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那些违反常识的数学定理，都无法被反驳，奠定了人类的真理世界！数学是严谨的，但并不意味着，数学的所有定理都符合我们常识，我们就来盘点数学中那些违反常识的真理。
一：费马大定理我们知道勾股数有无限个，勾三股四弦五，就是最简单的勾股数。
由此我们猜想：当次数n大于2时会怎么样？费马大定理指出：这样的形式，当指数n大于2时，不存在整数解。
这简直就是反直觉啊，凭什么n=2时有无数个，大于2却一个都没有！事实是这样的，该定理历经358年才被证明。
利用费马大定理，可以得到一些有趣的证明，比如证明3次根号2为无理数：这个证明简直就是大炮打蚊子，但却很美妙。
二：分球定理数学中，有一条极其基本的公理，叫做选择公理，许多数学内容都要基于这条定理才得以成立。
在1924年，数学家斯特·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基根据选择公理，得到一个奇怪的推论——分球定理。
该定理指出，一个三维实心球分成有限份，然后可以根据旋转和平移，组成和原来完全相同的两个实心球。
没错，每一个和原来的一模一样。
分球定理太违反直觉，但它就是选择公理的严格推论，而且不容置疑的，除非你抛弃选择公理，但数学家会为此付出更大的代价。
三：无穷大也有等级大小在二十世纪以前，数学家们遇到无穷大都避而让之，认为要么哪里出了问题，要么结果是没有意义的。
直到1895年，康托尔建立超穷数理论，人们才得知无穷大也是有等级的，比如实数个数的无穷，就比整数个数的无穷的等级高。
这也太违反直觉了，我们从来不把无穷大当作数，但是无穷大在超穷数理论中，却存在不同的等级。
详细介绍见：《无穷大也能“比较”大小！——超穷数理论！》四：“可证”和“真”不是等价的1931年，奥地利数学家哥德尔，提出一条震惊学术界的定理——哥德尔不完备定理。
该定理指出，我们目前的数学系统中，必定存在不能被证明也不能被证伪的定理。
该定理一出，就粉碎了数学家几千年的梦想——即建立完善的数学系统，从一些基本的公理出发，推导出一切数学的定理和公式。
1、费马大定理受制于勾股弦定理而成立的三句话解读````由于底数写法相同，指数次数相异的齐次方程整数n≥2，Z^n－x^n－y^n=0，(1)其正实数底要求的充分条件，同一可表示为Z＞x、Z＞y、x＋y＞Z，使得正整数底的模，皆可同一揭晓于下述传导之末：Z＞x Z＞y x+y＞Z 其中，x≠y→(x+y)–Z =2a Z–y = b Z–x = c 其中，b≠c. →Z=2a+b+c x=2a+b y=2a+c。
(2)````n=2，(1)也就是勾股弦定理Z^2= x^2＋y^2 (3)的等价写法，故是真理；将(2)代入(1)＿也就是代入(3)的0解写法，就得等式成立为带参数w的三对应二元函数(2tw＋b＋2t^2*w^2/b )^2－(2tw＋b)^2－(2tw＋2t^2*w^2/b)^2=0 (4)其中，t∧b=1、2、…，当b是平方数参数w=↗b, 否则参数w=b。
以t作序数，b作谱号，其全部解组与平面坐标第1象限内整点－－映射，无遗漏、无重复；````n＞2，(1)受制于指数运算法则和勾股弦定理及模(2)，不能排除方程“含有”下述同一的等式内在意义：Z^n－x^n－y^n = Z^2*Z^`n-2`－x^2*x^`n-2`－y^2*y ^`n-2 `↔=(x^2＋y^2)Z^`n-2`－(x^2*x^`n-2`＋y^2*y ^`n-2`）=（x^2* Z^`n-2`＋y^2* Z^`n-2`）－(x^2*x^`n-2`＋y^2*y ^`n-2`）↔=[(2a+b)^2 (2a+b+c )^`n-2`＋(2a+c)^2 (2a+b+c )^`n-2`]－[(2a+b)^2 (2a+b)^`n-2`＋(2a+c)^2 (2a+c)^`n-2`]=0。
(5)但(5)表示二项正实数相减与二项正整数相减皆大于0，证明(5)是假等式。
费马猜想成立据此得证，是基础数学应用题解。
````````````````2、歌德巴赫偶数猜想受制于联分等式而成立的三句话解读````歌德巴赫偶数猜想的内容，21世纪可理解为：2N≥6，除手工验算外，数学人对2N≥2×3×5×7×11×13=30030后的每个大2N所含1＋1的列数，早已用电脑进行过力所能及准确而快速的收索，确认每一个2N皆能按一定比率写成二质数之和无反例；人们现在仍不好理解的是，相邻几个≯8的偶数之间，数值变化很是微不足道，但1＋1列数的含量呈现有2～3～4倍的差异，却时有发生，对这样复杂的不定变化现象，数学人能获得有内因根据的数学表达式，去进行表述么？````这个内因根据，处于21世纪前的数学家们是不可能找到的。
二十世纪的数学教育陈建功编者按：我们即将跨入二十一世纪，在未来的新世纪中我国的数学教育必将会呈现新的面貌。
然而新面貌不会自然产生，它需要我们理性的思考和积极的实践。
数学教育改革中，历史的经验值得注意，有识之士的意见是宝贵的。
陈建功先生（1893—1971）是我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院士（原学部委员）。
他的《二十世纪的数学教育》一文，发表于1952年2月的《中国数学杂志》（1953年后该杂志改名为《数学通报》）第一卷第二期，当时正是新中国成立初期百废待兴的年代。
在这篇文章中，作者怀着“切望我国的数学教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等学校的数学为核心”，对二十世纪数学教育的原则，以及数学教学内容的改革等重要问题，提出颇有见地的意见在世纪之交，重读陈先生的《二十世纪的数学教育》一文，对于迎接二十一世纪的数学教育十分有益。
此地所说数学教育，以中等学校的数学为核心；关于高等学校方面的数学，和小学校的算术教育，不预备在此地有所详述。
本文说数学教育，以二十世纪的数学教育为主，读了下文，自然明白。
“他山之石，可以攻玉”，把外国的数学教育，罗罗嗦嗦说了许多的话。
笔者切望着我国的数学教育有更一进步的革新。
支配数学教育的目标、材料和方法，有三大原则：实用性原则数学在日常生活中已见其有其实用价值的；如土地改革运动中的分田量地问题，关于买卖、租税、保险、奖券的计算；酒瓶的容量，箱子的体积，都是数学的应用。
不但如是，数学也是物质支配和社会组织之一武器，对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的。
假如数学没有实用，它就不应该列入于教科之中。
论理的原则然而仅仅乎实用原则，不足以支配整个的数学教育。
数学具有特殊的方法和观念，组成有系统的体系。
数学并不是公式的堆垒，其所用之方法，也具有教育上的价值。
断片的推理，不但见诸任何学科，也可从日常有条理的谈话得之。
但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科。
纯数学是这样一门学科，在其中我们并不知道我们在谈论什么，或者我们不知道我们所谈论者是否是真的。
罗素Bertrand Russell（1872-1970）定理与真理1.梦想与悖论1.1笛卡尔(René Descartes ,1596-1650)笛卡尔，法国哲学家、数学家、物理学家、解析几何的奠基人。
1596年3月31日生于法国的图伦，1650年2月11日在斯德哥尔摩去世。
他在科学史上首次提出了运用少数几条基本法则来理解所有物理变化；致力于把所有知识融为一个统一整体，并对这一新科学的方法论和哲学意义进行了系统的研究。
年轻时，笛卡尔以数学经验为基础，创立了一种实用的研究方法；中年后，他转向哲学，提出“我思故我在”的怀疑观，使同时代的思想家从中世纪基督教思想的束缚下获得解放。
但笛卡尔他终生信仰天主教，也致力于科学与宗教的协调。
1619年11月10 日，笛卡尔陷入了对“在我的一生中，我该走哪条路（Ausonius: Quod vitae sectabor iter）”的思索中,随后，他产生了一系列幻觉和梦幻，这促使他进一步明确自己的生活、工作。
他作了三个梦。
第一个梦，他看到自己在旋风里蹒跚，而这股旋风对其他人似乎没有什么影响。
他被惊醒后祈求保护，在重新入睡前，对善恶沉思了大约两小时。
一阵刺耳的喧闹又把他惊醒，他看到了房间里充满了亮光，眨了眨眼，他又睡着了。
第三个梦是几本书，还有一个陌生人给了他一首以“是与否”开始的诗。
其中有一本书是百科全书，笛卡尔认为它代表了众多科学的统一，那首以“是与否”开头的诗，代表了真理与谬误。
笛卡尔将这些梦理解为一种启示，即他的著作应根据几何学原理将所有知识统一起来。
这一发现使他认为自己掌握了一门非凡的新科学，从此，笛卡尔便开始寻找能够揭开宇宙奥秘并展示科学统一的方法。
1928年，他结束《探求真理的指导原则》的写作，于1701年才发表。
1637年6月8日，笛卡尔发表了著名的哲学著作《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》，简称《方法论》；揭示了在科学中正确运用理性和追求真理的方法论。
论数学的真理性作者：胡重光来源：《湖南教育·数学教师版》2009年第09期引言数学的真理性问题是数学哲学的基本问题之一，也是最令人困惑的问题之一，对数学教育有重大影响，数学的特点是既具有高度的抽象性又具有广泛的应用性，这一点甚至令科学家也感到困惑：远离现实的数学为什么又能与现实世界的关系和结构相一致呢?爱因斯坦说：“在这里，有一个历来都激起探索者兴趣的谜，数学既然是一种同经验无关的人类思维的产物，它怎么能够这样美妙地适合实在的客体呢?那么，是不是不要经验而只靠思维，人类的理性就能够推测到实在事物的性质呢?”英国著名数学家、哲学家怀特海(A，Whitehead)也曾指出：“当数学越是退到抽象思维的更加极端区域时，它就越是在分析具体事实方面相应地获得脚踏实地的重要成长，没有比这事实更令人难忘的了，它导致了这样的悖论：最极端的抽象是我们用以控制具体事实的思想的正式武器”。
一、对三种数学真理观的分析“数学模式论”是我国影响最大的数学哲学理论，这一理论对数学的真理性问题做了深入的探讨，给出了三种解释，其一可称为“同构说”。
人们往往会对这样的事实情不自禁地感到惊奇：当初由人脑概念思维(即抽象分析思维活动)所产生的数学模式，甚至抽象度极高的模式，为什么最终居然能和现实世界中的事物关系结构规律相一致呢?对此问题一个最具概括性的回答是：那是由于人脑抽象思维形式和客观世界中的关系结构形态具有同构关系的缘故，但是，为什么主观世界、客观世界之间能够存在这种美妙的同构关系呢?对此就只能用反映论的基本原理来作出解释了：上述同构关系之所以存在，归根结底可以说是由宇宙世界中的物质运动规律的统一性所决定的，事实上，具有概念思维形式并可能动地反映事物关系结构规律的人脑反映机制，其本身就是遵循物质运动的普遍规律进化而成的最高物质组成形式周此，由它所表现出来的思维运动规律必然对应地符合宇宙世界中的具有统一性的普遍运动规律。
然而，用“同构”来说明如此复杂的现象未免过于简单，并且，重要的是我们要知道，二者为什么会同构?而对于这一点，上述解释难以令人满意：每个人的大脑都是“遵循物质运动的普遍规律进化而成的最高物质组成形式”，照这种解释，岂不是每个人的“概念思维所产生的数学模式”都必定与“现实世界中的事物关系结构规律”相一致?其二可称为“数学共同体判决说”：在现代社会中，每个数学家都必然地是作为相应的社会共同体(可特称为“数学共同体”)的一员从事研究活动的，从而就自觉地或不自觉地处在一定的数学传统之中，特殊地，一种数学模式的最终建立也就取决于数学共同体的“判决”：只有为数学共同体一致接受的数学概念、方法、问题等才能成为真正的模式(从而，所说的建构活动事实上也就是一种“社会的建构”)。
数学公理的定义
数学公理是数学中不可争议的原理，是构建整个数学体系的基础。
在数学中，公理是其他数学定理和概念的基础，它们被视为不证自明的真理，而非由其他定理或命题推导出来。
数学公理具备以下六个重要特性：
1.自明性：数学公理应该是高度自明的，即它们应该是显而易见或直观上明显的。
这意味着公理应当是无需证明或解释的，它们应能直接被接受和应用。
2.独立性：数学公理应当是独立的，即它们不应依赖于其他公理或定理。
这意味着每个公理都应该有其独特的价值和意义，而不能被其他公理所替代或推导。
3.无矛盾性：数学公理不应存在内在的矛盾，即它们不应该相互冲突或抵触。
如果一个公理系统内部存在矛盾，那么这个系统就失去了其有效性。
4.完备性：数学公理体系应该是完备的，即所有的真命题都可以由该公理系统推导出来。
这意味着公理系统应覆盖所有需要证明的命题，没有遗漏任何必要的真理。
5.相容性：数学公理应与其他公认的数学定理和定义相容，这意味着公理不能与其他公认的数学真理相冲突。
6.可推导性：数学公理应能推导出其他定理和命题。
如果公理不能用于推导其他命题，那么它们就失去了作为数学基础的意义。
在数学的逻辑体系中，公理是非常重要的组成部分。
它们是整个数学大厦的基石，为我们提供了构建数学理论的基础。
因此，理解和掌握数学公理的定义和特性，对于深入理解数学和其在各领域的应用至关重要。
数学名言：、数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠•o1、一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。
o2、1＋1＝3，是文学；1＋1＝2，是数学；1＋1＝0，是哲学。
o3、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。
———恩格斯名言名句o4、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。
————卡罗斯o5、数学支配着宇宙。
————毕达哥拉斯o6、不亲自检查桥梁的每一部分的坚固性就不过桥的旅行者是不可能走远的。
甚至在数学中有些事情也要冒险。
o7、爱情不是数学不能加减，也不是物理也不能演算。
灯不点不亮，话不说不明。
o8、数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。
数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。
———笛卡尔名言o9、数学是打开科学大门的钥匙。
———培根的名言o10、如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
————高斯o11、在现实中，不存在像数学那样有如此多的东西，持续了几千年依然是确实的如此美好。
o12、非数学归纳法在数学的研究中，起着不可缺少的作用。
————舒尔o13、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。
————柯普宁o14、鼓励学生超过自己，又对学生提出严格的要求，使他们感到有压力。
这是培养学生成为数学人材的一种值得重视的经验。
o15、数学是一种别具匠心的艺术。
————哈尔莫斯o16、学数学，绝不会有过份的努力。
————卡拉吉奥多里o17、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。
————傅立叶o18、数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。
————考特o19、在数学教育的旅途中，我甘愿做一个行者，不断行走不断思索。
o20、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。
————广中平佑o21、学习专看文学书，也是不好的。
先前的文学青年，往往厌恶数学理化史地生物学，以为这些都无足轻重，后来变成连常识也没有。
数学十大真理
1、线段公理：两点之间，线段最短。
2、直线公理：过两点有且只有一条直线。
3、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
是否承认这条公理是欧式几何与非欧几何的区分标准；我们所学的初中数学都是属于欧式几何的范畴。
4、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
5、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
6、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
7、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
8、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
9、三边对应相等的两个三角形全等。
10、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
数学家的名言名句1、数统治着宇宙。
——毕达哥拉斯2、数学是无穷的科学。
——赫尔曼外尔3、数学是科学之王。
——高斯4、到底是大师的著作，不同凡响！——伽罗瓦5、数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。
——高斯6、前进吧，前进将使你产生信念。
——达朗贝尔7、聪明出于勤奋，天才在于积累。
——华罗庚8、我们欣赏数学，我们需要数学。
——陈省身9、天才=1％的灵感+99％的血汗。
——爱迪生10、纯数学是魔术家真正的魔杖。
——诺瓦列斯11、我们必须知道，我们必将知道。
——希尔伯特12、数学的本质在於它的自由。
——康扥尔13、生命只为两件事，发展数学与教授数学。
——普尔森14、自然这一巨举是用数学符号写成的。
——伽里略15、没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。
——牛顿16、不发生作用的东西是不会存在的。
——莱布尼茨17、读读欧拉，读读欧拉，他是咱们大家的老师。
——拉普拉斯18、用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路。
——笛卡儿19、一个国家的科学水平能够用它消耗的数学来度量——拉奥20、异常抽象的问题，必须讨论得异常清楚。
——笛卡儿21、用心智的全部力量，来选取咱们应遵循的道路。
——笛卡儿22、迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。
——祖冲之23、宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。
——京斯24、数学是科学的女王，而数论是数学的女王。
——高斯25、直接向大师们而不是他们得的学生学习。
——阿贝尔26、数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。
——德摩根27、一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。
——拉奥28、观察可能导致发现。
观察将揭示某种规律模式或定律。
——波利亚29、我之所以比笛卡儿看得远些，是因为我站在巨人的肩上。
——牛顿30、在奥林匹斯山上统治著的上帝，乃是永恒的数学。
——雅可比31、上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。
——克隆内克32、看在上帝的份上，千万别放下工作！这是你最好的药物。
1、数学是无穷的科学。
一赫尔曼外尔2、在数学中最令我欣喜的, 是那些能够被证明的东西。
一一罗素3、在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。
一一拉普拉斯4、数学是锻炼思想的体操。
一一加里宁5、一个数学家越超脱越好。
一一无名氏6、这是一个可靠的规律,当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时,他是在胡说八道。
一一A.N.怀特海7、数学对观察自然做出重要的贡献,它解释了规律结构中简单的原始元素,而天体就是用这些原始元素建立起来的。
一一开普勒8、数学发明创造的动力不是推理,而是想象力的发挥。
一德摩9、如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量,那他就不值得人的称号。
一一柏拉图10、历史使人明智,诗歌使人聪慧,数学使人精密,哲理使人深刻,伦理学使人有修养,逻辑与修辞使人善辩。
一培根苏步青故事9岁那年,苏步青的父亲挑上一担米当学费,走了50公里山路,送苏步青到平阳县城,当了一名高小的插班生。
从山里到县城,苏步青大开眼界,什么东西都新奇。
他第一次看到馒头里有肉末,常用饭票换成钱买”肉馒头"吃。
一个月的饭票提早用完了,只好饿肚子。
他见到烧开水的老虎灶,也觉得好玩,把家里带来的鸡蛋掷进锅里,-锅开水变成一锅蛋花汤,烧水工看到气极了, 揪住他打了-顿。
苏步青整天玩呀、闹呀,考试时常坐”红交椅”到期末考试,他在班里得了倒数第一名。
可是,他的作文写得还不错,私塾里的”偷听”, 激发了他学习语文的兴趣,为作文打了一点基础。
然而，语文老师越看越不相信,总认为苏步青的作文是抄来的。
因此还是批给他一一个很低的分数。
这样, 更激发了他的牛脾气,老师越说他不好,他越不好好学,-连三个学期,都是倒数第一名。
同学和老师都说他是“笨蛋”。
有一次,地理老师陈玉峰把苏步青叫到办公室,给他讲一个小故事:“牛顿12岁的时候,从农村小学转到城里念书,成绩不好,同学们都瞧不起他。
有一次,一个同学蛮横无理地欺负他,-脚踢在他的肚子上。
《科学文化评论》第2卷第4期（2005）：科学与人文数学真理是什么？叶峰摘要现代物理学告诉我们，宇宙可能是有穷的，时空也可能是离散而非连续的，但在现代数学中我们似乎有着非常确定的、关于某些无穷和连续的数学对象和结构的真理。
这些独立于物质世界的数学对象和结构果真存在吗？数学定理果真是关于它们的客观真理？我们的物质性的、有限的大脑又如何真的可能认识那些独立于物质世界的、而且是无穷的事物？也许不应该以这种方式理解数学真理？这是令当代西方一些哲学家困惑的一个问题。
本文的目的是向哲学专业以外的读者介绍近代与当代一些哲学家对这个问题的思考，并作一些评述。
关键词 数学哲学真理数理逻辑康德弗雷格哥德尔卡尔纳普蒯因作者简介：叶峰，普林斯顿大学哲学博士，北京大学哲学系副教授。
一 数学真理是什么？如果问题是数学的内容是什么，那么回答自然是，数学包括分析、代数、几何等等。
但我们这里关心的是，这些分析、代数、几何中的定理是什么性质的真理，它们与我们所认识到的其它真理，比如自然科学中的真理，有什么共同点与差异？尤其是，数学真理的基础是什么？或者说，数学定理之为真，所依赖的是什么？比如，自然科学中的一个论断的真假，是依赖于该论断是否与现实的物质世界的实情相符合。
大爆炸宇宙模型是真的，指的是这个现实的宇宙确实是像这个模型所描述的，或者说，这个模型符合这个现实的宇宙；同样，牛顿运动定律是近似地真的，指的是它们近似准确地描述了现实世界中的物质运动的实情。
这些都是常识，没有什么特别深奥的。
那么，说一个数学命题是真的，也是指该命题真实地描述了某个数学世界中真实存在着的数学对象与结构吗？比如，说一个关于自然数的命题是真的，也是指该命题真实地描述了真实存在着的自然数吗？听起来这好象是显然的，但是仔细分析一下我们会看出，它实际上蕴含了一个谜。
首先，它蕴含了存在着一个独立于物质世界的抽象的数学世界。
因为现代物理学告诉我们，我们生存于其中的这个物质世界可能是有穷的：在宏观上，大爆炸宇宙模型提供了一个宏观上有穷的宇宙模型；在微观上，有关量子引力的一些现象，显示着在微观的普朗克尺度上，时空的自由度可能是有限的，这意味着，时空在微观上可能是离散的而不是连续的。
而另一方面，数学中的许多对象和结构是很确定地被描述成无穷的对象和结构。
最简单的自然数也有无穷多个。
虽然宇宙是有穷还是无穷在现代物理学中没有定论，但我们可以假设，即使现实的物质世界果真是有穷的，数学定理的真理性应该还是不变的。
至少，“对任一自然数，都有一个比它大的另外一个自然数”这样一个命题应该还是真的。
这已经意味着，数学中的无穷的对象和结构，应该是与现实的物质世界无关的对象和结构。
即使现实的物质世界果真是有穷的，我们还是有同样的无穷多个自然数、同样的数学真理。
我们甚至将数学应用于明显是有穷的领域，比如经济学中。
可见，即是整个宇宙是有穷的，那也不过就像在经济学领域一样，我们还是可以应用同样的数学。
在那里，虽然无穷的数学模型只是近似地描述了现实世界中的现象，但是数学定理对于那些无穷数学模型来说，应该是严格准确地真的。
所以，那些无穷数学模型中的数学对象和结构，只能是存在于一个独立于现实的物质世界的数学世界中。
换句话说，数学世界只能是一个独立于现实的物质世界的独立王国。
是否果真存在着这样一个独立的数学王国，当然会引起我们的怀疑。
更重要的是，我们人类应该是这个现实的物质世界中的一个部分。
我们的大脑，应该是这个现实的物质世界长期进化的产物。
我们的知识应该来源于我们的大脑通过我们的感觉器官与物质世界的相互作用。
所以，一个哲学上的谜就是：这样一个有限的大脑与有限的物质世界的相互作用，如何能够产生对那个独立王国中的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识？这是否意味着我们有着独立于物质性的大脑的某种心灵，而且我们的心灵有着某种神秘的直觉，可以认识超出有限的物质世界之外的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构？这是否意味着神秘主义？换句话说，它是这样一个谜：一方面，直观上我们似乎确实有着关于无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识；另一方面，如果它们真的是独立于现实的物质世界的对象和结构，我们究竟是如何得到关于它们的知识的？究竟是依据什么来断定一个数学定理或公理是真的？我们不能观察到那些无穷的对象和结构，不能像对牛顿力学那样，用观察来验证它是近似地真的，用观察来验证它不如相对论更准确等等。
所以，一个数学命题之为真的依据究竟是什么？也许，并没有这样一个独立于现实的物质世界的数学上的独立王国。
那么，数学真理又是什么？数学定理还是客观真理吗？一种自然的想法是，数学公理只是假设。
它们本身不是客观真理。
数学家们只是从那些假设推导出定理。
但是，数学家们显然不是在随意地作假设。
科学家们作一些科学假说，是因为他们揣测那些假说可能是真的，然后他们用实验去验证或反驳那些假设。
同样地，数学家们接受了一些公理，从那些公理推导出定理，是因为他们确实直觉到那些公理的自明性。
他们不会任意地选择一些命题作为公理，然后就去推导定理。
比如，假设用现有的公理可以证明哥德巴赫猜想，而用另外一些公理可以推导出哥德巴赫猜想的否定。
假如公理仅仅是一些任意的假设，那么是不是说哥德巴赫猜想本身也无所谓真假了？将数学公理仅仅看成假设，可能是因为混淆了两类不同意义上的公理。
一种是像一些数学结构的定义公理，比如群的定义公理。
这些公理确实只是假设。
群的定义只刻画了群这一类结构，它们本身不蕴涵群存在。
要证明群存在，需要一些更基本的、更实质性的公理，也就是集合论中的公理，它们断言空集存在，两个集合的并集存在等等。
特别地，要证明无穷群存在，需要集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集。
无穷公理似乎不仅仅是假设。
它直接地断定无穷集存在。
如果它是假的，如果无穷集不存在，那么很大一部分数学似乎就无意义了。
而且，从另一方面看，既然像无穷公理、选择公理这样的假设，使得所推导出的数学定理在科学中有着广泛的应用，我们能否说科学就证明了这些假设不仅仅是随意的假设，而是蕴含着真正的真理？这些问题，是关于数学真理是什么的主要问题。
概括起来是：数学真理是什么性质的真理？一个数学命题之为真是依赖于什么？我们是依据什么来认识数学真理和判断一个数学命题（包括公理）为真的？我们将称之为数学的真理性问题，或关于数学真理性的困惑1[②]。
本文的目的不是回答这些问题。
本文的目的是简要地介绍历史上哲学家们对数学真理的本质的思考，考察它们是否提供了对这个问题的答案。
同时我们还想从中寻找一些发展脉络，尤其是考察，种种困难如何迫使哲学家们对数学真理的定位摇摆于逻辑真理与经验科学的真理之间。
这里，我们是从现代数学的角度提出这些疑问的。
现代数学产生之前的对数学真理的本质的哲学思考，不可避免地有着它们的时代局限性，但是它们在今天还是会有一些启发性的意义。
所以本文将从考察恩格斯对数学的定义和康德对数学真理的定位开始。
但我们将主要考察最近一百年来西方哲学家对这些问题的思考，并对之作出一些评价。
另外，本文的目的不是要完整地描述数学哲学的历史，所以我们将只考察那些与数学真理的本质与定位有关的哲学思想。
我们将侧重于这些哲学问题，但是本文将不假设读者具备任何哲学史或现代数理逻辑的知识。
关于数学真理的本质的问题，应该是任何具备了一些现代数学和自然科学常识的人都可以认真思考的问题。
本文的目的之一，是希望能引起非哲学专业的读者们对这一问题的兴趣。
因此，我们将不繁琐地引证我们对一些哲学家的思想的阐释的正确性，而将侧重于用非专业性的语言，勾画出历史上哲学家们对这些问题的思考的脉络。
另一方面，对数学真理的本质的思考，确实又是西方哲学的主要动力之一。
从毕达哥拉斯和柏拉图，到康德，又到二十世纪以来的西方分析哲学，哲学家们都想为数学真理在我们的知识大厦中找到一个合适的位置。
而这种努力所遭遇到的困难，使得一些哲学家们提出了一些深刻的见解，也迫使一些哲学家提出了一些从常识看来似乎是荒谬的世界观。
理解这一点，也有助于理解西方哲学。
二 数学与自然科学最常听到的对数学的定义也许是恩格斯的定义：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学”。
许多人已经正确地指出，现代数学的内容已经1[②]类似的疑问最早是由P. Benacerraf提出的，参见：Benacerraf 1983。
远远超出“现实世界的数量关系与空间形式”所能概括的范围。
现代代数学中所研究的代数结构，和现代分析中所研究的函数空间等等，很难用“数量关系”来概括；现代几何学所研究的，也远远超出了“现实世界的”空间形式。
尤其是，现代数学中研究的许多对象是无穷的对象，包括无穷的代数结构，无穷的几何空间等等，而现代物理学告诉我们，我们生存的这个物理世界有可能是有穷的。
所以数学中研究的许多对象，已经远远超出了“现实世界”。
基于这一点，特别是由于布尔巴基学派的影响，有人提出，恩格斯的定义可以修改为：“数学是关于抽象模式或抽象结构的科学”。
但是，这种简单草率的推广忽略了一个非常严重的问题。
在恩格斯原来的定义中，“现实世界”这个限制与“科学”这个概括其实是密切相关的。
自然科学探索关于现实世界的真理。
自然科学中的论断的真理性依赖于现实世界的实际构成，是对现实世界的反映。
大爆炸宇宙模型如果是真的，那是由于现实的宇宙恰好是如此。
牛顿引力理论是近似地正确的，那也是由于现实的物质世界恰好是如此。
自然科学可能会发现一些一般性的定律，独立于我们在这个现实世界中观察到的偶然的初始条件，但是它们也是关于现实世界的一般性定律。
我们也许可以想象另外一种物质世界，在其中，物理定律与这个真实的世界中的物理定律完全不同。
但这不是自然科学所关心的。
自然科学关心的是这个真实的世界。
对自然科学真理的验证，依赖于我们对现实世界的观察，来源于我们的经验。
如果数学研究的也是现实世界中的数量关系与空间形式，那么数学与自然科学在本质上是相同的，因此数学可以被归类在科学之下。
比如，也许与物理学相比，数学只是考虑现实世界中物体的一些更简单、更一般的属性。
比如只考虑物体的个数、形状等“数量与几何属性”，而不考虑它们的质量、颜色等物理属性。
也许m+n=n+m与物理定律一样，是对现实世界中物体的个数的真实描述，只不过它比物理定律更简单，已经经过了无数次的经验验证。
同样地，也许平面几何中的定理，是对现实世界中物体的形状的真实描述，虽然在几何学中我们可以通过证明来得到许多这些真理，而不必去直接地测量，因为只要那些公理是对现实世界中物体的形状的真实描述，由公理严格推导出的定理也一定是对现实世界中物体的形状的真实描述。
所以恩格斯的定义虽然不能概括现代数学，但至少在逻辑上是自洽的，在概念上是清晰的，而且用于初等数学时，有明显的合理性。
