一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 2．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．34．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-35．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i +-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 6．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 7．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-9．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i - C ．3 D ．3i10．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0 12．复数z 11i i -=+，则|z |=( ) A ．1 B ．2 C ．2 D ．22二、填空题13．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；14．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________.15．若复数 1 sin i z cos iθθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________. 16．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 17．若复数2i 12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 18．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．19．()()12i a i ++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =__________. 20．若是实系数一元二次方程的一个根，则_______.三、解答题21．现新定义两个复数111z a b i =+（1a 、1b R ∈）和222i z a b =+（2a 、2b R ∈）之间的一个新运算⊗，其运算法则为：121212z z a a b b i ⊗=+.（1）请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证：()1231213z z z z z z z ⊗+=⊗+⊗；（2）设运算Θ为运算⊗的逆运算，请推导运算Θ的运算法则.22．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围； （3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由. 23．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数． （1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值．24．已知复数||z =z 是z 的共轭复数，且2()z 为纯虚数，z 在复平面内所对应的点Z 在第二象限，求2018. 25．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.26．已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+.（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．B解析：B【解析】由题意可得：()()(),1210,2z iz i i ii i+=--+=-，即()()()121221222422i ii i izi i i-----====---，∴122iz=-+，则复数z对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B.3．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z-++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z--+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re1|z z-=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x=-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x=-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z-≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z表示轨迹上的点到原点的距离，所以min0=，此时z对应的点为原点，max325r d=+=+=（d表示原点到圆心的距离），所以||z的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a-+-=，当122a z z>-时，此时z对应的点的轨迹是椭圆；（2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 4．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．5．B解析：B【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A8．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.【详解】 ()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限， 24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．9．A解析：A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.10．D解析：D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．12．A解析：A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.二、填空题13．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④【分析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.【详解】当0a b 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.14．【分析】由题意可设α＝a+bi 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi 且m 与n 为实数b≠0由根与系数的关系得到ab 的关系由αβ0对应点构成直角三角形求得到实数m 的值【详解】设α＝a+bi 则解析：2【分析】由题意，可设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a ，b 的关系，由α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m 的值【详解】设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，n ≠0．由根与系数的关系可得α+β＝2a ＝﹣2，α•β＝a 2+b 2＝m ．∴m ＞0．∴a ＝﹣1，m ＝b 2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A ，B ，则OA ⊥OB ，所以b 2＝1，所以m ＝1+1＝2；， 故答案为：2【点睛】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．15．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助解析：12【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.【详解】 ()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴=====12≤=, 【点睛】 本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 16．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．17．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4【解析】 ∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a i i -+是纯虚数∴405a -=，即4a = 故答案为418．【分析】设第个顶点为利用向量相等列方程求解即可【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是所以正方形三个顶点对应的坐标为设第个顶点为则∴即第个顶点为所以第4个顶点对应的复数为【点睛】本题主要考查复数 解析：13i -+【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-，设第4个顶点为(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-，∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-．所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..19．【解析】的实部与虚部相等解得故答案为解析：3-【解析】()()12i a i ++()212a a i =-++的实部与虚部相等，212a a ∴-=+，解得3a =-，故答案为3-.20．0【解析】因为是实系数一元二次方程的一个根所以也是方程的根；由跟与系数的关系得即则考点：实系数一元二次方程的根与系数的关系解析：0【解析】因为是实系数一元二次方程的一个根，所以也是方程的根；由跟与系数的关系，得，即，则.考点：实系数一元二次方程的根与系数的关系.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）当10a ≠，10b ≠时，1z Θ11222a b z i a b =+，推导过程见解析. 【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算和新运算⊗进行化简，解得等式左边等于等式右边，即证．由题可知1z Θ2z 的运算结果是关于变量z 的方程21z z z ⊗=的解，设(,)z x yi x y R =+∈，则2211()()x yi a b i a b i ++=+⊗，通过新运算⊗运算，根据两复数相等，解得当20a ≠，20b ≠时，12a x a =，12b y b =，即可得1z Θ11222a b z i a b =+． 【详解】（1）证：设333z a b i =+（3a 、3b R ∈）.左()()()()123112323z z z a b i a a b b i =⊗+=+⊗+++⎡⎤⎣⎦ ()()123123a a a b b b i =+++()()12131213a a a a bb bb i =+++右121312121313z z z z a a b b i a a b b i =⊗+⊗=+++()()12131213a a a a bb bb i =+++左=右，证毕.（2）因为运算Θ为运算⊗的逆运算，所以1z Θ2z 的运算结果是关于变量z 的方程21z z z ⊗=的解.设z x yi =+（x 、y R ∈），则()()2211x yi a b i a bi +⊗+=+，即2211xa yb i a b i +=+.当10a ≠，10b ≠时，解得，21a x a =，21b y b =. ∴1122a b z i a b =+， 故，当10a ≠，10b ≠时，1z Θ11222a b z i a b =+. 【点睛】本题考查复数的运算法则，和新定义类题目，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 22．（1）(2,3)-；（2）[]10,15；（3）存在，复数1z i =+和1i z =--.【分析】（1）根据题意得到()812i i p +=+⋅，求出82312i p i i+==-+，从而可得出结果； （2）先由点P 在椭圆22194x y +=上，得到[]2,3p OP =∈，再由5z =，即可求出结果；（3）假设存在，先设(,)P x y ，求出经过变换后的点为(),Q ax by bx ay -+，再由曲线方程，即可求出结果.【详解】（1）根据题意，有()812i i p +=+⋅， 所以8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i i p i i i i ++--====-++-， 所以点P 的坐标为(2,3)-；（2）因为点P 在椭圆22194x y +=上， 所以[]2,3p OP =∈， 又345z i =+=，所以[]10,15OQ q p z ==⋅∈；（3）假设存在z a bi =+，(),a b ∈R ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动， 设(,)P x y ，所以()()q ax by bx ay i =-++，对应的点为(),Q ax by bx ay -+，因为(),Q ax by bx ay -+在双曲线1y x =上运动， 所以1bx ay ax by+=-，所以22221abx a xy b xy aby +--=， 即P 在曲线22221abx a xy b xy aby +--=上运动，所以有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，存在复数z 满足题意，分别为1z i =+和1i z =--.【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的几何意义，熟记复数的四则运算，以及复数的几何意义与复数的运算法则即可，属于常考题型.23．(1) 12 z z +=【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +==（2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+， 即()2212m i n ni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩ 解得0,1.m n =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.24．i -【解析】【分析】设z a bi =+，根据题意列出关于a b 、的方程组求解，再结合所对应的点Z 在第二象限，即可求出z【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z ==，∴222a b += 又z a bi =-，()()22222z a bi a b abi =-=--.∴22020a b ab ⎧-=⎨-≠⎩，联立22222a b a b⎧+=⎨=⎩，解得11a b =±⎧⎨=±⎩ 又Z 在第二象限，∴11a b =-⎧⎨=⎩，即1z i =-+ ∴2018()10092018210091009i i ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()252252414i i i i ⨯+=-=-⨯=-故答案为i -【点睛】 本题考查了复数的相关定义，设出复数z 的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。
