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三角函数的最值求法掌握三角函数的单调性和有界性，能够利用三角函数的单调性及有界性来求得一些三角函数的最大值和最小值，是近年高考的热点内容之一.三角函数的最值问题，其本质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此，求函数最值得方法都能适用.当然还其他特殊的方法.三角函数的最值都是在限定区间上取得的，因而要特别注意题设中所给的区间.求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件、弦函数的有界性及变换的等价性.选择适当的方法是解题的关键.下面就例谈几种解决三角函数最值的方法.题型一：用换元法求函数的最值例1:若，求函数的最小值.思路:注意到函数的特征，若用万能公式，能将它化为关于的有理函数,从而不难用判别式方法求解.解析：令=t，，，则，当t=-1时，y=0;当y 0时，由于t为实数，从而有或.由于，故函数的最小值为.点评：展开函数式，得到一个含有、的对称式，运用变换“”同样可解得上一题.题型二：用均值不等式法求函数的最值例2：已知，且，求的最大值.思路：在三角函数关系的条件下，要求得角的最值，一般应设法转化为求该角的某一三角函数的最值.依题意，本题可以优先求y的正切的最值.解析：，且，当且仅当，即时，，又函数在上单调递增，.点评：选函数来求的角的最值时，必须注意选定函数的单调性，若选定的函数与角的最值取得时刻相同时，解题较为方便.题型三：利用三角函数的有界性来求函数的最值例3：求函数的最小值，并求出取得最小值时x的值.思路：先化简函数，再由正、余弦函数的有界性来思考，同时应注意角度的限定范围.解析：由降幂公式和倍角公式，得== .的最小值是，此时.点评：形如（a、b、c、d为常数）的式子，都能仿照上例变形为形如的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解.另外，求最值时不能忽视对定义域的思考.例4：已知圆的半径为R，其内接三角形ABC有成立，求的面积S的最大值.解析：由已知式可得，.==当时，点评：利用三角函数的性质来求三角函数的最值问题，是最常见的基本方法.因此，在解题时要认真解题，看该题结构特点是否能化为一个三角函数式，若能，要充分利用所有三角函数公式化为一个三角函数式，从而利用三角函数性质，求出最值.望大家在解题时注意.题型四:转化为二次函数求函数的最值例5:是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值，若不存在，试说明理由.解析：=当时，若，即，则当时，（舍去）若即，则当时，即或（舍去）,若，即，则当时，（舍去）综上所述，存在符合题设.点评：求包含参数的三角函数最值时，应根据三角函数或本身的取值范围来进行分类讨论.题型五：轮换对偶求函数的最值例6：已知、、为锐角，且，求函数的最小值.解析：由= ，令，结合，得+ -得，所以当且仅当时，等号成立.故.题型六：利用判别式法求函数的最值例7：求函数的最值.解析：原式化为即当时，得到当时，代入原方程综上.点评：求分式形式的含正、余切三角函数的最值时，应考虑到用判别式法来求得.题型七：利用斜率求函数的最值例8：求函数的最值.解析：设平面上两点的坐标为，，则AB的斜率为.又A为定点，B在单位圆上，故直线AB：是圆的切线时得k值为函数y的最值，此时点评：求分式形式含正、余弦的三角函数的最值时，应考虑巧用斜率来求得.求三角函数最值的方法有：配方法、化为一个角的三角函数、换元法、基本不等式法等.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而要加更注意题设中所给出的区间.求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性.在求包含参数函数的最值时，解题要注意参数的作用和影响.（陕西洋县城关中学）。
微专题4三角形中的范围(最值)问题真题感悟(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°.由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a×1×sin 60°＋12c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以1a ＋1c＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥5＋2ca·4ac＝9，当且仅当c＝2a即a＝32，c＝3时取等号，故4a＋c的最小值为9.答案9考点整合1.设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C.解三角形的主要依据是：(1)角与角关系：A＋B＋C＝π；(2)边与边关系：a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b；(3)边与角关系：正弦定理、余弦定理.它们的变形形式有a＝2R sin A，sin Asin B＝ab，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B等.2.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点：(1)角的变换；(2)三角形边、角关系定理及面积公式、正弦定理、余弦定理.3.利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值、最小值.(1)已知x，y是正数，如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2P ；(2)已知x ，y 是正数，如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.应用此结论求最值要注意三个条件： ①各项或各因式均为正； ②和或积为定值；③各项或各因式都能取相等的值. 必要时要作适当的变形，以满足上述条件.4.利用基本不等式求解与其他知识点的综合题时，列出有关量的函数关系式或方程寻找和与积的结构形式，是用基本不等式求解或转化的关键.热点一 三角形面积的最值问题【例1】 (2019·苏北四市调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，－π6＜A －π6＜5π6， 所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3，所以C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C＝433·sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2， 由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4，所以bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4， 当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3， 即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3. 探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.【训练1】 已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC ＝60°，BC ＝1，则△BOC 面积的最大值为________.解析 因为O 是△ABC 的内心，∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝180°－180°－60°2＝120°，由余弦定理可得BC 2＝OC 2＋OB 2－2OC ·OB ·cos 120°，即OC 2＋OB 2＝1－OC ·OB .又OC 2＋OB 2≥2OC ·OB (当且仅当OC ＝OB 时，等号成立)，所以OC ·OB ≤13，所以S △BOC ＝12OC ·OB ·sin 120°≤312(当且仅当OB ＝OC 时等号成立)，则△BOC 面积的最大值为312. 答案 312热点二 与边长相关的最值(范围)问题【例2】 在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，且a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________. 解析 因为(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，所以由正弦定理可得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，可化为b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3，又因为a ＝3，所以由正弦定理可得b sin B ＝c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝332＝2，即b ＝2sin B ，c ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以b 2＋c 2＝(2sin B )2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B 2＝3＋2sin 2B ＋3sin 2B ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈(5，6]，即b 2＋c 2∈(5，6].答案 (5，6]探究提高 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解.【训练2】 (2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；ca 的取值范围是________.解析 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6. 由正弦定理得ca ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A . ∵0＜tan A ＜33，∴1tan A ＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca ＞2. ∴ca 的取值范围是(2，＋∞). 答案 π3 (2，＋∞)热点三 与角度相关的最值(范围)问题【例3】 (2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________.解析 在△ABC 中，利用cos C ＝－cos(A ＋B )易证cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＋ 2cos A cos B ·cos C ＝1，所以cos 2A ＋cos 2B ＝1－1＋cos 2C 2－sin C cos C ＝12－12(sin 2C ＋cos 2C )＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π4≤1＋22，当sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π4＝－1即C ＝58π时取“＝”.故答案为2＋12.答案2＋12探究提高 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力与掌握水平，解题的关键是三角恒等变换.【训练3】 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24【新题感悟】 (2019·南京高三模拟)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝2tan B ，则b ＋ca 的最大值为________. 解析 由tan A ＝2tan B 得，sin A cos A ＝2sin Bcos B，所以sin A cos B ＝2sin B cos A ，即a a 2＋c 2－b 22ac ＝2b b 2＋c 2－a 22bc ，整理可得3b 2＋c 2＝3a 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c 3a 2＝1，令b a ＝cos θ，c 3a ＝sin θ，则b ＋c a ＝cos θ＋3sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6≤2，当θ＝π3时等号成立.一、填空题1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＝2c 2－c 22c 2＝12(当且仅当a ＝b 时“＝”成立). 答案 122.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，A ＝π3，则b ＋c 的最大值为________.解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－2bc ·cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝3， ∴(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝3＋3bc ≤3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22(当且仅当b ＝c 时“＝”成立)， ∴14(b ＋c )2≤3即b ＋c ≤2 3. 答案 2 33.在△ABC 中，M 是BC 的中点，BM ＝2，AM ＝AB －AC ，则△ABC 的面积的最大值为________.解析 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在△ABM 中，由余弦定理得cos B ＝c 2＋4－（c －b ）24c ，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝c 2＋16－b 28c ，所以c 2＋4－（c －b ）24c ＝c 2＋16－b 28c ，即b 2＋c 2＝4bc －8，所以cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－162bc ＝2bc －12bc ＝2－12bc ，所以sin ∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12bc 2，所以S △ABC ＝ 12bc sin ∠BAC ＝12－3（bc －8）2＋48，所以当bc ＝8时，S △ABC 取得最大值2 3.4.(2019·如皋高三联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，2tan C ，1tan B 成等差数列，则cos C 的最小值为________.解析 ∵1tan A ，2tan C ，1tan B 成等差数列，∴1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，即cos A sin A ＋cos Bsin B ＝4cos C sin C ，可得sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B ＝sin C sin A sin B ＝4cos C sin C ， ∴cos C ＝sin 2C4sin A sin B ，则a 2＋b 2－c 22ab ＝c 24ab ，化简得2(a 2＋b 2)＝3c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13(当且仅当a ＝b 时等号成立). 答案 135.(2019·盐城高三期末)已知△ABC 的周长为6，且BC ，CA ，AB 的长成等比数列，则BA →·BC→的取值范围是________. 解析 设BC ，CA ，AB 所对应的边长分别为a ，b ，c ，因为BC ，CA ，AB 的长成等比数列，所以b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，从而0＜b ≤2，所以BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝（6－b ）2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27，又|a－c |＜b ，∴(a －c )2＜b 2，即(a ＋c )2－4ac ＜b 2，即b 2＋3b －9＞0，解得35－32＜b ≤2，故2≤BA →·BC →＜27－952.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，27－9526.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边长与最小边长之比为m ，则实数m 的取值范围是________.解析 依题意可设三内角为60°－α，60°，60°＋α.由该三角形为钝角三角形可得30°＜α＜60°，由正弦定理得m ＝sin （60°＋α）sin （60°－α）＝3＋tan α3－tan α＝－1＋233－tan α，由30°＜α＜60°，得33＜tan α＜3，所以0＜3－tan α＜233，所以13－tan α＞32，所以m ＝－1＋233－tan α＞2. 答案 (2，＋∞)7.(2019·苏州期中)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 依次成等差数列且a 2＋c 2＝kb 2，则实数k 的取值范围是________. 解析 ∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ≤a 2＋c 22(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 22－b 2≤0，即kb22－b 2≤0，∴k ≤2，又a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＞0，且a 2＋c 2＝kb 2，∴kb 2－b 2＞0，∴k ＞1，∴1＜k ≤2. 答案 (1，2]8.(2019·苏北三市模拟)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2，当AC →·AB→取得最大值时，b a的值为________. 解析 由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，所以b ＝2sin Bsin C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A sin π3，AC →·AB →＝bc cos A＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A sin π3×2×cos A ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A cos A ＝233(sin 2A ＋3cos 2A )＋2＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2，所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，AC →·AB →取最大值，此时B ＝π－A －C ＝7π12，从而b a ＝sin B sin A ＝sin 7π12sin π12＝cos π12sin π12＝1tan π12＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝1＋tan π3tan π4tan π3－tan π4＝3＋13－1＝2＋3，所以当AC →·AB→取得最大值时，b a的值为2＋ 3.答案 2＋ 3 二、解答题9.(2019·江苏三校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C . (1)求b 的值；(2)若B ＝π4，S 为△ABC 的面积，求S ＋82cos A cos C 的取值范围. 解 (1)由正弦定理、余弦定理知sin A cos C ＝3cos A sin C 可等价变形为a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得a 2－c 2＝b22.因为a 2－c 2＝2b ，所以b 22＝2b ，所以b ＝4或b ＝0(舍去).(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝b sin C sin B ，故S ＝12bc sin A ＝12×4×4sin π4sin A sin C ＝82sin A sin C ，所以S ＋82cos A cos C ＝82cos(A －C ) ＝82cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A －⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝82cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4.在△ABC 中，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜3π4，A ＞3π4－A ，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4.所以2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，所以S ＋82cos A cos C ∈(－8，82).10.已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域.解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号). 因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3，所以－π6＜3A －π6≤5π6， 所以－12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1， 所以－1＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12， 所以f (A )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12. 11.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围.解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，又0°＜B 2＜90°，所以B 2＝30°，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .又由(1)知A ＋C ＝120°，故由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.。
三角函数的最值三角函数是比较重要的数学主题，它可以帮助我们更好地理解几何概念以及图形的变化。
而三角函数的最值，则是三角函数的一个重要概念，有助于我们更好地绘制三角函数图像、分析三角函数的图形特征，以及求解信息等等。
一、解析三角函数的最值三角函数的最值是指三角函数y=f(x)在给定的区间[a,b]内，f(x)的最大值和最小值。
特别的，当取区间[a,b]为全实数集时，最大值和最小值将不再存在。
例如，sin(x)在实数集内，其最大值为1，最小值为-1；而cos(x)在实数集内，其最大值为1，最小值也为1。
二、三角函数最值的求解方法（1）偏导数法若需求解f（x）在给定的区间[a,b]内的最值，可以先对函数求偏导，考察偏导数是否在区间内取得最值，若有则求该点的函数值，并记录其最小值或最大值；若无，则求取函数在该区间的定点的值，作为函数的最值。
（2）判别式法一般的，令f（x）=0，求获函数的根，然后计算函数的二阶导数，若f(x)>0，则根为极小值点，若f(x)<0，则根为极大值点。
（3）几何解法由几何图像解三角函数最值，在找到函数图像上的极大值极小值时，可以从两个方面考虑，一是寻找函数最大最小值点，另一种方法是求解两个函数的比值f(x)/g(x)，在给定区间[a,b]内找到两个函数比值最大最小点。
三、典型例题（1）求函数f(x)=x2－2x＋1[-1,1]上的最大值和最小值解：f(x)=2x-2=0,得x=1当x=-1，f(-1)=0;x=1，f(1)=2所以函数y=f(x)在[-1，1]上的最大值为2，最小值为0（2）求函数f(x)=sin2x[0,π/2]上的最大值和最小值解：f(x)=2cos2x，得cos2x=0，得x=π/4当x=0,f(0)=0;当x=π/4，f(π/4)=1所以函数y=f(x)在[0，π/2]上的最大值为1，最小值为0四、总结本文介绍了三角函数的最值的概念，并介绍了常用的求解最值的方法，以及常见的例题。
