苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(2)教学案

三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；（2）观察y=sin x，x∈［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函π数以及复合函数的图象的画法【教学重点难点】【教学重点】：五点法【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法【学前准备】：多媒体，预习例题电脑2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：（1）sin x ≥；（2）cos x ≤．解：（1）作出正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ （2）作出余弦函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ21211.4.2正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间.2.体会数形结合思想及整体换元思想【教学重难点】通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质.整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法【学前准备】：多媒体，预习例题1、师生共同研究得出正弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[- ③单调性：递增区间为Z k k k ∈++-],22,22[ππππ，函数值从-1增至1；递减区间为Z k k k ∈++],223,22[ππππ，函数值从1减至-1. ④最值：当Z k k x ∈+=,22ππ时，1max =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y .⑤奇偶性：奇函数，x x sin )sin(-=- ⑥对称性：对称轴为Z k k x ∈+=,2ππ；对称中心为Z k k ∈),0,(π.2、小组合作探究得出余弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[-③单调性：递增区间为Z k k k ∈+-],2,2[πππ，函数值从-1增至1；正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。

1．3．2三角函数的图象和性质(一)课型:新授课课时计划:本课题共安排一课时 教学目标:1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法，并会用此方法画出[]0,2π上的正弦曲线、余弦曲线教学重点：正、余弦函数的图象的画法 教学难点：借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象教学过程： 一、 创设情境，引入新课为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象，那么该怎样作出正、余弦函数的图象？二、 新课讲解1、正弦函数图象的画法先画正弦函数的图象。

由于sin y x =是以2π为周期的周期函数，故只要画出在[]0,2π上的图象，然后有周期性就可以得到整个图象。

（1）几何法：利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象 （注：如何作出函数sin y x =图象上的一个点，如点()00,sin x x ？不妨设00x >，如图所示，在单位圆中设弧AP 的长为0x ，则0sin MP x =。

所以点()00,sin S x x 是以弧AP 的长为横坐标，正弦线MP 的数量为纵坐标的点。

） 作法步骤：将单位圆十二等份，相应地把x 轴上从0到2π这一段分成12等份。

把角x 的正弦线向右平移使它的起点与x 轴上表示x 的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =在[]0,2π区间上的图象。

最后只要将函数sin y x =， []0,2x π∈的图象向左、右平移（每次2π个单位），就可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。

（2）五点法：在函数sin y x =[]0,2x π∈的图象上，有5个关键点：()()()30,0,,1,,0,,1,2,022ππππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意正弦曲线的走向，将这五点用光滑的曲线连接起来，可得函数的简图。

2、余弦函数图象的画法（1）几何画法：利用余弦线来作出余弦函数的图象（2）由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到 由cos sin()2y x x π==+ 可知将sin y x =的图象向左平移2π个单位几得到cos y x =的图象。

1.3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．[知识链接]由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[预习导引]函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 [－A ，A ]周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：X ＝13x －π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________． 答案 φ＝k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.答案π4 π4解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，，∴φ＝π4.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象说法正确的有________．①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；②关于直线x ＝π4对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ④关于直线x ＝π12对称．答案 ①④4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期上的图象．解 (1)列表：12x －π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π43－3描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T ＝________，φ＝________. 答案 6π6解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．函数图象的一部分如下图所示，则符合题意的解析式是__________________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3；④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 ④解析 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证只有④符合．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.答案 4解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图象可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．答案 ①②③解析 当a ＝0时f (x )＝1，③符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，①符合， 当|a |>1时T <2π，②符合．5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x－π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝________.答案 －1解析 方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0. ∴a ＝－1.方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即a ＝－1.9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，解得T ＝π. 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3. 10．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 由|φ|<π2，得φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.。

三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈Ry ＝cos x ，x ∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ，x ∈R①当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.(3)周期性由⎩⎨⎧=+=+x k x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z ) 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从y ＝sin x ，x ∈［－π2 ，3π2］的图象上可看出： 当x ∈［－π2 ，π2］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［π2 ＋2k π，3π2＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R .解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值的Z的集合是｛Z ｜Z ＝π2＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝π2 ＋2k π，得x ＝π4＋k π 即：使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝π4＋k π，k ∈Z ｝. 函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y ＝1＋1sin x(2)y ＝cos x 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠3π2＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－π2 ＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )［例3］求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2) 解：①设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u 当2k π－π≤u ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大又∵u ＝2x ＋π6随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6 )当2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z ) 即k π－7π12 ≤x ≤k π－π12时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为： ［k π－7π12 π，k π－π12］(k ∈Z ) ②设u ＝π3 －x 2，则y ＝3sin u 当2k π＋π2 ≤u ≤2k π＋3π2时，y ＝3sin u 随x 增大在减小， 又∵u ＝π3 －x 2随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )当2k π＋π2 ≤π3 －x 2 ≤2k π＋3π2即－4k π－7π3 ≤x ≤－4k π－π3时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )的单调递增区间为 ［4k π－7π3 ，4k π－π3］(k ∈Z ) Ⅲ.课堂练习课本P 33 1～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.Ⅴ.课后作业课本P 46 习题 2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋π4)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin 2x －cos 2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是_____.分析:①y ＝sin x 是周期函数，自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝π3 ，x 2＝π6＋2π，此时x 1＜x 2 而sin π3 ＞sin(π6＋2π) ∴①错误；②当α为锐角时，π4 ＜α＋π4 ＜π2 ＋π4由图象可知22＜sin(α＋π4)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lg(sin x －32) (2)y ＝22cos3x －1 分析：根据函数有意义列不等式，求x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sin x －32)有意义，必须且只须sin x ＞32， 解之得：2k π＋π3 ＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z 又∵0＜sin x －32≤1－32 ∴lg(sin x －32)≤lg(1－32) ∴定义域为(2k π＋π3 ，2k π＋2π3)，(k ∈Z ) 值域为(－∞，lg(1－32)］. (2)要使22cos3x －1 有意义，必须且只须2cos3x －1≥0，即cos3x ≥12， 解之得2k π－π3 ≤3x ≤2k π＋π3即 2k π3 －π9 ≤x ≤2k π3 ＋π9，k ∈Z . 又0≤2cos3x －1≤1故0≤22cos3x －1 ≤2∴定义域为［2k π3 －π9 ，2k π3 ＋π9］，k ∈Z 值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)cos 32 ，sin 110 ，－cos 74(3)sin(sin 3π8 )，sin(3π8). 分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y ＝sin x 在［0°，90°］上是递增函数，∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°∴sin195°＞cos170°.(2)∵sin 110 ＝cos(π2 －110) －cos 74 ＝cos(π－74) 又∵π2 －110 ＝1.47＜1.5＝32π－74 ＝1.39＜1.4＜π2 －110 ＜32而y ＝cos x 在［0，π］上是减函数，由π－74 ＜π2 －110 ＜32＜π 得cos 32 ＜cos(π2 －110 )＜cos(π－74) 即cos 32 ＜sin 110 ＜－cos 74. (3)∵cos 3π8 ＝sin π8∴0＜cos 3π8 ＜sin 3π8＜1 而y ＝sin x 在［0，1］内递增∴sin(cos 3π8 )＜sin(sin 3π8 ).。

第十四课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）【教学目标】 一、知识与技能：(1) 会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； (2) 会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； (3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。

二、过程与方法在研究函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。

三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。

教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。

【教学过程】 一．复习回顾1．x A y sin =型函数的图象-----振幅变换: 2．x y ωsin =型函数的图象-----周期变换 3．)sin(ϕ+=x y 型函数的图象-----相位变换 二．新课讲解问题： 函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？引例 画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 的简图 解：(五点法)由T ＝22π，得T ＝π 列表：描点画图：这种曲线也可由图象变换得到： 方法一：即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3π)y ＝sin(2x ＋3πy ＝3sin(2x ＋3π)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A 倍(横坐标不变)问题：以上步骤能否变换次序？方法二：____移 个单位纵坐标不变 横坐标变为 倍横坐标不变另外，注意一些物理量的概念:A ：称为振幅；T ＝ωπ2：称为周期；f ＝T1：称为频率； ωx ＋ϕ：称为相位x ＝0时的相位ϕ称为初相三、例题分析：例1、已知函数sin(A y =ωx )ϕ+（πϕω2,0,0<<>>A ）的图象一个最高点为A （2，3），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6， 0），求此函数的解析式。

教学设计1.3.2三角函数的图象与性质整体设计教学分析研究函数的性质常常以直观图象为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．三维目标1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识，了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中，使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过学习本节，理解正弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系，加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．3．组织学生通过观察这三种函数的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．重点难点教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．教学难点：1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时y＝sinx的图象．思路2.(情境导入)指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．推进新课新知探究教师先让学生阅读教材、思考讨论．为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x 轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象，就很容易得到y ＝sinx ，x ∈R 时的图象了．第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等份，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等分．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线，就可以得到对应于0、π6、π3、π2、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，这就得到了函数对(x ，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来，我们就得到函数y ＝sinx 在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．图1因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sinx 在x ∈[2kπ，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0上的图象与函数y ＝sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)．图2教师引导学生观察诱导公式，思考探究正弦函数、余弦函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．把正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象，如图3.图3正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象和余弦函数y ＝cosx ，x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y ＝sinx 在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．应用示例例1课本本节例1. 变式训练1．画出下列函数的简图：(1)y ＝1＋sinx ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝－cosx ，x ∈[0,2π]． 解：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图4).图4(2)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图5)．图5点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．2.在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象． 解：列表取点如下：描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象如图7.图6 图7例2画出函数y ＝|sinx|，x ∈R 的简图．活动：教师引导学生观察探究y ＝sinx 的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x 轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y ＝|sinx|，x ∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y ＝|sinx|，x ∈R 的图象．让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以纠正．解：按三个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图8)．图8点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系.变式训练1．方程sinx＝x10的根的个数为()A．7B．8C．9D．10解：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生，考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y ＝x10的图象与y ＝sinx 的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点.图9答案：A2．用“五点法”作函数y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3答案：B知能训练课本本节练习2、3.课堂小结以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？ 2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业课本习题1.3 2.设计感想1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．备课资料备用习题1．用“五点法”画出下列函数的图象：(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝12＋sinx，x∈[0,2π]．2．方程2x＝cosx的解的个数为()A．0 B．1C．2 D．无穷多个3．图10中的曲线对应的函数解析式是()图10A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|4．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12.参考答案：1.解：按五个关键点列表如下：在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示．(1)如图11.图11(2)如图12.图122．D 3.C4．解：如图13.图13解集为{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}或{x|2kπ＋7π6≤x≤2kπ＋5π3，k∈Z}．二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过：“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《江花月夜》中，更有“江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sin π6t，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图14)．图14由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究由正弦函数、余弦函数图象归纳它们的性质，并利用正、余弦函数的性质解决一些简单的问题．在研究正弦、余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕；很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明：∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y＝sinx，x∈R：(1)当且仅当x ＝π2＋2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝－π2＋2kπ，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cosx ，x ∈R ：(1)当且仅当x ＝2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.关于正、余弦函数的变化趋势教师可引导、点拨学生先截取一段图象来看，选哪一段呢？如图1，通过学生充分讨论后确定：选图象上的[－π2，3π2]这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sinx ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx 的值由1减小到－1.类似地，同样可得y ＝cosx ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图3，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图3并引导学生列出下表：结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2kπ](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.关于对称性，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ， ∴y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称，等等，这是由它的周期性而来的；教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习打下伏笔．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．由此可看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响？最后教师与学生一起归纳总结并填写如下表格(或打出幻灯)：应用示例思路1例1课本本节例2.变式训练下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝－3sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为在同一个单调区间，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sinx 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)．(2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cosx ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小可判．例3见课本本节例3.思路2例1求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋sinx；(2)y ＝cosx.活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当地指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sinx ≠0，得sinx ≠－1， 即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )．∴原函数的定义域为{x|x ≠3π2＋2kπ，k ∈Z }． (2)由cosx ≥0，得－π2＋2kπ≤x ≤π2＋2kπ(k ∈Z )．∴原函数的定义域为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z )．点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( )A ．[π2，π]B ．[0，π4]C ．[－π，0]D ．[π4，π2]活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x)]，φ(x)＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x)＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间． 也可从转化与化归思想的角度考虑， 即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的．解：∵φ(x)＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sinx 在[2kπ－π2，2kπ＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2kπ－π2≤x ＋π4≤2kπ＋π2.∴2kπ－3π4≤x ≤2kπ＋π4.∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2kπ－3π4，2kπ＋π4]．取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，－7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]，对照选择肢，可知应选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是： (1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f(t)，t ＝φ(x)； (3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性；(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围； (5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间． 结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.知能训练课本练习1、4、5、6、7.课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比的思想方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝－1＋sinx ＋cos 2x1－sinx .解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称． ∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx ，f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx ＝f(x)， ∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sinx ≠0，∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2kπ＋π2，k ∈Z }．∵函数的定义域关于原点不对称， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x)的单调减区间是( )A ．[2kπ－π12，2kπ＋5π12](k ∈Z )B ．[4kπ－5π3，4kπ＋11π3](k ∈Z )C ．[kπ－5π12，kπ＋11π12](k ∈Z )D ．[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( )A ．{x|2kπ＋5π12≤x ≤2kπ＋13π12，k ∈Z } B ．{x|2kπ－π12≤x ≤2kπ＋7π12，k ∈Z }C ．{x|2kπ＋π6≤x ≤2kπ＋5π6，k ∈Z }D ．{x|2kπ≤x ≤2kπ＋π6，k ∈Z }∪{x|2kπ＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z }3．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝lgsinx ；(2)y ＝2cos3x.4．已知函数y ＝f(x)的定义域是[0，14]，求下列函数的定义域：(1)f(cos 2x)；(2)f(sin 2x －12)．5．已知函数f(x)＝12log |sinx －cosx|.(1)求出它的定义域和值域； (2)指出它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)求出它的周期．6．求函数y ＝sin 2x ＋psinx ＋q(p 、q ∈R )的最值．7．若cos 2θ＋2msinθ－2m －2<0恒成立，试求实数m 的取值范围．8．求函数y ＝lgsin(π4－x2)的单调增区间，以下甲、乙、丙有三种解法，请给予评判．同学甲：令t ＝sin(π4－x2)，则y ＝lgt.∵y ＝lgt 是增函数，∴原函数的单调增区间就是t ＝sin(π4－x2)的增区间．又sinμ的增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z )，∴－π2＋2kπ≤π4－x 2≤π2＋2kπ(k ∈Z )，解得4kπ－π2≤x ≤4kπ＋3π2(k ∈Z )．∴原函数的增区间为[4kπ－π2，4kπ＋3π2](k ∈Z )．同学乙：令t ＝sin(π4－x2)，则y ＝lgt.∵y ＝lgt 是增函数，∴原函数的单调增区间就是t 的增区间． ∵t ＝sin(π4－x 2)＝cos(π4＋x 2)，∴只需求出cos(π4＋x2)的增区间，由于cosμ的增区间为[2kπ－π，2kπ](k ∈Z )，∴2kπ－π≤π4＋x 2≤2kπ 4kπ－5π2≤x ≤4kπ－π2(k ∈Z )．∴原函数的增区间为[4kπ－5π2，4kπ－π2](k ∈Z )． 同学丙：令t ＝sin(π4－x2)，则y ＝lgt.∵y ＝lgt 是增函数，∴原函数的单调增区间是使t>0且t 为增函数的x 的范围． ∵t ＝sin(π4－x 2)＝cos(π4＋x2)，∴只需求出使t ＝cos(π4＋x2)>0且t 为增函数的x 的区间，于是有2kπ－π2<π4＋x 2≤2kπ4kπ－3π2<x ≤4kπ－π2(k ∈Z )，∴原函数的增区间为(4kπ－3π2，4kπ－π2](k ∈Z )． 参考答案：1.D 2.A3．解：(1)由题意得sinx>0，∴2kπ<x<(2k ＋1)π，k ∈Z . 又∵0<sinx ≤1，∴lgsinx ≤0.故函数的定义域为[2kπ，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]． (2)由题意得cos3x ≥0，。

1．3．2三角函数的图象与性质(2)【教学目标】1．能借助正弦函数，余弦函数的图象，解决复合函数的相关问题2．由正弦函数，余弦函数的值域解决复合函数的值域的相关问题．【重点与难点】〔1〕换元思想，整体思想；〔2〕复合函数的定义域，值域和单调性问题．【预学单】1．复习正余弦函数的图象与性质函数名称图象定义域值域周期性性增区间质单调性减区间对称轴对称性对称中心y sinx y cosx2．函数y sinx〔x 5.〕的最小值为363．在0,2内，函数ysinx与ycosx都递减的区间是.4．cos1，cos2，cos3的大小关系是.【研学单】例1．不求值，分别比较以下各组中两个三角函数值的大小：(1)sin( )与sin( )；(2)cos(4)与cos(5)；(3)sin( )与cos( )7 5 7 8 5 5例2.求以下函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合，并研究函数对应的性质x(2)y2sin2x；(3)y2sin(2x).(1)ycos；33例3．求以下函数的值域：〔1〕ycosx(x,3)；〔2〕ysin(2x)(x4,3)；4464〔3〕ycos2xsinx1(x,3)；〔4〕ycosx3 44cosx3【续学单】1 .求以下函数的最小值及取得最小值是自变量x的集合：〔1〕y 2sinx；〔2〕y2cos x32 .函数y sinx〔x2.〕的值域是633 .求以下函数的单调增区间：〔1〕ysin x〔2〕y3cos(x).44.假设函数yabcos3x的最大值为3，最小值为1，求函数f(x)3absin x的最值.222。

第 16 课时本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转)(2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α==3.任意角的三角函数注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为0~90角的三角函数。

2、主要用途：已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； 化简同角三角函数式； 三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z)x ≠k π(k ∈Z) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性 奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性在区间[2k π－2π,2k在区间[2k π－2k π]上都是增函数 在区间[2k π，2k π+在每一个开区间在每一个开区间（k π,k π+π）基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练 1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于 .（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . （3）sin (176-π)的值为 .2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化.例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--； （2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练 2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为 . （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-； （ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-.3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合.例 5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为 . （2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为 .练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值范围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为 .练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为 ，其中在－2π～2π间的角有 .（2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角?5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m的值是 . 练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到 .6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体. 例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+. （i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 .（2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为 . （3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为 .（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y=2所围成的封闭图形的面积为 .（5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心. 7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据：t （时） 03 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 . （3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t(时)3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。

第十一课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2）【教学目标】一、知识与技能：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

3．理解三角函数的有关性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等二、过程与方法通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。

三、情感态度价值观：通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解 动与静的辨证关系教学重点难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域和值域的求法【教学过程】一．新课讲解：函数性质：1．定义域2因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即－1≤sinx ≤1，－1≤cosx ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最小值－13．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π4．奇偶性由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx可知：y ＝sinx 为奇函数 y ＝cosx 为偶函数∴正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对称5．单调性从y ＝sinx ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐 ，sinx 的值由_____增大到_____. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐 ，sinx 的值由____减小到_____ 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－16．对称性y ＝sin x ，x ∈R对称中心坐标_____________________对称轴方程_______________________y ＝cos x ，x ∈R对称中心坐标_____________________对称轴方程_______________________二、例题分析:例1、求下列函数最值并求取得最值时的x 取值集合（1） y=sin(3x+4π)-1 （2）y=sin 2x-4sinx+5 （3） y=xx cos 3cos 3+-（4）4tan cos y x x =⋅； （5）264sin cos y x x =--；例2、求下列函数的定义域和值域并判断函数的奇偶性：（1）21sin 1y x =+； （2）2sin 1sin x y x+=+（3）y asinx b =+（其中,a b 为常数且0,≠b a ） （4）y=)cos(sin x例3、指出下列函数的周期、单调区间和对称轴以及取得最值时的x 的取值集合：（1）y=1+sinx ，x ∈R （2）y=-cosx ，x ∈R（3）y ＝sin(x ＋4π) x ∈R （4） y=sin （3π-2x ），x ∈R （5)y ＝3cos(3π－x ) x ∈R课堂小结：掌握三角函数的有关性质并能熟练应用。

第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用（2）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式 二、例题分析： 例1、（教材P46的11）点评：本题和例2类似分析，合理建系找关系，从而得出三角函数解析式解决问题。

例2、 (教材P44例3)点评：本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象确定sin()y A x k ωϕ=++的解析式即可。

三、课堂小结：通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样 的好的解决办法?四、课后思考：1、下表是某城市1973－2002年月平均气温（华氏 °F ）若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）A ．26cos6y x π= B ．(1)26cos466x y π-=+C ．(1)26cos466x y π-=-+ D ．26sin266y x π=+2、某港口水的深度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作y=f （t ），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f （t ）的曲线可以近似地看成函数y Asin(t )k =ω+ϕ+的图象. （1）试根据以上数据，画出函数y f (t)=的草图，并求其近似表达式； （2）试说明y f (t)=的图象可由y sin t =的图象经过怎样的变换得到；（3）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）369121518212410。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(46)必修4_01 三角函数的图象和性质（二）班级 姓名目标要求1．掌握正弦、余弦函数的图象与性质．2．能应用正弦、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题．重点难点重点：三角函数的奇偶性、单调性、对称性 难点：三角函数图象性质的综合应用教学过程一、 问题情境前一课时我们学习了正弦函数、余弦函数图象的画法,请同学们画出它们的图象.你能根据图象总结出正弦函数、余弦函数的性质吗? 二、 数学建构 三角函数 x y sin =x y cos =图象定义域值域 最值周期性 单调性奇偶性 对称性三、典例剖析例1、 ⑴函数 2sin 3y x x =-的奇偶性是 ；22cos sin y x x =-+的奇偶性是 ；sin()y x x π=+的奇偶性是 ．⑵ 函数1sin(2)3y x π=+的对称中心坐标是 ；对称轴方程是 ．例2、求下列函数的单调增区间： (1)cos3y x = （2）3sin(2)4y x π=-例3、判断下列函数的奇偶性:（1）x x x f cos |sin |)(+= (2))2343sin()(π+=x x f例4、 函数2(sin )1y x a =-+在sin 1x =时取得最大值，在sin x a =时取得最小值，求a 的取值范围．四、 课堂小结1. 函数图象是研究函数性质的基础,三角函数亦是如此,要养成以图识性、以图记性的好习惯.2. 以正弦函数、余弦函数的性质为基础可以研究较复杂的三角函数的性质,因而要熟练掌握正弦函数、余弦函数的性质.江苏省泰兴中学高一数学作业(46)班级 姓名 得分1、不求值，比较大小： （1）)16sin(π-____)5sin(π-； （2）)533cos(π-____)313cos(π- 2、函数11cos()223y x π=-的对称中心的坐标是____________,对称轴是__________．3、函数)32sin(π+-=x y 的单调减区间是_____________________．4、已知函数3sin )(-+=x b ax x f ，若6)5(=f ，求)5(-f 的值是 ．5、下列函数在[,]2ππ上是增函数的是____________(填上所有满足条件的序号)①sin y x = ② cos y x = ③sin 2y x = ④cos2y x =6、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π＝ ．7、给出三个条件：①在区间(0,]2π上是递增函数；②最小正周期是π；③是偶函数.同时满足以上3个条件的函数是 _____________(填上所有满足条件的序号) ①sin y x = ②cos 2x y -= ③sin y x = ④sin y x =8、方程x x sin =解的个数为_________ __；方程x x sin lg =解的个数为_________9、求函数2()cos cos()1f x x x π=--+的值域．10、函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f ,y =f (x )图象的一条对称轴方程是8π=x .求ϕ．11、已知函数sin(2)3()2x y f x π+==.(1)函数()f x 是否为周期函数?若是,求出最小正周期;若不是,说明理由； (2)求函数()y f x =的单调递增区间； (3)若()2f x ≥,求x 的取值范围．。

课题：三角函数的图象和性质4．图象的对称性函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x k(其中ωx k＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．二、经典例题讲解图象如图所示，则ϕ的值为8.已知函数()sin 23cos2f x a x x=-的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为9. 函数()sin 3cos f x x x =+，[]0πx ∈，的单调减区间为 ▲10.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值 11.函数()2sin()f x ωx φ=+（其中0ω>,||<2πφ），若函数()f x 的图象与x 轴的任意 两个相邻交点间的距离为2π且过点(0,1)， （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间； （3）求()f x 在(,0)2π-的值域．12.已知函数2()3cos 3sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.(1) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2) 设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且3A =，4b c +=,求ABC ∆的面积.()2π3cos sin()3cos 1()34f x x x x x =+-+-∈R ()f x ()f x ππ[,]44-x。

1.3.2 三角函数的图像与性质（2）一、课题：正、余弦函数的定义域、值域二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。

四、教学过程： （一）复习：1．三角函数的定义。

（二）新课讲解：1（1）sin 2y x =； （2）cos()3y x π=+； （3）y =；（4）1sin 1y x =+； （5）lg sin y x =．解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈； （2）3x R π+∈， ∴x R ∈；（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2x k k Z ππ≠-∈；（5）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩ ∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--U ．2．正、余弦函数的值域例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈．解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值的z 的集合是{|2,}2z z k k Z ππ=+∈，由222x z k ππ==+，得4x k ππ=+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4x x k k Z ππ=+∈，函数的最大值是1．说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -．例3：求下列函数的值域： （1）21sin 1y x =+； （2）sin sin 2xy x =+． 解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴112y ≤≤ 所以，值域为1{|1}2y y ≤≤． （2）2sin 1y x y =-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111yy -≤≤-， 解得113y -≤≤， 所以，值域为1{|1}3y y -≤≤．五、练习：六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。