【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习：综合测试1 第1章]

第二章 §3一、选择题1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 [答案] C[解析] f ′(x )＝2x ⇒f ′(3)＝6.2．(2014·泰安模拟)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)<0B ．f ′(x 0)>0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x 0，f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x 0)＝3.故选B.3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y －3＝0 [答案] A[解析] y ′＝4x 3，直线x ＋4y －8＝0的斜率为－14，所以切线l 的斜率为4.所以4x 3＝4，解得x ＝1.所以切点为(1,1)，切线l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.4．函数y ＝lg x 在x ＝1处的瞬时变化率为( )A ．0B ．1C ．ln10D ．1ln10 [答案] D[解析] y ′＝1x ln10，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为11×ln10＝1ln10. 5．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.二、填空题6．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________．[答案] 3[解析] y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.7．曲线y ＝f (x )＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为________．[答案] 4x ＋y ＋2＝0[解析] ∵y ＝f (x )＝2x 2，∴f ′(x )＝4x ，f ′(－1)＝－4.故曲线y ＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为y －2＝－4(x ＋1)，化简得4x ＋y ＋2＝0.8．直线y ＝12x ＋b (b 是常数)是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. [答案] ln2－1[解析] 对曲线对应的函数求导得y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1. 三、解答题9．求下列函数的导数(1)y ＝1x 2；(2)y ＝3x ；(3)y ＝log 2x . [解析] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3(2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln210．求曲线f (x )＝x 3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．[解析] 因为f (x )＝x 3，所以f ′(x )＝3x 2，所以f ′(3)＝27，得曲线f (x )＝x 3在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)，即y ＝27x －54，所以切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0，－54)，所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S ＝12×2×54＝54.一、选择题1．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6 [答案] C[解析] 由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C ．2．曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋a ， ∴3x 20＋a ＝2①又∵切点既在曲线上，又在切线上，∴x 30＋ax 0＋1＝2x 0＋1②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，a ＝2. 3．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫－12，－2或⎝⎛⎭⎫12，2C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫12，－2 [答案] B[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， 解得－1x 2＝－4，解得x ＝±12，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2，故选B. 4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A ．23B ．－23C ．13D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 二、填空题5．下列命题中，正确命题的个数为____________．①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x )′＝x ln a (a ＞0，a ≠1)；③加速度是动点位移s (t )对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线．[答案] 0[解析] ①因为f (x )＝x ，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案] (1，e) e[解析] ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0， ∴直线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．∴y －e x 0＝e x 0·x －x 0·e x 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程．∴x 0·e x 0＝e x 0.∴x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.三、解答题7．试比较曲线y ＝x 2与y ＝1x在它们交点处的切线的倾斜角的大小． [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)． 对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1. 由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．8.试求过点A (3,5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程．[分析] 本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析] 点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x 20.又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为y 0－5x 0－3.所以2x 0＝y 0－5x 0－3，将它与y 0＝x 20联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 20，2x 0＝y 0－5x 0－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝25，即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.。

选修2－2综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·山东鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D. 2．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2 D ．y ＝x －2 [答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 5．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2013，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1＝f n ′(x )，则f 2014(x )＝( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x[答案] C[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2013x 2012，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2013×2012x 2011，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2013×2012×2011x 2010，……，∴f 2014(x )＝－sin x ＋e x .6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.8．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.11．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] n ＝k ＋1时，左边为： 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＋⎝⎛⎭⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k －1， 故共增加了2k 项，故选D.12．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1][答案] A[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0及x >0得，0<x ≤1，故选A. [点评] 利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f ′(x )；②在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0； ③根据②的结果确定函数f (x )的单调区间．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2013·山东嘉祥一中高二期中)在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________． [答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．14．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,7)[解析] f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a )(7－a )<0，∴－1<a <7，当a ＝－1时，f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝0，在(－1,1)上恰有一根x ＝－13，当a ＝7时，f ′(x )＝0在(－1,1)上无实根，∴－1≤a <7.15．(2014·天门市调研)若复数z ＝21＋3i ，其中i 是虚数单位，则|z －|＝________.[答案] 1[解析] 因为z ＝21＋3i ＝2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝2(1－3i )4＝12－32i ，所以|z －|＝(12)2＋(－32)2＝1. 16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a )dx＝________.[答案] 2－3ln3[解析] 由条件知方程1－3x ＋a ＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx ＝ |[x －3ln (x ＋1)]20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. [解析] (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点． 由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2<a <1.所以，函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.19．(本题满分12分)先观察不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(a 1、a 2、b 1、b 2∈R )的证明过程：设平面向量α＝(a 1，b 1)，β＝(a 2，b 2)，则|α|＝a 21＋b 21，|β|＝a 22＋b 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2. ∵|α·β|≤|α|·|β|，∴|a 1a 2＋b 1b 2|≤a 21＋b 21·a 22＋b 22， ∴(a 1a 2＋b 1b 2)2≤(a 21＋b 21)(a 22＋b 22)，再类比证明：(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)≥(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2.[分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明．[解析] 设空间向量α＝(a 1，b 1，c 1)，β＝(a 2，b 2，c 2)，则|α|＝a 21＋b 21＋c 21，|β|＝a 22＋b 22＋c 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2， ∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|≤a 21＋b 21＋c 21·a 22＋b 22＋c 22，∴(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2≤(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝32π.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)，单调减区间为(π，32π)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π2.21．(本题满分12分)(2013·海淀区高二期中)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分14分)(2014·贵州湄潭中学高二期中)设函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12， f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e.一、选择题1．i 是虚数单位，复数z ＝2＋3i－3＋2i 的虚部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] z ＝2＋3i －3＋2i ＝(2＋3i )(－3－2i )(－3＋2i )(－3－2i )＝－6－9i －4i ＋613＝－i ，∴z 的虚部是－1.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．(2013·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i[答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ， 故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )A.20122013 B ．20112012C ．20092010D ．20102011[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2013＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2013)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12012－12013)＝1－12013＝20122013.7．(2014·淄博市临淄区检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 …… A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113[答案] B[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.9．(2012·江西文，5)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92 [答案] B[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.10．(2012·大纲全国理，1)复数－1＋3i1＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i [答案] C[解析] 本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算求解．因为－1＋3i1＋i＝(－1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋4i2＝1＋2i ，所以选C.11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.12．(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1. ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题13．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .14．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0， 又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.15．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.16．(2013·天津红桥区高二质检)已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题17．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列．[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．18．已知函数f (x )＝(2－a )x －2ln x ，(a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)由题可知f ′(x )＝2－a －2x(x >0)，令f ′(x )＝0得2－a －2x ＝0，∴x ＝22－a ，又因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝0.(2)①若a ＝2，f ′(x )＝－2x <0(x >0)，f (x )＝－2ln x 的单调递减区间为(0，＋∞)；②若2－a <0，即a >2时，f ′(x )＝2－a －2x 在(0，＋∞)上小于0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③若2－a >0，即a <2时，当x >22－a 时f ′(x )>0，f (x )单调递增，0<x <22－a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上：a ≥2时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；a <2时，f (x )的单调递增区间为(22－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，22－a)．19．设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立． 设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0， 解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3， 当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5， 当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种，∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .[解析] 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0， 且上述三式中的等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc . ∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 21．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)． 所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13， 综上，不等式得证．22．(2014·揭阳一中高二期中)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a <0)．(1)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)设各项为正的数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2，n ∈N *，求证：a n ≤2n －1. [解析] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立， 则a ≤1－2x x 2＝(1x －1)2－1在x >0时恒成立，即a ≤((1x －1)2－1)min (x >0)，当x ＝1时，(1x －1)2－1取最小值－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，f (x )＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x.g (x )，g ′(x )随x 的变化如下表：∴g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2，g (x )极大值＝g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln2－b －2，∵方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0.得ln2－2<b ≤－54.(3)设h (x )＝ln x －x ＋1，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝1x －1≤0，∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数．∴h (x )max ＝h (1)＝0，故当x ≥1时有ln x ≤x －1. ①当n ＝1时，a 1＝1≤1成立；②假设n ＝k 时，a k ≤2k －1，则当n ＝k ＋1时， ∵2k －1≥1，∴ln(2k －1)≤(2k －1)－1＝2k －2， ∴a k ＋1＝ln a k ＋a k ＋2≤ln(2k －1)＋(2k －1)＋2 ≤(2k －2)＋(2k －1)＋2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时结论也成立，由①②得，对∀n ∈N *有a n ≤2n －1成立．。

第一章 §1一、选择题 1．[答案] A[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题 4．[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10(91＋109)2＝1 000.5． [答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力． 依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x(2－1)x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 7x ＋8＝x(23－1)x ＋23，f 4(x )＝x 15x ＋16＝1(24－1)x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.三、解答题6．[分析] 两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题 1．[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．[答案] C[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．[答案] C[解析] 观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1i 2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n. 4．[答案] B[解析] 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半． 则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n . 又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005. 5．[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.本题的关键是理解“若V ≈136L 2h ，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 7．[答案] F ＋V －E ＝2 [解析] 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题8．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．[解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sinα＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2) ＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．[解析] 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可推出：(1)通项b n ＝b m ·q n－m；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋， 则b m ·b n ＝b p ·b q ；(3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则 b m ·b n ＝b 2p ；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．第一章 §2一、选择题 1．[答案] C[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即“a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 2．[答案] B[解析] f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .3．[答案] A[解析] 由c <b <a ，且ac <0得a >0，c <0.由不等式的性质不难选出答案为A. 二、填空题4．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0 5．[答案] ①③④[解析] ①中x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ， ∴x ∥平面y 或x 平面y . ∵x 平面y ，故x ∥y 成立．②中若x ，y ，z 均为平面，则x 可与y 相交，故②不成立．③x ⊥z ，y ⊥z ，x ，y 为不同直线，故x ∥y 成立．④由z ⊥x ，z ⊥y ，z 为直线，x ，y 为不同平面，可得x ∥y ，④成立． ⑤x ，y ，z 均为直线可异面垂直，故⑤不成立． 三、解答题6．[分析] 本题中出现的有a －b ，b －c 和a －c ，注意它们之间的关系为a －c ＝(a －b )＋(b －c )从而解答问题．[证明] ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， 且a －c ＝(a －b )＋(b －c )． ∴a －c a －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当a －b ＝b －c 时等号成立． ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c成立.一、选择题 1．[答案] C[解析] 对于平面α和共面的直线m ，n ，真命题是“若m α，n ∥α，则m ∥n ”． 2．[答案] C [解析]x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y3．[答案] D [解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .4．[答案] A [解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 5．[答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数， 由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0. 二、填空题 6．[答案] －12[解析] 观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)， cos γ＝－(cos α＋cos β)， ∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2 ＝sin 2γ＋cos 2γ＝1，化简并整理得cos(α－β)＝－12.7．[答案]324[解析] a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22(a 2＋12＋b 22)＝324(当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22＝1即a ＝62，b ＝22时取“＝”) 三、解答题8．[解析] 证法一：(分析法)要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 只需证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2， 即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 只需证(bc －ad )2≥0. 因为(bc －ad )2≥0显然成立，所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2成立． 证法二：(综合法)因为b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 所以a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2， 即(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 9．[证明] 要证1n>n －n －1， 即证1>n －n (n －1)， 只需证n (n －1)>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.第一章 §3一、选择题 1．[答案] D 2．[答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.3．[答案] A[解析] 利用反证法解决．假设x 1＋y ≤12，y 1＋x ≤12，x >0，y >0，则1＋y ≥2x,1＋x ≥2y⇒2＋x ＋y ≥2x ＋2y ⇒x ＋y ≤2，这与x ＋y >2矛盾．二、填空题4．[答案] 两个方程都没有实数根 5．[答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知条件矛盾．a 、b 、c 中至少有一个不小于13.三、解答题6．[解析] 已知∠A 、∠B 、∠C 为△ABC 的三个内角． 求证：∠A 、∠B 、∠C 中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 都小于60°， 即∠A <60°，∠B <60°，∠C <60°， 三式相加得∠A ＋∠B ＋∠C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A 、∠B 、∠C 都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.一、选择题 1．[答案] D[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数． 2．[答案] D[解析] a 、b 、c 不全为零，即a 、b 、c 中至少有一个不为0. 3．[答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根． 反证法的假设为原命题的否定． 4．[答案] C[解析] 对“<”的否定应为“≥”，故选C. 5．[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)，sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)，sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．二、填空题6．[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．[答案] 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12[解析] 根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)剥离出来作为已知条件．三、解答题8．[解释] 假设1a 、1b 、1c 能构成等差数列，则由2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a 、b 、c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝c ，这与a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a 、1b 、1c不能构成等差数列．9．[解析] 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a 、b 是正有理数，所以p >0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a 、b 、p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．[点评] 数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论．10．[分析] 本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．[解析] 假设x 、y 、z 中有负数，不妨设x <0，则x 2>0，则y ＋z ＝1－x ，y 2＋z 2≥(y ＋z )22，∴12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋(y ＋z )22＝x 2＋(1－x )22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x <0，∴x －23<0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有负数．假设x ，y ，z 中有一个大于23，不妨设x >23.则12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋(y ＋z )22＝x 2＋(1－x )22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x >23，∴x >0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有大于23的．综上，x ，y ，z ∈[0，23]．[点评] 像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明的题目，应考虑用反证法证明．第一章 §4一、选择题 1．[答案] C[解析] ∵n ＝1时，2n ＋1＝3 ∴f (1)＝1＋12＋13.2．[答案] D[解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n 时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立． 3．[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.二、填空题4．[答案] 1＋2＋3；4k ＋5(或(2k ＋2)＋(2k ＋3))[解析] 因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时2n ＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k →k ＋1需增添的项的是4k ＋5或(2k ＋2)＋(2k ＋3)．5．[答案] 1＋a ＋a 2[解析] 就本题而言，它的左边是按a 的升幂排列的，共有(n ＋2)项，故当n 取第一个值时，共有1＋2＝3项，它们的和应是1＋a ＋a 2.三、解答题6．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N * a n ＝2n －12n －1成立.一、选择题 1．[答案] D[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29. 2．[答案] C[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，可推得若n ＝k ＋1时命题不成立可推得n ＝k (k ∈N *)时命题不成立，所以答案为C.3．[答案] D[解析] 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．4．[答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.5．[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题 6．[答案]12n ＋12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.7．[答案] 11[解析] 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12(n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝f (n )＋(12n ＋1－12n ＋2)＝f (n )＋1(2n ＋1)(2n ＋2)＞f (n )，∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝12＝1224，∴m ＝11.三、解答题8．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋ ⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1 ＝56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立．9．[解析] 若存在常数a ，b 使等式成立，将n ＝1，n ＝2代入上式，有 ⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. 即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2.对于n 为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明．证明：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，等式成立．(2)假设当n ＝k 时成立，即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2. 那么，当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N ＋都成立．[点评] 这类问题是由n ＝1，n ＝2两种特殊情况求出a ，b 的值，即由不完全归纳法得出结论．对所有的正整数是否成立，还需要用数学归纳法加以证明．10．[解析] 由f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36. 由此猜想m ＝36.下面用数学归纳法证明． 方法一：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，f (k )能被36整除，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除； 那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝[(2k ＋9)3k ＋1＋9]－[(2k ＋7)3k ＋9]＝3k (6k ＋27－2k －7)＝3k (4k ＋20)＝36×3k －2×(k ＋5)．当k ＝1时，13×(1＋5)＝2为整数，因此36×3k －2×(k ＋5)是36的倍数，从而可知f (k ＋1)能被36整除，这说明当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除，m 的最大值为36.方法二：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，f (k )能被36整除，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除； 那么当n ＝k ＋1时，[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除．这就是说，当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除，m 的最大值为36.第二章 §1一、选择题 1．[答案] D[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．[答案] C[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx .3．[答案] A[解析] ∵Δs ＝(3＋Δt )2＋3－32＝6Δt ＋Δt 2 ∴ΔsΔt＝6＋Δt . 二、填空题 4．[答案] 1[解析] 物体的初速度即t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝[－2(0＋Δt )2＋(0＋Δt )]－0Δt＝－2Δ＋1，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于1，即初速度为1.5．[答案] 81[解析] Δc ＝[4(10＋Δq )2＋(10＋Δq )－6]＝(4×102＋10－6)＝4(Δq )2＋81Δq ，∴Δc Δq ＝4(Δq )2＋81Δq Δq＝4Δq ＋81. 当Δq 趋于0时，ΔcΔq 趋于81，即当产量q ＝10时，边际成本为81. 三、解答题 6．[解析]Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s.(2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ， ∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度.一、选择题 1．[答案] D[解析] Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .2．[答案] A[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A. 3．[答案] B[解析] 43π(R ＋ΔR )3－43πR 3＝43π[R 3＋3R 2ΔR ＋3R (ΔR )2＋(ΔR )3－R 3] ≈4πR 2ΔR .故选B. 4．[答案] A[解析] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .∴物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为v 0－gt 0－12g Δt . 5．[答案] C[解析] 在0到t 0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t 0到t 1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．二、填空题 6．[答案] 2[解析] Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴Δs Δt ＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0秒时，Δs Δt趋于2米/秒． 7．[答案] 12[解析] Δs Δt ＝18(t ＋Δt )2－18t 2Δt ＝14t ＋18Δt .当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs 趋于12.三、解答题8．[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝32＋3－(12＋1)2＝5，自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝22＋2－(12＋1)1＝4.[点评] 解决函数平均变化率的计算问题，要紧扣定义：函数f (x )当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值的平均变化为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.此外，要保证计算过程的准确性．9．[分析] 用函数的平均变化率和瞬时变化率来求．[解析] (1)因为Δs ＝3(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt ＋3Δt 2， 所以从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度为v ＝ΔsΔt ＝14＋3Δt .当Δt ＝1时，v ＝17； 当Δt ＝0.1时，v ＝14.3； 当Δt ＝0.01时，v ＝14.03. (2)当t ＝2时的瞬时速度为v ＝lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 10．[解析] 假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a (Δt )2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a,4a ＝8，解得a ＝2. 所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s.[点评] 对于是否存在的探究性问题，可先假设其存在，然后按瞬时速度的定义求解即可．第二章 §2一、选择题1．[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a ，∴lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 2．[答案] A[解析] Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－11＋ΔxΔx →0时，ΔyΔx 趋于－1，∴f ′(1)－1，∴所求切线为x ＋y －2＝0.3．[答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A.二、填空题 4．[答案] 1[解析] f ′(x 0)＝tan π4＝1.5．[答案] x ＋y ＋1＝0 135° [解析] f ′(－2)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 14[(－2＋Δx )2－(－2)2]Δx＝li m Δx →0(－1＋14Δx )＝－1.则切线方程为x ＋y ＋1＝0，倾斜角为135°. 三、解答题6．[分析] 由题意，要求直线l 的方程，只需求其斜率即可，而直线l 与曲线在x ＝2处的切线平行，只要求出f ′(2)即可．[解析] Δy ＝13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－(13×23－4×2＋4)＝13(Δx )3＋2(Δx )2，Δy Δx ＝13(Δx )2＋2Δx . Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于0，所以f ′(2)＝0.所以直线l 的斜率为0，其方程为y ＝－1.一、选择题 1．[答案] C [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx＝a∴f ′(1)＝a ＝3. 2．[答案] A [解析] Δy ＝x 0＋Δx －x 0 ＝(x 0＋Δx －x 0)(x 0＋Δx ＋x 0)Δx (x 0＋Δx ＋x 0)＝1x 0＋Δx ＋x 0∴12x 0＝3323x 0＝3， ∴x 0＝32，∴x 0＝343．[答案] C [解析] lim x →0f (x ＋1)－f (x )2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x＝12f ′(1)＝3，∴f ′(1)＝6.故选C. 4．[答案] B[解析] 由导数的几何意义知，f ′(x A )、f ′(x B )分别为y ＝f (x )的图像在A 、B 两点处的切线的斜率．根据图像，知f ′(x A )<f ′(x B )．5．[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20，3x 20＝3，得x 0＝1或x 0＝－1， 所以坐标为P (1,1)或P (－1，－1)． 二、填空题6．[答案] －2[解析] 由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.7．[答案] {a |a ∈R ，且a <13}[解析] 由题意，得f ′(x )＝3x 2－3a ＝－1无解， 即3x 2－3a ＋1＝0无解．故Δ<0，解得a <13.三、解答题8．[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →0 2x Δx ＋(Δx )2＋ΔxΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. 因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229.得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.9．[解析] 设直线l 和曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意，知切线斜率k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为(－13，2327)或(1,1)．当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，于是a ＝3227.当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，于是a ＝0(舍去)．所以a 的值为3227.10．[解析] 烟花在t ＝2s 时的瞬时速度就是h ′(2)． 因为Δh Δt ＝h (2＋Δt )－h (2)Δt ＝－4.9－4.9Δt ，所以h ′(2)＝lim Δt →0ΔhΔt ＝lim Δt →0(－4.9－4.9Δt )＝－4.9，即在t ＝2s 时，烟花正以4.9m/s 的速度下降． 如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5s 之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5s 后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．第二章 §3一、选择题 1．[答案] D [解析] y ′＝1x ln10，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为11×ln10＝1ln10. 2．[答案] D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D. 3．[答案] B[解析] y ′＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 二、填空题4．[答案] (1，e ) e[解析] ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，ex 0)，则过该切点的直线的斜率为ex 0， ∴直线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)． ∴y －ex 0＝ex 0·x －x 0·ex 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程． ∴x 0·ex 0＝ex 0.∴x 0＝1. ∴切点为(1，e )，斜率为e . 5．[答案] 0[解析] ①因为f (x )＝x ，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．三、解答题6．[解析] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3 (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln2一、选择题 1．[答案] C[解析] 由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C. 2．[答案] C[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋a ，∴3x 20＋a ＝2①又∵切点既在曲线上，又在切线上，∴x 30＋ax 0＋1＝2x 0＋1②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2.3．[答案] B[解析] 首先，对x ＝1给定自变量x 的一个改变量Δx ，得到相应函数值的改变量Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，再计算相应的平均变化率Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1当Δx 趋于0时，可以得出导数 y ′＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4．[答案] B[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， 解得－1x 2＝－4，解得x ＝±12，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2，故选B. 5．[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.二、填空题 6．[答案] 21[解析] 函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)，令y ＝0得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 7．[答案] ln2－1[解析] 对曲线对应的函数求导得y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1.三、解答题8．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1.由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．9．[分析] 根据导数的几何意义先求出切点的横坐标，再代入方程求出纵坐标． [解析] 设切点坐标为P (x 0，y 0)， f ′(x 0)＝－2x －30＝tan135°＝－1，即－2x －30＝－1，∴x 0＝213.代入曲线方程得y 0＝2－23，∴点P 的坐标为(213，2－23)．10．[分析] 本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析] 点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x 20.又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为y 0－5x 0－3.所以2x 0＝y 0－5x 0－3，将它与y 0＝x 20联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20，2x 0＝y 0－5x 0－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝25，即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.第二章 §4一、选择题 1．[答案] D[解析] y ′＝(2x 3－6x )′＝6x 2－6， 由y ′＝0，得x ＝1或x ＝－1. 代入y ＝2x 3－6x ，得y ＝－4或y ＝4， 即所求点的坐标为(1，－4)或(－1,4)． 2．[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．[答案] A[解析] y ′＝12x －3x ＝12，∴x 2－x －6＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2. 又∵x ＞0，∴x ＝3. 二、填空题4．[答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．5．[答案] y ＝9x ＋16或y ＝－2[解析] ①当P (－2，－2)为切点时，切线方程为y ＝9x ＋16；②当P (－2，－2)不是切点时，设切点为(a ，b )，则b ＝a 3－3a ，由于y ′＝3x 2－3，所以切线的斜率k ＝3a 2－3，故切线方程为y －b ＝(3a 2－3)(x －a )，又切线过点(－2，－2)，所以－2－b ＝(3a 2－3)·(－2－a )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2，(舍去)，所以切线方程为y ＝－2.综上，所求的切线方程为y ＝9x ＋16或y ＝－2. 三、解答题6．[分析] 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形．[解析] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋6′ ＝4x 3－6x －5；(2)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x ·sin x ＋x 2·cos x ；(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.一、选择题 1．[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，于是f ′(1)＝2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝－2， 故得f ′(x )＝2x －4，因此f ′(0)＝－4.故选C. 2．[答案] D[解析] f ′(x )＝(sin xx )′＝x cos x －sin x x 2，故选D.3．[答案] C[解析] 依题意得y ′＝cos x ＋e x ，又曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线的斜率为cos0＋e 0＝2，因此该切线方程是y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.选C.4．[答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.5．[答案] D[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式 解析：y ′＝－4e x(e x ＋1)2∴tan α＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x (e x )2＋2e x＋1＝－4e x＋1e x ＋2∵e x ＞0∴e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)∴e x ＋1e x ＋2≥4，∴0＜4e x＋1e x ＋2≤1∴－1≤tan α＜0∵α∈[0，π)，∴α∈[34π，π)，故选D二、填空题 6．[答案] －4[解析] 本题考查导数的几何意义． 由题意知：P (4,8)，Q (－2,2)，y ′＝x ， ∴切线斜率k ＝4或k ＝－2.L AP ：y －8＝4(x －4)，L AQ ：y －2＝－2(x ＋2)联立消去x ， 得y ＝－4.注意在切线问题中常常用导数的几何意义． 7．[答案] y ＝－5x ＋3 [解析] ∵y ＝e－5x＋2，∴y ′＝－5e－5x|x ＝0＝－5.∴k ＝－5，又过点(0.3)， ∴切线方程y －3＝kx ＝－5x ， ∴y ＝－5x ＋3，注意导数的几何意义． 三、解答题8．[分析] 因为C 不过原点，所以切点不为原点，应另设切点，再用导数几何意义求切线方程．[解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0 ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.[点评] 过曲线外一点作切线，应是设切点坐标，利用导数求切线方程，再列关于切点横坐标的方程，求解．9．[解析] (1)把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4， ∴ 切点为(1，－4)，y ′＝12x 3－6x 2－18x ， ∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12.∴切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)(3x －2)＝0， ∴x ＝1，－2，23.代入y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4， 求得y ＝－4,32,0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(23，0).∴除切点外，还有两个交点(－2,32)、(23，0).10．[解析] (1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y ′＝2x ＋2，曲线C 1在点P (x 1，x 21＋2x 1)的切线方程是y －(x 21＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21.①函数y ＝－x 2＋a 的导数y ′＝－2x ， 曲线C 2在点Q (x 2，－x 22＋a )的切线方程是 y －(－x 22＋a )＝－2x 2(x －x 2)， 即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a .②如果直线l 是过点P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝－x 2，－x 21＝x 22＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0，此方程Δ＝4－4×2(1＋a )．由Δ＝0，得a ＝－12，解得x ＝－12，此时P 与Q 重合，即当a ＝－12时，C 1和C 2有且仅有一条公切线．由①得公切线方程为y ＝x －14.(2)由(1)可知，当a ＜－12时，C 1和C 2有两条公切线，设一条公切线上切点为P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 21＋2x 1＋(－x 22＋a )＝x 21＋2x 1－(x 1＋1)2＋a ＝－1＋a ，线段PQ 的中点为(－12，－1＋a 2)．同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是(－12，－1＋a2)，所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分．第二章 §5一、选择题 1．[答案] B[解析] y ′x ＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．[答案] B[解析] f ′(x )＝(12sin2x ＋sin x )′＝(12sin2x )′＋(sin x )′＝12cos2x ·(2x )′＋cos x ＝cos2x ＋cos x .因为f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，又－1≤cos x ≤1，所以函数f ′(x )既有最大值又有最小值．因为f ′(－x )＝cos(－2x )＋cos(－x )＝cos2x ＋cos x ＝f (x )，所以f ′(x )是偶函数．故选B. 3．[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y 求导得y ＝e x －1＋x e x－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．二、填空题 4．[答案] 22－1 [解析] y ′|x ＝1＝－1(2x －1)2|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1. 5．[答案] 3x ＋y ＝π[解析] y ′x ＝cos3x ·(3x )′＝cos3x ·3＝3cos3x .∴曲线y ＝sin3x 在点P (π3，0)处的切线斜率为3cos(3×π3)＝－3，∴切线方程为y ＝－3·(x －π3)，即3x ＋y ＝π.三、解答题6．[解析] (1)引入中间变量u ＝φ(x )＝3x ，则函数y ＝e 3x 是由函数f (u )＝e u 与u ＝φ(x )＝3x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝e u ，φ′(x )＝3. 根据复合函数求导法则可得 (e 3x )′＝f ′(u )φ′(x )＝e u ·3＝3e 3x .(2)y ＝cos 42x －sin 42x ＝(cos 22x ＋sin 22x )(cos 22x －sin 22x )＝cos4x .引入中间变量u ＝φ(x )＝4x ，则函数y ＝cos4x 是由函数f (u )＝cos u 与u ＝φ(x )＝4x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝－sin u ，φ′(x )＝4. 根据复合函数求导法则可得(cos 42x －sin 42x )′＝(cos4x )′＝f ′(u )φ′(x )＝－sin u ·4＝－4sin4x .一、选择题 1．[答案] B[解析] f ′(x )＝－6sin(2x ＋π3)，∴f ′(π2)＝－6sin(π＋π3)＝6sin π3＝3 3.2．[答案] A[解析] y ′x ＝(cos2x ＋sin x )′＝(cos2x )′＋(sin x )′＝－sin2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin2x ＋cos x2x.3．[答案] A [解析] y ′＝1cos 2xlog 3e·(cos 2x )′ ＝1cos 2x log 3e·2cos x ·(cos x )′ ＝1cos 2x log 3e·2cos x (－sin x )＝－2log 3e·tan x . 4．[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13·x ， ∴f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝2×⎝⎛⎭⎫－13＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝－2×⎝⎛⎭⎫－13＝23，即f ′⎝⎛⎭⎫－13＝23. 5．[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.二、填空题 6．[答案] 2 [解析] ∵f ′(x )＝12ax －1·(ax －1)′＝a2ax －1，∴f ′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝2 7．[答案] －3[解析] 曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，则4a ＋b2＝－5① 又y ′＝2ax －b x 2，所以4a －b 4＝－72②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.所以a ＋b ＝－3.函数在某点处的导数值即为经过改点的切线的斜率． 三、解答题8．[分析] 先用两个函数相乘的求导法则，再由复合函数求导法则求解． [解析] f ′(x )＝(x 2)′e 2x ＋x 2·(e 2x )′ ＝2x e 2x ＋x 2·(e 2x )·2＝e 2x (2x ＋2x 2)＝2x (1＋x )e 2x .9．[解析] 函数y ＝s (t )＝3sin(π12t ＋56π)是由函数f (x )＝3sin x 和函数x ＝φ(t )＝π12t ＋π6π复合而成的其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝3cos x ，φ′(t )＝π12.再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos(π12t ＋5π6)．将t ＝18时代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.10．[解析] (1)方法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u log 2e ·(4x＋3)＝log 2e2x 2＋3x ＋1·(4x ＋3)＝(4x ＋3)log 2e 2x 2＋3x ＋1.方法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′ ＝log 2e2x 2＋3x ＋1(2x 2＋3x ＋1)′＝(4x ＋3)log 2e 2x 2＋3x ＋1.(2)方法一：设y ＝ln u ，u ＝v ，v ＝x 2＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝1u ·12v －12·2x＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝xx 2＋1. 方法二：y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝x x 2＋1. 方法三：y ＝ln x 2＋1＝12ln(x 2＋1)，所以y ′＝12[ln(x 2＋1)]′＝12·1x 2＋1·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0， 解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.二、填空题4．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.5．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题6．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －x －50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V3x2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x. ∴S 表′＝3x －43Vx2＝0∴x 3＝4V ，即x ＝34V ，又当x ∈(0，34V )时，S 表′<0；当x ∈(34V ，V )时，S 表′>0 ∴当x ＝34V 时，表面积最小．2．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 4．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝ln e e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.5．(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x＋a (a ∈R)的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适， 若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合． (2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．二、填空题6．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 7．已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x 2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36， 当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2.综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2. 三、解答题8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21， 解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 9．(2014·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间 因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减 当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。