln2a，则当x∈（﹣∞，ln2a）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）＝0，得x＝ln（﹣a），则当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，h′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，即h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x＞0．当a＝0时，h（x）＝e2x＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln2a）＝e2ln2a﹣2ae ln2a﹣4a2ln2a＝﹣4a2ln2a．由﹣4a2ln2a＞0，得ln2a＜0，即0＜a＜1 2；当a＜0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln（﹣a））＝e2ln（﹣a）﹣2ae ln（﹣a）﹣4a2ln（﹣a）＝3a2﹣4a2ln（﹣a）．由3a2﹣4a2ln（﹣a）＞0，得−e 34＜a＜0．∴若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，则a的取值范围为（−e 34，12）．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=5π6（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ=5π6（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|=ρ1=6sin 5π6=3，|OP|=ρ2=6cos 5π6=3√3，所以：S△MOP=12⋅|OM|⋅|OP|sin5π6=12⋅4⋅3⋅12=3，S△MOQ=12⋅|OM|⋅|OQ|sin5π6=12⋅4⋅3√3⋅12=3√3，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3√3−3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a =12时，解不等式f （x ）＞6；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）a =12时，|3x ﹣1|+|2x ﹣2|＞6，故{x ≥13x −1+2x −2＞6或{13＜x ＜13x −1+2−2x ＞6或{x ≤131−3x +2−2x ＞6， 解得：x ＞95或x ＜−35，故不等式的解集是（﹣∞，−35）∪（95，+∞）；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立， 则|3x 0﹣2a |+3x 0＞4恒成立， 故x 0≥23a 时，6x 0＞2a +4恒成立， 故6×23a ＞2a +4，解得：a ＞2， x 0＜23a 时，2a ＞4，解得：a ＞2， 综上，a ∈（2，+∞）．。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |﹣1＜x ＜3}，集合B ＝{x |0＜x ＜π}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x |0＜x ＜π}【解答】解：A ＝{0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1﹣i ）＝2+i ，则在复平面内z 的对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由z （1﹣i ）＝2+i ，得z =2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i ， ∴z =12−32i ， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为（12，−32），在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数n =C 52=10，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数m =C 32+C 21C 31=9，∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p =m n =910． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2，√2），则该双曲线的离心率为（ ） A ．√62B ．√2C ．√3D ．3【解答】解：∵双曲线y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2，√2），∴ab =√22， ∴b 2＝2a 2，可得c 2＝3a 2， 所以e =√3． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（π6，0）对称；③在[0，π4]上是增函数”的一个函数可以是（ ） A ．y =sin(2x −3π4) B ．y =sin(2x −π3) C ．y =cos(2x +2π3) D ．y =sin(2x +π6)【解答】解：由①周期T ＝π可知，ω＝2，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于（π6，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，π4]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在△ABC 中，若点D 满足CD →=2DB →，点M 为AC 中点，则MD →=（ ） A ．23AB →−16AC →B ．13AB →−16AC →C ．23AB →−13AC →D ．23AB →+16AC →【解答】解：∵在△ABC 中，点D 满足CD →=2DB →，点M 为AC 中点， ∴MD →=MC →+CD →=12AC →+23CB →=12AC →+23（AB →−AC →） =23AB →−16AC →． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a ＝f （﹣1），b ＝f （log 214），c ＝f （20.3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：∵f （﹣x ）＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，∵函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∵a ＝f （﹣1）＝f （1），b =f(log 214)=f （2），c ＝f （20.3），而1＜20.3＜2， 则a ＜c ＜b ， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【解答】解：如图所示，∠AMB ＝90°，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ； 圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R ，母线长为√2R ； 由题意知，2πr 2+2πrh ＝πR •√2R ， 即2r 2+2rh =√2R 2； 由相似边成比例得r R=R−ℎR，即h ＝R ﹣r ；∴2r 2+2r （R ﹣r ）=√2R 2， 即2r =√2R ， ∴R r=√2=√2，即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为√2． 故选：A ．9．（5分）已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n +1﹣a n =b n+1b n=3，n ∈N *，则数列{b a n }的前10项的和为（ ） A ．12(310−1)B ．18(910−1)C ．126(279−1）D ．126(2710−1)【解答】解：由a n +1﹣a n ＝3，知{a n }为公差为3的等差数列，则a n ＝1+（n ﹣1）×3＝3n ﹣2； 由b n+1b n=3，知{b n }为公比为3的等比数列，则b n ＝3n ﹣1；∴b a n =33n ﹣3＝27n ﹣1，∴{b a n }为首项为1，公比为27的等比数列， 则{b a n }的前10项的和为：1−27101−27=126(2710−1)，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．64−8√2π3B ．64−4√2π3C ．32−8√2π3D ．32−4√2π3【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2√2．四棱锥的底面边长为4，高为4． 几何体的体积为：13×4×4×4−18×4π3×(2√2)3=64−8√2π3．故选：A ．11．（5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n ]⊆D 使f （x ）在[m ，n ]上的值域为[m2，n2]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x +t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是（ ） A ．（0，14]B ．（0，14）C ．（0，+∞）D ．（14，+∞）【解答】解：由题意可知函数f （x ）＝log a （a x +t ），（a ＞0，a ≠1）在其定义域内为增函数，若函数y ＝f （x ）为“半保值函数”，则f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12m ，12n ]∴{f(m)=12m f(n)=12n ，即{log a (a m +t)=12m log a (a n+t)=12n， ∴方程f （x ）=12x 必有两个不同实数根， ∵log a （a x +t ）=12x ， ∴a x +t =a 12x ， ∴a x﹣a 12x +t ＝0 令b =a 12x ，则b ＞0∴方程b 2﹣b +t ＝0有两个不同的正数根， ∴{△=1−4t ＞0t ＞0∴0＜t ＜14． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：x 2−y 29=1有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则（ ）A ．a 2=878B ．a 2＝12C ．b 2=98D ．b 2＝1【解答】解：双曲线C 2：x 2−y 29=1的焦点（±√10，0）， ∴a 2﹣b 2＝10．取C 2的一条渐近线y ＝3x ，与椭圆相交于点M ，N ． 联立{y =3x x 2a2+y 2b2=1，解得x M 2=a 2b 29a 2+b 2，y M 2=9a 2b 29a 2+b 2，∴|MN |2＝4（x M 2+y M 2）=40a 2b29a 2+b2，∵以C 1的长轴（2a ）为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分， ∴40a 2b 29a 2+b 2=19×（2a ）2，与a 2﹣b 2＝10联立．解得b 2=98． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件{x +y −1≥0，x −y −1≤0，x −3y +3≥0，则z ＝3x ﹣2y 的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件{x +y −1≥0，x −y −1≤0，x −3y +3≥0，表示的平面区域，如图所示；目标函数y =32x −12z 的几何意义是直线z ＝3x ﹣2y 的纵截距的相反数， 由{x −y −1=0x −3y +3=0，可得交点坐标为（3，2）， 平移直线y =32x −12z ，根据图形可知，当直线y =32x −12z 在经过（3，2）时，y =32x −12z 取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ﹣ABC 中，AB ＝AC ＝AD =√2，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D ﹣ABC 外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A ﹣BCD 为正三棱锥， 如图，又AB ＝AC ＝AD =√2，BC ＝BD ＝CD ＝2，得AB 2+AD 2＝BD 2，AB 2+AC 2＝BC 2，AC 2+AD 2＝CD 2， 则三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A ﹣BCD 补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A ﹣BCD 设为外接球， 其半径为12√2+2+2=√62． ∴三棱锥D ﹣ABC 外接球的表面积为4π×(√62)2=6π．故答案为：6π．15．（5分）在数列{a n }中，满足a 1＝1，a 2＝4，2na n ＝（n ﹣1）a n ﹣1+（n +1）a n +1（n ≥2且n ∈N *），则a 8＝254．【解答】解：在数列{a n }中，满足a 1＝1，a 2＝4，2na n ＝（n ﹣1）a n ﹣1+（n +1）a n +1， 当n ＝2时，4a 2＝a 1+3a 3，解得：a 3＝5． 当n ＝3时，6a 3＝2a 2+4a 4，解得：a 4=112． 当n ＝4时，8a 4＝3a 3+5a 5，解得：a 5=295． 当n ＝5时，10a 5＝4a 4+6a 6，解得：a 6＝6． 当n ＝6时，12a 6＝5a 5+7a 7，解得：a 7=437． 当n ＝7时，14a 7＝6a 6+8a 8，解得：a 8=254．故答案为：254．16．（5分）已知函数f(x)=(a −12)x 2+lnx ，若在区间（1，+∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是 [−12，12] ．【解答】解：令g （x ）＝f （x ）﹣2ax ＝（a −12）x 2﹣2ax +lnx ， 则g （x ）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 下方 等价于g （x ）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．g ′（x ）＝（2a ﹣1）x ﹣2a +1x =(2a−1)x 2−2ax+1x =(x−1)[(2a−1)x−1]x．①若a ＞12，令g '（x ）＝0，得极值点x 1＝1，x 2=12a−1， 当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在（0，1）上有g '（x ）＞0，在（1，x 2）上有g '（x ）＜0，在（x 2，+∞）上有g '（x ）＞0， 此时g （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g （x ）∈（g （x 2），+∞），不合题意；当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g （x ）在区间（1，+∞）上， 有g （x ）∈（g （1），+∞），也不合题意；②若a ≤12，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g '（x ）＜0， 从而g （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g （x ）＜0在此区间上恒成立，只须满足g （1）＝﹣a −12≤0，得a ≥−12． 由此求得a 的范围是[−12，12]．综合①②可知，当a ∈[−12，12]时，函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 下方．故答案为：[−12，12]．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB =13，点D 在线段BC 上，且BD =12CD ，AD =8√33．（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求△ABD 的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意BD =13a ，CD =23a ， 因为cos ∠ADB +cos ∠ADC ＝0， ∴(a 3)2+643−c 22×13a×8√33+(2a 3)2+643−b 22×2a 3×8√33=0，化简得：13a 2﹣c 2+24＝0，①由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝16+c 2﹣8c ×13② 由①②消去a 2得c ＝6，即AB ＝6；（Ⅱ）S △ABD =13S △ABC =13×12b •c sin A =13×12×4×6×2√23=8√23．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH →=λFB →，三棱锥B ﹣AHC 的体积等于三棱锥O ﹣DEF 的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ⊥BD ． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， ∴AO ⊥FO ．又四边形OAEF 为平行四边形，∴EF ∥AO ， ∴EF ⊥BD ，EF ⊥FO ，∵BD ∩FO ＝O ，∴EF ⊥平面BDF ． ∵EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）∵AB ＝FO ＝BD ＝2，四边形ABCD 为菱形， ∴△ABD 为等边三角形，且AO =√3，DO ＝BO ＝1． ∵BD ⊥AC ，BD ⊥FO ，AC ∩FO ＝O ， ∴BD ⊥平面OAEF ，∴四棱锥D ﹣AOFE 的体积为V D ﹣AOFE =13×S AOFE ×DO =13×(√3×2)×1=2√33． ∴V O−DEF =V D−OEF =12V D−AOFE =√33，∵FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH →=λFB →， ∴点H 到平面ABCD 的距离h ＝λ|FO |＝2λ．∴V B ﹣AHC ＝V H ﹣ABC =13×S △ABC ×ℎ=13×(12×2×2×sin120°)×2λ=2√3λ3=√33， 解得λ=12．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i 与年销售量y i （i ＝1，2，…，10）的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y ＝a +bx 和y ＝c •x d （其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令u i ＝lnx i ，v i ＝lny i ，得到相关统计量的值如表：∑ 10i=1u i v i ∑ 10i=1u i ∑ 10i=1v i ∑ 10i=1u i 230.5151546.5根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程；（3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为z =27e y −x （其中e ＝2.71828…），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑ni=1u i v i−nu⋅v∑n i=1u i2−nu2，α=v−βu．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，y＝c•x d更适合．（2）对y＝c•x d两边取对数，得Iny＝lnc+dlnx，即v＝lnc+du．由表中数据得d=∑ni=1u i v i−mu⋅v∑n i=1u i2−nu2=30.5−10×1.5×1.546.5−10×1.5×1.5=13，所以lnc=v−du=1.5−13×1.5=1，所以c=e．所以年研发费用x与年销售量y的回归方程为y=e⋅x 1 3．（3）由（2）知，z(x)=27x 13−x，求导得z′(x)=9x−23−1，令z′(x)=9x−23−1=0，得x＝27，函数z(x)=27x 13−x在（0，27）上单调递增，在（27，+∞）上单调递减，所以当x＝27时，年利润z取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（﹣2，m）在抛物线上，且|MF|=52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以|MF|=P2−(−2)=52，∴p＝1抛物线的方程为y2＝﹣2x；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M的坐标为（﹣2，2）当直线l斜率不存在时，此时A，B重合，舍去．当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +b设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线l 与抛物线联立得：{y =kx +b y 2=−2x k 2x 2+（2kb +2）x +b 2＝0x 1+x 2=−2kb−2k 2，x 1x 2=b 2k 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−①又k 1+k 2=y 1−2x 1+2+y 2−2x 2+2=−2， 即（kx 1+b ﹣2）（x 2+2）+（kx 2+b ﹣2）（x 1+2）＝﹣2（x 1+2）（x 2+2）2kx 1x 2+2k （x 1+x 2）+b （x 1+x 2）﹣2（x 1+x 2）+4b ﹣8＝﹣2x 1x 2﹣4（x 1+x 2）﹣8将①带入得，b 2﹣b ﹣2﹣2k （b +1）＝0即（b +1）（b ﹣2﹣2k ）＝0得b ＝﹣1或b ＝2+2k ．当b ＝﹣1时，直线l 为y ＝kx ﹣1，此时直线恒过（0，﹣1）当b ＝﹣2﹣2k 时，直线l 为y ＝kx +2k +2＝k （x +2）+2，此时直线恒过（﹣2，2）（舍去） 所以直线l 恒过定点（0，﹣1）．21．（12分）设函数f （x ）＝ae x ﹣x ，g （x ）＝blnx ．（Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）+g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x ﹣1，求a ，b 的值；（Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，（x ﹣k ）f '（x ）+x +1＞0成立，求k 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）h （x ）＝f （x ）+g （x ）＝ae x +blnx ﹣x ，ℎ′(x)=ae x +b x −1，由题意可知{ℎ(1)=ae −1=1ℎ′(1)=ae +b −1=2， 解得a =2e ，b ＝1；（Ⅱ）当x ＞0时，（x ﹣k ）f '（x ）+x +1＞0等价于k ＜x+1e x −1+x ． 设F(x)=x+1e x −1+x ，则F′(x)=e x (e x −x−2)(e x −1)2， 令R （x ）＝e x ﹣x ﹣2，则R '（x ）＝e x ﹣1．当x ＞0时，R '（x ）＞0恒成立，R （x ）在（0，+∞）上单调递增，又R （1）＜0，R （2）＞0，∴R （x ）在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且x 0∈（1，2），e x 0−x 0−2=0．∴F （x ）单减区间为（0，x 0），单增区间为（x 0，+∞），∴F （x ）在（0，+∞）的最小值为F(x 0)=x 0+1e x 0−1+x 0=x 0+1∈(2，3)． ∴k ＜F （x 0），故k max ＝2．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2−t ，y =1+t（t 为参数），曲线C 1：y =√1−x 2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(α−π4)．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA →•BP →的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（﹣2，1），求||QM |﹣|QN ||的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为x +y +1＝0，∴A （﹣1，0），B （0，﹣1）C 1的方程可化为x 2+y 2＝1（y ≥0），设点P 的坐标为（cos θ，sin θ），0≤θ≤π，∴BA →⋅BP →=−cosθ+sinθ+1=√2sin(θ−π4)+1∈[0，√2+1]．（Ⅱ）曲线C 2的直角坐标方程为：（x +2）2+（y ﹣2）2＝8直线l 的标准参数方程为{x =−2−√22m y =1+√22m (m 为参数)， 代入C 2得：m 2−√2m −7=0设M ，N 两点对应的参数分别为m 1，m 2，m 1+m 2=√2，m 1m 2＝﹣7＜0故m 1，m 2异号，∴||QM|−|QN||=|m 1+m 2|=√2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+a |x +2|．（Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．【解答】解析：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|+|x +2|={−2x −3，x ≤−2，1，−2＜x ＜−1，2x +3，x ≥−1，∵f （x ）≤3，当x ≤﹣2时f （x ）＝﹣2x ﹣3≤3解得﹣3≤x ≤﹣2，当﹣2＜x ＜﹣1时f （x ）＝1≤3恒成立，当x ≥﹣1时f （x ）＝2x +3≤3解得﹣1≤x ≤0，综上可得解集[﹣3，0]；（2）f （x ）＝|x +1|+a |x +2|={−(a +1)x −2a −1，x ≤−2，(a −1)x +2a −1，−2＜x ＜−1，(1+a)x +2a +1，x ≥−1，当﹣（a +1）＞0，即a ＜﹣1时，f （x ）无最小值；当﹣（a +1）＝0，即a ＝﹣1时，f （x ）有最小值﹣1；当﹣（a +1）＜0且（a ﹣1）≤0，即﹣1＜a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝a ， 当﹣（a +1）＜0且（a ﹣1）＞0，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣2）＝1， 综上：当a ＜﹣1时，f （x ）无最小值；当a ＝﹣1时，f （x ）有最小值﹣1；当﹣1＜a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝a ，当a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣2）＝1．。
