用MATLAB进行控制系统的超前校正设计

课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位： 题 目: 用MATLAB 进行控制系统的超前校正设计初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是)12.0)(1()(2.0++=-s s s Ke s G s要求系统的静态速度误差系数11-=S K v ， 45≥γ。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） MATLAB 作出满足初始条件的K 值的系统伯德图，计算系统的幅值裕量和相位裕量。

（2） 前向通路中插入一相位超前校正，确定校正网络的传递函数。

（3） 用MATLAB 画出未校正和已校正系统的根轨迹。

（4） 用Matlab 对校正前后的系统进行仿真分析，画出阶跃响应曲线，计算其时域性能指标。

（5） 课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB 程序和MATLAB 输出。

说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：指导教师签名： 年 月 日 系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录摘要1 绪论1.1 设计的目的及意义 (1)1.2 设计的要求及设计思路 (1)2 校正前系统的性能分析 (2)2.1 超前校正的原理及其特性 (2)2.2用根轨迹分析系统的稳定性 (3)2.3用奈奎斯特曲线分析系统的稳定性 (4)2.4 用伯德图分析系统稳定性 (5)3 超前校正分析计算 (7)3.1 延时环节 (7)3.2校正装置参数的选择和计算 (7)3.3 校正后的验证 (8)3.4 校正对系统性能改变的分析 (11)3.5 计算校正后的时域性能指标 (13)3.6 对校正后的系统进行仿真 (14)设计体会 (16)参考文献 (17)摘要用MATLAB进行控制系统的超前校正设计是对所学的自动控制原理的初步运用。

本课程设计先针对校正前系统的稳定性能，用MATLAB画出其根轨迹、奈奎斯特曲线及伯德图进行分析，是否达到系统的要求，然后对校正装置进行参数的计算和选择，串联适当的超前校正装置。

最后用MATLAB对校正前后的系统进行仿真分析，校正后的系统是否达到要求，并计算其时域性能指标。

关键词：超前校正根轨迹奈奎斯特曲线伯德图仿真1 绪论1.1设计的目的及意义通过这次课程设计我们可以进一步掌握自动控制原理课程的有关知识，加深理解，提高动手解决实际问题的能力。

利用根轨迹、奈奎斯特曲线及伯德图对系统性能不同方面进行分析。

培养自己动手查阅资料，分析问题，独立思考解决问题的能力，同时，在课程设计的过程中，学会如何使用MATLAB，如何使用simulink进行仿真。

在设计的过程遇到了各种各样的问题，发现了自己知识的浅薄，只知道课本上的东西是远远不够的，还要拓展课外知识，而且还需提高动手实践能力。

课程设计，让我们将理论与实践相结合，提高了自身的竞争力，增强了动手能力，适应社会的需求，具备为今后考研或者工作应有的基本能力。

1.2 设计的要求及思路这次课程设计要求系统的静态速度误差系数为11-=SKv，相位裕度为45≥γ。

首先，通过根轨迹、奈奎斯特曲线及伯德图对校正前的系统的稳定性能进行分析，是否符合设计的要求。

由于加入了延时环节，用MATLAB求某些图形时需要用pade函数对延时进行伯德近似。

此次设计，校正前系统的相位裕度为34.3︒，不符合要求，在对它进行串联超前校正时，先按一般超前校正的方法，求出校正后的穿越频率，所需要的α、T，再来验证是否达到系统要求。

由于延时环节是时间上的滞后，超前校正是相位上的超前，进行校正装置参数的计算时有一定难度，通过理论分析及试探法逐步逼近，若不符合要求则修改参数，多次改近达到系统要求。

这里是用串联两个超前校正装置来满足系统要求。

2 校正前系统的性能分析2.1 超前校正原理及其特性超前校正就是在前向通道中串联传递函数为()s Gc =ssT+T+11α，α>1的校正装置，其中参数α、T为可调，如图2-1所示。

图2-1 超前校正超前校正的伯德图如图2-2所示。

图2-2超前校正的伯德图因此，超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，增加相位裕度，提高系统的稳定性。

2.2根轨迹分析系统的稳定性该系统的单位反馈系统的开环传递函数是:G(s)=)11)(0.2s s(s K e-0.2s++由要求，要使系统的静态速度误差系数为11-=S K v ，由静态速度误差系数Kv 计算公式lim−→−s s* G(s) =lim −→−s s*)11)(0.2s s(s K e-0.2s++=K得，K=1该系统的开环传递函数为 G(s)=)11)(0.2s s(s e-0.2s++由于该传递函数有延时环节，画根轨迹图时，不能像一般的表达式来求而借助于pade 函数。

pade 函数用线性时不变模型来近似接近延时函数，例如[num,den] = pade(T,N)中，T 表示延时时间，N 表示用N 阶伯德逼近这个延时函数。

这里用三阶传递函数来近似，用MATLAB 画得校正前的根轨迹图如图2-3示。

其程序为：[n,d]=pade(0.2,3) % 3是延时环节的近似阶次 a=tf(n,d); % 延时环节的近似传递函数 b=tf([1],[0.2,1.2,1,0]); % 无延时环节原系统的开环传递函数 sys = series(a,b) ; % 两个传递函数的线性合成 rlocus(sys) % 求近似的根轨迹 n =1.0e+004 *-0.0001 0.0060 -0.1500 1.5000 d =1.0e+004 *0.0001 0.0060 0.1500 1.5000由图知，根轨迹有部分在又半平面，系统可能不稳定。

但是由于K=1，根轨迹在左半平面，系统稳定。

Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图2-3 校正前的根轨迹2.3奈奎斯特曲线分析系统的稳定性现在用奈奎斯特曲线来对系统的稳定性能进行分析。

用MATLAB 画出其奈奎斯特曲线图，这里不需延时函数进行伯德逼近，其程序如下：H = tf([1],[0.2 1.2 1 0],'inputdelay',0.2) %加了延时属性的系统的传递函数 nyquist(H) %画奈奎斯特曲线 Transfer function:1 exp(-0.2*s) * --------------------- 0.2 s^3 + 1.2 s^2 + s系统的传递函数在右半平面无极点P=0，由下图2-4奎斯特曲线知，开环频率特性曲线没有绕(-1,0j),即N=0，所以Z=P+N=0，系统没有极点在右半平面，系统是稳定的。

图2-4校正前的奈奎斯特曲线2.4伯德图分析系统的相对稳定性虽然奈奎斯特曲线表示控制系统的相位裕度和幅值裕度很直观，但只是大概轮廓，而伯德图能比较精确在图上量取相位裕度和幅值裕度。

绘制出开环传递函数的伯德图，利用频域分析方法分析系统的频域性能指标。

其程序为：H1 = tf([1],[0.2,1.2,1,0],'inputdelay',0.2); % 系统的开环传递函数 margin(H1)%绘制伯德图[kg,r,wg,wc]=margin(H1) %求出幅相裕度与响应频率 Grid%添加删格调用函数后得Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i skg = 2.8064 r = 34.2793 wg = 1.4949 wc = 0.7793其伯德图如图2-5示。

M a g n i t u d e (d B )1010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 8.96 dB (at 1.49 rad/sec) , Pm = 34.3 deg (at 0.779 rad/sec)Frequency (rad/sec)图2-5校正前的伯德图由上图知，该系统的幅值裕度为8.96dB ,相位裕度为34.30，相对稳定性能可以，但不符合系统相位裕度为 45≥γ的要求，为了不影响低频特性和改善动态响应性能，所以需要串联超前校正装置达要求。

3 超前校正分析计算3.1 延时环节延时环节的复域表示为G ()j ω =ωτj -e ，其频域特性为L ()j ω= 20lg )(G j ω =20lg1=0()j ωϕ=()j G ω∠=-ωτ其伯德图如图3-1所示，程序如下H1 = tf([1],[1],'inputdelay',0.2); %开环传递函数bode(H1) %绘制伯德图 grid%添加栅格-1-0.50.51M a g n i t u d e (d B)10101-135-90-45P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)图3-1 延时环节的伯德图3.2 校正装置参数的选择和计算由前面分析可知，加入延时环节对其幅频特性没什么影响，但是对相频特性随着频率的增加对系统的滞后角度就越大。

这使得在对其进行串联超前校正时，用一般的算法很难做到。

从图2-3知，校正前系统相位裕度为34.3︒，不符合要求，因此ϕ∆ = εγγο+- =53.3445+-︒︒︒≈15其中γ是要求达到的相位裕度，ογ未校正系统的相位裕度，ε为附加的角度。

令m ϕ=ϕ∆=︒15，则m m ϕϕαsin 1sin 1-+==︒︒-+15sin 115sin 1≈1.7 作-10lg1.7dB 直线，求得与未校正系统对数幅频特性曲线交点，此时的频率即为校正后的频率'c ω ，由下式求得，-10lg1.7dB=20lg ()j ωG =20lg()222.0111ωωω+*+*求得'c ω=1.14。

因此’c1ωα=T ≈0.67所以超前校正装置的传递函数为()s G 1=ss67.0114.11++3.3 校正后的验证计算之后可以用MATLAB 绘制校正后的伯德图，对其验证，如图3-2所示，程序如下： H1 = tf([1.14,1],conv([0.2,1.2,1,0],[0.67,1]),'inputdelay',0.2); %校正后的开环传递函数 margin(H1)%绘制伯德图[kg,r,wg,wc]=margin(H1) %求幅相裕度及相应频率 Grid%添加栅格title(‘校正后的伯德图’)输出结果：kg =2.8589r =42.2420wg =1.8610wc =0.8980M a g n i t u d e (d B )1010101010P h a s e (d e g )校正后的伯德图Frequency (rad/sec)图3-2 初次校正后的伯德图从图中及求得的结果可以看到，校正后系统的相位裕度1γ≈︒.242，还是不符合系统的要求，需要修正参数。