历年自主招生试题分类汇编 平面几何

专题之7、解析几何一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。

高三自主招生专题——平面几何考点1.三角形例1.（1）（2013北约）如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DM,DN 分别为ADC ∠的角平分线，试比较BM+CN 与MN 的大小。

（2）（2012北约）已知锐角ABC ∆的外接圆圆心为O ，求O 到三边距离之比。

(3)如图,已知0,135,120,GA GB GC AGB AGC GB ++=∠=︒∠=︒ 的长为求GA 、GC的长.（4）（2011华约）如图，已知ABC ∆的面积为2，D,E 分别为边AB,AC 上的点，F 为线段DE 上的一点，设,,,z DEDF y AC AE x AB AD ===且y+z-x=1，求BDF ∆面积的最大值。

（5）（09中科大）如图，已知D,E,F 分别为BC,AC,AB 的三等分点，并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若1=∆ABC S ,试求PQR S ∆.（6）在ABC ∆中，AB=2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD=kAC,①求k 的取值范围。

②若1=∆ABC S ，问：k 为何值时，BC 最短。

考点2．多边形例2.（1）（08北大）边长为1的正五边形对角线长为251+。

（2）（10北大）已知A,B 是边长为1的正五边形边上的点，证明：AB 的最大值为251+。

（3）（12北约）求证：若圆的内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形。

（4）（08北大）在六边形111CB BA AC 中，,,,111111CB CA BA BC AB AC ===C B A ∠+∠+∠= 111C B A ∠+∠+∠,求证: ABC ∆的面积是六边形111CB BA AC 面积的一半。

（5）（11华约）将一个正十一边形用对角线划分9个三角形，这些对角线在正十一边形内两两不相交，则 （ ）A ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形。

B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形。

自主招生考试中的平面几何问题
贾广素
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2013(000)004
【摘要】近几年，各高校自主招生试题中出现了不少平面几何试题，尤其是在北
京大学等学校联合自主招生试题中，每年都会有一道平面几何问题．本文仅举几例，希望能从中找到一些备考方法．
【总页数】3页(P6-8)
【作者】贾广素
【作者单位】山东省济宁一中,272101
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
【相关文献】
1.平移变换在平面几何问题解决中的应用 [J], 蒋必昆
2.旋转变换在平面几何问题解决中的应用 [J], 蒋必昆
3.动态中的平面几何问题的求解思维策略 [J], 赵敏
4.构造法在平面几何问题解决中的应用 [J], 潘丽丽
5.整体思想在平面几何问题解决中的应用 [J], 潘丽丽
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历年自主招生试题分类汇编——平面向量4．（2010年北约）向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ．（4）（2012年华约）向量a e ≠，||1e =。

若,||||t R a te a e ∀∈-≥+，则（ ）(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e -⊥+解析：由于,||||t R a te a e ∀∈-≥+，那么22||||a te a e -≥+，即22()()a te a e -≥+ ，从而有2222222e t a et a e a e a -⋅+≥+⋅+即t R ∀∈，22120t a et a e -⋅--⋅≥，因此24()4(12)0a e a e ⋅++⋅≤，得到2(1)0a e ⋅+≤，即1a e ⋅=-。

因此有2()||110e a e e a e ⋅+=⋅+=-+=，从而()e a e ⊥+。

自主招生几何试题及答案试题1：已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求∠C的度数。

答案1：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于180°。

因此，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。

试题2：若一个圆的半径为5cm，求该圆的周长。

答案2：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为圆的半径。

将半径r=5cm 代入公式得：C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm。

试题3：在直角三角形中，如果一条直角边长为3cm，另一条直角边长为4cm，求斜边的长度。

答案3：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

设斜边为c，则c = √(3² + 4²) = √(9 + 16)= √25 = 5cm。

试题4：已知一个等腰三角形的底边长为6cm，两腰长分别为5cm，求该三角形的面积。

答案4：首先，根据等腰三角形的性质，底边的中点到顶点的线段即为高。

设高为h，底边的一半为3cm。

根据勾股定理，h = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4cm。

然后，根据三角形面积公式S = (底× 高) / 2，代入底边6cm和高4cm，得S = (6 × 4) / 2 = 12cm²。

试题5：如果一个正方形的对角线长为10cm，求正方形的边长。

答案5：设正方形的边长为a，根据勾股定理，对角线长度的平方等于边长的平方的两倍，即10² = 2 × a²。

解得a² = 50，所以a = √50 ≈ 7.07cm。

试题6：已知一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，求圆锥的体积。

答案6：圆锥体积的公式为V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，h 为高。

专题之8、平面几何一、选择题.1、(2009年复旦大学)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k∶1(k>1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)B.arctanC.arctanD.arctan2、(2009年复旦大学)用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?A.2种B.3种C.4种D.5种3、(2012年复旦大学)设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是A.每个S四边形都是凸四边形B.存在S五边形为凸五边形C.每个S五边形都不是凸五边形D.至少有两个S四边形是凸四边形4、(2011年同济大学等九校联考)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5、(2010年清华大学等五校联考)如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则△OFG与△GHA面积之比为A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26、(2012年清华大学等七校联考)已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF 的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题.7、(2009年华中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,可得一个类似于①的等式:.从而推得一个重要的三角公式:.8、(2009年中国科技大学)如图所示,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.9、(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.(1)求GH;(2)连接FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10、(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11、(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为.12、(2011年北京大学等十三校联考)在△ABC中,a+b≥2c,求证:∠C≤60°.13、(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14、(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图③,选项C正确.4.B【解析】因为AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又PA是☉O的切线,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PG·PF,知PA=.故选B.5.A【解析】观察到△OFG与△GHA相似,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.因为O点为△ABC的外心,OF⊥BC,所以F是BC边的中点,故AF是BC边上的中线,由欧拉定理可知OH和AF的交点G为△ABC的重心,所以FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△HAG,故两三角形面积之比为1∶4.选A.6.B【解析】方法一如图,7.用面积分割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)],中间平行四边形的面积为mnsin[π−(α+β)]=mnsin(α+β),而整个图形的面积为(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),∴2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)]+mnsin(α+β)=(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),整理上式有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.8.过E作BC的平行线,交AD于S.10.11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|<|PR1|.(2)如图2,当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值(否则取A点关于y轴的对称点A',有|A'B|>|AB|).不妨设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q移动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.对于线段PQ上任意一点B,都有|BR2|≥|BA|.于是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下面研究正五边形对角线的长.如图3,12.【解析】论证角的范围往往是通过先论证该角的某个三角函数值的范围后,再结合相应函数的单调性进行的.本题是在三角形中解决问题,并且已知了三角形的三条边之间的关系,因此可考虑利用余弦定理先确定cos C的范围,再根据余弦函数的单调性证得结论.13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,因此可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.如图,不妨设AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD;在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA·BCcos∠ABC,由于AD=BC,AB=BA,∠ABC+∠DAB=π,故两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2×(52+32),解得AC=4,即另一条对角线长为4.14.方法一如图1所示,五边形ABCDE为☉O内接五边形,延长AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连接AC. 因为∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.因为A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠GDE,∠GCA=∠GED,所以∠CAG=∠GCA,故GA=GC,可得AE=CD.连接AD,同理可得AB=CD,从而AE=AB=CD.同样延长BC,ED,BA,DE,可证得BA=BC=DE,所以AB=BC=CD=DE=EA,从而可得五边形ABCDE为正五边形.方法二如图2所示,。

第十五讲 自主招生中的平面几何问题【考点说明】北约和华约的自主招生考试中，高中数学知识占到60%，高中数学内容以外的知识占到40%；其中北约的考试中，每年都会出现一道平面几何问题，华约考试也会考到一道平面几何问题。

【知识引入】相似三角形的判定：①如果两个三角形与同一 个三角形相似，那么这两个三角形相似；②相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；③相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个内角与另一个三角形的两个内角对应相等，那么这两个三角形相似。

两个对应角相等，两个三角形相似。

④相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

⑤相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

三边对应成比例，两个三角形相似。

⑥直角相似三角形判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

【知识拓展】一．三个常用定理：1.梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设ABC ∆的三边BC CA AB 、、或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线（梅氏线）交于X Y Z 、、三点，则=1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅。

►梅涅劳斯（Menelaus ）定理逆定理：设X Y Z 、、分别是ABC ∆的三边BC CA AB 、、或它们的延长线的三点，若有=1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅，则X Y Z 、、三点共线。

ZY XCBA2.赛瓦（Ceva 定理）：设X Y Z 、、分别为ABC ∆的三边BC CA AB 、、或它们的延长线上的三点，则AX BY CZ 、、所在直线交于一点的充要条件是=1AZ BX CYZB XC YA⋅⋅。

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）目录：专题一：不等式 01～11页专题二：复数、平面向量 12～20页专题三：三角函数 21～27页专题四：创新与综合题 28～33页专题五：概率 34～43页专题六：数列与极限 44～55页专题七：解析几何 56～74页专题八：平面几何 75～83页专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一：不等式一、选择题。

1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。

历年自主招生试题分类汇编——解析几何题 5〔 2021 年北约〕点A2,0, B 0,2，假设点 C 是圆x22x y20 上的动点，求ABC面积的最小值。

解：AB 所在的直线方程为x y 2 0 ，圆心 C 1,0，半径为 r1C 到直线AB的距离为3，∴圆 C 上的点到直线AB 的距离的最小值为31，22∴SABC min 12 23132 22评析：此题涉及到直线，圆与三角形的面积等概念，应充分挖掘圆的几何性质，使问题得到简化，以考查学生思维的灵活性。

2. 求过抛物线y 2 x2 2 x 1 和 y5x2 2 x 3 的交点的直线方程.【解】联立两方程, 消去x2,得6x7 y 10 .此方程即为所求.6. 〔 2021 年北约〕C1和C2是平面上两个不重合的固定圆, C 是平面上的一个动圆, C 与C1 ,C2都相切,那么C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由 .【解】设圆心C1, C2的半径分别为r1, r2;(1) 假设r1r2 .①假设两圆相离 , 那么 C 的圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;②假设两圆相切 , 那么 C 的圆心轨迹为线段C1 C2的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线 C1C2,去掉切点 ;③假设两圆相交 , 那么 C 的圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线和以C1 ,C2为焦点,长轴长为r1 r2的椭圆,去掉交点.(2) 假设r1r2①假设两圆外离 , 那么 C 的圆心轨迹为以C1 ,C2为焦点,长轴长为 | r1r2|的双曲线的一支( 小圆圆心在开口内 );②假设两圆外切 , 那么 C 的圆心轨迹为以 C ,C2 为焦点,长轴长为| r r|的双曲线的一支( 小圆112圆心在开口内 ) 和直线C1C2 , 去掉切点 ;③假设两圆相交 , 那么 C 的圆心轨迹为以C1 ,C2为焦点,长轴长为 | r1r2 |的双曲线的一支( 小圆圆心在开口内 ) 和以C1,C2为焦点 , 长轴长为r1r2的椭圆 , 去掉交点 .④假设两圆内切 , 那么 C 的圆心轨迹为以C1 ,C2为焦点,长轴长为 r1r2的椭圆和直线 C1C2, 去掉切点 ;⑤假设两圆内含 , 那么 C 的圆心轨迹为以C1,C2为焦点 , 长轴长为r1r2的椭圆.依据椭圆、双曲线的定义即可证明, 这儿不再赘述 .3．〔 2021 年北约〕AB 为y 1 x2上在y轴两侧的点，求过AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值．〔 25 分〕【解析】不妨设过 A 点的切线交x 轴于点C，过 B 点的切线交 x 轴于点 D ，直线AC与直线 BD 相交于点 E ．如图．设B( x1, y1), A( x2, y2)，且有 y2 1 x22 , y1 1 x12 , x10 x2．由于 y2x ，y于是 AC 的方程为 2 x2 x2y2y ；①BD 的方程为 2 x1x2y1y ．②E联立 AC , BD 的方程，解得 E(y1y2, 1x1 x2 ) ．2( x2x1 )对于①，令 y0 ，得 C (2 y2, 0) ；2 x2对于②，令 y0 ，得 D (2 y1, 0)．2x1于是2y 2 y1x 21x2 CD12 x221 2 ．2x12x12x2S ECD 1CD (1x1x2 ) ．不妨设 x1a0 ，x2 b 0 ，那么2ABCDO xS ECD 1 1 a2 1 b2)(1ab)1(2a2b1 12b2) (a b4a ba ab 41(a b)(2ab 1 )≥ 1 2 ab(2ab 1 )③4ab4ab不妨设ab s 0 ，那么有SECD 1 (s32s1) 1 (s3 1 s.. 1 s1... 1 ) 2s2339s9s6 个9 个≥ 11 s)6 118 (12413816 s39] 16)168) 2 3 ．④239s339又由当 x1 a3b3, s3时，③，④处的等号均可取到．, x2333∴(S ECD )min 8 3 ．9注记：不妨设 g (s)32s 1) ，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．1 ( s由 g (s) 1 (3s 2 2 s 1 时 g (s) 0 ；当 1 s 时 g (s) 0 ．12) 知当 0 s2 2 22s33那么 g(s) 在 (0 ,3 ) 上单调减，在 ( 3 , ) 上单调增．于是当 s3 时 g (s) 取得最小值．3 335. 〔 2021 年华约〕 椭圆 x2y 21与圆 x 2y 2b 2 ,过椭圆上一点M作圆的两切线 ,切a 2b 2点分别为 P,Q ,直线 PQ 与 x, y 轴分别交于点 E , F ,求 S EOF 的最小值 .【解】设 M ( acos ,b sin)( [0,2 )) ,直线 PQ 为点M 关于圆222xyb的切点弦 其方程,为 (a cos ) x(b sin ) yb 2 ,从而 x Eb 2 , y F b ,a cossin1| x E |33于是 S EOF| x F |b |b ,2a |sin 2a当且仅当 M (22a,b) 时 ,上述等号成立 .223. 〔 2021 年华约〕 点 A 在 ykx 上 ,点 B 在 y kx 上 ,其中 k 0 , | OA | | OB | 1 k 2 , 且A 、B 在 y 轴同侧 .(1) 求 AB 中点 M 的轨迹 C ; (2) 曲线 C 与 x 22 py( p 0) 相切 ,求证 : 切点分别在两条定直线上 ,并求切线方程 .【解】 (1)设 A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ) , M ( x, y) ,那么y 1kx 1 , y 2 kx 2 , xx 1x2, yy 1 y 2 k (x 1x 2 ),222由 |OA | | OB | k 21 得 , x 1 x2 1 ,显然 ( x 1 x 2 ) 2 ( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 4 ,于是得 x 2y 2 1(k0) ,于是 AB 中点 M 的轨迹 C 是焦点为 (k 2 1,0) ,k 2实轴长为 2 的双曲线 .(2) 将 x 22 py( p 0) 与 x 2y 21(k 0) 联立得 y 22pk 2 y k 20 ,k 2由曲线 C 与抛物线相切, 4 p k4k0 ,即 pk1,故2 42所以方程可化为 y2 2ky k20 ,y k ,代入曲线 C 得即切点的纵从标均为横坐标为 2 即求 .因此切点分别在定直线 x2, x2 上 ,两切点为 D(2, k), E(2, k) ,又因为 y x,于是p在 D ( 2, k) 处的切线方程为y k2( x2) ,即 y2 x 1 ;pp p同理在 E(2, k) 处的切线方程为 y2 x1 .pp〔6〕〔 2021 年华约〕 椭圆长轴长为 4，左顶点在圆 ( x4)2y 124 上，左准线为 y 轴，那么此椭圆离心率的取值范围是〔 〕(A)1 , 1 (B)1 , 1 (C)1 , 1 (D)1 , 38 44 28 22 4解 ： 设 左 顶 点 为x 4 2cos t , t0,2， 那么 对 称 中 心为6 2cost ,1 2sin t ， 令y 1 2sin tu x 6 2cos t坐 标 系 中 ， 其 左 准 线 为 u 6 2cos t ， 因 此v y 1, 那么 在 uv2sin ta 2 4 6 2 ct o es c111cc a 3 c to s.选 ,B.4 2〔 12 〕〔 2021 年华约〕 两点A 2,0 , B2,0 ，动点 P 在 y 轴上的射影是H ，且PA PB22 PH① 求动点 P 的轨迹 C 的方程② 过点 B 的直线交曲线C 于 x 轴下方不同的两点 M , N ，设 MN 的中点为 R ，过 R 于点 Q 0,2 作直线 RQ ，求直线 RQ 斜率的取值范围。

高二“自主招生竞赛及高考讲义七（平面几何）平面几何焦点话题1.三角形中的巧合点2.Simon线及垂足三角形3.调和点列与配极4.圆幂与根轴例题和习题1．已知ABCD是圆内接四边形，IA、IB、IC、ID分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC的内心。

求证：IAIBICID是矩形。

（Fuhrmann定理）ADICIBIDIABC2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是的高，H是垂心，过H作AB 的平行线交AC于D，AH延长交外接圆于G点。

求证：DF⊥FG。

ADFHBGEC3．已知△ABC中，AB=AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。

求证：ID∥AC。

ADOIBC4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。

求证：AB＋CD＝BC。

DA5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC。

O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。

求证：OI⊥BC。

AOEFBOCIBC6.已知：△ABC≌△ADE，延长底边BC，ED交于P点，O是△PCD的外心。

求证：AO⊥BE。

ABECDOP7．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。

求证：SI ＝IT。

AFETIBSC8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。

求证：A、O、O1、O2四点共圆。

（Salmon定理）AO1OO2BDC9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。

求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。

ADEO1O2BC10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。

求证：△O1O2O3∽△ABC。

AO1EO2BDO3CF11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。

历年自主招生试题分类汇编——平面几何4．（ 2013 年北约）如图，△ ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， DM 、DN 分别为∠ ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋ CN 与 MN 的大小关系，并说明理由．AMNC D C解析延长 ND 至 E，使 ND ＝ ED，连结 BE、 ME ，则△ BED ≌△ CND ，△ MED ≌ △ MND ，ME＝ MN ，由BM ＋BE ＞EM，得 BM＋CN＞ MN ．AMNC D CE题 4（ 2012 年北约）如果锐角ABC 的外接圆圆心为O ，求 O 到三角形三边的距离之比。

解：如图，过 O 分别作 BC ,CA, AB 的垂线，垂足为 D , E , F , 设OD d1, OE d2,OF d3，OA OB OC RABOC 2 A ，∴ BOD A ，d1Rcos A由平几知识得EF同理： d2 R cosB ， d3RcosC CO∴ d1 : d2 : d3cos A:cos B :cos CD A即O 到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。

评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。

题 8（ 2012 年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。

A AB E B EC D H C D G解：如图，五边形ABCDE 为O 内接五边形，延长 AE , CD , DC , AB 有两交点 G, H ，连接 AC ，∵AED EDC ,∴GED GDE∴ GE GD∵ A, C , D , E在O 上∴CAG GDE , GCA GED∴CAG GCA∴ GA GC∴ AE CD连结 AD ，同理可得AB CD ，从而 AE AB CD ，同样，延长BC , ED , BA, DE , 可证得：BA BC DE∴ AB BC CD DE EA ，从而可知五边形ABCDE 为正五边形。

1.( 2013年卓越联盟第10题)设椭圆^2 -1(a 2)的离心率为 —3，斜率为k 的直a 4 3线丨过点E (0,1)且与椭圆交予C, D 两点 (1) 求椭圆方程； (II) 若直线l 与x 轴相交于点(III) 设A 为椭圆的下顶点， 恒有 k AC k AD = -2 • 2 2 4 解答: ( 1)[ = * 24 a (2) 本问直接处理GC G ，且GC 二DE ，求k 的值； k Ac , k AD 分别为直线AC, AD 的斜率，证明对任意的k ，_ 1 _ 3 =DE 运算量大，用 ,a 2 = 6，椭圆方程 2 X 62 4 =1 ；4 CD,GE 的中点重合简单• y = kx+1 22 2 2 ,(2 3k 2)x 2 6kx-9 =0，2x 2 3y 2 —12 =0_3k ' CD 中点 x 0 2 ; kx 1 = 0， GE 中点 x 0 2 +3k 2(3)设 C X 1,y 1 ,D X 2, y ? , A 0,-2 , 2kx 1 3 kx 2 3 k x 1x 2 3k(x 「x 2) 9 -------- ---------- -- ------------------------------- =-2 得证. ，由中点重合得“一守； I AC IAD =2 2 X 1 x 2 X i X 2 X 1X 22. ( 2013年华约第3 题)3已知k 0 ,从直线y = kx 和y = - kx 上分别选取点 A(x A , y A ), B(x B , y B )，x A x B >0，满足 0州0B| = 1 +k 2，其中 O 为坐标原点, AB 中点M的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程; (2)抛物线x 2=2py(p 0)与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程• 解答：(i )设 A^a j x^ (<,2ix-C (xy) ，则有OA|OB| =(1卄2“瘁2.①又 ^2(x 1 X 2), y =2(X 1 -X 2)，反解得到 X 1 二x*.代入①式整理得2 C的轨迹方程：宀："② (2)联立②式和抛物线方程 x 2 =2py 得到 -2pk 2y k 2于相切，故厶=4p 2k 4 -4k 2 =0 ， 所以 p 2k 2 二 1 ，代入③式可得2-2ky k =0,y =k .再代入抛物线方程就可得到x 二 2，即这两点过x 二 2这两 条定直线，故切点坐标为.2, k)，切线斜率为2，故切线方程为y - k =二2(X - 2)p p2. 2x i(x .2)，化简可得y … .PP P2 2X y 2223. (2014年华约第五题)从椭圆r 2 =1 a ■ b ■ 0上的动点 M 作圆x y 二b 的两 a b条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为 E 和F ，求L EOF 面积的最 小值•解法 1：设 M X o ,y o ,P X i , y i ,Q x ?,y 2，由题设知 X o = O,y o=O .直线 MP 和 MQ的方程分别为x 1x - y 1y =b 2,x 2x y 2y = b 2 •因为M 在直线MP 和MQ 上，所以2 2NX 。

重点高中自招必备九年级专题24平面几何的定值问题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重点高中自招必备九年级专题24平面几何的定值问题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题24 平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变)。

几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的,在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值。

解答定值问题的一般步骤是：1。

探求定值；2。

给出证明.【例题与求解】【例1】如图,已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧错误!上任意一点.求证：PA PCPB为定值.解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质,证明三角形全等.PAB CD【例2】如图,AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A,B两点）上移动时，点P （）A.到CD的距离保持不变B.位置不变C。

等分错误!D。

随C点的移动而移动（济南市中考试题)解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论。

AP【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点,P是S对AB 作垂线的垂足。

智才艺州攀枝花市创界学校2021年普通高等招生全国统一考试数学知识汇编平面简单几何体1．〔2021年卷〕正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于〔D 〕〔A〕〔B〔C〔D2．〔2021年卷〕对于平面α和一共面的直线m 、,n 〔C 〕 〔A 〕假设,,m m n α⊥⊥那么n α∥〔B 〕假设m αα∥,n ∥,那么m ∥n〔C 〕假设,m n αα⊂∥,那么m ∥n 〔D 〕假设m 、n 与α所成的角相等，那么m ∥n3．〔2021年卷〕外表积为A．3B ．13πC ．23πD．3解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8=知，1a =，那么此球的，应选A 。

4．〔2021年卷〕多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的间隔分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，那么P 到平面α的间隔可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________。

〔写出所有正确结论的编号．．〕 解：如图，B 、D 、A 1到平面α的间隔分别为1、2、4，那么D 、A 1的中点到平面α的间隔为3，所以D 1到平面α的间隔为6；B 、A 1的中点到平面α的间隔为52，所以B 1到平面α的间隔为5；那么D 、B 的中点到平ABCDA 1B 1C 1D 1第16题图α面α的间隔为32，所以C 到平面α的间隔为3；C 、A 1的中点到平面α的间隔为72，所以C 1到平面α的间隔为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。

①假设一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③假设两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④假设一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. A.4B.3 C5、①②④正确，应选B.6．〔2021年卷〕假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为6、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 7．〔〕平面α外不一共线的三点,,A B B 到α的间隔都相等，那么正确的结论是〔D 〕〔A 〕平面ABC 必不垂直于α 〔B 〕平面ABC 必平行于α〔C 〕平面ABC 必与α相交〔D 〕存在ABC ∆的一条中位线平行于α或者在α内8．〔〕程度桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切〔球心的连线构成正方形〕。

自主招生数学习题选遍 平面图形1、已知,,a b c 是ABC ∆的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC ∆是_______________的三角形.提示：log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，112log log b c c b a a +-+=，log ()log ()2a a b c c b ∴++-=，222c b a ∴-=。

答案：直角三角形2、,,a b c 是ABC ∆的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。

提示：令4,5,6b c k a c k a b k +=+=+=，152ka b c ∴++=，753,,222k k k a b c ∴===，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ∴==。

答案：7:5:33、设a , b , c 表示三角形三边长，均为整数，且a b c ≤≤，若b = n （正整数），则可组成这样的三角形 个．提示：(1)122n n n ++++=4、在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为,,,90αβγαβγ++=︒且，则塔高为______________．解：约定,,αβγ都是锐角，则90αβγ=--，cot tan()αβγ=+，A C DB O设塔高x ，则有3001002001100200x x x x x +=-⋅，解得x=100 答案：100m5、在平面直角坐标系中，三角形△ABC 的顶点坐标分别为A (3,4),B (6,0),C (-5,-2),则∠A 的平分线所在直线的方程为（ ）A ．7x -y -17=0B ．2x +y +3=0C ．5x +y -6=0D ．x -6y =0 提示：只有7x-y-17=0经过A(3,4)。