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2007考研数三真题及解析

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Born to win

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 当0x时，与x等价的无穷小量是( )

A.1xe .ln(1)Bx .11Cx .1cosDx

(2) 设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是( )

A.若0()limxfxx存在，则(0)0f .B若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f

.C若0()limxfxx存在，则'(0)f存在 .D若0()()limxfxfxx存在，则'(0)f存在

(3) 如图，连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xFxftdt则下列结论正确的是( )

.A(3)F3(2)4F .B(3)F5(2)4F

.C(3)F 3(2)4F .D(3)F5(2)4F

(4) 设函数(,)fxy连续，则二次积分1sin2(,)xdxfxydy等于( )

.A 10arcsin(,)ydyfxydx .B 10arcsin(,)ydyfxydx

.C 1arcsin02(,)ydyfxydx .D 1arcsin02(,)ydyfxydx

3 2 -1 O 1 -2 -3 y

x Born to win

(5) 设某商品的需求函数为1602Qp，其中Q，p分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )

.A 10 .B 20 .C30 .D40

(6) 曲线1ln(1)xyex渐近线的条数为( )

.A 0 .B1 .C2 .D3

(7) 设向量组123,,线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( )

.A122331,, .B212331,,

.C1223312,2,2 .D122332,2,2

(8) 设矩阵211121112A，100010000B，则A与B( )

.A 合同，且相似 .B 合同，但不相似

.C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)pp，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

A.23(1)pp B. 26(1)pp

C.223(1)pp D.226(1)pp

(10) 设随机变量(,)XY服从二维正态分布，且X与Y不相关，(),()XYfxfy分别表示表示,XY的概率密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度()XYfxy为( )

A.()Xfx B.()Yfy

C.()()XYfxfy D.()()XYfxfy

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 Born to win

(11) 3231lim(sincos)____________2xxxxxxx

(12) 设函数123yx，则()(0)___________ny

(13) 设(,)fuv是二元可微函数，(,),yxzfxy则zzxyxy_________

(14) 微分方程31()2dyyydxxx满足11xy的特解为y=_____________

(15) 设距阵01000010,00010000A则3A的秩为＿＿＿＿＿

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿.

三、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本题满分10分)

设函数()yyx由方程ln0yyxy确定，试判断曲线()yyx在点(1,1)附近的凹凸性.

(18)(本题满分11分)

设二元函数 222.1.(,)1,12.xxyfxyxyxy

计算二重积分(,).Dfxyd其中(,)2Dxyxy

(19)(本题满分11分)

设函数()fx，()gx在,ab上连续，在(,)ab内二阶可导且存在相等的最大值，又()fa＝()ga，()fb＝()gb，证明：

(I) 存在(,),ab使得()()fg；

(II) 存在(,),ab使得''()''().fg

Born to win

(20)(本题满分10分)

将函数21()34fxxx展开成1x的幂级数，并指出其收敛区间.

(21)(本题满分11分)

设线性方程组123123212302040xxxxxaxxxax (1)

与方程 12321xxxa (2)

有公共解，求a得值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征值12311,2,2,(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记534BAAE，其中E为3阶单位矩阵.

(I) 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

(II) 求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)XY的概率密度为 2,01,01.(,)0,xyxyfxy其他

(I) 求2PXY；

(II) 求ZXY的概率密度()Zfz.

(24)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

1,0,21(;),1,2(1)0,xfxx其他.

其中参数(01)未知，12,,...nXXX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

(I) 求参数的矩估计量； Born to win

(II) 判断24X是否为2的无偏估计量，并说明理由.

Born to win

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、选择题

(1)【答案】B

【详解】

方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x时，

11;11;2xexxx2221cos2sin2(),222xxxx当0x时，此时0x，所以11();11;2xexxx211cos(),2xx可以排除A、C、D，所以选(B).

方法2： 1ln1xx1ln1xxxxln[1]1xxx

当0x时，11x，01xxx，又因为0x时，ln1xx，

所以ln[1]~~1~11xxxxxxxxxxx，选（B）.

方法3：0001111ln()ln()()1111limlimlim12xxxxxxxxxxxxxx洛

2001111211221limlim1112xxxxxxxxxxxxxx

设2211111xxxABxxxx，则11422AxBxxxxx

对应系数相等得：2,1AxB，所以

原式0022121limlim1111xxxxxxxxxx Born to win

0021limlim0111xxxxx1，选(B).

(2)【答案】D

【详解】

方法1：论证法，证明,,ABC都正确，从而只有D不正确。

由0()limxfxx存在及()fx在0x处连续，所以

0(0)lim()xffx0000()()()limlimlim0limxxxxfxfxfxxxxxx0，所以(A)正确；

由选项(A)知，(0)0f，所以00()(0)()limlim0xxfxffxxx存在，根据导数定义，

0()(0)'(0)lim0xfxffx存在，所以(C)也正确；

由()fx在0x处连续，所以()fx在0x处连续，从而

000lim()()lim()lim()(0)(0)2(0)xxxfxfxfxfxfff

0000()()()()()()2(0)limlimlim0lim0xxxxfxfxfxfxfxfxfxxxxx，

即有(0)0f，所以(B)正确，故此题选择(D).

方法2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取()fxx，有

00()()limlim00xxxxfxfxxx存在

而0000limlim100xxfxfxxx，0000limlim100xxfxfxxx，左右极限存在但不相等，所以()fxx在0x的导数'(0)f不存在。(D)不正确，选(D).

(3)【答案】C

【详解】由题给条件知，()fx为x的奇函数，则()()fxfx，由0()(),xFxftdt 知

000()()()()()()()()xxxFxftdttufudufufufuduFx令因为，

故()Fx为x的偶函数，所以(3)(3)FF.

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2007年考研英语真题及解析.pdf

2007年考研英语真题及解析.pdf

1

2007年全国硕士研究生招生考试英语（一）试题

Section I Use of English

Directions:

Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark [A], [B], [C] or [D] on

ANSWER SHEET 1. (10 points)

By 1830, the former Spanish and Portuguese colonies had become independent nations. The roughly 20

million 1 of these nations looked 2 to the future. Born in the crisis of the old regime and Iberian colonialism,

many of the leaders of independence 3 the ideals of representative government, careers 4 to talent, freedom of

commerce and trade, the 5 to private property, and a belief in the individual as the basis of society. 6 there was a

belief that the new nations should be sovereign and independent states, large enough to be economically viable

and integrated by a 7 set of laws.

On the issue of 8 of religion and the position of the Church, 9 , there was less agreement 10the leadership.

考研数学概率真题解析(2007年)

考研数学概率真题解析(2007年)

读书人

考研数学概率真题解析（2007年）

一、数一、三、四（9）：

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(pp，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

（A）2)1(3pp （B）2)1(6pp

（C）22)1(3pp （D）22)1(6pp

解答：C

解：

第4次命中，前3次中1次命中，2次没有命中，对前3次使用伯努列概型：213)1(ppC，加上第4次命中，概率为pppC213)1(＝22)1(3pp。选C。

点评：

考察考生对于伯努列概型（或者二项分布）中的基本特征：“只知次数，不知位置”。

类似题：

例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为：

A．32)1(4pp B．3)1(4pp C．32)1(10pp

D．32)1(pp E．3)1(p

二、数一、三、四（10）：

设随机变量),(YX服从二维正态分布，且X与Y不相关)(),(yfxfyx分别表示X，Y的概率密度，则在yY的条件下，X的条件概率密度为)|(/yxfYX

（A）)(xfx （B）)(yfy

（C）)()(yfxfyx （D）)()(yfxfyx

解答：A

解：

在）（YX,服从二维正态分布时，若）（YX,不相关，则独立。

所以)()()()()(),()/(/xfyfyfxfyfyxfyxfXYYXYYX，与条件概率的简化类似。选A。 读书人

点评：

考察考生两点：不相关与独立在二维正态分布时的互推关系；独立时联合密度等于边缘密度的乘积。

类似题：

在新东方考研数学辅导班上和年底的全国串讲中详细强调过这两个考点。

已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数21XY，设.23YXZ

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数XZ；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

2010考研数三真题及解析

2010考研数三真题及解析

2010

数学(三)试题 第1页 (共14页) 2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)

(1) 若011lim1xxaexx,则a等于( )

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

(2) 设12,yy是一阶非齐次微分方程ypxyqx的两个特解,若常数，使12yy是该方程的解,12yy是该方程对应的齐次方程的解,则( )

(A) 11,22. (B) 11,22.

(C) 21,33. (D) 22,33.

【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).

(3) 设函数,fxgx具有二阶导数,且0gx,若0gxa是gx的极值,则fgx在0x取极大值的一个充分条件是( )

(A) 0fa. (B) 0fa. (C) 0fa. (D) 0fa.

(4) 设1010ln,,xfxxgxxhxe,则当x充分大时有( )

(A) gxhxfx. (B) hxgxfx.

(C) fxgxhx. (D) gxfxhx.

(5) 设向量组12:,,rI可由向量组12:,,sII线性表示,下列命题正确的是( )

(A) 若向量组I线性无关,则rs.

2007考研数学一真题答案解析(2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析)

2007考研数学一真题答案解析(2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析)

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当0x

时，与x

等价的无穷小量是

(A)1x

e. (B) 1

ln

1x

x

. (C) 11x

. (D) 1cosx

. [ B ]

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小

量，再进行比较分析找出正确答案.

【详解】 当0x

时，有1(1)~xx

eex

；1

11~

2xx

；

211

1cos~().

22xxx

利用排除法知应选(B).

(2)曲线1

ln(1)x

ye

x

，渐近线的条数为

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为

01

lim[ln(1)]x

xe

x



，所以0x

为垂直渐近线；

又 1

lim[ln(1)]0x

xe

x



，所以y=0为水平渐近线； 进一步，

21ln(1)ln(1)

limlim[]limxx

xxxyee

xxxx



=lim1

1x

x

xe

e



，

1

lim[1]lim[ln(1)]x

xxyxex

x



=lim[ln(1)]x

xex



=lim[ln(1)]limln(1)0xxx

xxeexe



，

于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).

(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半

圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设

0()().x

Fxftdt

则下列结论正确的是(A)3

(3)(2)

4FF

. (B)5

(3)(2)

4FF

. (C))2(

43

)3(FF