三角代换求函数最值问题

高中数学-三角代换证明不等式和求最值2(一)三角代换的应用-证明不等式1, c 2d 2 1,求证: |ac bd | 1证明：设 a=sin ,b=cos ,c=s in ,d=cos 则有：|sin sin cos cos | |cos( )| 1， 问题得证。

例2已知a,b R,且 a 2 2 2b 1，求证：|a +2ab-b 2| 、:2解：可设 a=ksin ,b=kcos ,其中|k| 1于是有2 2 |a +2ab-b |=k 2|s in2 —cos2 |=2k 2|sin(2 )| 、2k 2 .2 2 2a b 2例3 •已知0<x<1,求证： (a b)x 1 x分析：0<x<1 ， 0<1 — x<1 ,且x+(1-x)=1,联想到三角代换。

证明：因为 0<x<1 , 0<1 —x<1 设 x=sin 2 ，且 所以2 a ・ 2 sin 2 a 2 ab 2cos 2 b 2b 2 a 2 cot2ab a 2 b 21-x 例4已知 1 分析：因为 (1 cot 2 )b 2 (1 tan(a b 2 tanb)2(a b)2米用三角代换之。

2, n N 求证(1 x)n (1+ x)n 2n1考虑到右边有1-x 与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简, 从而证明：因为 1 x 1，设x=cos2 ,(0所以 (1 x) nn n 2n n 2n n 2 2 n (1＋x) 2 sin 2 cos 2 (sin cos ) 2 故原不等式 (1 x)n (1＋x)n 2n 成立。

则 1-x=1-cos2 =1 (1 2si n 2 ) 2si n 22 1＋x 1 cos 2 2cos(二)三角代换的应用-求最值 例5设x, y R ,不等式 x . y a 厂丫恒成立，求a 的最小值。

析：原不等式等价于 a 平 厲恒成立，则a 必不小于右边代数式的最大值J x y即只需求岀—x H 的最大值即可。

浅析高中数学解题技巧之“三角代换”摘要：三角函数是高中数学学习中的重要内容，其中“三角代换”应用广泛，且形式灵活多样。

如何利用三角函数性质和基本三角公式，将其转换为三角问题，进而达到化难为易、化繁为简的目的。

本论文以三角代换在高中数学解题中的应用为研究切入点，对其进行了详细的研究和分析。

关键词：三角函数；高中；数学；解题；三角代换鉴于高中数学知识的具有较强的逻辑性和关联性，在具体的高中数学学习过程中，学生经常会遇到一些结构复杂、变元较多的问题。

在这种情况下，学生采用传统的解题方式，解题效果并不十分理想。

而在此基础上，通过三角代换的方式，引入一些较新的额变量，并简化其结构，进而可将复杂的问题进行精准、快速的解答。

一、三角代换概述在进行高中数学问题解答的过程中，学生经常会遇到一些新的问题，或专业难度比较大的问题。

在这种情况下，学生必须要明确已知和未知知识之间的内在联系，并对其进一步进行观察和思想，并充分利用数学知识，开展广泛的联想：通过引进一个新的变量，或者对已知条件进行转换，那么复杂的问题就会变得更加简单。

这就是换元的主要思想。

作为的换元方法，就是在数学知识的解题过程中，将新变元引进到没有固定的形式中，并将复杂的问题进行简化，进而对数学知识进行更好的解答。

在高中数学解题中，三角代换是最为常用的解题技巧，被广泛应用到不等式、函数等问题中，不仅提高了解题的准确率，也大大缩短了解题所用的时间[1]。

二、三角代换在高中数学解题中的具体应用1、三角代换在求最值中的应用在高中数学中，求最值尤为常见，学生在解题过程中，也面临着较大的难度。

在这种情况下，教师在解题过程中，可充分利用三角代换的形式，充分利用三角函数的知识，将函数中的最值问题进行合理的替换，进而使得函数知识转换为三角函数，并对其进行有效的解决。

例如，在求最大值的时候，就可充分利用三角代换的方式进行解题。

具体解题思路如下：假设x=sinα，α∈（-π/2,π/2,）通过这种代换方式，上述例题可变为因此，当α=π/4时，可取得最大值。

2020年第9期欽学款学9-31巧用三角换元妙解二元最值问题蒋宝童邹峰（安徽省和县第一中学，安徽和县238200；武汉职业技术学院商学院，湖北武汉430074）在中学数学中常常会遇到与二元二次有关的最值问题.1条件为二元二次方程的最值问题先看一个例题.例1（2017年全国高中数学联赛河南省预赛题）已知实数％、y满足4/-5巧+4y2= 5,若S=/+犷,记s的最大值为卩,记S的最小*****r^j, 5可以进一步思考和探索的问题至此,我们可以结束对抛物线中过对称轴上的定点弦问题的讨论了.然而，还有一个问题值得思考：椭圆或双曲线中有类似的结论吗？这是一个可以继续讨论和研究的问题.显然,与抛物线类比，椭圆和双曲线没有与命题2相似的性质，所以后继的讨论也就无法继续了.然而，对于椭圆或双曲线的一些特殊的弦，还是有一些类似的性质可以研究的.回到沪教版高中数学教材（高三年级拓展n）第一册的专题2中，就有这样的例题：22椭圆冷+警=l（a>b>0）任意一点a bM（除短轴端点外）与短轴两端点艮、％的连线交％轴于点N和K,求证:I ON\-I OK\=a2.该题选取的是椭圆的特殊弦短轴,求证的结论本质上是心%k=a.如果选取长轴作为特殊弦,也会有结论y N y K=尸，另外，这个结论可以类比到双曲线中•6探究过程给教学的启发我们对抛物线考题的分析、思考和探究过程可以给数学教学和高考复习带来一些启发.在数学教学和高考复习中要有寻根求原的探究意识和思维习惯，寻根就是学习数学知识或解决数学问题时要有追根求源的探究意识，要思考知识的联结点或生长点在哪里，弄清楚知值为g,求丄+丄的值.p q在这个例子中，有个二元二次方程的条件，即4子-5矽+4y2=5,它的一般形式是ax2+2hxy+by2+2gx+2/y+c=0（a2+b2+ FMO）.对于这样的二元二次的条件往往不好直接处理，可以考虑利用换元，转化为一元问/识的来龙去脉；问题从何而来，问题的根或根源是什么•求原即寻找原因、原理与本原，学习数学不能仅仅局限于掌握结果和方法，而要弄清楚结果和方法从哪里来，理由是什么，蕴含了怎样的原理，学习知识要追求理解知识的本原，强调对知识本质的理解，解决问题要寻求问题的本原，弄清楚是什么，为什么，还有什么，这是学好数学的关键.在求解这道抛物线考题的过程中，如果我们不去追问直线I是怎么被发现的，也就不会发现命题3与命题4了.在对抛物线考题的寻根和求原的过程中，我们发现最终都回到了教材•所以，回归教材,立足教材应该是我们在数学教学和高考复习中应该遵守的原则.教材的知识体系是精心组织的，例题与习题都是精心设置的，很多例题与习题有都着深刻的数学背景.如前文提到的习题和例题，我们在引导和组织教学时不能仅仅满足于一个问题的解决，而要有进一步探究的意识，解决好问题后，再多想一步，例如：问题的条件和结论能否作进一步推广？命题的逆命题是否依然成立？该问题还能作怎样的类比和联想？解决这个问题的方法还能解决哪些问题？用研究性的思维来面对每一个例题和习题，做到举一反三，才是提高学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力的有效方法.9-322020年第9期题进行处理.当人# 0时，利用坐标旋转变换” "cos — y ，sin &,得到让,2y = % sin 0 + y cos 0,2h':x'y +b'y'2 + 2g'x' + 2fy'+c = 0. 一定可以选择适当的0,消去交叉项，即使h'=0,若a' =0或6'=0时，可以直接利用代入消元法消去y 或％，从而使问题转化为一元函数最值问题;若a'b' # 0,x ,r - X通过平移变换<y" = y f +呂，：,使方程变为a'x"2 ++ r,b'y"2 = c".因此，只需要考虑条件为匕+ I =m nl(mn 0)的情形.① m > 0, n > 0时，利用三角换元，令兀=y^ncos (p , y =施sin (p ；② m > 0, n < 0时,利用三角换元，令先=x/rnsec <p , y = J - ntan <p ；③ m < 0, n > 0时，利用三角换元，令兀=J - th tan (p , y =伍sec cp.x + y,同样可以消去 x - y y =— ,x' + y'X ~ ~~2',，问题转化为:x — y已知3*2 + 13/2 = 20, S=%'-；儿的最大值为P ，最小值为g,求丄+丄的值•此时，利用三角p q换元,令％' = J^cos (p , y'以解决问题.再看两道改编题.改编1已知实数％、y 满足/ - 5矽+4/ =5,求S = Z 的取值范围.Xx - x + y ,x - y r 贝!]9y'2 - x ,2 - 10,再令 “十，-于0时，使用变换交叉项•在前例中，令■'20—sin<p,同样可解：令下面具体解决一下前面的例题.设[X =先'cos 0 - y'sin 0, / /< ,. , Iff e 10,[y = x sin 0 + y cos 0 \ \4%2 一 5xy + 4y 2 = 5,得(4 一 5sin 0cos 0)x ,2 +孙代入——sec (p , x r = ^/f0 tan (p ( cos <p H 0),得(4 + 5sin 0cos 0)y ，2 一 5cos TTcos 20 = 0,得& =—则令<4y 题转化为：已知3先'2 + 13/2的最大值为p ,最小值为g ,求丄+丄的值•利用p q/ - + -,兀， S &22 经210.2 二 - - 5.=2Z V +72一272一2,问y 三角换元,令力二10 .—sin 133 w 13 13、3 "10 1013' 3，即P譽，则丄+丄=13 p g§7实际上，消去交叉项的过程也不是必须要严格采用前面的坐标旋转变换，在a 和b 都大X y3sin 0 e (-3,3),所以 S =匸X t (x- y 23 +y')—1y2件+1\ye8，f) U(1 , + 8 ).改编24y2 - %_2y + 5= 0,求 S=x+y 的取值范围.■x = x + y f ,x r — y'代入 x 2 — 4xy + 4y~ —5所以S=x+y =31 9 1 15+ y/' = 3y ，+ —y f +y e例2已知实数沢y 满足3* + 3，『+9),27” +27y求E 的最值已知实数％、了满足/ - 4xy +解：令x - 2y + 5 二 0,得％'辺，+8).48 丿102020年第9期欽学救学9-33解:不妨设a=3”，b二歹，则a_T)可设Q=—(cos02b,a、b>0,即a2+(T+62=a+2丄"T+sin0+1),b/+庆+ab+1出亠ff—矿页一的最小值为〒.例4已知实数a、6满足b2+2ab-2b-b2*(cos&-sin&+1),&G(-P苏则2T+21r_a+b3_31+3y~a+b~a2-ab+b21 =-—I cos0-^-2\2,229 +—.8又因为cos0e(0,1],当cos0=1,a=b=1,2T+27，即x=y=0时JIJ---oy取最小值为1;3+3rM,“13±73,3+V3Rn当cos0=亍a=一-—,b=―-—,即,3±73,3+A n,271+27' %=吸3-4，y=log3—4一时，则亍+亍4(a2+1)=0,求P=子一的取值范围.a+1分析：本题是《数学通讯》的征解题，文［1］给出了一个精妙解法，但并没有从条件的二元二次方程入手，而是将待求式进行转化,再进行三角换元，有兴趣的读者可参看文［1］•下面从条件的二元二次方程入手，对本题分析求解.如果采用坐标旋转变换消去交叉项，计算量很大，这里采用配方法消去交叉项.解：令b+a=x,a-y,代入条件得x2-5y2-2x+2y-4=0.再令u=x-1,v=y2/F得5u2~25i>2—24.二角换兀令u=-----sec<p,A2^6ntv=tan<p,贝」9取最大值为£.o2待求式与二元二次有关的函数最值问题例3(文［1］的例1改编)已知a>0, b>0,求P=必土丁?+ 1的最小值.P=a^l,4\{u-V+—I2+24a+5b分析：分子是二元二次函数，借鉴前面二元二次方程的处理方法，先换元消去交叉项，再进行三角换元.解：先令a=x 3x2+卡+］--------L----.再令％= 9x-y V0)侧+y,b=x-y,则P=r C os®73,y=/fsin(p(R>1(2^/30-2^6sin cp+4cos(p)(2^6sin<p+cos<(2^/30+2(2cos(P)+25cos伽i(p_^/6sin<p))30-(2cos(p-v^sin(p)K2+1令m=2cos(p-v^sin<p,则m e[—,P=--------------------------=--------------------3s/37?cos(p-Rsin(p2/7cos@+0)其中cos6=琴,sin0=亠\•2/72/7/3/7等号成立条件：R=\,(P=-e,即％=帀~,y=-愛，也即a=弓，b=字.故P=/To],P=1e[8-4屁8+4点].(2屈 +30-m24(^/30+zn)y/30—m小结：对二元二次的处理，本文的主要思路是：无论是条件中的二元二次方程，还是待求式中含有二元二次的结构，都可以考虑先消去交叉项,然后对平方和或平方差利用三角公9-342020年第9期几个含有二次根式的三元不等式宿晓阳（四川省成都实验外国语学校，四川成都611731）众所周知，不等式在数学中有重要的地位，无论是国际数学奥林匹克竞赛（IMO）、世界各国（地区）数学奥林匹克竞赛，还是国内各大高校自主招生数学考试，与不等式有关的试题频频出现，原因是不等式有各种难度，具有较强的挑战性，不仅可以很好地区分考生的水平,还可以反映考生的数学功底和创新水平.本文将给出几个新颖的含有二次根式的三元不等式，供参考与欣赏，同时为我们的英才教育提供一点新鲜血液.命题1设％、y、z是正实数，则TT-B2(4,B,C)7T-C2TT~A2于是有in扌+2zsin=.竺+竺+Zm2xsin£+2ysix y z2B2a—）（其中。

应用三角换元法求解最大(小)值难题于志洪【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)017【总页数】3页(P7-9)【作者】于志洪【作者单位】江苏省泰州中学附属初级中学【正文语种】中文用三角函数代替问题中的参数,再利用三角函数之间的关系使问题得以简化的方法,我们称之为三角换元法．这种换元法应用极其广泛,本文仅以部分高中数学竞赛题为例,介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用,供师生教与学时参考．例1 已知实数x,y满足3x2-4xy+3y2=4,若s=x2+y2,求s的最大值和最小值．因为s=x2+y2,故可设将其代入条件3x2-4xy+3y2=4中,可得3scos2θ-4ssin θcos θ+3ssin2θ=4.所以3s(sin2θ+cos2θ)-4s·sin θcos θ=4,从而可得3s-2ssin 2θ=4,因此由于-1≤sin 2θ≤1, 且当sin 2θ=-1时,当sin 2θ=1时,s=4,故s的取值范围是即s的最大值是4,最小值是上述解法是从结论入手,利用三角换元,通过代入已知条件,将题设代数等式转变为三角函数问题来处理,巧妙结合二倍角正弦公式和平方和公式sin2θ+cos2θ=1,最后根据正弦函数的有界性,求得最大值和最小值．这种解法,不仅减少了计算量,而且丰富了学生的解题思路,其构思巧妙,令人耳目一新．例2 已知实数为x,y满足x2+y2+xy=3,求x2+y2的最大值和最小值．设x2+y2=z(z>0),令代入x2+y2+xy=3,得z+zsin θcos θ=3,即得因为θ∈[0,2π),所以-1≤sin 2θ≤1,不等式两边同时加上2,得1≤2+sin 2θ≤3,所以故x2+y2的最大值是6,最小值是2.这是一道二元函数最值问题,本题借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元,结合正弦函数的有界性求得结果．例3 已知实数x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m,计算M+m．由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2,设则将其代入已知条件式得整理得所以即u2-72u+144≤0.易知u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根,故由根与系数的关系可求得M+m=72．上述解法从已知条件入手,先将题设式进行配方,再结合三角换元,将条件转化为三角函数代入目标函数,从而沟通了题设与结论的关系,实现了将代数最值问题化归为三角函数最值问题来求解,最后根据根与系数的关系巧妙地求得最大值和最小值之和．上述解法,减少了计算量,提高了学生的解题速度和正确率．例4 求的最大值和最小值．因为故令则这里则有所以当时,取得最大值，其最大值为当α=0时,取得最小值，其最小值为利用三角换元的一个目的是去根号．本题中,巧妙地使用特定的三角函数进行换元，消除了两个根号,其解法更加简捷流畅．例5 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值( ).根据题意所以可设也就是其中从而因为所以故由正弦函数的图象可知所以则故选D．本题是一道求无理函数最大值和最小值的竞赛题,用常规方法求解较为烦琐,然而根据题设,通过巧妙凑配系数使其出现了平方和为常数的关系,从而利用三角换元,将无理函数的最值问题转化为三角函数化简求最值的问题,方法较为新颖．例6 求函数的最大值和最小值．解法1 由待求函数可设将两边平方后,可得3x-6=y2cos4θ,①3-x=y2sin4θ,②②×3得 9-3x=3y2sin4θ.③因此，由①+③得y2cos4θ+3y2sin4θ=3,所以而cos4θ+3sin4θ=3sin4θ+(1-sin2θ)2=因而故所以1≤y2≤4,而f(x)=ycos2θ+ysin2θ=y,因此函数f(x)的最大值为2,最小值为1.解法2 因为3x-6≥0,3-x≥0,所以2≤x≤3.故可设因此而这时所以1≤f(x)≤2,从而可知f(x)的最大值为2,最小值为1．解答本题的关键是通过三角换元将形如的无理函数转化为三角函数．解法自然流畅、简捷明快，充分体现了三角换元法在解题中的重要性．例7 若实数a,b,c满足a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最小值.根据题意，可设则a+b+c=rcos θ+rsin θ+c=因为故可知当且仅当时,等号成立．因此,a+b+c的最小值为此题设计精巧,可以从多角度研究,解法也较多．然而,根据题目中条件的结构特征,利用三角换元思想解题较为便捷．例8 若实数x,y满足求x的最大值和最小值．由条件可得故知x≥0,又所以可令则条件变为①易知当x=0时,式①成立．当x>0时,式①可变为即其中即所以当sin(θ+φ)=1时,取得最大值此时x取得最大值20;当时,取得最小值2,此时x取得最小值4．综上所述,x的最大值是20,最小值是0．本题含有两个根式,直接进行代数变形相当困难．注意到很自然联想到利用三角换元法进行求解,不仅降低了解题难度而且简捷明快,充分体现了三角换元法在解题中的重要作用．例9 若实数x,y,z满足:x+y+z=12,x2+y2+z2=54,分别求xy,yz,zx的最大值和最小值．设代入x+y+z=12,可得则54-z2+54-z2≥(12-z)2，解得2≤z≤6.又因为z2-12z+45=(z-6)2+9,从而有9≤xy≤25,同理9≤yz≤25,9≤zx≤25．即xy,yz,zx的最大值均为25,最小值均为9.本题妙用了三角换元法,提高了解题效率,降低了题目的难度．例10 已知实数x,y满足x2-xy+2y2=8,试求x2+xy+2y2的最大值和最小值．因为x2-xy+2y2=8,故配方可得设则①②将式①和式②同时代入x2+xy+2y2中,得其中故依据正弦函数的有界性,易知当sin(2θ-φ)=1时,x2+xy+2y2取得最大值当sin(2θ-φ)=-1时，x2+xy+2y2取得最小值上述解法从已知条件入手,先将x2-xy+2y2=8进行配方,再利用三角换元,将代数最值问题化归为三角函数最值问题,最后根据正弦函数的有界性,巧妙求得最大值和最小值．综上所述，例1、例2、例5、例6的解法1、例7、例9和例10都是利用两个变量sin θ,cos θ或sin2θ,cos2θ进行换元,而例4和例6的解法2则是利用一个变量进行换元．将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数,这样就便于运用熟知的三角函数公式进行化简,利于迅速求得其解．上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目,考题结构看似平常,其实构思精巧,有着良好的检测功能，值得我们一同来鉴赏与探寻．这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.这种代换思想符合新课程改革的理念,利于学生融会贯通课本知识,激发学生学习的积极性,发展学生的数学才能,同时利于拓宽学生视野，启迪思维,利于提高教学质量,提高学生分析问题和解决实际问题的能力．故笔者认为在今后的教学过程中,教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析,发展学生的认知力,培养学生的创造力,这对学生的全面发展大有益处．。

三角函数最值问题求法求三角函数最值是高中数学中较常见的题型，也是多年来高考和数学竞赛的热点。

由于求解这类题目需要思路开阔，技巧性强，学生往往感到困难，所以是高中数学的难点。

下面，笔者结合教学实践，提炼出较为典型的若干实例，启示学生如何进行分类探求三角函数的最值方法。

一、利用三角函数的有界性求最值利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函数y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=决定。

又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用变量代换法求最值求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。

但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。

例3 求函数y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤，且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。

设sinx=t （-1≤t≤1），则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，当t=1时，ymin=2。

当t=-1时，ymax=10。