华工数学实验七 特征值和特征向量

在线性代数中找到特征向量和特征值线性代数是关于向量空间和线性方程组的研究，是现代数学的重要分支。

在线性代数中，特征向量和特征值是两个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将介绍这两个概念，并探讨如何在线性代数中找到它们。

一、特征向量和特征值的定义特征向量是指在线性变换下保持方向不变的向量，即在线性变换T下满足T(v) = λv的非零向量v，其中λ是一个标量，称作特征值。

特征值告诉我们在变换T下，由向量v张成的子空间保持不变的拉伸倍数。

特别的，当一个矩阵A作用于它的特征向量v时，会使得v只变成一个长度为λ的倍数，而方向不变。

因此，特征向量和特征值也可以描述矩阵的性质。

二、如何找到特征向量和特征值在矩阵A中，找到特征向量和特征值的方法是求解如下的特征方程：det(A - λI) = 0其中I是单位矩阵。

这个方程称作特征方程，它的解即为矩阵A的特征值。

特征值求出来之后，再通过求解矩阵(A - λI)的零空间，可以找到矩阵A对应于这个特征值的特征向量。

例如，考虑矩阵A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}，我们要找到它的特征向量和特征值。

首先，我们需要求解它的特征方程：det(A - λI) = \begin{vmatrix} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{vmatrix} = (2 - λ)^2 - 1 = 0解这个方程可以得到λ1 = 1，λ2 = 3，这就是矩阵A的特征值。

接着，我们需要求解(A - λI)的零空间。

对于λ1 = 1，有：(A - λ1I) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}，将它转化为行阶梯矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}我们可以得到一个特解，例如v1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}。

线性代数特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在本文中，我们将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质以及应用。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得满足以下等式：Av = λv其中，v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。

特征值与特征向量始终成对出现，不同特征向量对应的特征值可以相同，也可以不同。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量的性质（1）特征向量可以进行线性组合。

即若v1和v2是矩阵A相应于特征值λ的特征向量，那么c1v1 + c2v2也是矩阵A相应于λ的特征向量（其中c1和c2为常数）。

（2）特征向量的数量最多为n。

对于一个n阶方阵A，它最多有n个线性无关的特征向量。

2. 特征值的性质（1）特征值具有可加性。

对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A+B的特征值为λ1+μ1。

（2）特征值具有可乘性。

对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A·B的特征值为λ1·μ1。

三、特征值与特征向量的求解方法特征值与特征向量的求解是通过解方程Av = λv来实现的。

常见的求解方法有以下两种：1. 特征方程法将Av = λv转化为(A-λI)v = 0，求解矩阵(A-λI)的零空间，即可得到特征向量v，然后代入Av = λv中求解λ。

2. 列主元法通过高斯消元法将矩阵A转化为上三角矩阵U，求解Ux = 0的基础解系，其中x即为特征向量，对应的主对角线元素即为特征值。

四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，以下是其中几个典型的应用案例：1. 矩阵对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。

矩阵对角化可以简化矩阵的运算，提高计算效率。

2. 矩阵压缩在图像处理和数据压缩中，特征值与特征向量可以用来进行矩阵的压缩。

数学实验特征值与特征向量实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一.实验目的1•掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2. 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3. 理解由差分方程X k+i = Ax k所描述的动力系统的长期行为或演化；4. 提高对离散动力系统的理解与分析能力.二.问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出X k的计算公式）。

猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化？该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。

如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三.问题分析将线性变换** Ax k的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。

根据已知信息，找到系统对应的差分方程X k+1 = Ax k，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于 1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。

四.实验过程问题对应的差分方程为X k+1 = Ax k，其中A= 0.5 o2L -0.125 1.1< J演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。

利用如下的代码即可获得：A二[0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda]二eig(A);[Y ,l]=sort(diag(abs(lambda)),'desce nd');temp二diag(lambda);lambda二temp(l)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda =1.00000.6000A的特征向量pc =-0.6247 -0.9701-0.7809 -0.2425V2 = 广 r 4 P= 广4 4、P- 1AP = 广 1.00 0 、―1」〔5 1> <0 0.60显然，这两个特征向量(即pc的第一列和第二列)是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1=「4、〜5 J第二步：V i用和V表示X0和X K,k=1,2…因为｛ V 1, V2｝是R2的一组基，所以存在系数C i和C2,使得X o= C i V i+ C2 V2.因为V i, V2为矩阵A对应于入=1.0 u=0.6的特征向量，所以AV i=A/i, A V2=A/2，于是X i二Ax o=A(C i V计 C2 V2)= C i 入V+ C2UV2.X2=Ax i=A(c i 入 Vi+ C2入V)= C i *V i+ C2U2V2.一般地，X k= C i 2+ C2U k V2.C i (i.0)k4 + C2 (0.6)k 4 k=0,i,2,3<5,J」当k趋近于无穷大时，0.6A k趋近于0,假定Ci>0,则对于所有足够大的k, xk近似地等于C i (i.0)k V i,写为X k 〜Ci(i.0)[4.5K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k,X k+i 〜Ci(i.C k+i U '• 5」=X k可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当，而且X k约为]4 5』的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。

《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程x k+1=Ax k；提高对离散动态系统的理解与分析能力。

2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。

猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。

如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食率）有轻微的变动，系统如何变化？2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。

如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。

其中AA为优良品种。

农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率。

问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。

（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？代基因型Aa01/211/21/20 aa0001/41/213．实验过程3.1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3.2算法与编程3.2.1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0.1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3.2.2clear;A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];X=[0.8;0.2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0.8;0.2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1.0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X; endformat long;X,n结果分析1.2.>>X20 =0.9999998092651370.000000190734863X =1.0000000000000000.000000000000000n =524.实验总结和实验感悟通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。