圆的面积

<圆的面积》教学实录第三小学王英芳师：（出示圆形纸片）大家请看，这是什么图形？(生：圆形)我们已经认识了圆，并学习了圆的周长。

今天这节课我们一起来学习圆的面积（板书课题：圆的面积）。

师：请大家想一想，什么是圆的面积？谁来试一试？生：我觉得圆的面积就是圆所占的地方。

比如说我们这个房子所占的大小有多少，那它的面积就有多少。

师：哦！请坐。

你的意思是圆所占平面的大小就是这个圆的面积。

说得真好！那么怎么求圆的面积呢？师：好像遇到了困难，是吧？这样……（有学生举手）有人知道。

好，你说。

生：可以用剪一剪、拼一拼的方法把圆转化成我们学过的图形。

师：诶，你觉得现在直接求有困难，是不是这个意思？（生答略）他刚才提到一个策略：能不能剪一剪、拼一拼……你接着说怎么办？刚才没有听清楚，接着怎么办？生：剪一剪、拼一拼，把圆转化成我们学过的图形。

师：以前咱们有过这样的例子吗？（生：有）能接着说吗？生：比如说平行四边形。

我们在研究平行四边形的时候，就是沿着它的高把它分成一个梯形和一个三角形，然后再把这个梯形和这个三角形拼成一个长方形。

师：哦，请坐。

你们听清楚了吧。

诶，能不能按照这个同学的想法，把圆也转化成咱们也学过的图形呢？生：能。

师：那口说无凭。

试一试，行不行？生：行。

师：同学们可以利用手中的圆纸片，咱准备的工具，在小组内商量商量，开始。

（生小组商议，自主尝试）师：同学们请停！同学们真聪明，各个小组都有自己的想法。

来，你们小组先来说一说。

生：我们先把这个圆对折成4个扇形。

由于扇形面积我们现在还没学过，所以呢，我们就把它再折成小的这样的近似三角形，然后再把它剪出来拼成一个长方形。

师：好，行！刚才其实你们小组的方法也行。

不用这么剪，你们刚才是折成了4份，是吧？你们说，折成了4份，怎么了？（生没有明白老师的意识）师：折成4份什么图形？生：扇形。

师：折成4份扇形，你们为什么又继续折？生：扇形的面积我们还没学过。

师：没学过扇形的面积，是不是？所以你又想办法继续折了。

生：嗯。

师：好。

请瞧，这个小组的第一步是先折成了4个扇形，他们马上又发现这个扇形的面积咱们没学过呀。

他们想继续再折。

这样是不是让折出的图形能怎么样？（生接不上来）像什么图形？生：三角形。

师：对呀，这方法多好呀！诶，我看有的小组的方法和他们还不一样。

哪个小组来说一说？拿上来展示给大家看一看。

生：我们先把一个圆剪成4个相同的扇形，然后把它们像这样拼起来。

这样就很像一个平行四边形。

师：大家听，这个小组的想法多有创意！他们先把这个圆怎么样？（生：剪成了4份）然后又拼成了新的图形。

那求出这个图形的面积那不就是圆的面积吗？对不对？方法真好！你请回。

师：刚才这个小组他们把圆剪拼成一个平行四边形，你们觉得像吗？生：像.师：有点轮廓，是吧？有点轮廓能不能说很像？看来，怎么让拼成的图形更像平行四边形，咱们还得继续研究，是吧？生：是。

师：刚才同学们有两种思路。

你可以把这个圆折一折，转化成咱们学过的三角形。

还可以把这个圆剪一剪、拼一拼转化成咱们学过的平行四边形。

你觉得这两种思路有什么共同的特点啊？生：这两种方法都是把我们没有学过的图形变成我们学过的图形。

师：对。

都是把新图形转化成我们已经学过的图形（板书：转化）思路都不错吗？刚才大家都看到了，有一个小组自己也发现这个问题了。

你折成4份，这个扇形？还有你拼成的平行四边形，它都不是很像呀。

怎么能更像呢/? 咱们下一步是不是得继续研究啊！师：我发现一个同学已经有想法了这样，咱们每个小组从这两种思路中继续研究，好不好？好，开始。

（生小组讨论、尝试）师：我看每个小组都已经研究出结果来了。

哪个小组先来展示一下。

生：我们先求的是两次，把它分成了一个扇形。

扇形的面积我们没有学过，所以我们再接着把它折成了一个近似的三角形……师：老师打断一下。

你们又折了这么多次。

为什么要折这么多次？生：因为再折几次才能折出一个近似的三角形。

师：（请学生展示）大家看，这就是把一个圆折成16份的形状。

你们看，跟刚才相比确实像一个三角形了。

那能不能折出一个形状更像三角形的图形？你说怎么办？生：再来折一折。

师：哦，再来折一折。

那你再来折一折，试一试。

师：哎呀！有困难了。

我帮你在电脑上演示一下，好不好？大家请看屏幕。

正好刚才这个小组把圆平均分成了16份，这其中的一份（CAI课件演示）很像三角形了。

她说再折，那咱们把它分成32份（CAI课件演示），那现在你看，其中的一份怎样？生：更像三角形。

师：更像三角形。

你看，这就是把一个圆剪成32份当中的一份。

如果分的份数更多呢？大家闭上眼睛想一想，把这个圆剪成64份，折成128份……折的份数越来越多，那其中的一份会越来越怎么样？生：越来越小。

生：越来越像三角形。

师：是这样的吗？请看屏幕。

开始咱们把这个圆平均分成了4份，你们看这一份和三角形差的却是比较大，是不是？那请你观察，如果分的份数多了（CAI 课件呈现分成5份），会发生什么变化？师：怎么样？生：差别越来越小。

师：差别小了。

那分的份数更多呢？（CAI课件呈现分成6份）生：更小了。

师：又小了。

（CAI课件显示8、16、32、64、128、256…）你们看到什么变化？生：几乎没有差别了。

师：跟大家说的真是一样。

把这个圆分的越来越多，那其中的这一份就越来越接近……生：三角形。

师：对啊！这时候我们就可以把三角形的底看成是这一段狐，三角形的高是……生：圆的半径。

师：现在你能求出这一个三角形的面积吗？那你能求出整个圆的面积吗？生：能。

师：你看，用这个方法咱们是不是成功地把圆的面积转化成求这些三角形的面积呀。

多好的方法！刚才我看到有些小组的方法还不一样。

诶，那个小组，你们上来展示一下。

生：我们发现，把一个圆剪的份数越多，那它的形状就越来越像平行四边形(第二种思路)。

师：你们现在是把它剪成了几份？生：剪了8份。

师：哦，剪了8份。

大家看，他们把圆剪了8份，拼成的图形和刚才相比有什么变化？生：更像平行四边形了。

师：能更像吗？比他还像。

有的小组又有新的想法了。

来，你说？生：我们小组是把它分成了16份。

因为它分的份数越多，就和三角形越接近嘛！16份，再拼成了一个平行四边形，面积就更像一些了。

师：应该是形状更像了。

那大家看，他们拼成的图形和刚才相比又有什么变化了？生：更像了。

师：如果想让拼成的图形比它还接近平行四边形，怎么办？生：再剪。

师：剪多少份？生：32份。

师：能再像一些吗？剪多少次？再像呢？生：128次。

师：那如果现在我让你剪256次，有什么感觉？生：太困难了。

师：太困难了，太麻烦了，是不是？那我来给你演示（CAI课件演示32份）拼成的图形怎么样？生：这个拼成的图形既像平行四边形，又有点近似长方形。

生：那把它平均分成64份，会怎么样？（CAI课件演示）大家请看屏幕，有什么发现？师：哎呀！更接近长方形了，是这个意思吗？诶，请坐。

再想一下，如果把这个圆平均分成的份数更多，那拼成的图形会怎么样呢？生：更像长方形了。

师：是这样吗？请看老师把它平均分成128份（CAI课件演示）跟你想的不一样，刚才那个女孩，你说怎么啦？生：我说这个拼出的图形就是一个长方形。

师：看起来它就是一个长方形了。

那如果分的份数更多呢？生：就是长方形。

师：哦，大家看，咱们把一个圆剪一剪、拼一拼，得到的图形就会越来越接近长方形。

这样是不是就把圆的面积转化成求长方形的面积。

生：诶，大家看，咱们把圆转化成长方形，形状是变了，什么没变？生：面积。

师：那这样咱们求出了长方形的面积也就相当于求出了？生：圆的面积。

师：真好！刚才咱们同学借助学具，通过动手操作都找到了解决问题的方法了。

可以把圆折一折转化成很多小三角形，也可以把圆剪一剪、拼一拼转化成长方形，都能得到圆的面积。

可咱数学的学习可不能只停留在动手操作上，你还得会用数字、字母、符号、动手思考和推理呀。

老师想给大家提个更到的要求。

能不能在刚才研究的基础上，推导出圆的面积计算公式呢？师：很有信心啊！这可是个很有挑战性的任务？有信心？刚才大家领的纸片剪的折的都不是很标准，老师给大家准备了。

黑板上这两种方法的示意图来帮助你思考。

你可以对照这个示意图，把你推导的结果就写在这个纸上，好不好？（师分发材料，学生自主探索）师：好，老师看到有的小组已经开始有想法了。

谁愿意来展示展示你的想法？生：（投影长方形到圆）这是长方形的长，也等于半圆的周长。

师：圆周长的一半。

生：等于圆周长的一半，也就等于1/2C，1/2C也就相当于∏r,因为圆周长是2∏r，除以2就是∏r，长方形的宽相当于圆的半径，∏r乘r等于∏r2。

师：说的多好啊！你们听清楚了没有？哎呀，大家都情不自禁地鼓掌了。

真棒！谁能把他说的再说一遍？生：他说的是首先用圆的周长除以2，求的是半圆蓝色部分，也就是每份弧线相加，也就是算出了圆的周长除以2的面积，然后再乘半径，就算出了圆的面积。

师：（请先发言的学生）C÷2你再跟他说说求的是哪一部分？生：圆周长是C，只取了圆周长的一半，所以是C÷2。

师：那个男孩你听清楚了吧？也就是长方形的长。

明白了没有，老师也明白了。

请坐。

师：这同学说这长方形的长也就相当于圆周长的一半，她说用∏r来表示。

那长方形的宽呢？也就是圆的半径，用r来表示。

那大家想，把圆转化成长方形，它们的面积是怎样的？（生：一样的）哦，面积不变，也就是说我们求出了长方形的面积也就求出了谁的面积呀？生:圆的面积。

师：对，也就求出了圆的面积。

刚才这个女孩分析得很清楚。

长方形的长就是圆周长的一半，可以用∏r来表示，C÷2吗？就是∏r。

那长方形的宽呢？是圆的哪一部分？（生:半径）相当于圆的半径，可以用r来表示。

咱们知道，长方形的面积等于长乘宽，那圆的面积咱们可以表示为？生：∏r×r。

师：你们知道等于多少吗？生：∏r2。

师：你们看，现在要求圆的面积是不是很简单了，知道什么条件就可以了？生：半径。

师：诶，知道半径就可以了。

有没有不一样的方法？（一生上台展示C÷32×r÷2×32）师：哦，这个式子多长啊！这样好不好？你把每一步的意思给大家说一说，行不行？师：C÷32什么意思？生：圆的周长用C表示，然后我们把这个圆平均分成了32份，所以C÷32求的是每一段弧的长度，也就是求的是三角形的底。

师：那再×r÷2呢？生：乘r是因为这个三角形的高就是这个圆的半径，×r÷2求的是这个三角形的面积。

因为圆平均分成了32个这样的小三角形，所以用三角形的面积乘32就求出了这个圆的面积。

师：听清了？那下面怎么来的？两个32为什么都划掉了？生：乘32和除以32两个可以相互抵消，所以把它们划掉了。

因为圆的周长可以用2∏r表示，也就是说C就等于2∏r，2∏r的2和除以2的2相互抵消，最后就成了∏r×r，就是∏r2。