二次函数计算题

二次函数计算题1、在平面直角坐标系xOy （如图）中，已知：点A （3，0）、 B （2-，5）、C （0，3-）. （1）求经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式及画出图形；（2）若点D 是（1）中求出的抛物线的顶点，求CAD ∠tan 的值.2、已知：抛物线2y ax b x c =++经过A （-1，8）、B （3，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．3、如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．4、已知：如图，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足OC =4OA 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ：（1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当△QMB 与△COM 相似时，求直线AQ 的解析式．5、如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在x 轴上（A 点在B 点左侧），点C 在y 轴正半轴上，若A （-1,0），OB =3OA ，且tan ∠CAO =2. （1）求点B 、C 的坐标；（2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设Q 是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Q 点的坐标.6、如图，已知抛物线214y x bx c =++经过点B （-4，0）与点C （8，0），且交y 轴于点A .（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m 个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P ，联结BP ，直线BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形，求m 的值．7、在平面直角坐标系xOy （如图）中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上.（1）求b 与n 的值；（2）联结OA 、OB 、AB ，求△AOB 的面积；（3）若点P （不与点A的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.8、如图，抛物线22y ax ax b=-+经过点C（0，32 -），且与x轴交于点A、点B，若tan∠ACO=23．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），∠MPQ=45°，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．答案：1．解：（1）设经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为c bx ax y ++=2， 将点A （3，0）、B （2-，5）、C （0，3-）分别代入，得⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=++.3,524,039c c b a c b a 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a …………1+3分 所以，经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为322--=x x y . ……1分（2）由322--=x x y =4)1(2--x ，得顶点D 的坐标是)4,1(-D . …………1分 方法1：1833222=+=AC ，2)34()01(222=+-+-=CD ，20)40()13(222=++-=AD . …………1分∵2021822=+=+CD AC ,202=AD ，∴222AD CD AC =+.……………1分∴︒=∠90ACD . ∴CAD ∠tan 31232===AC CD . …………1+1分2.解：（1）由抛物线2y ax b x c =++经过C （0，3）可知3c =. …………（2分） 由抛物线23y ax b x =++经过A （-1，8）、B （3，0）得22(1)(1)38,3330.a b a b ⎧⋅-+⋅-+=⎨⋅+⋅+=⎩ ………………………………………………………（2分） 解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩ …………………………………………………………（2分）x图5 y∴该抛物线的表达式为243y x x =-+. ………………………………………（1分） （2）由243y x x =-+配方得2(2)1y x =--. …………………………………（2分） ∴顶点坐标为（2，-1）. ………………………………………………… （1分） 3、解：（1）∵直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C∴(3,0),(0,3)A B - …………………………………………（1分）在Rt △ADB 中，3tan =∠=CBO BOCO，得BO =1，B （1-，0）………（2分） 设二次函数解析式为(3)(1)y a x x =++，将点B （0，3）代入，解得a =1 ∴二次函数解析式为243y x x =++…………………………………………（2分） ∴顶点D 坐标为(2,1)-- ………………………………………………………（1分） （2）(2,1),(1,0)D B ---，∴∠ABD=45°，………………………………………（1分）直线AC 的解析式为y=x +3，∴∠CAO=45°即∠ABD =∠CAO ……………………………………………………………………（1分）若APB ACB ∠=∠，即四边形APBC 为平行四边形时，解得P (－4，－3)；若BAP ACB ∠=∠，得AC ABAB BP=，得22BP =，得3BP =，解得P (53-,23-). 综上所述，点P 的坐标为(－4，－3)或(53-,23-)………………………………（4分） 4．解：（1）根据题意：C （0，4）……………………………（1分） ∵OC=4OA∴A （1-，0）………………………………………………（1分） 把点A 代入得0=445m --+ ……………………………（1分） 解得16=5m………………………………………………（1分）∴抛物线的解析式2416455y x x =-++…………………（1分） 2416455y x x =-++24362)55x =--+（∴ (20)M ， ………………………………………………（1分） （2）根据题意得：BM=3，tan ∠CMO= 2，直线CM ：y=2-x+4（i ）当∠COM=∠MBQ=90°时，△COM ∽△QBM ∴tan ∠BMQ=2BQBM= ∴BQ=6即Q （5，6-） ……………………………………（2分） ∴AQ ：1y x =-- ……………………………………（1分） （i i ）当∠COM=∠BQM=90°时，△COM ∽△BQM同理Q （13655，-） …………………………………（2分） ∴AQ ：1133y x =-- …………………………………（1分）5、解：（1）据题意OA =1，Rt △ACO 中，tan ∠CAO=OAOC=2 （1分） ∴OC =2 ∴C （0,2） （1分） OB =3OA=3 ∴B （3,0） （1分）（2）设()0)3(1≠-+=a x x a y ）（ （1分） C （0,2）代入得2=-3a ∴32-a = （1分） ∴23432)3(1322++=-+=x x -x x -y ）（ （1分）（3）设Q （x,y ）∵234322++=x x -y ∴P （1，38） （1分） AB=OA+OB =4 3163842121=⨯⨯=⋅=∆p ABP y AB S∵△ABQ 与△ABP 的面积相等 ∴31621=⋅=∆y AB S ABQ ∴y=38± （2分）当y=38时 23432382++=x x - 解得121==x xy∴Q （1，38） （1分） 当y=38-时 -23432382++=x x - 解得22121±=，x∴Q )38221-±，（ （2分）6．解：（1）由题意，得：440,1680b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得18b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为2184y x x =--∵22118(2)944y x x x =--=-- ∴顶点坐标是（2，-9）（2）易求A （0, -8），设线段AC 的中点为D ，可求得点D 的坐标是（4，-4） 由题意知BP 经过D （4，-4）设:(0)BP l y kx b k =+≠，可得0444k b k b =-+⎧⎨-=+⎩ ，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴1:22BP l y x =--又由题意知，新抛物线的解析式为21(2)54y x m =---∴顶点P 坐标为（2+m ，-5） ∵点P 在直线BP 上， ∴15(2)22m -=-+- ∴4m =7．解：（1）∵点A （1-，3）在二次函数4312++-=bx x y 的图像上， ∴ 4)1(3132+---=b .解得32=b . ……2分∴经过A （1-，3）、B （2，n ）两点的二次函数的解析式是432312++-=x x y . ∴42322312+⨯+⨯-=n ，即4=n . ……2分（2）如图9-1，过点A 作x AD ⊥轴，垂足为D ，过点B 作AD BE ⊥，垂足为E .由题意，易得 1=OD ，3=AD ，3=BE ，4=ED ，134=-=AE .∴梯形ODEB 的面积为：84421)(21=⨯⨯=⋅+=DE BE OD S ODEB 梯形. 2321=⋅=∆OD AD S ADO ,2321=⋅=∆AE BE S AEB .∴538=-=--=∆∆∆AEB ADO ODEB AOB S S S S 梯形. 评分标准：四个面积表达式，每个1分.方法2：与方法1类似2213)43(21=⨯+=ADMB S 梯形，2321=⋅=∆OD AD S ADO ，421=⋅=∆OM BM S BOM ，∴5=--=∆∆∆BOM ADO ADMB AOB S S S S 梯形.评分标准：四个面积表达式，每个1分.方法3：分别求AB 、AO 、AB 的长度，勾股逆定理证△AOB 是直角三角形，使用三角形面积公式直接求△AOB 的面积.其中，求出10=AO 、10=AB ，20=OB ，………………1分.勾股逆定理证△AOB 是直角三角形 ………………2分510102121=⋅⋅=⋅=∆AB OA S AOB ………………1分 方法4：与方法1类似，证明△AOD ≌△BAE . 方法5：求直线AB 与y 轴的交点N 的坐标，然后求△AON 、△BON 的面积. 方法6：利用锐角三角比求A 到OB 的距离，然后△AOB 的面积. 其他方法，请阅卷老师补充.（3）分别计算：10=AO 、10=AB ，20=OB ，利用勾股逆定理证△AOB 是直角三角形. 由AB AO =得到︒=∠=∠45ABO AOB . ∵︒=∠45POB ，P 不与点A 重合， ∴︒=∠+∠=∠90POB AOB AOP . 过P 作x PH ⊥轴，垂足为H .由︒=∠+∠90AOD POH ，︒=∠+∠90AOD OAD图9—2xyxy得OAD POH ∠=∠. ……1分∴=OH PH 31tan tan ==∠=∠AD OD OAD POH . ∴31tan =∠=POH OH PH ，设k PH =，则k OH 3=，得),3(k k P . ……1分 将),3(k k P 代入432312++-=x x y ，得 4)3(32)3(312+⋅+⋅-=k k k .整理，得0432=+-k k .解这个关于k 的方程，得11-=k ，342=k .得)1,3(1--P 、)34,4(2P ……1分 经验知)1,3(2--P 不合题意，舍去.故所求的点P 的坐标为)34,4(P . ……1分8. 解：(1)∵抛物线212y ax ax b =-+经过点C （0，3-）， ∵∠AOC =90°，tan ∠ACO =2，(2) 由213y x x =--解得：M （1，2-），B （3，0）．. . . .w. . .v ∵∠MPQ=∠OBM =45°，∠PMQ=∠BMP ，∴△PMQ ∽△BMP ，…………………………………………………………（1分）∴BP = BM=……………………………………………………………（1分）∴P（3-0）．…………………………………………………………（1分）③当MP=MQ 时，点Q 与点B 重合，点P 与点A 重合，不合题意，舍去．…………………（1分）综上所述，符合条件的点P 坐标为（1，0）或（3-0）．。