(浙江专版)201X年高中数学 复习课(一)导数及其应用学案 新人教A版选修2-2

高中数学《第三章导数及其应用》复习学案新人教A版选修一、知识点梳理（1）平均变化率：对于一般的函数，在自变量从变化到的过程中，若设, 则函数的平均变化率为（2）导数的概念一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或（3）导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的。

基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内、说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数、（6）求解函数单调区间的步骤：（7）求可导函数f(x)的极值的步骤: 注：列成表格后，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值（8）函数的最值：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有、二、典型例题1、曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A、y＝x－2B、y＝－3x＋2C、y＝2x－3D、y＝－2x＋12、函数在区间 ( )(A)上单调递减 (B)上单调递减 (C)上单调递减 (D)上单调递增3、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；4、函数的一个单调递增区间是（）(A)(B)(C)(D)5、函数的极值是6、已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如下，则( )A、函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B、函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C、函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D、函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点7、求函数y=x2（x－3）的减区间8、函数的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数的值、（Ⅱ）求的单调区间、9、已知在时取得极值，且、Ⅰ、试求常数a、b、c的值；Ⅱ、试判断是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由、。

3.1.3 导数的几何意义内容 标 准学 科 素 养 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2.会求简单函数的导函数．3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.利用数学抽象 发展逻辑推理 提高数学运算授课提示：对应学生用书第53页[基础认识]知识点一 导数的几何意义导数f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，反映了函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况．那么，导数f ′(x 0)的几何意义是什么呢？如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？预习教材P 76－79，思考并完成以下问题提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．割线PP n 的斜率是k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．知识梳理(1)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二导函数的概念知识梳理从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.[自我检测]1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8 D．2答案：C2．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．答案：4x＋y＋1＝0授课提示：对应学生用书第54页探究一导数几何意义的应用[阅读教材P77例2]如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．题型：导数几何意义的应用．方法步骤：①分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小．②导数是刻画函数的变化快慢情况的量．③得出t0处h(t)几乎没有升降．又∵h′(t1)<h′(t2)<0，∴h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．[例1]如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．[解析]用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率k＝f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δt)－f(2)Δt＝limΔx→04(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8Δt＝limΔx→04Δt－2(Δt)2－8ΔtΔt＝limΔx→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.方法技巧函数y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P 处的切线的斜率的大小．跟踪探究1．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.答案：B探究二 求曲线在某点处的切线方程[教材P 110复习参考题A 组1题]已知点P 和点Q 是曲线y ＝x 2－2x －3上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：(1)割线PQ 的斜率； (2)点P 处的切线方程．解析：(1)由题可知P (1，－4)，Q (4,5)， ∴k PQ ＝93＝3.∴割线PQ 的斜率为3.(2)点P 处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝limΔx →0 (1＋Δx )2－2(1＋Δx )－3－(12－2－3)Δx＝limΔx →0Δx ＝0， 当x ＝1时y ＝－4， ∴P 处切线方程为y ＝－4.[例2] 求曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程． [解析] 因为y ′|x ＝2＝limΔx →012＋Δx －12Δx ＝limΔx →0－12(2＋Δx )＝－14，所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤 求斜率―→求出曲线在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率f ′(x 0)→用点斜式y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)写出切线方程变形式―→将点斜式变为一般式跟踪探究 2.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 解析：k ＝limΔx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝limΔx →0(Δx ＋4)＝4， ∴曲线在P 处的切线方程为y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3， 令x ＝0得y ＝－3,∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 答案：－33．若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解析：∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝limΔx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx＝limΔx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3aΔx Δx＝limΔx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322. 探究三 求曲线过某点的切线[例3] 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． [解析] y ′＝limΔx →0ΔyΔx＝limΔx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝limΔx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . 由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)． 解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0. 方法技巧 求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤(1)设切点为A (x A ，f (x A ))，求切线的斜率k ＝f ′(x A )，写出切线方程．(2)把P (x 0，y 0)的坐标代入切线方程，建立关于x A 的方程，解得x A 的值，进而求出切线方程．跟踪探究 4.求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.授课提示：对应学生用书第55页[课后小结](1)导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(2)“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．[素养培优]切线问题中忽视切点的位置致误求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．易错分析 求过一点P 的曲线的切线方程，该点P 不一定是切点，易把P 点当作切点求解致误．考查数学抽象及逻辑推理的数学素养．自我纠正 设P (x 0，y 0)为切点， f ′(x 0)＝limΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝limΔx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－x 30＋2x 0Δx＝3x 20－2，所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)， 或y －⎝⎛⎭⎫－18＋1＝⎝⎛⎭⎫34－2⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.。

1．1.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C ，直线l 1与曲线C 有唯一的公共点M ，但l 1不是曲线C 的切线；l 2虽然与曲线C 有不止一个公共点，但l 2是曲线C 在点N 处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)、导函数f ′(x )之间的区别与联系区别：(1)f ′(x 0)是在x ＝x 0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f ′(x )是函数f (x )的导数，是对某一区间内任意x 而言的，即如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x )．联系：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在x ＝x 0处的导数的方法之一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( )(3)函数f (x )＝0没有导数．( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( ) A. 12 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选 B.曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________． 解析：因为Δy ＝－2(Δx )2，所以Δy Δx ＝－2Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.答案：0探究点1 求曲线在定点处的切线方程求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线方程． 【解】 因为y ′＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.所以y ′|x ＝－1＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y －(－1)＝－[x －(－1)]， 即x ＋y ＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)． 因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)·(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32.所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ；当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，即点P 的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P 处的切线斜率存在，则点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)；若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线斜率不存在(此时切线平行于y 轴)，则点P 处的切线方程为x ＝x 0.(2)若切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最后求出切点纵坐标及切线的方程，此时求出的切线方程往往不止一个．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1，1)． Δy Δx ＝（1＋Δx ）3－13Δx ＝3Δx ＋3（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)． 探究点2 求切点坐标在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．【解】 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为点P 处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．1.已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝12x ＝12， 所以x ＝1，所以切点的横坐标为 1.2．已知曲线f (x )＝x 2＋6在点P 处的切线平行于直线4x －y －3＝0，求点P 的坐标． 解：设切点P 坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋6－（x 2＋6）Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .所以点P 在(x 0，y 0)处的切线的斜率为2x 0. 因为切线与直线4x －y －3＝0平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即切点为(2，10)． 探究点3 导数几何意义的应用我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】 从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．【答案】 B(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选B.从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，过此两点的割线的斜率f （3）－f （2）3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图象可能是( )解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 中的图象符合题意.1．下列说法中正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C.f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，切线斜率不存在，但其切线方程可以为x ＝x 0，所以A ，B ，D 错误．2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B.由题意可知，f ′(x 0)＝－12.3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________．解析：易得切点P (5，3)， 所以f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 4．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将点P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，所以y ＝11－x.y ′＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →011－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝limΔx →0Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝limΔx →01（1－x －Δx ）（1－x ）＝1（1－x ）2，(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1（1－2）2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.知识结构深化拓展导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k切线的倾斜角 f ′(x 0)>0上升k >0 锐角f ′(x 0)<0下降k <0 钝角 f ′(x 0)＝0k ＝0零角(切线与x 轴平行)[注意] 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.[A 基础达标]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选B.因为二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，所以f ′(1)＝0，选B.2．曲线f (x )＝9x在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析：选C.f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝9lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－9limΔx →01（x ＋Δx ）x＝－9x2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B. 12 C ．－12D ．－1解析：选A.因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2， 所以a ＝1.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.因为点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又y ′＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a ，所以过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：37．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为________．解析：limΔx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝lim Δx →0f （1－2Δx ）－f （1）－2Δx＝f ′(x )＝－1. 答案：－19．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)曲线在点P 处的切线方程； (2)过点P 的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y ＝13x 3的导函数为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 所以y ′|x ＝2＝22＝4.所以曲线在点P 处的切线的斜率等于4.故曲线在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知y ′＝x 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝x 20，切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)．又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，且(x 0，y 0)在曲线y ＝13x 3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－y 0＝x 2（2－x 0），y 0＝13x 30，整理得x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0－2)2(x 0＋1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，y 0＝83，切线斜率k ＝4，切线方程为12x －3y －16＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－13，切线斜率k ＝1，切线方程为3x －3y ＋2＝0.故过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.10．已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．解：因为直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，所以f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0（a 4＋Δx －4＋Δx ）－（a4－4）Δx＝limΔx →0（a 4＋Δx －a4）－（4＋Δx －2）Δx＝lim Δx →0[－a 4（4＋Δx ）－14＋Δx ＋2]＝－a ＋416，所以－a ＋416＝－516，解得a ＝1. 所以f (x )＝1x －x ，所以f (4)＝14－4＝－74，即切点为(4，－74)．因为(4，－74)在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，所以5×4＋16×(－74)＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1.即k <1.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：y ′＝limΔx →0ΔyΔx ＝2x －1，在点P 处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：413．已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x ， 由题意可知k ＝4， 即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，所以切点的坐标为(－23，4927)或(2，3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127时，切点为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程．解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[（x 0＋Δx ）2－1]－（x 20－1）Δx＝lim Δx →02x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－（x 0＋Δx ）3]－（1－x 30）Δx＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0（Δx ）2－（Δx ）3Δx＝lim Δx →0[－3x 20－3x 0·Δx －(Δx )2]＝－3x 20，又y ＝1－x 3与y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线互相平行， 所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.(1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0， 曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)， 切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. 但直线y ＝1并不是曲线的切线，不符合题意． (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x ＋9y＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x ＋27y－11＝0.综上，两曲线的切线方程分别是12x＋9y＋13＝0，36x＋27y－11＝0.。

1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。

2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。

1．3.3函数的最大(小)值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最大(小)值与导数如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈[－3，3]时，求f(x)的最大值与最小值．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 单调递减区间为(－1,1)．(2)由(1)可知，x ∈[－3，3]时，f (x )的极大值为f (－1)＝2，f (x )的极小值为f (1)＝－2， 又f (－3)＝0，f (3)＝18，所以当x ∈[－3，3]时，f (x )的最大值为18，f (x )的最小值为－2. 反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]的值域是________．答案 [－1，π24]解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，令f ′(x )＝0，即2x ＋sin x ＝0，得x ＝0， f (0)＝－cos 0＝－1，f (π2)＝f (－π2)＝π24，∴f (x )的最大值为π24，f (x )的最小值为－1.则f (x )的值域为[－1，π24]．(2)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]时的最值． 解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由题意知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，解得a ＝5， ∴f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，即3x 2－10x ＋3＝0， 解得x ＝3或x ＝13(舍去)．∵f (3)＝－9，f (1)＝－1，f (5)＝15，∴当x ∈[1,5]时，f (x )的最小值为－9，最大值为15. 命题角度2 含参数的函数求最值例2 已知a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值． 解 f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减， 所以当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝0； 若a >0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 由x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况． ①当0<a <1，即0<a <1时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )max ＝f (a )＝2a a .②当a ≥1，即a ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0,1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝3a －1.综上，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0<a <1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋b (x ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝6x －8，求a ，b 的值； (2)若a >0，b ＝2，当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－3x ，由f ′(2)＝6，得a ＝1. 由切线方程为y ＝6x －8，得f (2)＝4. 又f (2)＝8a －6＋b ＝b ＋2，所以b ＝2， 所以a ＝1，b ＝2.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a，分以下两种情况讨论：①若1a>1，即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－a －32＋2，f (1)＝a －32＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a<1，即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝12－a ，f (1a )＝2－12a 2.而f (1a )－f (－1)＝2－12a 2－(12－a )＝32＋a －12a 2>0， 所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .综合①和②知，f (x )min ＝f (－1)＝12－a .类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值． 解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0，且当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，11)B ．(－1,4)C ．(－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 由f ′(x )＝3－3x 2＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：由此得a 2－12<－1<a ，解得－1<a <11. 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， 且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.(2)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0，求a 的值． 解 f (x )的定义域为(－a ，＋∞)， f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上单调递减； 当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上单调递增． 因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 类型三 与最值有关的恒成立问题例4 已知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 解 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤h (x )min ＝4.反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调递减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e.1．函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，最小值 C ．无最大值，最小值 D ．无最大值，有最小值答案 A解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝－1或1(舍去)， 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 故f (x )有最大值而无最小值．2．函数f (x )＝x 2·e x ＋1，x ∈[－2,1]的最大值为( ) A ．4e －1 B ．1 C ．e2 D ．3e 2答案 C解析 f ′(x )＝x e x ＋1(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 当f ′(x )>0时，x <－2或x >0； 当f ′(x )<0时，－2<x <0.当x ＝－2时，f (－2)＝4e ；当x ＝0时，f (0)＝0；当x ＝1时，f (1)＝e 2，所以函数的最大值为e 2.故选C.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m 的值为( ) A ．16 B ．12 C ．32 D ．6答案 C解析 因为函数f (x )＝x 3－12x ＋8， 所以f ′(x )＝3x 2－12.令f ′(x )>0，解得x >2或x <－2； 令f ′(x )<0，解得－2<x <2.故函数在[－2,2]上是减函数，在[－3，－2)，(2,3]上是增函数， 所以函数在x ＝2时取到最小值f (2)＝8－24＋8＝－8， 在x ＝－2时取到最大值f (－2)＝－8＋24＋8＝24.即M ＝24，m ＝－8， 所以M －m ＝32.故选C.4．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为__________．答案 [12，21e 2π]解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x .当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数．∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f (π2)＝21e 2π，f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝12.∴函数值域为[12，21e 2π]．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 f (x )－40＋a↗极大值a↘－8＋a所以当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，所以a ＝3. 所以当x ＝0时，f (x )取到最大值3.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．课时作业一、选择题1．函数y ＝ln xx 的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D.103答案 A解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，且函数在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( ) A ．f (a )－g (a ) B ．f (b )－g (b ) C ．f (a )－g (b ) D ．f (b )－g (a )答案 A解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )， ∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴F (x )在[a ，b ]上单调递减， ∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．3．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．3x －15y ＋4＝0 B ．15x －3y －2＝0 C ．15x －3y ＋2＝0 D ．3x －y ＋1＝0 答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3 ＝－2(x －a )2＋3＋2a 2， ∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5， ∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3， f ′(1)＝－2＋4＋3＝5. 又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)．即15x －3y －2＝0.4．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－2，1]都成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－15] B ．(－∞，1] C ．(－∞，15) D ．(0,1)答案 A解析 根据题意，a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－2,1]都成立，设函数f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，x ∈[－2,1]．求出导数f ′(x )＝12x 2＋8x ，由f ′(x )＝0，得x ＝0或－23.所以在区间(－2，－23)上，f ′(x )>0，函数为增函数，在区间(－23，0)上，f ′(x )<0，函数为减函数，在区间(0,1)上，f ′(x )>0，函数为增函数，因此函数在闭区间[－2,1]上，在x ＝－23处取得极大值f (－23)，在x ＝0时函数取得极小值，且f (0)＝1，f (1)＝9，f (－2)＝－15，所以f (－2)＝－15是最小值，所以实数a ≤－15.故选A.5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32答案 C解析 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．6．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3， ∴a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2.二、填空题7．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 答案 2 －2解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.8．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a， 当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1， 解得a ＝1.9．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 0解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2， 当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[12，1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，a 的最大值为0.10．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 由题意知e x －2x ＋a ＝0有根，即a ＝2x －e x ，令g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ＝0，解得x ＝ln 2.而g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝2ln 2－e ln 2＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.11．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2)内，即实数a 满足a <1<6－a 2，且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2.解a <1<6－a 2，得－5<a <1.不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2＋a －2)≥0，即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2.故实数a 的取值范围是[－2,1)．三、解答题12．设函数f (x )＝e x sin x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin(x ＋π4)． 由f ′(x )≥0，得sin(x ＋π4)≥0， 所以2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ， 即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z . 所以f (x )的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋3π4]，k ∈Z . (2)由(1)知，当x ∈[0，π]时，[0，3π4]是单调增区间，(3π4，π]是单调减区间． 且f (0)＝0，f (π)＝0，f (3π4)＝22e 3π4， 所以f (x )max ＝f (3π4)＝22e 3π4， f (x )min ＝f (0)＝f (π)＝0.13．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e， 令f ′(x )<0，解得0<x <1e， 所以当x ＝1e 时取得最小值，最小值为－1e. (2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2， 当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1.因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1，故a 的取值范围为(－∞，1]． 四、探究与拓展14．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t＝2t 2－1t ＝2(t ＋22)(t －22)t . 当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得极大值且为最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．。

学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )f ′(x )的正负 f (x )的单调性 f ′(x )>0 单调递增 f ′(x )<0单调递减知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 知识点三 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．类型一 构造法的应用 命题角度1 比较函数值的大小例1 已知定义在(0，π2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )成立，则( ) A.2f (π6)>f (π4)B.3f (π6)>f (π3)C.6f (π6)>2f (π4)D.3f (π6)<f (π3)答案 D解析 由f ′(x )sin x >f (x )cos x ， 则f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， 构造函数g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x .当x ∈(0，π2)时，g ′(x )>0，即函数g (x )在(0，π2)上单调递增，∴g (π6)<g (π3)，∴3f (π6)<f (π3)，故选D.反思与感悟 此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小． 跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <a <b答案 B解析 令g (x )＝xf (x )， 则g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，∴g (x )是偶函数．g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∵f ′(x )＋f (x )x<0，∴当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0， 当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵12<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g (12)．∵g (x )是偶函数，∴g (－2)＝g (2)，g (ln 12)＝g (ln 2)，∴g (－2)<g (ln 12)<g (12)．故选B.命题角度2 求解不等式例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x 的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2) C ．(0，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x.∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在定义域上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2， 则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练2 定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<13，则不等式f (lg x )>lg x ＋23的解集为________． 答案 (0,10)解析 ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－13<0，∴f (x )－x ＋23在R 上为减函数．设F (x )＝f (x )－x ＋23，则F (x )在R 上为减函数．∵f (1)＝1，∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋23>0，∴F (lg x )>F (1)．∵F (x )在R 上单调递减，∴lg x <1，∴0<x <10， ∴原不等式的解集为(0,10)．类型二 利用导数研究函数的极值与最值例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练3 已知a ，b 为常数且a >0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－232，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )(x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 因为a >0，所以x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a (a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗所以当x ＝－1时，f (x )有极大值2，即3a ＋2b ＝3.(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在(a ，3]上为增函数， 所以f (a )为最小值，f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232.又由b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0， 即(a ＋1)3＝27，所以a ＝2，b ＝－32.当a >3时，由(1)知f (x )在[0,3]上为减函数，即f (3)为最小值，f (3)＝－232，从而求得a ＝10748，不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－32.类型三 数形结合思想的应用例4 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法是________． 答案 ①④解析 对于①，由图象知，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )>0，∴f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．对于②，当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，故f ′(x )<0.所以当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)，(0,1)上是减函数．对于③，由②知f (x )在(－1,0)上单调递减，∴x ＝－12不是极值点，由①②知④是正确的，故填①④.反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练4 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 A解析 ∵函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )， 且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x >－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当x <－2时，f ′(x )<0. ∴当－2<x <0时，xf ′(x )<0； 当x ＝－2时，xf ′(x )＝0； 当x <－2时，xf ′(x )>0. 由此观察四个选项，故选A.1．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.43B.73 C.83 D.163答案 C解析 由题意可知f (0)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0， 可得1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2， 所以函数的解析式为f (x )＝x 3－3x 2＋2x . f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，令3x 2－6x ＋2＝0，可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83. 2．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b ) D ．af (b )≤bf (a ) 答案 A解析 设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数． ∵a <b ，∴g (a )≥g (b )，即af (a )≥bf (b )． 故选A.3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝1，对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x ＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)解析 设F (x )＝f (x )－(3x ＋4)， 则F (－1)＝f (－1)－(－3＋4)＝1－1＝0.又对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，∴F ′(x )＝f ′(x )－3>0， ∴F (x )在R 上是增函数， ∴F (x )>0的解集是(－1，＋∞)， 即f (x )>3x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (7，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0， 得x ＝－23或x ＝1.可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7. ∴f (x )<m 恒成立时，m >7.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．课时作业一、选择题1．函数y ＝f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′大于或等于0(不恒为0)即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立． 2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)答案 A解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝12x ＋1x >0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f (e)<f (3)．3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A ．－5B ．7C ．10D ．－19 答案 A解析 ∵y ′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， ∴函数在[－2，－1]内单调递减， ∴最大值为f (－2)＝2＋a ＝2. ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5.4.已知定义在R 上的函数f (x )的图象如图，则x ·f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，0)∪(1,2)B ．(1,2)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 A解析 不等式x ·f ′(x )>0等价于当x >0时，f ′(x )>0，即当x >0时，函数递增，此时1<x <2；或者当x <0时，f ′(x )<0，即当x <0时，函数递减，此时x <0，综上，1<x <2或x <0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1,2)．5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)答案 C解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0，x ∈(－1，＋∞)， 即f ′(x )＝－x 2－2x ＋bx ＋2≤0，即－x 2－2x ＋b ＝－(x ＋1)2＋1＋b ≤0， ∴1＋b ≤0，b ≤－1.6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c 答案 D解析 由f ′(x )图象知，f (x )在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f (x )在x ＝0时取得极小值c .7．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意x ∈R ，都有f ′(x )<12，则不等式f (x )>x ＋12的解集为( ) A ．(1,2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(－1,1)答案 B解析 ∵f ′(x )<12，∴f ′(x )－12<0.设h (x )＝f (x )－12x ，则h ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴h (x )是R 上的减函数，且h (1)＝f (1)－12＝1－12＝12.不等式f (x )>x ＋12，即为f (x )－12x >12，即h (x )>h (1)，得x <1，∴原不等式的解集为(－∞，1)． 二、填空题8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a . 由题意得f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4.由f ′(x )＝3x 2－3>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝x －a x ＋1·e x在定义域内有极值点，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 f ′(x )＝x ＋1－x ＋a (x ＋1)2·e x ＋x －a x ＋1·e x ＝x 2＋(1－a )x ＋1(x ＋1)2·e x.因为x 2＋(1－a )x ＋1＝0有两个不相等且不等于－1的实数根，所以(1－a )2－4＞0且a ≠－1，解得a ＜－1或a ＞3.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为______． 答案 [4，＋∞)解析 ∵x ∈(0,1]，∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， 令g ′(x )＝0，得x ＝12. 当0<x <12时，g ′(x )>0； 当12<x ≤1时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(0,1]上有极大值g (12)＝4，也是最大值． ∴a ≥4.11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 答案 c <a <b解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1， 因此有f (－1)<f (0)<f (12)， 即f (3)<f (0)<f (12)，即c <a <b . 三、解答题12．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.13．已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3x ，若x ＝a 是f (x )的极值点，求f (x )在[－2，a ]上的最大值和最小值．解 由题意知f ′(a )＝3a 2－4a 2＋3＝0，∴a ＝± 3.①当a ＝3时，x ∈[－2，3]，f ′(x )＝3x 2－43x ＋3＝3(x －3)(x －33)， 此时，由f ′(x )>0，可得－2≤x <33； 由f ′(x )<0，可得33<x <3， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－2，33)， 函数f (x )的单调递减区间为(33，3)． 又∵f (－2)＝－14－83，f (3)＝0，极大值为f (33)＝439. ∴函数f (x )的最小值为－14－83；函数f (x )的最大值为439. ②当a ＝－3时，x ∈[－2，－3]，f ′(x )＝3x 2＋43x ＋3＝3(x ＋3)(x ＋33)， 此时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[－2，－3]上为增函数，∴f (x )min ＝f (－2)＝－14＋83，∴f (x )max ＝f (－3)＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且f (x )g (x )＝a x (a >0且a ≠1)，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a ＝________.答案 12解析 令h (x )＝f (x )g (x )，∵f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )， ∴h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0， ∴函数y ＝a x 在R 上单调递减，∴0<a <1.∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，∴a 1＋a －1＝52， 化为2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝2或12. ∵0<a <1，∴a ＝12. 15．已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，得m ≤x ln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，故g ′(e)＝0. 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，故φ′(2)＝0. 所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减，当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．。

3.1.3 导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点) 1．通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养.2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(1)(2)(3)(4)(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2D[由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D．]2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]导数的几何意义A BA．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．(2)由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A ．]1．本例(2)中主要涉及了两点：①f ′(0)＝1，②f (0)＝b . 2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]1．(1)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1(2)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1(1)A (2)D [(1)由题意可知，f ′(1)＝2. 又lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a .故由2a ＝2得a ＝1.(2)直线l 的方程为x 4＋y4＝1，即x ＋y －4＝0.又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1， ∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路点拨] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94. (3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[跟进训练]2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，∴y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).求曲线的切线方程1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．[思路点拨](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点(x 0，y 0)―→求y ′|x ＝x 0―→由y ′|x ＝x 0＝y 0－1x 0－1求(x 0，y 0)―→写切线方程[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(1＋Δx )3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝y ′|x ＝1＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知y ′|x ＝x 0＝3x 20，由题意可知k PQ ＝y ′|x ＝x 0，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又y 0＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)；(4)写出切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．1．判断正误(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]3．曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]4．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)，a 的值为12127或－5.。

3．3．1函数的单调性和导数学案学习目标1．理解函数单调性和导数的关系；2．会利用导数判断函数的单调性。

学习重点和难点1．重点：函数单调性和导数的关系；2．难点：函数单调性和导数的关系。

一、复习引入：1.常见函数的导数公式：2.法则1 ．法则2法则3二、讲授新课1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）．（2）．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）；（2）（3）；（4）解：例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：解：思考：一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．例4．求证：函数在区间内是减函数．证明：说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）；（2）；（3）．例5．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：说明：例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3(1)解：(2)解：2、设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( )小结：五、课堂小结：1.2.3..六、课后作业：课本习题3.3 A组 1，2【思考题】对于函数f(x)=2x3－6x2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、在区间（0，2）内有几个解？。

高考数学导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：x m(m为有理数)、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用【综合脉络】1.知识网络2.考点综述有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

[教学过程]一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值二、基础回顾第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量= ；比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,当△x→0时，△y△x有极限，就说y=f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作或，当x变化时，f ' (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ' (x)=y '=lim△x→0f(x+△x)－f(x)△x2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2)求平均变化率△y△x（3）取极限，得导数f ' (x)=lim△x→0△y△x3、导数的几何意义：f ' (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的即4、几种常见函数的导数C'=(x n) '=(sinx) '=(cosx) '=(e x) '=(a x) '=(lnx) '=(log a x) '=5、导数的四则运算若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则[f(x)±g(x)] '=[f(x)g(x)] '= [f(x)g(x)]'=6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x'=7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内，如果，那么函数在这个区间内，反之？求可导函数y=f(x)的单调区间的步骤：（1）求f ' (x) (2)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)(3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。

1.2.2 第二课时 基本初等函数的导数公式一、课前准备 1.课时目标1.熟练记忆基本初等函数的导数公式;2.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数;3.能利用基本初等函数的导数公式解决简单的综合问题。

2.基础预探1.基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝________.(2)若f (x )＝x n，则f ′(x )＝________. (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________. (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________.(5)若f (x )＝a x，则f ′(x )＝________.(6)若f (x )＝e x，则f ′(x )＝________. (7)若f (x )＝log a x 则f ′(x )＝________.(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________. 二、学习引领1.对基本初等函数的导数公式的理解(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别。

(3)基本初等函数的导数公式，虽然在高考中单独考查该知识点的题目不多，但却是解决其他导数问题的重要基础，必需熟练记忆并掌握。

2.利用导数公式求曲线切线方程的步骤(1)先利用基本初等函数的导数公式求出函数的导数．(2)判断切线所经过的定点(x 0，y 0)是否在已知曲线上，当点在曲线上时，k ＝f ′(x 0)．当点不在曲线上时，应设切点为(x 1，y 1)，k ＝f ′(x 1)＝y 1－y 0x 1－x 0，求出切点．(3)利用点斜式方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)或y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0) 求得切线． 三、典例导析题型一 利用基本初等函数的公式求导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；思路导析：运用对数性质及三角变换公式，先将问题中不能直接利用公式的问题转化为基本初等函数，再求导数．解析：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(35x )′＝35315x -＝3525x -。

1．1.3导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点一导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？答案割线PP n的斜率k n＝f(x n)－f(x0) x n－x0.思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？答案k n无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)切线的定义：设PP n是曲线y＝f(x)的割线，当P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点二导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数), 即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.特别提醒区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图象上过原点的切线方程．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)． ∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 类型二 求切点坐标例3 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．解 对于曲线y ＝x 2－1， k 1＝lim Δx →0ΔyΔx＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3， k 2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.引申探究1．若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值．解 ∵k 1＝2x 0，k 2＝3x 20. 根据曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，知2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程． 解 由例3知x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两平行切线方程为y ＝－1或y ＝1.当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两平行切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，∴a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．类型三 导数几何意义的应用例4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)(2)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．答案 (1)k 1>k 3>k 2 (2)⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π 解析 (1)由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2. (2)设P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－3≥－3， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π.反思与感悟导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()(2)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．答案(1)A(2)－7解析(1)依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．(2)设点P(x0，2x20＋a)．由导数的几何意义可得f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→02(x0＋Δx)2＋a－(2x20＋a)Δx＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案B解析由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(x A)<f′(x B)．3.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4 B．3C．－2 D．1答案D解析由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于(4,0)，与y轴交于(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0，2x20＋4x0)．则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．5．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，C ＝f ′(a ＋1)，则由导数的几何意义和斜率公式可得A ，B ，C 的大小关系是________． 答案 A >B >C解析 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))， 则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率，C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以A >B >C .1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．课时作业一、选择题1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0 D ．f ′(x 0)不存在答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0. 2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.54π D ．－π4答案 B解析∵y′|x＝1＝limΔx→012(1＋Δx)2－2－(12－2)Δx＝limΔx→0(1＋12Δx)＝1，∴倾斜角为π4.3．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为() A．y＝9x B．y＝9x－26C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26答案D解析设P(x0，x30－3x20＋1)，k＝y′|x＝x0＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－(x30－3x20＋1)Δx＝3x20－6x0＝9，即x20－2x0－3＝0，解得x0＝－1或3.∴点P的坐标为(－1，－3)或(3,1)．∴切线方程为y＋3＝9(x＋1)或y－1＝9(x－3)，即y＝9x＋6或y＝9x－26.4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是()答案B解析由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故选B.5．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1 C．1 D．－2答案D解析∵limx→012·f(1)－f(1－x)x＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12f ′(1)＝－1， ∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义，知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.6．设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2]，则点P 的横坐标的取值范围为( ) A ．(－∞，12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－12，＋∞)答案 D解析 设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为 tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0＋2.∵α∈[π4，π2]，∴tan α∈[1，＋∞)，∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12.∴x 0的取值范围为[－12，＋∞)．二、填空题7．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.答案 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2，故b a＝2.8．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点M 处的瞬时变化率为－4，则点M 的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 设点M (x 0，y 0)， f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝4x 0＝－4，∴x 0＝－1，则y 0＝3，∴M (－1,3)．9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52， f ′(1)＝lim Δx →0 12(1＋Δx )＋2－12－2Δx＝lim Δx →0 12Δx Δx ＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．答案 4解析 设在P 点处切线的斜率为k ，则k ＝y ′|x ＝－2＝lim Δx →0 (－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.三、解答题11．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值． 解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3Δx＝3a 2， ∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，切线与x 轴的交点为(23a,0)． ∴三角形的面积为12|a －23a |·|a 3|＝16，得a ＝±1. 12．已知抛物线y ＝f (x )＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0；(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴y ′|0x x ＝lim Δx →0 Δy Δx＝4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴k ·(－18)＝－1，即k ＝8， ∴f ′(x 0)＝4x 0＝8，解得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x )＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23， 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值，为－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a <0，∴a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.(用数字作答) 答案 2 －2解析 ∵f (0)＝4，∴f (f (0))＝f (4)＝2，f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝0－42－0＝－2. 15．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.。

导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：x m(m为有理数)、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用【综合脉络】1.知识网络2.考点综述有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

[教学过程]一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值二、基础回顾第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量= ；比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,当△x→0时，△y△x有极限，就说y=f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作或，当x变化时，f ' (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ' (x)=y '=lim△x→0f(x+△x)－f(x)△x2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2)求平均变化率△y△x（3）取极限，得导数f ' (x)=lim△x→0△y△x3、导数的几何意义：f ' (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的即4、几种常见函数的导数C'=(x n) '=(sinx) '=(cosx) '=(e x) '=(a x) '=(lnx) '=(log a x) '=5、导数的四则运算若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则[f(x)±g(x)] '=[f(x)g(x)] '= [f(x)g(x)]'=6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x'=7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内，如果，那么函数在这个区间内，反之？求可导函数y=f(x)的单调区间的步骤：（1）求f ' (x) (2)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)(3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。

导数及其应用一、教材分析导数是本章的主要研究对象，导数与科研、生产以及人类的生活有着密切的关系，导数是变化率的一种特殊的情况，在以前我们已经学习了有关变化率的知识，对变化率有了实步的因而在本章中把导数作为一个整体来研究.我们将从它的定义，几何意义来讨论，导数作为一个新增的知识内容，是教学的重点，涉及的要领是全新的，因此要通过直观的才具演示来探究，使学生理解并明确概念.二、设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟.三教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．四、教学设想1、§3.1.1变化率问题.（1）教具的准备.(a)一个气球充气,随着空气容量的增加,气球半径的半径增加得越来越慢.(b)一根粉笔从手中落下,随着时间的变化,粉笔的距地而的高度也在变化、通过这些日常生活中的例子熟悉的例子，来加深学生对变化率的理解。

复习课(一) 导数及其应用(部分)(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现． (2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．[考点精要](1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．[典例] (全国卷Ⅱ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．[解析] 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ex －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] 2x －y ＝0 [类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．[题组训练]1．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.2．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′| x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.法一：∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋＝2，ax 20＋a ＋x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：8(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。