系统牛顿第二定律

系统牛顿第二定律（质点系牛顿第二定律）主讲：黄冈中学教师郑成1、质量M=10kg的木楔ABC静止于粗糙水平地面上，如图，动摩擦因数μ=，在木楔的倾角α=30°的斜面上，有一质量m=的物块，由静止开始沿斜面下滑，当滑行至s=时，速度v=s，在这过程木楔没有动．求地面对木楔的摩擦力的大小、方向和地面对木楔的支持力．(g=10m/s2)解法一：（隔离法）先隔离物块m，根据运动学公式得：v2=2as=s2<gsinθ=5m/s2可见物块m受到沿斜面向上的滑动摩擦力，对物体m为对象对斜面M：假设地面对M静摩擦力向右：f地＋N′sin30°－f′cos30°=0而N′=N=，f′=f=地=－Nsin30°＋fcos30°=－说明地面对斜面M的静摩擦力f地=，负号表示方向水平向左．可求出地面对斜面M的支持力N地N地－f′sin30°－N′cos30°－Mg=0N地= fsin30°＋Ncos30°＋Mg=<(M＋m)g=110N因m有沿斜面向下的加速度分量，故整体可看作失重状态方法二：当连接体各物体加速度不同时，常规方法可采用隔离法，也可采用对系统到牛顿第二定律方程．=m1a1x＋m2a2x＋…＋m n a nx =m1a1y＋m2a2y＋…＋m n a ny解法二：系统牛顿第二定律：把物块m和斜面M当作一个系统，则：x：f地=M×0 ＋macos30°=水平向左y：(M＋m)g－N地=M×0＋masin30°N地=(M＋m)g－ma sin30°=例2：如图所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块．已知所有接触面都是光滑的，现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，求楔形木块对水平桌面的压力和静摩擦力解法一：隔离法N a=mgcosαN b=mgcosβN地=mg＋mgcosβsinα＋mgcosαsinβ=Mg＋mg(sin2α＋cos2α)=Mg＋mgf地=N b′cosα－N a′cosβ=mgcosβcosα－mgcosαcosβ=0N解法二：系统牛顿第二定律列方程：(M＋2m)g－N地=M×0＋mgsin2α＋mgsin2βN地=(M＋m)g向右为正方向：f地= M×0＋mgsinαcosα－mgsinβcosβ=0。

一、牛顿第二定律的内容和表达式
(一)、物体的牛顿第二定律
1、内容：物体的加速度跟所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，且加速度的方向与合外力的方向相同。

即物体所受的合外力的作用效果，是使物体产生加速度。

2、表达式：
(二)、系统的牛顿第二定律
1、内容：系统所受的合外力的作用效果，是使系统产生加速度。

2、表达式：若系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为
…，加速度分别…，这个系统受到合外力为，则这个系统应用牛顿第二定律的表示式为
其正交表示式为：
(三)、牛顿第二定律与动量定理的关系
1、内容：物体所受的合外力，等于物体的动量的变化率。

2、表达式：
二、牛顿第二定律的理解
1、瞬时性：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力和加速度同时存在、同时变化、同时消失。

2、矢量性：F＝ma是一个矢量表达式，加速度a和合外力F的方向始终保持一致。

3、独立性：物体受几个外力作用，在一个外力作用下产生的加速度只与此外力有关，与其他力无关，合加速度和合外力有关。

4、同一性：加速度和合外力对应于同一研究物体，即F、a、m针对同一对象。

三、牛顿第二定律的适用范围
牛顿运动定律只适用于解决宏观物体的低速运动问题，它是经典力学的基础。

所以作为其中之一的牛顿第二定律也同样如此，只在惯性系中才成立。

四、牛顿第二定律的常规应用
利用牛顿第二定律有利于解决两类问题：
1、根据物体的受力情况判断物体的运动情况；
2、根据物体的运动情况判断物体的受力情况。

牛顿第二定律所有公式牛顿第二定律是经典力学中的一个基本定律，它描述了力和加速度之间的关系。

牛顿第二定律可以用数学公式表达为：F=ma其中，F是作用在物体上的合外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

这个公式说明，物体的加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比。

牛顿第二定律可以推导出许多其他的公式，用于解决不同情况下的力学问题。

下面我们介绍一些常见的牛顿第二定律的公式。

匀变速直线运动如果物体在直线上做匀变速运动，那么它的速度、位移和时间之间有如下关系：v=v0+ats=v0t+12at2v2=v20+2as其中，v是物体的末速度，v0是物体的初速度，s是物体在时间t内的位移，a是物体的加速度。

这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。

圆周运动如果物体在圆周上做匀速运动，那么它的线速度、角速度和半径之间有如下关系：v=ωr其中，v是物体的线速度，ω是物体的角速度，r是圆周的半径。

这个公式可以用几何关系推导出来。

如果物体在圆周上做非匀速运动，那么它受到两个方向的加速度：向心加速度和切向加速度。

向心加速度指向圆心，切向加速度沿着切线方向。

这两个加速度和线速度、角速度和半径之间有如下关系：a c=v2r=ω2ra t=dvdt=rdωdt其中，a c是向心加速度，a t是切向加速度。

这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。

受力平衡如果物体处于静止状态或匀速运动状态，那么它受到的合外力为零，即：∑F=0这个条件称为受力平衡条件，它可以用于求解静力学问题。

例如，如果一个物体悬挂在两根绳子上，那么它受到三个力：重力、绳子1的拉力、绳子2的拉力。

如果物体不动，那么这三个力必须平衡，即：F g+F1+F2=0其中，F g是重力，F1是绳子1的拉力，F2是绳子2的拉力。

这个方程可以用矢量相加或分解为水平和垂直分量来求解。

动量定理如果物体受到一个变化的力，在一段时间内从初速度变为末速度，那么它的动量也发生了变化。

多个物体为对象用牛顿第二定律若将系统受到的每一个外力，系统内每一物体的加速度均沿正交坐标系的解，则系统的牛顿第二定律的数学表达式如下：F I X+F2X+…=m i a ix+m2a2x+…Fiy+F2y+…=m i a iy+m2a2y+…与采用隔离法、分别对每一物体应用牛顿第二定律求解不同的是，应用系统的牛顿第二定律解题时将使得系统内物体间的相互作用力变成内力，因而可以减少不必求解的物理量的个数，导致所列方程数减少，从而达到简化求解的目的，并能给人以一种赏心悦目的感觉，现通过实例分析与求解，说明系统的牛顿第二定律的具体应用，并力图帮助大家领略到应用系统的牛顿第二定律求解的优势。

【例题】如图，倾角为的斜面与水平面间、斜面与质量为m的木块间的动摩擦因数均为Q木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。

求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。

如果给出斜面的质量M，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为:F N=Mg + mg(cos%+ Q in a)sin这个值小于静止时水平面对斜面的支持力。

【例题】如图所示，质量为M的劈块，其左右劈面的倾角分别为0,=30 ° 2=45 °质量分别为m i= ；3kg和m2=2.0kg的两物块，同时分别从左右劈面的顶端从静止开始下滑，劈块始终与水平面保持相对静止，各相互接触面之间的动摩擦因数均为过程中(m i和m2均未达到底端)劈块受到地面的摩擦力。

★解析：取向左为正mi (g sin 1 g cosm2(gsin 2 geos 22.098说明方向向右【例题】如图所示，质量为M的平板小车放在倾角为B的光滑斜面上（斜面固定），X轴与y轴分★解析：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。

可以先求出木块的加速度a g sin cos ,再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到:F f mg(sin cos ) cos卩=020，求两物块下滑(g=10m/s2)i )cos 1)cos 2M质量为m的人在车上沿平板向下运动时，车恰好静止，求人的加速度★解析：以人、车整体为研究对象，根据系统牛顿运动定律求解。

牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。

2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。

（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。

(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。

(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。

作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。

(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。

因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。

(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。

牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。

系统动量和机械能守恒定律公式推导一、系统动量守恒定律公式推导。

（一）牛顿第二定律基础推导。

1. 基本原理。

- 考虑两个相互作用的物体m_1和m_2，它们之间的相互作用力为F_12（m_1受到m_2的力）和F_21（m_2受到m_1的力）。

- 根据牛顿第二定律，对于物体m_1有F_12 = m_1a_1，对于物体m_2有F_21=m_2a_2。

- 由牛顿第三定律可知F_12=-F_21。

2. 推导过程。

- 因为F_12 = m_1a_1且F_21=m_2a_2，又F_12=-F_21，所以m_1a_1=-m_2a_2。

- 加速度a=(Δ v)/(Δ t)，则m_1(Δ v_1)/(Δ t)=-m_2(Δ v_2)/(Δ t)。

- 经过时间Δ t后，m_1Δ v_1=-m_2Δ v_2。

- 设两物体的初速度分别为v_10和v_20，末速度分别为v_1和v_2，则m_1(v_1 - v_10)=-m_2(v_2 - v_20)。

- 整理可得m_1v_1+m_2v_2=m_1v_10+m_2v_20。

- 对于由多个物体组成的系统，如果系统不受外力或所受合外力为零，则系统的总动量保持不变，即∑_i = 1^nm_iv_i=∑_i = 1^nm_iv_i0。

（二）从冲量角度推导。

1. 基本原理。

- 冲量I = FΔ t，根据牛顿第二定律F = ma=(Δ p)/(Δ t)（其中p = mv为动量），所以I=Δ p。

2. 推导过程。

- 对于一个系统，系统内物体间的相互作用力为内力，内力的冲量总是成对出现且大小相等、方向相反。

- 设系统受到的合外力为F_合，根据冲量定理I_合=F_合Δ t=Δ p_总。

- 当F_合 = 0时，Δ p_总=0，即p_总=p_总0，也就是∑_i = 1^nm_iv_i=∑_i = 1^nm_iv_i0。

二、系统机械能守恒定律公式推导。

（一）动能定理基础推导。

1. 基本原理。

- 动能定理W=Δ E_k，其中W为合外力对物体做的功，E_k=(1)/(2)mv^2为动能。

F 2F 12F 1F 21 211 2 3...)a 系统的牛顿第二定律与整体法详解在静力学、动力学问题中，涉及到系统外力时，我们往往采用整体法处理，但是很多资料并没有讲清 楚整体法的适用条件，以及背后的理论基础，甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法，使得整 体法的适用范围大大缩小。

本文则从系统的牛顿第二定律入手，奠定整体法解决静力学、动力学问题的理 论基础，并通过实例展示整体法的广阔应用空间。

一、系统的牛顿第二定律 1、推导如图所示，两个物体组成一个系统，外界对系统内物体有力的作用（系统外力），系统内物体之间也 有相互作用（系统内力），则对 1： F 1 + F 21 m 1a 1 对 2： F + F =2 12m 2a 2其中， F 21 = -F 12联立，得： F 1 + F 2= m 1a 1 +m 2a 2这个方程中，等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相 加。

上述推导中，研究对象只有两个，但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象，方法仍然是分别 对各个物体列动力学方程，然后相加——由于内力总是成对出现，且每对内力总是等大反向，因此相加的结果仍然是：等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。

这个结论就是系统的牛顿第二定律，其通式为：或者： ∑ F = ∑ F 外 = m 1a 1 + m 2a 2 + m 3a 3 + ...， ∑2、理解外xm 1a 1x + m 2a 2 x + m 3a 3 x + ... F 外y = m 1a 1 y + m 2a 2 y + m 3a 3 y + ... 系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力，因此它只适用于处理系统外力相关问题，一旦涉及系 统内力，则只能用隔离法。

系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢 量相加”，因此并不要求各个部分相对静止——各个部分有相对速度、相对加速度时，仍然可以选系统为 研究对象，使用整体法处理问题。

表达式:F合=ma;正交分解:∑Fx=max,∑Fy=may;系统牛顿第二定律:∑F外力=m1a1+m2a2+m3a3+……内容:物体的加速度跟所受的合力成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合力的方向相同.牛顿第二定律所受合外力不为零:运动状态改变的难易程度超重:F>G;具有向上的加速度;物体加速上升或减速下降失重:F完全失重:F=0;具有向下的加速度,大小为g;物体加速下降或减速上升基本步骤:确定研究对象→受力情况分析,画出受力分析图→运动情况分析,画出运动情景图→由牛顿第二定律列方程→求解,讨论(注意正交分解法的应用)已知受力情况,求运动情况已知运动情况,求受力情况律应用理解:矢量性,瞬时性,独立性,因果关系,单位关系物理意义:定量的揭示了力和运动的关系.系统牛顿第二定律对连接体,可以在几个物体加速度不同时,考虑合力与加速度的关系∑F = m1a1+m2a2+ …例3(1994年全国)质量M=10千克的木楔ABC静置于粗糙水平面上,滑动摩擦系数μ=0.02,在木楔的倾角为30 的斜面上,有一质量m=1.0千克的物块由静止开始沿斜面下滑,如图,当滑行路程s=1.4m时,其速度v=1.4m/s,在这过程中木楔没有动,,求地面对木楔的摩擦力的大小和方向.(g=10m/s)分析:物块滑下2as = v2 a = 0.7m/s2a‖=acosθ=0.61m/s2f = ma‖=1.0kg×a‖=0.61N 水平向右矢量法:例:如图,倾角为α的斜坡上行驶着一辆小车,车顶吊着一只单摆,一观察者测得摆线与竖直方向的夹角为β,则可判断小车的加速度大小为:BA.a = gsinβ/ sin(α+β)B.a = gsinβ/ cos(α+β)C.a = gsinβ/ sinαD.a = gsinα分析:小球受到重力,拉力与合力组成矢量三角形mg/ sin(90°-α-β) = ma/sinβα= gsinβ/cos(α+β)超重和失重1.超重:视重>实重a竖直向上N-G = ma加速上升或减速下降2.失重:视重< 实重a竖直向下G-N = ma加速下降或减速上升例:(1994年上海)原来作匀速运动的升降机内,有一被伸长弹簧拉住的,具有一定质量的物体A静止在地板上,如图,现发现A突然被弹簧拉向右方,由此可判断,此升降机的运动可能是:B加速上升减速上升下降减速下降三,弹簧问题弹簧长度的变化影响力的变化,因此研究时往往比较复杂一般弹簧弹力不会随外力变化而突变,但如果事情值弹簧,一端没有束缚的情况下弹力也会突变例:竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧,两弹簧的一端各与小球相连,另一端分别用销钉M,N固定与杆上,小球处于静止状态,设拔去销钉M瞬间,小球的加速度大小为12m/s2,若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间,小球的加速度可能是多少(g = 10m/s)分析:拔去销钉瞬间,小球加速度的大小为12m/s2,方向可以向上也可以向下当a向上时:N – G = ma 上部弹簧的力为ma 方向向下撤掉N ma + mg = ma1 a1 = 22m/s2当a向下时:N + G = ma 上部弹簧的力为ma 方向向上撤掉N ma – mg = ma1 a1 = 2m/s2抓住几个点伸到最长的点,压缩到最短的点弹簧原长的点受力平衡的点。