粘滞流体的伯努利方程及应用

工程流体力学综合报告学院：机械工程学院专业：机械工程班级：学号：学生姓名：任课老师：提交日期：2017年12月27 日关于伯努利方程的应用摘要“伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。

这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。

理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。

即：动能+重力势能+压力势能=常数。

其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。

伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。

关键词：伯努利方程 公式及原理 应用 流体力学1 伯努利方程伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C ，这个式子被称为伯努利方程。

式中p 为流体中某点的压强，v 为流体该点的流速，ρ为流体密度，g 为重力加速度，h 为该点所在高度，C 是一个常量。

它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体1.1 流线上的伯努利方程流线上的伯努利方程：g V g p z g V g p z C gv g p z 222222221112++=++=++ρρρ适于理想流体（不存在摩擦阻力）。

式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。

如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ）。

1.2 总流的伯努利方程总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。

动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。

由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。

关于伯努利方程的知识讲解把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间(图8－29)，向漏斗口吹气，会把乒乓球吹跑吗？实际正好相反，乒乓球会贴在漏斗上不掉下来．平行地竖放两张纸，向它们中间吹气，会把两张纸吹开吗？实际正好相反，两张纸会贴近(图8－30)．怎样解释上述现象呢？现象中涉及空气的流动．你可能不会想到，解释上述现象，跟说明飞机能够上天，用的是同一个道理，这就是流动的流体中压强和流速的关系．通常把液体和气体统称流体。

这一节把功能关系应用到流动的流体中，推导压强和流速的关系．研究流体的流动，是一门复杂的学问．初步进行研究，需要作一些限定，采用简单的物理模型，这就是理想流体的定常流动．理想流体液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．气体容易被压缩，但在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的．流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，也就是说，流体具有粘滞性．不同的流体，粘滞性不同．油类的粘滞性较大，水、酒精的粘滞性较小，气体的粘滞性更小．研究粘滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有粘滞性．不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体．定常流动观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化．河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变．河水的这种流动就是定常流动．流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动．自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．流体的流动可以用流线形象地表示．在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹．图8－31是液体流过圆柱体时流线的分布．AB处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小，液体在CD处流得急，流速大．AB处的流线疏，CD处的流线密．这样，从流线的分布可以知道流速的大小．流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．伯努利方程现在研究理想流体做定常流动时，流体中压强和流速的关系．图8－32表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．a1处的横截面积为S1，流速为v1，高度为h1．a1处左边的流体对研究对象的压强为p1，方向垂直于S1向右．a2处的横截面积为S2，流速为v2，高度为h2．a2处右边的流体对研究对象的压强为p2，方向垂直于S2向左．经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2．两端移动的距离分别为Δl1和Δl2．左端流入的流体体积为ΔV1=S1Δl1，右端流出的流体体积为ΔV2=S2Δl2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV1=ΔV2，记为ΔV．现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功．作用在左端的力F1=p1S1，所做的功W1=F1Δl1=p1S1Δl1=p1ΔV．作用在右端的力F2=p2S2，所做的功W2=-F2Δl2=-p2S2Δl2=-p2ΔV．外力所做的总功W=W1＋W2=(p1-p2)ΔV．(1)外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a1到a2这段流体的机械能E1，末状态的机械能是b1到b2这段流体的机械能E2．由b1到a2这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变．这样，机械能的改变E2-E1就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．力势能为mgh2=ρgh2ΔV．机械能的改变为右边对这段液体的的作用力向左，而这段液体的位移向右，所以功是负值。

伯努利方程阻力公式伯努利方程是描述流体在不可压缩、黏性流动中能量守恒的基本理论方程，也是流体力学中的重要基础。

伯努利方程可以应用于多种情况下，例如液体在管道中的流动、飞机在空气中的飞行、水流经过水轮机的运动等等。

其中，伯努利方程的阻力公式是指描述流体流动中的阻力与速度、密度以及求解问题所涉及的相应量之间的关系。

在伯努利方程中，阻力与速度的关系可以通过流体的粘滞性及流动的特性来决定。

对于稳态、学流条件下的流动，可以将流体的黏性损失和速度剖面分布考虑在内，并根据实际情况进行适当的简化。

一般情况下，流体流经管道或沿着壁面流动时，都会产生阻力。

首先考虑层流情况下的阻力公式。

在细长的平行板间流动时，每一层流体由于其黏滞性而发生剪切，从而产生了内摩擦力。

此时，流体的速度剖面呈现出线性分布，最大速度位于管道中心。

根据流体的黏滞性特性可知，流体层间的摩擦力与流体的速度剖面有关。

设流体的速度剖面为v(r)，其中r为距离管道中心轴的径向距离。

根据流体动力学的一般原理，流体受到的剪切力与速度梯度成正比，即有：F = -ηA(dv/dr)其中F为流体层中的剪切力，A为流体层的剪切面积，dv/dr表示速度梯度。

在稳态流动时，剪切力与速度梯度达到平衡，整个体系不断消耗的能量称为黏滞性损失。

根据能量守恒定律可知，流体流动过程中失去的能量转化为了黏滞性损失，即有：P = Fv = ηAv(dv/dr)其中P表示单位时间内单位面积的功率损耗。

黏滞性损失与流体的温度相关，通常可通过流体的黏度η来表征。

对于稳态流动，黏滞性损失恒定，在整个流动中得到了平均分布。

由于阻力损失是黏滞性造成的，因此可以假设单位长度的黏滞性损失与单位长度的阻力损失成正比。

即有：Fr = ηAr(dv/dr) = krv(dv/dr)其中Fr表示单位长度的阻力损失，k为与黏滞特性有关的常数。

对上式两边同时积分，可以得到：∫dFr/Fr = ∫krdv/v右边的积分可以求出来，即：ln(Fr) = ln(v) + C1其中C1是积分常数。